14.02.2015 Views

Lektion 2

Lektion 2

Lektion 2

SHOW MORE
SHOW LESS

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.

Funktionsundersøgelse<br />

<strong>Lektion</strong> 1: Intro til lodrette asymptoter og grænseværdi<br />

Polynomiumsbrøk<br />

En polynomiumsbrøk er en funktion, hvis forskrift kan skrives som en brøk med et polynomium i tælleren<br />

og et polynomium i nævneren. Eksempel:<br />

2<br />

x − 5x<br />

+ 6<br />

f ( x)<br />

=<br />

Husk:<br />

2x<br />

+ 4<br />

Brøk =<br />

tæller<br />

nævner<br />

2<br />

Her består tælleren af: t ( x)<br />

= x − 5x<br />

+ 6 , hvilket er et andengradspolynomium, og nævneren<br />

består af: n ( x)<br />

= 2x<br />

+ 4 , hvilket er et førstegradspolynomium.<br />

Funktionens definitionsmængde: Dm(f) = R\{‐2} (Husk at nævneren aldrig må være 0)<br />

Definitionsmængden findes ved at sætte nævnerpolynomiet lig nul: 2x + 4 = 0 ↔ x = ‐2<br />

Når vi skal tegne grafen, ved vi nu, at x ALDRIG kan antage værdien ‐2, og at der derfor må være et ”hul” i<br />

grafen ved værdien x = ‐2.<br />

Funktionens nulpunkter er (x, y) = (2, 0) og (x, y) = (3, 0)<br />

2<br />

Nulpunkterne findes ved at sætte tællerpolynomiet lig nul: x − 5x<br />

+ 6 = 0 ↔ x=2 eller x=3<br />

Andengradsligningen løses enten i hånden vha. determinanten eller ved at bruge ”solve‐funktionen” på<br />

lommeregneren: SKRIV ”solve(x 2 ‐5x+6=0,x)”<br />

Nulpunkterne angiver, hvor grafen skærer x‐aksen. Vi har nu 3 ”fix‐punkter”, som vi kan bruge til at tegne<br />

grafen. Vi vil nu undersøge funktionsværdiens fortegn før, imellem og efter disse fix‐punkter. På en tallinje<br />

ser det således ud:<br />

Vi vil gerne kende fortegnet på f(x)(dvs. om grafen befinder sig over eller under x‐aksen). Det nemmeste er<br />

at gemme funktionen i lommeregneren: SKRIV: (x 2 ‐5x+6 )/(2x+4) STO ALPHA f(x). Så skulle der gerne på<br />

skærmen stå ”done”. SKRIV fx: f(‐3) ENTER, f(0) ENTER osv.<br />

x ‐3 0 2,5 4<br />

f(x) ‐15 3/2 ‐0,028 1/6<br />

<strong>Lektion</strong> 1: Efteråret 2011, LØJ Side 1


Funktionens fortegnsvariation ser således ud:<br />

Fortegnsvariationen fortæller os, at grafen for funktionen befinder sig under x‐aksen når x


Vi skal undersøge, hvad der sker med funktionsværdien når vi går uendeligt tæt på ‐2 enten fra minussiden<br />

eller fra plussiden. Først lader vi x →‐2 ‐ . Brug lommeregneren f(‐2,1) osv.<br />

x ‐2,1 ‐2,01 ‐2,001 ‐2,0001<br />

f(x) ‐104,6 ‐1.004,5 ‐10.004,5 ‐100.005<br />

Der er vist ingen tvivl om, at f(x)→‐ ∞ for x →‐2 ‐ . Så lader vi x →‐2 + .<br />

x ‐1,9 ‐1,99 ‐1,999 ‐1,9999<br />

f(x) 95,6 995,5 9.995,5 99.995,5<br />

Der er vist ingen tvivl om, at f(x)→ ∞ for x →‐2 + .<br />

Man siger, at grænseværdien for funktionen går imod uendelig for x gående mod ‐2 fra plussiden. Dette<br />

