Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

88 Lineære normale modeller

skal hver gruppe indeholde mindst seks observationer, eller rettere: i hver

enkelt gruppe skal variansestimatet have mindst fem frihedsgrader.

Den generelle situation tænkes at være som i k-stikprøve-situationen

(eller ensidet variansanalyse-situationen), jf. side 84, og vi ønsker altså

nu at teste antagelsen om at grupperne har samme variansparameter σ 2 .

Én måde at udlede teststørrelsen på er som følger. Antag at de k grupper

har hver sin middelværdiparameter og hver sin variansparameter, dvs.

normalfordelingen hørende til gruppe i har middelværdi µ i og varians σ 2 i .

Variansparametrene estimeres i henhold til det tidligere centralt ved

s 2 i = 1 ∑n i

(y ij − y

f i ) 2

i

j=1

hvor f i = n i − 1 er antallet af frihedsgrader for variansskønnet, og n i

er antal observationer i gruppe i. Ifølge sætning 3.1 er s 2 i gammafordelt

med formparameter f i /2 og skalaparameter sσi 2/f i. Lad os derfor se på

det statistiske problem der hedder: antag at s 2 1, s 2 2, . . . , s 2 k

er uafhængige

observationer fra gammafordelinger således at s 2 i hidrører fra gammafordelingen

med formparameter f i /2 og skalaparameter sσi 2/f i hvor f i er et

kendt tal. I denne model skal vi teste hypotesen

H 0 : σ 2 1 = σ 2 2 = . . . = σ 2 k.

For at gøre det opskriver vi likelihoodfunktionen svarende til observationerne

s 2 1, s 2 2, . . . , s 2 k

; den er

L(σ 2 1, σ 2 2, . . . , σ 2 k) =

k∏

i=1

1

(

Γ( fi

2 ) 2σ 2

i

f i

k∏

(

) (s2 fi/2 i ) fi/2−1 exp −s 2 / 2σ 2 )

i

i

f i

(

= konst · (σi 2 ) −fi/2 exp − f )

i

2 · s2 i

σ 2 i=1

i

( k

) (


= konst · (σi 2 ) −fi/2 · exp − 1 k∑

2

i=1

i=1

f i

s 2 i

σ 2 i

Maksimaliseringsestimaterne for σ 2 1, σ 2 2, . . . , σ 2 k er s2 1, s 2 2, . . . , s 2 k ; maksimaliseringsestimatet

for den fælles værdi σ 2 under H 0 findes som maksimumspunktet

for funktionen L(σ 2 , σ 2 , . . . , σ 2 ), og det er

s 2 0 = 1 f

k∑

f i s 2 i ,

altså det vægtede gennemsnit af de enkelte variansskøn idet man bruger

frihedsgradstallene som vægte.

Kvotientteststørrelsen er

i=1

Q = L(s2 1, s 2 2, . . . , s 2 k )

L(s 2 0 , s2 0 , . . . , s2 0 ) .

)

.

More magazines by this user
Similar magazines