Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

7.3 Ensidet variansanalyse 85

kort skriver som

L = {ξ ∈ V : ξ ij = µ i };

mere udførligt er L mængden af vektorer ξ for hvilke der findes et talsæt

(µ 1 , µ 2 , . . . , µ k ) ∈ R k sådan at ξ ij = µ i for alle i og j. Dimensionen af L

er k (idet vi går ud fra at alle n i -erne er større end nul).

Ifølge sætning 7.1 estimeres µ ved ̂µ = py hvor p er projektionen af

V på L. For at nå frem til et mere konkret udtryk til bestemmelse af ̂µ

udnytter vi at der skal gælde at ̂µ ∈ L og y − ̂µ ⊥ L, i særdeleshed skal

y − ̂µ stå vinkelret på de k vektorer e 1 , e 2 , . . . , e k der er givet ved at

(e s ) ij = δ is : ∗

0 = 〈y − ̂µ, e s 〉 =

∑n s

j=1

(y sj − ̂µ s ) = y s − n ŝµ s ,

dvs. ̂µ i = y i /n i = y i , altså gennemsnittet i gruppe i.

Variansparameteren σ 2 estimeres ved

s 2 0 =

=

1

‖y − py‖2

n − dim L

1

k∑ ∑n i

(y ij − y

n − k

i ) 2

i=1 j=1

som har n − k frihedsgrader og er stokastisk uafhængig af ̂µ.

Hypotesen H 0 om ens grupper formuleres som H 0 : µ ∈ L 0 , hvor

L 0 = {ξ ∈ V : ξ ij = µ}

er det endimensionale underrum af vektorer hvor der står det samme

på alle pladser. Fra afsnit 7.2 ved vi at projektionen af y på L 0 er den

vektor p 0 y hvor der på alle pladser står totalgennemsnittet y = y /n .

Hypotesen testes med teststørrelsen

hvor

F =

s 2 1 =

1

dim L−dim L 0

‖py − p 0 y‖ 2

1

n−dim L ‖y − = s2 1

py‖2 s 2 0

=

=

1

‖py − p 0 y‖ 2

dim L − dim L 0

1

k∑ ∑n i

(y

k − 1

i − y) 2

1

k − 1

i=1 j=1

k∑

n i (y i − y) 2

i=1

∗ For en vektor v betegner (v) ij den i, j-te komponent i v, og δ is er Kroneckers δ,

dvs. δ is = 1 hvis i = s og 0 ellers.

More magazines by this user
Similar magazines