Ægyptisk Matematik - dirac

dirac.ruc.dk

Ægyptisk Matematik - dirac

Ægyptisk matematik

Rapport fra kursus i

Problemorienteret projektarbejde i, om og med matematik

Afholdt af Morten Blomhøj og Tinne Hoff Kjeldsen, IMFUFA, RUC

Udarbejdet af:

Peter Wulff, Rysensteen Gymnasium, 2004

Indholdsfortegnelse

Indholdsfortegnelse......................................................................................................................1

1. Indledning og projektets overordnede udviklingssigte ........................................................2

2. Intentionerne for elevernes udbytte af forløbet....................................................................2

3. Design af forløbet.................................................................................................................4

4. Beskrivelse af forløbet – hvordan gik det ............................................................................5

5. Elevernes udbytte i forhold til intentionerne........................................................................6

6. Forløbet set i forhold til det overordnede udviklingssigte ...................................................8

7. Hvordan kan erfaringerne integreres i praksis .....................................................................8

Bilag: Forløbsbeskrivelse.................................................................................................................9

Side 1 af 10


Peter Wulff: Ægyptisk matematik Rapport fra kurset Problemorienteret projektarbejde i matematik

.

1. Indledning og projektets overordnede udviklingssigte

Dette projekt blev til i forbindelse med kurset: Problemorienteret projektarbejde i, om og med matematik,

som blev arrangeret af RUC i efteråret 2004. Formålet med projektet var, at udvikle, afholde

og evaluere et problemorienteret projektforløb i matematik i det almene gymnasium. Forløbet

blev afholdt i en 1.g-klasse i efteråret, dvs. svarende til gymnasiereformens grundforløb og der var

derfor ud over det rent matematiske også nogle studietekniske aspekter. Endelig var det aftalt med

klassens historielærer, at vi skulle forsøge noget fællesfagligt om det gamle Ægypten og deres matematik.

Forløbet blev ikke egentlig tværfagligt, hertil var vores mål (kernefaglighed) for forskellig,

men forløbet i matematik blev afholdt parallelt med et forløb i historie om det gamle Ægypten.

Jeg valgte, at udvikle et problemorienteret historisk projektforløb i matematik med paralleller til et

tilsvarende forløb i historie, som ville kunne anvendes på grundforløbet i gymnasiet efter reformens

ikrafttræden.

Personligt har jeg meget lidt erfaring med emneforløb/projektarbejde i matematikundervisningen,

og således var der også for mig som lærer tale om et udviklingsarbejde.

2. Intentionerne for elevernes udbytte af forløbet

En af intentionerne med det kommende grundforløb er at udvikle eleverne ”fra folkeskoleelev til

gymnasieelev” i løbet af det første halve år. Og dette har også langt hen ad vejen været sigtet med

dette projektforløb. Forløbet haft følgende studiekompetencer som mål for elevernes udbytte:

a. Øget bevidsthed omkring gruppearbejde, herunder gruppedagbog som værktøj

b. Øget selvstændighed

c. Forbedret mundtlig formidling

d. Erfaring med PowerPoint-præsentation

Ovenstående er led i en overordnet ”projektprogressionsplan” som anvendes på Rysensteen gymnasium.

Denne har dele af det kommende Almen studieforberedelse.

Matematiske mål: Eleverne skal:

e. Erfare at matematikken har været meget anderledes end i dag

Side 2 af 10


Peter Wulff: Ægyptisk matematik Rapport fra kurset Problemorienteret projektarbejde i matematik

.

f. Bevidstgøres om, at matematikken er resultat af en udvikling og ikke er statisk, som

den typisk fremstår

g. Blive opmærksom på at matematikken udvikles i et samspil mellem kultur og samfund.