skrives således:<br />

f ( x)<br />

= ∞ , hvor lim står for limes, der betyder grænse.<br />

Sætning<br />

lim<br />

+<br />

x→−2<br />

Lad f være en polynomiumsbrøk og x 0 et tal.<br />

Hvis x 0 er rod i nævnerpolynomiet, men ikke rod i tællerpolynomiet,<br />

så er linjen med ligningen x = x 0 lodret asymptote for grafen for f.<br />

OPGAVER<br />

1. Bestem definitionsmængde, nulpunkter og fortegnsvariation for funktionen:<br />

x − 3<br />

f ( x)<br />

= x + 2<br />

2. Bestem definitionsmængde, nulpunkter og fortegnsvariation for funktionen:<br />

x + 4<br />

f ( x)<br />

=<br />

x 2 − 4<br />

Undersøg derefter om funktionen har en eller flere lodrette asymptoter.<br />

lim<br />

Angiv grænseværdierne: f ( x)<br />

+<br />

x→−2<br />

lim<br />

Og f ( x)<br />

+<br />

x→2<br />

lim<br />

−<br />

x→−2<br />

lim<br />

−<br />

x→2<br />

f ( x)<br />

f ( x)<br />

Tegn (skitser) grafen.<br />

<strong>Lektion</strong> 1: Efteråret 2011, LØJ Side 3


3. Bestem definitionsmængde for funktionen:<br />

x + 2<br />

f ( x)<br />

=<br />

x 2 − 4<br />

lim<br />

Angiv grænseværdierne: f ( x)<br />

+<br />

x→−2<br />

lim<br />

+<br />

x→2<br />

f ( x)<br />

Hvorfor adskiller grænseværdierne sig fra opgave 2<br />

4. Bestem definitionsmængde, nulpunkter og fortegnsvariation for funktionen:<br />

f ( x)<br />

=<br />

− x<br />

x<br />

2 +<br />

9<br />

Undersøg derefter om funktionen har en eller flere lodrette asymptoter.<br />

lim<br />

Angiv grænseværdierne: f ( x)<br />

+<br />

x→0<br />

lim<br />

−<br />

x→0<br />

f ( x)<br />

Tegn (skitser) grafen.<br />

5. Angiv en ligning for den/de lodrette asymptoter til grafen for hver af nedenstående<br />

polynomiumsbrøker:<br />

2x + 3<br />

a. f ( x)<br />

=<br />

3 x + 2<br />

b.<br />

c.<br />

d.<br />

2<br />

x + 2x<br />

+ 4<br />

g( x)<br />

=<br />

3<br />

2x<br />

+ 7x<br />

h x)<br />

=<br />

2x<br />

3<br />

x + 4x<br />

− 6x<br />

+ 11<br />

(<br />

5 2<br />

3<br />

6x<br />

− 8x<br />

+ 9<br />

i ( x)<br />

=<br />

3 2<br />

3x<br />

− 5x<br />

+ 3x<br />

− 8<br />

<strong>Lektion</strong> 1: Efteråret 2011, LØJ Side 4


<strong>Lektion</strong> 2: Skrå og vandret asymptote<br />

Skrå asymptote<br />

Den første polynomiumsbrøk vi så på havde følgende forskrift:<br />

Og så således ud:<br />

f ( x)<br />

=<br />

2<br />

x − 5x<br />

+ 6<br />

2x<br />

+ 4<br />

y<br />

f(x)=(x^2-5x+6)/(2x+4)<br />

40<br />

30<br />

20<br />

10<br />

x<br />

-45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25 30 35 40 45<br />

-10<br />

-20<br />

-30<br />

-40<br />

Vi fandt ud af at grafen havde en lodret asymptote i x =‐2. Hvis vi kigger nærmere på grafen, så antyder<br />

billedet, at det også vil være muligt at tegne en linje med hældning, som grafen kommer uendeligt tæt på<br />

men aldrig skærer – dette kaldes en skrå asymptote.<br />

Skrå symptote<br />

Linjen med ligningen y = ax+b, a≠0, siges at være vandret asymptote til grafen for en funktion<br />

f hvis: f(x) – (ax+b) →0 for x → ∞ eller<br />

f(x) – (ax+b) →0 for x → ‐ ∞<br />

Den skrå asymptote findes ved polynomiers division, som I ikke skal lære, derfor må vi bruge<br />

lommeregneren. Under F2 vælges ”7:propFrac”. SKRiV propFrac((x 2 – 5x +6)/(2x + 4))Lommeregneren<br />

skriver:<br />

10 x 7<br />

+ − Den skrå asymptote består af den del af udtrykket som ikke bliver divideret med ”x” her<br />

