Sammensætning af regnearterne - supplerende ... - VUC Aarhus

laerer.vucaarhus.dk

Sammensætning af regnearterne - supplerende ... - VUC Aarhus

Matematik på AVU

Eksemplet til niveau F, E og D

Sammensætning af regnearterne - supplerende eksempler

Potenser ....................................................................................... 24 b

Rødder ......................................................................................... 24 d

10-tals-potenser ........................................................................... 24 e

Sammensætning af regnearterne

Side 24a


Matematik på AVU

Eksemplet til niveau F, E og D

Potenser

Der findes nogle specielle regneregler for potenser.

De er vist her til højre.

Reglerne ser indviklede ud, men hvis man afprøver

dem på almindelige tal, så er de meget logiske.

I:

II:

III:

a

a

a

a

m

m

n

n

⋅ a

n

= a

⋅ b

n

= a

m−n

m+

n

= (a⋅

b)

n

IV:

V:

a

b

(a

n

n

m

⎛ a ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ b ⎠

)

n

= a

n

m⋅n

Eksempler på opgaver

Skriv på kortere form:

2 6 3

6 ⋅ 2

6

5

6 3 3

4 ⋅ 5

Man får iflg. regel I:

2 3 2+

3

6 ⋅ 6 = 6 =

Men man kan også skrive:

6

2

⋅ 6

3

6

= 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6

og det er naturligvis

5

5

6

Man får iflg. regel II:

6

6

5

2

= 6

5−2

= 6

Men man kan også skrive:

6

6

5

2

6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6

=

6 ⋅ 6

Ved at forkorte får man

3

3

6

Man får iflg. regel III:

3 3

3

4 ⋅ 5 = (4 ⋅ 5) =

20

Men man kan også skrive:

4

3

⋅ 5

3

= 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 5⋅

5⋅

5 =

4 ⋅ 5⋅

4 ⋅5

⋅ 4 ⋅ 5 = 20 ⋅ 20 ⋅ 20

og det er naturligvis

3

20

3

Eksempler på opgaver

Skriv på kortere form:

4

6 2 3

(4 )

4

2

Man får iflg. regel IV:

6

2

4

4

⎛ 6 ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ 2 ⎠

4

= 3

Men man kan også skrive:

6

2

4

4

4

6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6

= =

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2

og det er naturligvis

6

2

4

3


6

2


6

2


6

2

= 3⋅3⋅

3⋅3

Man får iflg. regel V:

2 3 2⋅3

( 4 ) = 4 =

Men man kan også skrive:

(4

2

)

3

= 4

2

⋅ 4

2

4

6

⋅ 4

og det er naturligvis

2

6

4

= 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4

I eksemplerne på denne side bliver man ikke bedt om at omregne de viste potenser

til "almindelige" tal, men det kan let gøres på regnemaskinen.

Sammensætning af regnearterne

Side 24b


Matematik på AVU

Eksemplet til niveau F, E og D

Når man skriver en potens, kalder man det lille tal eksponenten.

Selv om det lyder spøjst, kan en eksponent godt være negativ.

Man definerer en negativ eksponent som vist til højre.

4

1 1

6 − betyder derfor det samme som

4 eller .

6 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6

4

Men skrive-måden 6 − fylder mindre end de andre.

På regnemaskinen trykkes: 6 ^ (-) 4 = eller på ældre modeller 6 y x 4 +/- =

Resultater bliver (naturligvis) et meget lille tal. Man får: 0,0007716…

−n

a =

1

n

a

Man definerer også, at et tal opløftet til nulte potens altid giver en.

Det betyder, at 2 0 = 1 og 117 0 = 1 og 1.000.000 0 = 1 og…..

De regneregler for potenser, som stod øverst på forrige side,

gælder også, hvis en eller flere af eksponenterne er negative tal eller nul.

a 0 = 1

for alle a

Eksempler på opgaver

Skriv på kortere form:

5 6 -2 6 ⋅

3 6 0 6 ⋅

2

(4 )

-3

Man får iflg. regel I:

5 −2

5−2

6 ⋅ 6 = 6 =

Men man kan også skrive:

5 −2

1

6 ⋅ 6 = 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅

6 ⋅ 6

6

Ved at forkorte får man

3

3

6

5

5 −2

6

Bemærk også at 6 ⋅ 6 =

2

6

Man får iflg. regel II:

3 0 3+

0

6 ⋅ 6 = 6 =

Men man kan også skrive:

6

3

⋅ 6

0

og det er naturligvis

6

= 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅1

= 6 ⋅ 6 ⋅ 6

3

3

6

Man får iflg. regel V:

(4

)

3 −2

= 4

3 ⋅(-2)

= 4

−6

Men man kan også skrive:

3 −2

1

( 4 ) = =

3 2

(4 )

1

4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4

og det er naturligvis

6

4 −

Til sidst skal nævnes at eksponenten også kan være et decimaltal eller en brøk.

2

2,5

3

Det er indviklet at forklare, hvad der helt præcis menes med regneudtryk som 3 eller 4 .

Du kan evt. læse mere andre steder.

Men du skal prøve at indtaste nogle potenser

med decimal-eksponent på regnemaskinen.

Du skal kontrollere tallene i tabellen.


