Afleveringsopgave 4 - dirac

dirac.ruc.dk

Afleveringsopgave 4 - dirac

Afleveringsopgave 4 Side 2 af 2

1. Gør rede for at tilfældet a = 0 giver en meridiankurve.

Antag i det følgende at a > 0; ifølge (2) er da også ˙v > 0.

2. Gør rede for at

˙u 2 = 1 − a2

f 2 . (3)

Lad os antage at ˙u > 0, dvs. ˙u = √ 1 − a 2 /f 2 .

3. Gør rede for (f.eks. ud fra (3)) at der findes ét punkt γ(t 0 ) hvor γ er tættest

på rotationsaksen (nemlig i afstanden a). Vis at ˙u(t 0 ) = 0 og ˙v(t 0 ) = 1, og

find ˙γ(t 0 ).

4. Gør rede for at f(u(t)) (altså ‖γ(t)‖) ikke er opad begrænset (idet vi går ud

fra at den geodætiske kurve er gjort så lang som mulig).

Tip: Dette er sådan set vist på side 187: Da f er surjektiv, er f opad begrænset hvis

og kun hvis u(t) er det. Antag at ū = sup u(t) < +∞; skriv f(ū) som f(ū) = a + 2ε

hvor ε er et positivt tal (som godt kan være stort!); for alle tilstrækkelig store t er

f(u(t)) ≥ f(ū)−ε = a+ε og ifølge (3) er dermed ˙u 2 = 1−a 2 /f 2 ≥ 1−a 2 /(a+ε) 2 > 0;

men når ˙u således er begrænset væk fra 0 for t → +∞, så kan u ikke være opad

begrænset. Modstrid.

5. Benyt at dv = til at vise at

du

˙v˙u

og dermed

dv

du = a

f √ f 2 − a 2 , t ≠ t 0, (4)

v(u 2 ) − v(u 1 ) =

=

∫ u2

u 1

∫ f(u2 )

f(u 1 )

a

f(u) √ f(u) 2 − a

√ 2

1 + 4s 2


s 2 − a ds 2

a

s

du

når u 1 og u 2 er valgt sådan at u(t 0 ) ikke ligger imellem dem. Vis at v(u 2 )

går mod +∞ når f(u 2 ) går mod +∞, og slut heraf at γ bevæger sig uendelig

mange gange rundt og kommer uendelig højt op på fladen.

Tip: integranden kan vurderes nedad ved en konstant gange 1/s.

Hvad sker der når u 1 → 0?

More magazines by this user
Similar magazines