Kommentarer til intentionerne for elevernes udbytte:

a) Gruppearbejde er en undervisningsform, som alle elever har erfaringer med fra folkeskolen. Dog

ikke altid gode erfaringer. Ved at bevidstgøre eleverne om arbejdsformens fordele og mulige faldgruber

kan udbyttet øges markant. En gruppedagbog er et redskab, der skal sikre elevernes refleksion

over gruppearbejdet. Ved at nedskrive ”lektien” sikrer dagbogen at eleverne/gruppen kommer

videre mellem møderne.

b) I matematikundervisningen er vi normalt bundet meget af det skriftlige pensum og vi kan sjældent

lade eleverne arbejde fuldstændig selvstændigt. Eleverne skal lære, at regne eksamensopgaverne

og for at opnå dette, er undervisningen typisk meget lærerstyret. Matematikkens historie skal

indgå i undervisningen, men der er ikke et krav om at bestemte opgavetyper skal kunne regnes. Det

var derfor muligt at lade grupperne arbejde meget selvstændigt, da det ikke var afgørende om alle

grupper kom lige langt. Omvendt var eleverne ikke i tvivl om, at den indsigt i ægyptisk matematik,

som de hver især opnåede, havde de selv skaffet sig. De havde selv ”brudt koden”. For netop at

fremme selvstændigheden var det vigtigt at alle grupper arbejdede med noget forskelligt.

c, d) Frem for en afsluttende rapport henvendt til mig/læreren, syntes jeg at en mundtlig fremstilling

var at foretrække. Her er det oplagt, at modtageren er en på ens eget faglige niveau, som netop ikke

har læst de sider, som gruppen fremlægger. Formidlingen bliver derved autentisk. Dette er ikke tilfældet

med rapporter, der kun læses af læreren, men har ”den uvidende elev” som teoretisk målgruppe.

Desuden indgår den mundtlige formidling i skolens progressionsplan og styrkelsen heraf er

blevet sat i gang med et egentligt retorikkursus. PowerPoint er et værktøj, som fint understøtter og

strukturerer en mundtlig fremlæggelse.

e, f) De rent matematiske mål er mindre konkrete. De handler alle sammen om at opnå nogle erkendelser

om nutidens matematik, netop ved at se på en andens tid matematik. Udviklingsperspektivet

bliver kun i ringe grad tilgodeset af dette forløb. Det samme emne blev ikke belyst i flere perioder

og udviklingen/opdagelsen af en konkret matematisk teori blev ikke præsenteret. Målet vil kunne

nås gennem flere historiske forløb i løbet af gymnasietiden, og dette projektforløb vil kunne indgå

som en del heraf.

Side 3 af 10


Peter Wulff: Ægyptisk matematik Rapport fra kurset Problemorienteret projektarbejde i matematik

.

g) Det sidste mål er hvor historieundervisningen inddrages. Ud fra en generel viden om det gamle

Ægypten og samfundsforholdene dengang kan eleverne forholde sig til, hvordan samfundsforhold

og kultur har været styrende for datidens matematik. Samtidig er historiefagets kildekritik et væsentlig

værktøj, når man skal tolke ud fra tvetydige og mangelfulde papyruser.

3. Design af forløbet

Jeg havde valgt, at lave en kort introduktion, og derefter lade eleverne arbejde i grupper med 7 forskellige

emner (kapitler). Hvert svarende til 4-6 sider fra Jesper Frandsens udmærkede bog: Ægyptisk

matematik (Systime, 1996). Som produkt skulle hver gruppe fremlægge en PowerPoint-præsentation

med gruppens svar på den overordnede problemformulering: Hvordan og hvorfor regnede

ægypterne?

Forløbet strakte sig over i alt 7 moduler, af 90 minutter hver.

1. modul var en kort introduktion til ægyptisk matematik ud fra elevernes lærebog (Carstensen og

Frandsen: Mat 1). Klassen havde haft de relevante sider for, fordoblingsmetoden for multiplikation

blev gennemgået ved tavlen, og en række opgaver fra opgavebogen blev regnet af eleverne i timen.

Eleverne havde således et fælles udgangspunkt, hvor de kendte ægypternes tal, simple regnemetoder

og var stødt på ægypternes lidt fremmede måde at formulere opgaverne på. Dette fælles udgangspunkt

var således også den viden, grupperne kunne forudsætte af hinanden ved fremlæggelserne.

