Projekt - Institut for Matematik og Datalogi - Syddansk Universitet

www1.imada.sdu.dk

Projekt - Institut for Matematik og Datalogi - Syddansk Universitet

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI

SYDDANSK UNIVERSITET

MM502—Calculus II Projekt

Forår 2008

Opgaverne er stillet mandag d. 18. februar 2008 af Hans Jørgen Munkholm.

Instruktorerne må yde hjælp på et generelt plan, men hjælpen må ikke omfatte de fakto

besvarelse af konkrete spørgmål fra opgaverne. I stedet opfordres instruktorerne til at

hjælpe ved at vise, hvordan beslægtede opgaver kan løses.

Besvarelserne indleveres til instruktoren senest d. 3. marts. Det præcise indleveringssted

aftales på det enkelte eksaminatoriehold.

Hvert enkelt ark, du afleverer, skal være klart mærket med nummeret på dit

eksaminatoriehold og med dit CPR-nummer. For at maksimere sikkerheden bør

arkene enten staples sammen eller samles i en folder.

Ved bedømmelsen lægges der ikke alene vægt på, at resultaterne er rigtige. Top-point fås

kun, hvis argumenterne og den sproglige fremstilling også er i orden.

Bedømmelsen udtrykkes ved et pointtal mellem 0 og 20 (fordelt som angivet på de enkelte

opgaver).

Den skriftlige eksamen (i marts 2008) vurderes tilsvarende med et pointtal mellem 0 og 80.

Udgangspunktet for fastsættelsen af den endelige karakter i kurset er herefter det samlede

pointtal (mellem 0 og 100). Den endelige karakter er dog ikke entydigt bestemt af

pointtallet. Et helhedsindtryk af præstationerne inddrages også.


Opgave 1 (5 point)

Betragt funktionen g(x, y) = xy sin(2x − 3y) og punktet (a, b) = (3, 2).

1. Bestem gradienten for g(x, y) i punktet (a, b).

2. Find ligningen for tangentplanen for g(x, y) svarende til punktet (a, b).

3. Bestem den( retningsafledede )

af g(x, y) i punktet (a, b) og retningen bestemt af vektoren

w = . 12

−5

4. Lad nu u være en enhedsvektor, for hvilken der gælder D u g(a, b) = −|∇g(a,b)|

2

.

Bestem vinklen mellem vektorerne u og ∇g(a, b), angivet i grader. 1

Opgave 2 (5 point)

En funktion er givet ved forskriften h(x, y) = x 3 y 2 e − 3x2 +y 4

2 .

1. Find samtlige kritiske punkter for h(x, y).

2. Bestem arten af hvert af de kritiske punkter.

NB: Spørgsmålet gælder også de eventuelle punkter, hvor bemærkningen øverst side

712 i Adams’ bog ikke giver svaret.

3. Tegn et passende antal niveaukurver for funktionen h(x, y) (f.eks. ved at bruge Maple)

og marker de kritiske punkter på figuren.

4. Angiv tangentplanens ligning og en parameterfremstilling for normallinjen i hvert af

de kritiske punkter.

Opgave 3 [Marts, 2007, nr. 3] (3 point)

Vi har to funktioner f, g : R 2 → R 2 , hvor f er givet ved udtrykket

( ) y sin(x)

f(x, y) =

,

x cos(y)

og hvor Jacobimatricen for g i punktet (0, 0) er givet ved

( ) 2 3

Dg(0, 0) = .

−1 2

Benyt disse oplysninger til at bestemme Jacobimatricen D(g ◦ f)(0, 0) for den sammensatte

funktion g ◦ f : R 2 → R 2 i punktet (0, 0).

1 I dette spørgsmål var der en trykfejl/tanketorsk indtil kl. 09:20 mandag d. 18. februar. Spørgsmålet

kan godt regnes med trykfejlen, så begge udgaver vil blive accepteret. Den nuværende udgave er den

letteste/pæneste

2


Opgave 4 [Marts 2006, nr. 3, med et ekstra spørgsmål] (4 point)

Et område i planen R 2 er givet ved

D = {(x, y) | x 2 + y 2 ≤ 4, 0 ≤ x ≤ y},

og et område V i rummet er givet ved

V = {(x, y, z) | (x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ x(x 2 + y 2 )}.

1. Skitser D på en tegning, og beskriv D i polære koordinater.

2. Bestem voluminet af V .

3. Udregn dobbeltintegralet ∫∫ y dA. D

Opgave 5 (3 point)

Vi betragter to kopier af R 3 . I den første kopi kaldes koordinaterne r, u, v, og i den anden

x, y, z. Vi definerer S: R 3 → R 3 ved forskriften

⎛ ⎞ ⎛


x r sin(u) cos(v)

S(r, u, v) = ⎝y⎠ = ⎝r sin(u) sin(v) ⎠ .

z r cos(u)

1. Beregn Jacobimatricen ⎛



∂x

∂r

∂y

∂r

∂z

∂r

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z

∂u

∂x

∂v

∂y

∂v

∂z

∂v



⎠ .

2. Beregn determinanten af Jacobimatricen som funktion af r, u, v.

3

More magazines by this user
Similar magazines