x + 2 2 2<br />

x 7<br />

”x+2”, dvs.<br />

2 −<br />

7<br />

. Den skrå asymptote får derved ligningen y<br />

2<br />

= x<br />

2 − .<br />

2<br />

<strong>Lektion</strong> 1: Efteråret 2011, LØJ Side 5


2<br />

x − 5x<br />

+ 6 ⎛ x 7 ⎞ 10<br />

Vi trækker nu ”den skrå asymptote” fra f(x) og får:<br />

− ⎜ − ⎟ =<br />

2x<br />

+ 4 ⎝ 2 2 ⎠ x + 2<br />

hvilket jo lige præcist var det led ”divisionsresten”, som vi ”fjernede” før vi opskrev den skrå asymptotes<br />

ligning. Vi ser nu hvad der sker med denne ”rest” når vi lader x gå imod hhv. ∞ og imod ‐∞.<br />

10<br />

x → ∞ medfører at → 0<br />

x + 2<br />

10<br />

x → ‐ ∞ medfører at → 0<br />

x + 2<br />

På baggrund af dette kan vi konkluderer at linjen med ligningen<br />

Tegnes den ind i koordinatsystemet kommer det til at se således ud:<br />

7<br />

y = x<br />

2 − er skrå asymptote til grafen.<br />

2<br />

y<br />

f(x)=(x^2-5x+6)/(2x+4)<br />

f(x)=x/2-7/2<br />

25<br />

20<br />

15<br />

10<br />

5<br />

-25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25<br />

x<br />

-5<br />

-10<br />

-15<br />

-20<br />

-25<br />

Vi tager lige et par eksempler mere:<br />

2<br />

2x<br />

− x + 2<br />

5<br />

f ( x)<br />

=<br />

Vha. af lommeregneren: propFrac((2x 2 ‐x+2)/(x+1)) får vi + 2x<br />

− 3, vi fjerne det<br />

x + 1<br />

x + 1<br />

led, hvor der stadig divideres med ”x” kaldes divisionsresten og får: 2x<br />

− 3<br />

Den skrå asymptote får ligningen: y = 2x<br />

− 3. Vi ser, hvad der sker med ”resten” når vi lader x gå mod ∞<br />

5 5 5<br />

→ 0 for x → ∞ og → 0 for x → ‐ ∞. Kan også skrives: 0<br />

x + 1<br />

x + 1<br />

lim<br />

+ 1<br />

=<br />

x→∞<br />

x<br />

Grafen og asymptoten ser således ud:<br />

5<br />

og lim 0<br />

+ 1<br />

=<br />

x→−∞<br />

x<br />

<strong>Lektion</strong> 1: Efteråret 2011, LØJ Side 6


y<br />

f(x)=(2x^2-x+2)/(x+1)<br />

f(x)=2x-3<br />

20<br />

15<br />

10<br />

5<br />

x<br />

-20 -15 -10 -5 5 10 15 20<br />

-5<br />

-10<br />

-15<br />

-20<br />

3 2<br />

x − 6x<br />

+ x + 18<br />

12 x<br />

f ( x)<br />

=<br />

Vha. af lommeregneren: propFrac((x 3 ‐ 6x 2 +x+18)/(2x 2 +2)) får vi + − 3,<br />

2<br />

2<br />

2x<br />

+ 2<br />

x + 1 2<br />

x<br />

vi fjerne det led, hvor der stadig divideres med ”x” kaldes divisionsresten og får: 3<br />

2 −<br />

Den skrå asymptote får ligningen: y = x 3<br />

2 − . Igen skal vi undersøge, hvad der sker med ”resten” når vi<br />

12<br />

12<br />

lader x gå mod ∞. lim = 0 og 0<br />

2<br />

+ 1<br />

lim = . Grafen og asymptoten ser således ud:<br />

2<br />

+ 1<br />

x→∞<br />

x<br />

x→−∞<br />

x<br />

y<br />

f(x)=x/2-3<br />

f(x)=(x^3-6x^2+x+18)/(2(x^2+1))<br />

8<br />

6<br />

4<br />

2<br />

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9<br />

x<br />

-2<br />

-4<br />

-6<br />

-8<br />

<strong>Lektion</strong> 1: Efteråret 2011, LØJ Side 7


Sætning<br />

Lad f være en polynomiumsbrøk. Hvis graden af tælleren er netop én større end graden af<br />

nævneren, så har grafen for f en skrå asymptote.<br />

Vandret asymptote<br />

På samme måde som at en graf kan have hhv. En lodret og en skrå asymptote, kan den ligeledes have en<br />

vandret asymptote. En vandret linje som grafen nærmer sig uden at skære, når vi lader x gå mod uendeligt.<br />