1,9

3

2

3

2,1

3

2,2

3 …

… 8,06.. 9 10,04.. 11,21.. …

Det er dog vigtigt, at du er opmærksom på reglen om sammenhæng mellem potenser og rødder

(se næste side). Altså at

a

1

2

0,5

= a = a ,

1

1

3 3

a =

4

a osv. Fx er 16

0,25

16

4

= 16 = 2

= .

Sammensætning af regnearterne

Side 24c


Matematik på AVU

Eksemplet til niveau F, E og D

Rødder

Rødder er det modsatte af potenser.

Hvis man skriver 4 625 så mener man det tal, som opløftet til 4. potens giver 625.

Man siger den 4. rod af 625, og resultatet er 5, fordi 5 4 = 625

På regnemaskinen trykkes: 4 x √ 625 = eller (på ældre modeller): 625 INV y x 4 =

Eksempler på opgaver

Udregn:

6 3.011

5

- 2.548

4

0,0016

Man får:

6 3.011 = 3,8 (afrundet)

fordi 3,8

6 ≈ 3. 011

6

Bemærk at (−3,8)

også er 3.011.

Men 6 3 . 011 betyder normalt

det positive af tallene.

Man får:

− 2.548 = 4,8 (afrundet)

5


5

fordi ( − 4,8) ≈ −2.

548

Bemærk at man godt kan tage

en ulige rod af et negativt tal.

Men ikke en lige rod!

Man får:

4

0,0016 =

0,2

Bemærk at når man tager

en rod af et tal, der er mindre

end en, så bliver resultatet

større end start-tallet.

Der findes også specielle regneregler for rødder.

De minder om reglerne for potenser.

Reglerne for kvadratrødder (til venstre) er reelt

kun specielle eksempler på reglerne til højre.

Reglerne er meget logiske, hvis man afprøver dem

på almindelige tal.

n n n

a ⋅ b = a⋅

b a ⋅ b = a ⋅ b

n

a a a = = n

b b

n

b

a

b

Der findes også en særlig sammenhæng mellem potenser og rødder.

Denne sammenhæng kan nogle gange bruges i beregninger.

Fx hvis man skal beregne rødder i et regneark.

n

a = a

1

n

Eksempler på opgaver

Skriv på kortere form:

4 ⋅

Man får:

25

4 ⋅ 25 = 4 ⋅ 25 =

100

Kontroller selv, at resultatet bliver det samme

uanset hvilken skrive-måde, man vælger.

Udregn:

3 512

Beregningen kan indtastes som vist øverst,

1

3 3

men man kan også udnytte, at 512 = 512

og indtaste 512 ^ ( 1 / 3 ) =

Man får: 3 3

512 = 512 = 8

1

Sammensætning af regnearterne

Side 24d


Matematik på AVU

Eksemplet til niveau F, E og D

10-tals-potenser

Man skriver nogle gange meget store og meget små tal med brug af 10-tals-potenser.

Eksempler på opgaver

Skriv som almindelige tal:

8

6 ⋅ 10

12

4,25 ⋅ 10

-6

2 ⋅ 10

Man får:

6 ⋅10

8

=

6 ⋅10

⋅10

⋅10

⋅.......

⋅10

=

6 ⋅100.000.000.

=

600.000.000

Der tilføjes i alt 8 nuller,

8

fordi der ganges med 10 .

Et nul for hver gang man

ganger med 10.

Man får:

4,25 ⋅10

12

=

4,25 ⋅10

⋅10

⋅10

⋅.......

⋅10

=

4,25 ⋅1.000.000.000.000.

=

4.250.000.000.000

Kommaet rykkes 2 pladser til

højre, og der tilføjes 10 nuller.

I alt 12 ændringer fordi der

12

ganges med10 .

Tænk først på at:

−6

1

10 =

6

10

=

Derfor får man at:

2 ⋅10

−6

=

2

1.000.000

1

1.000.000

= 0,000002

Det usynlige komma efter 2

rykkes 6 pladser til venstre,

fordi omregningen svarer til

6 gange at dividere med 10.

Især det midterste eksempel giver en god fornemmelse af, at man kan spare plads ved at

bruge 10-tals-potenser. Skrive-måden bruges bl.a. inden for videnskaber som fysik og kemi.

Når man bruger denne skrive-måde, er det meget vigtigt at huske reglerne for, hvorledes man

ganger og dividerer et tal med 10, 100 osv. Husk at:

- man ganger et tal med 10, 100 osv. ved at flytte kommaet til højre og/eller tilføje nuller.

- man dividerer et tal med 10, 100 osv. ved at fjerne nuller og/eller flytte kommaet til venstre.

Eksempel på opgave

8 7

Udregn: 4 ⋅ 10 ⋅ 6 ⋅10

Selv om opgaven ser indviklet ud, kan den godt regnes uden brug af regnemaskine:

8 7

8 7

8+

7

15

4 ⋅10

⋅ 6 ⋅10

= 4 ⋅ 6 ⋅10

⋅10

= 24 ⋅10

= 24 ⋅10

= 2,4 ⋅

Den sidste omskrivning - fra

15

24 ⋅ 10 til

at skrive disse tal med netop et ciffer foran kommaet.

10

16

16

2,4

⋅ 10 - er udelukkende fordi, der er tradition for

Hvis du skal bruge regnemaskine, kan du naturligvis bruge potens-knappen: ^ eller y x

Men regnemaskinen har også en særlig 10-tals-potens-knap. Bed din lærer om hjælp.

Sammensætning af regnearterne

Side 24e

More magazines by this user
Similar magazines