Ligeledes var en introduktion nødvendig for at jeg kunne sætte en gruppe i gang med et vilkårligt

kapitel i Frandsens bog.

2.-5. modul arbejdede grupperne selv. Andet modul startede med at de fik udleveret forløbsbeskrivelse

med problemformulering, formål, produktkrav, emner med sidetal og gruppeinddelinger, se

bilaget: Forløbsbeskrivelse.

Jeg havde inddelt grupperne selv. Dels for at sikre, at der var elever i hver gruppe, der kunne magte

de sværere emner. Dels af hensyn til progressionen i gruppearbejdet, hvor det er vigtigt eleverne

arbejder sammen i mange forskellige konstellationer i de forskellige fag/forløb. Jeg havde ligeledes

valgt på forhånd, hvilket emne (hvilke sider) hver gruppe skulle arbejde med. Nogle af grupperne

havde supplerende ægyptiske regneopgaver, dvs. autentiske opgaver, inden for deres emne, men

dette gjaldt ikke alle grupper. Der var lagt op til, at disse opgaver kunne inddrages, lige som det

stod grupperne frit, at inddrage materiale fra nettet eller andre kilder. Det var ligeledes op til grupperne

selv at afgøre, hvad de ville medtage i den afsluttende præsentation. Der var dog det krav, at

Side 4 af 10


Peter Wulff: Ægyptisk matematik Rapport fra kurset Problemorienteret projektarbejde i matematik

.

grupperne skulle give et svar på den overordnede problemformulering: Hvordan og hvorfor regnede

ægypterne? Den første del, hvordan, var afgrænset af deres emne (sider), men den anden del, hvorfor,

var meget mere åben. Det var min intention, at grupperne her skulle inddrage supplerende opgaver,

andet materiale og deres viden fra historie. Dette var således et forsøg på at gøre forløbet

mere problemorienteret og mere tværfagligt.

For at tvinge eleverne til at reflektere over gruppearbejdet og for at sikre forberedelse hjemme

skulle grupperne efter hvert modul skrive en gruppedagbog, som blev lagt i Fronter. Jeg gennemlæste

og kommenterede dagbøgerne samme dag. Der var reserveret computere til klassen i 4. og 5.

modul, men der var også ledige computere at finde til de grupper, der ønskede computer før.

Der var således en høj grad af lærerstyring i oplægget, men en langt højere grad af frihed i selve

gruppearbejdet. Her var dagbøgerne og præsentationen de eneste rammer. Som lærer var min rolle

konsulentens. Jeg gik rundt til grupperne, svarede på spørgsmål og kommenterede gruppedagbøger,

men holdt mig i øvrigt bevidst i baggrunden. Det skulle være elevernes eget projekt!

De to sidste moduler (6. og 7.) var henlagt til et lokale med videokanon, så det var nemt at fremvise

PowerPoint-præsentationerne

4. Beskrivelse af forløbet – hvordan gik det

Generelt gik forløbet godt. Med det meget lærerstyrede oplæg kunne man frygte, at eleverne ikke

ville engagere sig i forløbet. Men dette synes jeg generelt de gjorde. Allerede under det første modul

kom det klassiske spørgsmål, hvorfor skal vi lære det? Og vi fik nu en god snak om delmålene

e, f og g, hvorunder klassen tilsyneladende accepterede, at historisk matematik ud over at være interessant

i sig selv kunne bidrage til et mere nuanceret syn på nutidens matematik.

Eleverne accepterede gruppeinddelinger og emner uden videre. De gik nu i gang med at læse og

prøve at forstå teksten. Dette voldte store problemer. Jeg forsøgte bevist ikke at hjælpe, men kun

opfordre dem til at dykke ned i teksten selv. Jeg tror eleverne oplevede, at her var noget, de ikke

forstod, men som de selv skulle finde ud af. De følgende moduler arbejdede grupperne videre og

frustrationen blev for de fleste efterhånden afløst af en tilfredsstillelse ved selv, at have tilegnet sig

noget, ”brudt koden”.

