Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

78 Den flerdimensionale normalfordeling

Bemærkninger:

1. Vi véd fra sætning B.5 (side 115) at der altid findes et B med

de ønskede egenskaber, og at B er entydigt bestemt pånær isometri.

Da standardnormalfordelingen er invariant ved isometrier (sætning

6.2), følger det nu at fordelingen af µ + BU ikke afhænger

hvordan man har valgt B, blot B er injektiv og BB ′ = Σ.

2. Definitionen generaliserer definition 6.2; det er en konsekvens af

sætning 6.4.

Sætning 6.5

Hvis X er n-dimensionalt normalfordelt med parametre µ og varians Σ,

og hvis A er en lineær afbildning af R n ind i R m , så er Y = AX m-

dimensionalt normalfordelt med parametre Aµ og AΣA ′ .

Bevis

Lad os sige at X = µ + BU hvor U er p-dimensionalt standardnormalfordelt

og B er en injektiv lineær afbildning af R p ind i R n . Så er

Y = Aµ + ABU. Det vi skal vise, er at ABU har samme fordeling som

CV hvor C er en velvalgt injektiv lineær afbildning af R q ind i R n og

V er q-dimensionalt standardnormalfordelt; her er q rangen af AB.

Vi sætter L = R((AB) ′ ), altså billedrummet for (AB) ′ . Så er L et

q-dimensionalt underrum af R p , og ifølge sætning B.1 er L det ortogonale

komplement til nulrummet for AB. Vi kan derfor vælge en ortonormalbasis

e 1 , e 2 , . . . , e p for R p sådan at e 1 , e 2 , . . . , e q er en basis for L, og

resten af e-erne står vinkelret på L. Lad U 1 , U 2 , . . . , U p betegne U’s koordinater

i forhold til denne basis, altså U i = 〈U, e i 〉. Da e q+1 , e q+2 , . . . , e p

udspænder nulrummet for AB, er

p∑

q∑

ABU = AB U i e i = U i ABe i .

i=1

Ifølge korollar 6.3 er U 1 , U 2 , . . . , U p endimensionalt standardnormalfordelte;

derfor er også U 1 , U 2 , . . . , U q uafhængige endimensionalt standardnormalfordelte,

så hvis vi definerer V til at være den q-dimensionale

stokastiske variabel som består af koordinaterne U 1 , U 2 , . . . , U q , så er V

q-dimensionalt standardnormalfordelt.

Hvis vi definerer den lineære afbildning C af R q ind i R n som den

⎡ ⎤

v 1

v 2

q∑

afbildning der afbilder v = ⎢ ⎥

⎣ . ⎦ over i v i ABe i , har vi nu angivet et

i=1

v q

V og et C med de ønskede egenskaber.

Sætning 6.6 (Spaltningssætningen)

Antag at X er n-dimensionalt normalfordelt med middelværdi 0 og varians

σ 2 I. Hvis R n = L 1 ⊕ L 2 ⊕ . . . ⊕ L k er en ortogonal opspaltning

i=1

More magazines by this user
Similar magazines