Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

2.1 Eksempler 7

Den simple binomialfordelingsmodel

Binomialfordelingen fremkommer som fordelingen af en sum af uafhængige

identisk fordelte 01-variable, så det vil næppe overraske at statistisk

analyse af binomialfordelte observationer minder særdeles meget om statistisk

analyse af 01-variable.

Hvis Y er binomialfordelt med (kendt) antalsparameter n og ukendt

sandsynlighedsparameter θ ∈ [ 0 ; 1 ], er modelfunktionen

( n

f(y, θ) = θ

y)

y (1 − θ) n−y

hvor (y, θ) ∈ X × Θ = {0, 1, 2, . . . , n} × [ 0 ; 1 ], og likelihoodfunktionen er

( n

L(θ) = θ

y)

y (1 − θ) n−y , θ ∈ [ 0 ; 1 ].

⊲ [Læs fortsættelsen side 22.]

Eksempel 2.2

Hvis man i eksempel 2.1 ikke interesserede sig for udfaldene af de syv enkeltforsøg,

men kun for det samlede antal 1’er, så ville situationen være den at

man havde en observation y = 4 af en binomialfordelt stokastisk variabel Y

med antalsparameter n = 7 og ukendt sandsynlighedsparameter θ. Observationsrummet

er X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} og parameterrummet er Θ = [ 0 ; 1 ].

Modelfunktionen er

!

f(y, θ) =

7 θ y (1 − θ) 7−y .

y

Likelihoodfunktionen svarende til observationen y = 4 er

!

L(θ) = 7 4

θ 4 (1 − θ) 3 , θ ∈ [ 0 ; 1 ].

θ

( 7

f(y, θ) = θ

y)

y (1 − θ) 7−y

y

Eksempel 2.3 (Rismelsbiller I)

I en del af et eksempel der omtales nærmere i afsnit 5.1, optræder 144 rismelsbiller

(Tribolium castaneum) som udsættes for en bestemt dosis af insektgiften

pyrethrum, hvorved 43 af dem dør i løbet af den fastsatte observationsperiode.

Hvis vi går ud fra at billerne er »ens« og dør eller ikke dør af giften uafhængigt

af hinanden, så kan vi tillade os at formode at antallet y = 43 er en observation

af en binomialfordelt stokastisk variabel Y der har antalsparameter n = 144

og ukendt sandsynlighedsparameter θ. Den statistiske model er da givet ved

modelfunktionen

!

144

f(y, θ) = θ y (1 − θ) 144−y , (y, θ) ∈ {0, 1, 2, . . . , 144} × [ 0 ; 1 ].

y

Likelihoodfunktionen svarende til observationen y = 43 er

!

144

L(θ) = θ 43 (1 − θ) 144−43 , θ ∈ [ 0 ; 1 ].

43

⊲ [Eksemplet fortsætter i eksempel 3.1 side 22.]

More magazines by this user
Similar magazines