Udarbejdelsen af PowerPoint-præsentationerne gik godt. Det viste sig, at der i alle grupper var nogen,

der allerede kendte programmet. Min opgave var primært at betone, at formidlingen skulle

være i fokus frem for alle mulige smarte effekter.

Side 5 af 10


Peter Wulff: Ægyptisk matematik Rapport fra kurset Problemorienteret projektarbejde i matematik

.

5. Elevernes udbytte i forhold til intentionerne

Nedenstående punkter svarer til inddelingen i afsnit 2 om projektforløbets mål.

a) Elevernes arbejde i grupperne forløb uden problemer (konflikter), men eleverne tog ikke

gruppedagbogen til sig. Den var en sur pligt, som flere grupper undlod, og som ikke indeholdt

andet end banaliteter som: ”I dag arbejdede vi godt og vi aftalte at arbejde videre

hjemme”. Det kræver meget instruktion, motivation og øvelse, at få eleverne til at blive bevidste

om gruppearbejdet og kunne reflektere over dette i en gruppedagbog. Og når man

samtidig har et matematikfagligt sigte, prioriteres arbejdet med gruppearbejdet ikke så højt,

som er nødvendigt, hvis det virkeligt skal lykkes. Men et lille skub i den rigtige retning har

eleverne da fået, så hvis alle fag skubber på, lykkes det nok til sidst. I kommende projektarbejder

vil jeg gøre meget mere ud af at introducere formålet med dagbogen, stille flere krav

til, hvad den skal indeholde og give eksempler på, hvad der kan stå i den.

b) Eleverne arbejdede selvstændigt med deres emner. De tog emnerne til sig, påtog sig ansvaret

for at få forstået teksten og formidle den. Jeg optrådte kun som konsulent, ikke som indpisker.

Eleverne gav udtryk for, at det var en tilfredsstillelse selv at have tilegnet sig et matematisk

emne, uden at læreren havde gennemgået det.

c) Elevoplæggene var generelt svære at forstå. Grupperne havde tydeligvis hver især fået en

forståelse af deres emner, men når de formidlede det, kunne de ikke sætte sig ned på de andres

niveau. Det blev for indforstået, hvilket nok er et udtryk for at deres forståelse var overfladisk.

Klassen var dog gode til at spørge, og få gentaget nogle af forklaringerne i et langsommere

tempo. Generelt var oplæggene kortere end der var lagt op til (knap 10 min, frem

for 15-20 min.), hvilket jeg påpegede over for grupperne. Det er mit håb, at eleverne har lært

at formidling er svært og kræver forberedelse. Det skal foregå på et lavere niveau og i et

langsommere tempo, end man tror. Dette burde de have lært, ved dels selv at prøve og dels

ved at opleve, hvor svært de andre grupper havde ved at formidle deres emner, så det var til

at forstå.

d) PowerPoint-præsentationerne var generelt udmærkede, men med for spraglede baggrunde og

for mange effekter. Typiske begynderfejl. De virkede dog alle fint som disposition for oplæggene

og støtte for tilhørerne. Præsentationerne blev gemt og kan derfor anvendes af eleverne

som repetition før en eksamen. Til at begynde med, var nogle elever imod, at skulle

lære et nyt program, men efterfølgende var alle enige om, at præsentationerne havde været

Side 6 af 10


Peter Wulff: Ægyptisk matematik Rapport fra kurset Problemorienteret projektarbejde i matematik

.

bedre, end hvis tavlen havde været brugt. Desuden var den elementære brug af PowerPoint

hurtigt lært.

e) Mange elever gav udtryk for en undren over, hvor ”dumme” ægypterne var. Hvorfor brugte

de kun stambrøker? Hvorfor skulle et tal udtrykkes som en sum af forskellige stambrøker?