Vandret asymptote<br />

Lad f være en funktion og k et tal.<br />

Linjen med ligningen y = k kaldes en vandret asymptote til grafen for f hvis mindst et af<br />

nedenstående udsagn er sandt:<br />

a) f(x) → k for x → ∞<br />

b) f(x) → k for x → ‐ ∞<br />

2<br />

3x<br />

+ 8x<br />

− 3<br />

Lad os tage et eksempel, vi har funktionen: f ( x)<br />

=<br />

. For at finde ud af hvad der sker, når vi<br />

2<br />

x + 1<br />

lader x gå mod uendelig, starter vi med at dividere hvert led igennem med ”den højeste grad af x”:<br />

f ( x)<br />

=<br />

3x<br />

2<br />

x<br />

8x<br />

+ −<br />

2<br />

x<br />

2<br />

x 1<br />

+<br />

2 2<br />

x x<br />

2<br />

3<br />

2<br />

x<br />

8 3<br />

3 + −<br />

2<br />

=<br />

x x<br />

1<br />

1+<br />

2<br />

x<br />

8 3<br />

8 3<br />

3 + −<br />

3 + −<br />

2 2<br />

x x → 3 for x → ∞ og<br />

x x → 3 for x → ‐ ∞. Det vil sige at linjen med ligningen y = 3 er<br />

1<br />

1<br />

1+<br />

1+<br />

2<br />

2<br />

x<br />

x<br />

vandret asymptote til grafen for f. Grafisk ser det således ud:<br />

y<br />

f(x)=(3x^2+8x-3)/(x^2+1)<br />

f(x)=3<br />

5<br />

4<br />

3<br />

2<br />

1<br />

x<br />

-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 10 20 30 40 50 60 70 80 90<br />

-1<br />

-2<br />

-3<br />

-4<br />

-5<br />

<strong>Lektion</strong> 1: Efteråret 2011, LØJ Side 8


Sætning<br />

Lad f være en polynomiumsbrøk, hvor tælleren og nævneren har samme grad n<br />

f ( x)<br />

ax<br />

bx<br />

n<br />

=<br />

n<br />

+ ...<br />

+ ...<br />

Linjen med ligningen<br />

a<br />

y = er vandret asymptote til grafen.<br />

b<br />

10x + 2<br />

Et andet eksempel: f ( x)<br />

= , vi skal igen undersøge hvad der sker, når vi lader x gå mod uendlig.<br />

2 x 2 + 4<br />

Igen dividerer vi udtrykket igennem med højeste grad af x og får<br />

10x<br />

+ 2<br />

f ( x)<br />

=<br />

2x<br />

+ 4<br />

10x<br />

2<br />

+<br />

x x<br />

2x<br />

4<br />

+<br />

2 2<br />

x x<br />

10 2<br />

+<br />

x x<br />

2 2<br />

2<br />

= =<br />

2 2<br />

4<br />

2 +<br />

x<br />

2<br />

Så skal vi se hvad grænseværdien bliver når vi lader x gå mod plus og minus uendeligt:<br />

10 2<br />

10 2<br />

+<br />

+<br />

2<br />

2<br />

x x<br />

lim = 0 og<br />

x x<br />

0<br />

x→∞<br />

4 lim = . Her er k=0. det vil sige, at linjen med ligningen y =0 er vandret<br />

x→−∞<br />

4<br />

2 +<br />

2 +<br />

2<br />

2<br />

x<br />

x<br />

asymptote til grafen, hvilket vil sige x‐ aksen er vandret asymptote! Grafisk ser det således ud:<br />

y<br />

f(x)=(10x+2)/(2x^2+4)<br />

4<br />

3<br />

2<br />

1<br />

x<br />

-20 -15 -10 -5 5 10 15 20<br />

-1<br />

-2<br />

-3<br />

-4<br />

Sætning<br />

Lad f være en polynomiumsbrøk. Hvis graden af tælleren er mindre end graden af nævneren,<br />

