Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

82 Lineære normale modeller

◦ De to estimatorer ̂µ og s 2 er stokastisk uafhængige.

F -fordelingen

F -fordelingen med f t = f tæller

og f n = f nævner frihedsgrader

er den kontinuerte fordeling på

] 0 ; +∞ [ som har tæthedsfunktion

hvor

c =

x (f t−2)/2

c

(f n + f tx) (f t+f n)/2

Γ( f t+f n

) 2

Γ( f t

2 ) Γ( fn 2 ) f f t/2

t fn fn/2 .

Vektoren y − py kaldes residualvektoren, og størrelsen ‖y − py‖ 2 residualkvadratsummen.

Tallet n − dim L er antallet af frihedsgrader for variansskønnet

og/eller residualkvadratsummen. – Man kan bestemme ̂µ af

relationen y − ̂µ ⊥ L som i realiteten er dim L lineære ligninger med lige

så mange ubekendte; disse ligninger kaldes normalligningerne (fordi de

udtrykker at y − ̂µ er normal til L).

Test af hypotese om middelværdien

Antag at der foreligger en middelværdihypotese af formen H 0 : µ ∈ L 0

hvor L 0 er et underrum af L. Ifølge sætning 7.1 er maksimaliseringsestimaterne

for µ og σ 2 1

under H 0 hhv. p 0 y og

n−dim L 0

‖y −p 0 y‖ 2 . Kvotientteststørrelsen

bliver derfor

Q = L(p 0y, 1 n ‖y − p 0y‖ 2 )

L(py, 1 n ‖y − py‖2 )

=

( ‖y − py‖

2

‖y − p 0 y‖ 2 ) n/2

.

Da L 0 ⊆ L, er py − p 0 y ∈ L, så y − py ⊥ py − p 0 y. Ifølge Pythagoras er

da ‖y − p 0 y‖ 2 = ‖y − py‖ 2 + ‖py − p 0 y‖ 2 . Ved hjælp heraf omskriver vi

Q videre:

hvor

Q =

=

=

F =

(

‖y − py‖ 2 ) n/2

‖y − py‖ 2 + ‖py − p 0 y‖ 2

(1 + ‖py − p 0y‖ 2 ) −n/2

‖y − py‖ 2

(

dim L−dim L0

1 +

n−dim L

F

) −n/2

1

dim L−dim L 0

‖py − p 0 y‖ 2

1

n−dim L

‖y − py‖2

er den teststørrelse man i praksis benytter. – Da Q er en aftagende funktion

af F , skal man forkaster for store værdier af F .

Det følger af sætning 6.6 at under H 0 er tælleren og nævneren i F -

teststørrelsen stokastisk uafhængige og χ 2 -fordelte; tælleren er χ 2 -fordelt

med skalaparameter σ 2 /(dim L−dim L 0 ) og dim L−dim L 0 frihedsgrader,

og nævneren er χ 2 -fordelt med skalaparameter σ 2 /(n − dim L) og n −

dim L frihedsgrader. Fordelingen af teststørrelsen er en F -fordeling med

dim L − dim L 0 og n − dim L frihedsgrader.

Hermed er estimations- og testproblemerne i princippet løst (og sætningerne

3.1 og 3.2 vist). Vi kan så gå over til at se hvordan det tager sig

ud i konkrete modeller.

More magazines by this user
Similar magazines