Omvendt var metoderne meget svære at forstå, dvs. temmelig avancerede, så på den måde

var de jo ikke ”dumme”. Jeg tror mange elever fik en erkendelse af, at matematik ikke altid

har været som i dag, men derimod er resultat af en langvarig udvikling, hvor mange ting er

blevet forenklet med tiden. Efter projektarbejde har jeg i den almindelige undervisning flere

gange fået historiske spørgsmål: ”Hvornår fandt man på det?, Hvad blev udviklet først?

osv”. Selv om jeg også tidligere har inddraget historiske aspekter i min undervisning, har

dette projektforløb helt klart givet en større historisk bevidsthed, end jeg tidligere har set.

f) Den matematiske udvikling blev kun illustreret som to statiske punkter (ægypterne og nu).

En egentlig udvikling fremgik ikke. Men projektet har lavet en historisk ramme, som f.eks.

et forløb om differentialregningens opdagelse/udvikling kan fylde ud. Men at matematikken

har udviklet sig og gjort fremskridt var klart. Dette blev også tydeligt ved at eleverne hele

tiden omskrev fra ægyptisk notation til nutidig notation med x’er, formler mm. Efter en

gennemgang af en ægyptisk udregning kom bemærkningen: ”Men det svarer jo bare til …”

hvorefter der fulgte en nutidig ligningsløsning. Det var således inspirerende at se, hvordan

eleverne, der normalt virker lidt fremmedgjorte over for x’er og ligninger, havde taget disse

til sig og pludselig opfattede ligninger som en nem måde at løse problemer på. Det blev således

klart for eleverne, at moderne notation gør udregningerne meget nemmere end de ellers

kunne være.

g) Sammenkædningen med historiefaget forløb ikke så godt. Eleverne havde svært ved at forholde

sig til ”hvorfor-delen” af problemformuleringen. Nogle opgaver var meget konkrete,

men generelt havde eleverne svært ved at forholde sig til formålet med udregningerne. Selv

udregningen af rumfanget af en pyramidestub kunne de ikke umiddelbart se anvendelsen af!

Historieundervisningen, der mere handlede om religion, dynastier mm. end om dagligdagen,

gav heller ikke baggrund for at forholde sig til skriverens hverdag og arbejdsopgaver. Desuden

lykkedes det ikke eleverne at finde andet supplerende materiale, end svarende til bogens

udregninger og papyruser. Jeg føler således, at denne sidste del af forløbet, som netop

skulle være den mere frie og problemorienterede faldt til jorden. Samtidig er det endnu en

Side 7 af 10


Peter Wulff: Ægyptisk matematik Rapport fra kurset Problemorienteret projektarbejde i matematik

.

gang blevet bekræftet, at tværfagligt samarbejde kræver meget mere end lidt løs snak hen

over frokostbordet. Skal 2 fag mødes og drage fordel af hinanden, kræver det et stort forarbejde.

Ellers bliver det bare parallellæsning.

6. Forløbet set i forhold til det overordnede udviklingssigte

Det overordnede mål, om at udvikle et stykke problemorienteret projektarbejde i matematik, mener

jeg er lykkedes. Det har været et meget lærerstyret projektarbejde, men eleverne har engageret sig i

problemet alligevel. Jeg var den eneste på kurset, der valgte at lave et historisk forløb frem for et

modelforløb, selv om de var vægtet lige højt på kurset. Dette skyldes nok problemer med at finde

egnede tekster, der på den ene side er på et passende niveau og samtidig ikke så gennemarbejdede,

at autenticiteten forsvinder. Originale kilder bliver desværre typisk for svære, specielt i 1.g.

Jeg mener, at eleverne har haft stort udbytte af at arbejde med ægyptisk matematik, netop som mere

selvstændigt projektarbejde. Emnet har passet godt til niveauet i 1.g.