så er førsteaksen (x‐aksen) vandret asymptote til grafen.<br />

<strong>Lektion</strong> 1: Efteråret 2011, LØJ Side 9


Opsamling<br />

Vi har arbejdet med polynomiumsbrøker af typen:<br />

k<br />

ax + ... t(<br />

x)<br />

f ( x)<br />

= = a, b≠0<br />

n<br />

bx + ... n(<br />

x)<br />

Hvor t(x) er tællerpolynomiet, hvor højeste potens af x er k, og n(x) er nævnerpolynomiet, hvor højeste<br />

potens af x er n.<br />

Asymptoter for x gående mod ±∞<br />

k n+1 Hvis tællergraden er mere end 1 større end nævnergraden, har grafen hverken vandret eller<br />

skrå asymptote.<br />

Lodrette asymptoter<br />

n(x 0 ) = 0 Λ t(x 0 ) ≠ 0<br />

n(x 0 ) = 0 Λ t(x 0 ) = 0<br />

Hvis x 0 er rod i nævnerpolynomiet, men ikke i tællerpolynomiet, så er linjen<br />

med ligningen x = x 0 lodret asymptote til grafen<br />

Hvis x 0 er rod i både nævnerpolynomiet og i tællerpolynomiet, så er der to<br />

muligheder: Enten er linjen med ligningen x = x 0 lodret asymptote, ellers har<br />

f(x) en grænseværdi for x gående mod x 0 . Der må foretages en nærmere<br />

undersøgelse.<br />

OPGAVER<br />

Vi vender tilbage til de funktioner I arbejdede med i <strong>Lektion</strong> 1:<br />

1. Undersøg om nedenstående funktion har en vandret asymptote og angiv ligningen.<br />

x − 3<br />

f ( x)<br />

= x + 2<br />

lim<br />

Angiv grænseværdierne: f ( x )<br />

x→−∞<br />

lim<br />

x→∞<br />

f ( x )<br />

Tegn (skitser) grafen og de lodrette/vandrette asymptoter.<br />

<strong>Lektion</strong> 1: Efteråret 2011, LØJ Side 10


2. Undersøg om nedenstående funktion har en vandret asymptote og angiv ligningen.<br />

x + 4<br />

g ( x)<br />

=<br />

x 2 − 4<br />

lim x<br />

Angiv grænseværdierne: g ( )<br />

x→−∞<br />

lim g ( x )<br />

x→∞<br />

Tegn (skitser) grafen og de lodrette/vandrette asymptoter.<br />

3. Undersøg om nedenstående funktion har en vandret asymptote og angiv ligningen.<br />

x + 2<br />

f ( x)<br />

=<br />

x 2 − 4<br />

Angiv grænseværdierne: f ( x )<br />

f ( x )<br />

4. Følgende funktion er givet<br />

lim<br />

x→−∞<br />

lim<br />

2<br />

x − x + 1<br />

f ( x)<br />

=<br />

x − 3<br />

Angiv Dm(f)<br />

Undersøg om polynomiumsbrøken har en skrå asymptote, ved at udføre polynomiers division<br />

(propFrac), og undersøg hvad ”divisionsresten” går imod, når x går mod plus og minus uendelig.<br />

Angiv ligningen for den skrå asymptote.<br />

5. Følgende funktion er givet<br />

2<br />

x − 2x<br />

− 32<br />

f ( x)<br />

=<br />

x − 7<br />

Angiv Dm(f)<br />

Undersøg om polynomiumsbrøken har en skrå asymptote, ved at udføre polynomiers division<br />

(propFrac), og undersøg hvad ”divisionsresten” går imod, når x går mod plus og minus uendelig.<br />

Angiv ligningen for den skrå asymptote.<br />

6. Angiv ligningerne for hhv. den vandrette asymptote og den/de lodrette asymptoter til grafen for<br />

hver af nedenstående polynomiumsbrøker:<br />

2x + 3<br />

a. f ( x)<br />

=<br />

3 x + 2<br />

b.<br />

c.<br />

d.<br />

2<br />

x + 2x<br />

+ 4<br />

g( x)<br />

=<br />

3<br />

2x<br />

+ 7x<br />

h x)<br />

=<br />

2x<br />

3<br />

x + 4x<br />

− 6x<br />

+ 11<br />

(<br />

5 2<br />

3<br />

6x<br />

− 8x<br />

+ 9<br />

i ( x)<br />

=<br />

3 2<br />

3x<br />

− 5x<br />

+ 3x<br />

− 8<br />

x→∞<br />

<strong>Lektion</strong> 1: Efteråret 2011, LØJ Side 11

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!