ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ - Nemertes

Κεφάλαιο 2: Προβολική Γεωμετρία
σημεία του ίδιου επιπέδου. Έτσι η γενική μορφή του affine μετασχηματισμού δίνεται από τον
πίνακα:
Ο πίνακας αυτός έχει 12 βαθμούς ελευθερίας και είναι ορισμένος ως προς μια πολλαπλασιαστική
σταθερά. Ο μετασχηματισμός αυτός επιφέρει μετατόπιση ( translation), περιστροφή ( rotation),
κλιμάκωση (scaling) και στρέβλωση (shearing) των αξόνων. Οι invariants που δεν διατηρούνται
είναι το μήκος, η γωνία, ο λόγος των μηκών, η θέση και ο προσανατολισμός.
Γ) Μετρικό επίπεδο (stratum)
Το μετρικό επίπεδο σχετίζεται με την ομάδα μετασχηματισμών ομοιότητας. Οι
μετασχηματισμοί αυτοί επιφέρουν μετατόπιση, περιστροφή και κλιμάκωση. Μπορούν να
εκφραστούν ως , όπου R πίνακας περιστροφής, t διάνυσμα μετατόπισης και s
οποιοσδήποτε συντελεστής κλιμάκωσης (μεγέθυνσης/σμίκρυνσης ). Από την εξίσωση αυτή δεν
επηρεάζονται οι γωνίες και οι λόγοι των μηκών αλλά αλλάζουν η θέση, ο προσανατολισμός και το
μήκος. Ο μετασχηματισμός, χρησιμοποιώντας ομογενείς συντεταγμένες, δίνεται από τον πίνακα:
Είναι και αυτός ορισμένος ως προς μια πολλαπλασιαστική σταθερά. Ο Τ Μ έχει 7 βαθμούς
ελευθερίας. Το συγκεκριμένο επίπεδο είναι και το πιο σημαντικό στα πλαίσια αυτής της εργασίας
λόγω της ‘αρχής της αβεβαιότητας’. Από τη στιγμή που δεν είμαστε σε θέση να γνωρίζουμε αν οι
εικόνες που εξετάζουμε απεικονίζουν ένα μεγάλο αντικείμενο σε μεγάλη απόσταση ή ένα μικρό
αντικείμενο σε μικρή απόσταση, το μετρικό επίπεδο είναι το υψηλότερο επίπεδο αναπαράστασης
που μπορούμε να έχουμε.
Δ) Ευκλείδειο επίπεδο (stratum)
Το ευκλείδειο επίπεδο είναι το πιο δομημένο από όλα και κατ’ επέκταση αυτό που μας δίνει
τις περισσότερες πληροφορίες. Ο ευκλείδειος μετασχηματισμός επιφέρει μία μετατόπιση και μία
περιστροφή και μπορεί να παρασταθεί με την εξίσωση ,
όπου R ο πίνακας περιστροφής
και t διάνυσμα μετατόπισης. Ο μετασχηματισμός αυτός δεν επηρεάζει καμία invariant, παρά
μόνο τη θέση και τον προσανατολισμό. Ο πίνακας για τους μετασχηματισμούς αυτούς είναι ο εξής:
9