IMFUFA-tekst 304e (Statistiknoter) - dirac

dirac.ruc.dk

IMFUFA-tekst 304e (Statistiknoter) - dirac

3.14 Nogle begreber og principper for statistisk inferens 39

3.14 Nogle begreber og principper for statistisk inferens

En statistisk model for nogle observationer er et udsagn om at observationerne

opfattes som observerede værdier af en bestemt slags stokastiske

variable, dvs. at observationerne opfattes som værende fremkommet som

tilfældige tal fra en bestemt slags sandsynlighedsfordelinger.

Parametre. I den fuldstændige angivelse af de stokastiske variables fordelinger

indgår også nogle ukendte parametre.

Modelfunktionen er sandsynlighedsfunktionen/tæthedsfunktionen opfattet

som en funktion af observationer såvel som parametre. Modelfunktionen

angiver sandsynligheden for at få et bestemt udfald når de ukendte

parametre har en bestemt værdi.

Likelihoodfunktionen svarende til et bestemt sæt observationer fremkommer

ved at man i modelfunktionen indsætter dette sæt observationer og derved

får en funktion af de ukendte parametre.

En statistisk hypotese er et udsagn om at de ukendte parametre opfylder

visse betingelser (f.eks. at nogle af dem er ens, eller lig 0, etc.).

Maksimaliseringsestimatet (under en vis hypotese) over de ukendte parametre

er den værdi af parametrene som maksimaliserer likelihoodfunktionen

eller log-likelihoodfunktionen (og som opfylder de betingelser som

hypotesen angiver).

Kvotientteststørrelsen Q for en bestemt hypotese er kvotienten mellem den

maksimale likelihoodfunktion under hypotesen og den maksimale likelihoodfunktion

under den aktuelle grundmodel.

Testsandsynligheden ε er sandsynligheden for at Q ≤ Q obs (eller −2 ln Q ≥

−2 ln Q obs ) under antagelse af den hypotese der testes.

Man kan bevise en matematisk sætning der fortæller at i visse nærmere

angivne situationer er −2 ln Q med god tilnærmelse χ 2 -fordelt med et

antal frihedsgrader der udregnes som antal frie parametre i den aktuelle

grundmodel minus antal parametre under den hypotese der testes.

Det var nu nogle matematiske definitioner og en enkelt sætning. Disse henter

deres interesse fra nogle statistiske principper (som ikke er matematiske definitioner

eller sætninger):

Likelihoodmetodens grundprincip går ud på at når man har lagt sig fast på

sin statistiske model, så gælder at al den information vedrørende de

ukendte parametre som observationerne kan give, kan man hente ud

af likelihoodfunktionen (dvs. man kan så at sige smide observationerne

væk og nøjes med at gemme likelihoodfunktionen).

More magazines by this user
Similar magazines