7. Hvordan kan erfaringerne integreres i praksis

Gymnasiereformen kræver at vi laver fællesfaglige forløb. Men emnerne for disse skal ikke ligge

perifert for fagene, men derimod i fagenes kerneområder. Dette projekt har vist nogle af problemerne

herved. At opnå synergieffekten og samtidig bevare kernefagligheden er svært og kræver

meget planlægning og nøje udvalgte emner og materialer. Og et gensidigt kendskab til hinandens

fag. Desværre var ingen af delene i tilstrækkelig høj grad tilstede ved planlægningen af dette forløb.

Det historiske aspekt i matematikundervisningen er bevaret efter reformen, og jeg mener i høj grad

med rette. Jeg har oplevet at eleverne gennem dette projektarbejde har fået en mere reflekteret og

moden tilgang til matematikken end før forløbet. Matematik er ikke bare noget der er, men noget

der er udviklet og som man kan forholde sig til. Den selvstændighed projektet gav dem, har de

overført på de efterfølgende emner. Andre af klassens lærere har oplevet tilsvarende i deres fag, så

jeg er overbevist om, at dette projektarbejde har været med til, at føre eleverne ”fra folkeskoleelev

til gymnasieelev”.

Side 8 af 10


Peter Wulff: Ægyptisk matematik Rapport fra kurset Problemorienteret projektarbejde i matematik

.

Bilag: Forløbsbeskrivelse

Ægyptisk Matematik

I skal de næste 4 moduler (27/10, 1/11 4/11 og 5/11) arbejde i grupper med følgende overordnede

problem:

Hvordan og hvorfor regnede ægypterne?

Formålet med forløbet er, at I skal:

• prøve at sætte jer ind i noget matematik på egen hånd

• se, at matematikken ikke er statisk, men har udviklet sig gennem århundrederne

• erfare, at matematik kan være meget anderledes end i dag

• opdage, at matematikken udvikles i et samspil med kulturen og samfundet

Hver gruppe tildeles et delemne (nogle sider fra en bogen: Ægyptisk matematik af Jesper Frandsen,

Systime, 1996) som I skal læse og forstå. Herefter kan I supplere med løsning af opgaver eller anden

litteratur. I skal søge at besvare det overordnede problem, hvordan og hvorfor regnede ægypterne,

ud fra jeres delemne og inddrage hvad I har lært i historie.

Produktkrav:

1. Hver gruppe fremlægges mundtligt for klassen 9. og 10. november. Alle gruppens medlemmer

deltager i fremlæggelsen (husk retorikken). Til fremlæggelsen skal gruppen have lavet

en PowerPoint-præsentation (PPP), der understøtter fremlæggelsen. Jeres PPP lægges i

Fronter, og skal senere kunne bruges som støtte for en repetition.

2. Hver dag føres en gruppedagbog i gruppe-mappen i Fronter, der beskriver, hvad der er foregået

i det enkelte modul og hvilke aftaler gruppen har til næste gang. Desuden anføres hvis

Side 9 af 10


Peter Wulff: Ægyptisk matematik Rapport fra kurset Problemorienteret projektarbejde i matematik

.

gruppen ønsker min hjælp til noget specielt næste gang. Jeg læser og kommenterer dagbøgerne

samme dag efter klokken 20.

3. Efter fremlæggelsen laver gruppen en kort evaluering af gruppens arbejdsproces, der også

lægges i Fronter-mappen.

Praktisk:

Frontermappen: 1z (lærere+elever) / Projekter / Andre projekter / Ægyptisk matematik

I har også datalokalet til rådighed 4/11 og 5/11.

Grupper og sidetal

1. Division, brøkregning og de røde hjælpetal: s. 23-27 + opgaverne 309-316; 4 navne

2. Pesu (brød/øl-mål): s. 38-41 + opgaverne 501-505; 4 navne

3. Ligninger (komplettering og regula falsi): s. 44-51 + opgaverne 601-607; 4 navne

4. Arealbestemmelse: s. 62-67; 4 navne

5. Cirklen og π: s. 67-73; 4 navne

6. Rumfang af pyramidestub: s. 75-79; 4 navne

7. Rumfang af cylinder eller halvkugle: s. 79-83; 4 navne

Side 10 af 10

More magazines by this user
Similar magazines