Pendul

Århus Universitet, Ingeniørhøjskolen SRP Maskinteknik
Pendul
Af Kristine Telling
Matematisk pendul vs. fysisk pendul
Det matematiske pendul er en forsimplet beregningsmodel for det ”fysiske” pendul. Dette betyder, at det
antages, at hele massen er samlet i et punkt. Naturligvis er det ikke tilfældet i virkeligheden, og derfor
undersøger vi i forsøg 1, hvordan svingningstiden varierer i mellem de to beregningsmodeller.
Først er det nødvendigt at kunne bestemme den teoretiske svingningstid i de to tilfælde. Fælles for begge
er at følgende formel for svingningstiden gælder:
Vinkelhastighed for matematisk pendul
Figur 1 viser et ”free body diagram” af et matematisk pendul.
Free body diagram betyder, at man har tegnet sit system og de
kræfter man kender.
Det ses, at de kræfter der virker på pendulet er snorkraften F s og
tyngdekraften F T . Bemærk at koordinatsystemet er drejet, så y-
aksen er parallel med snorkraften.
Svingningstiden kan bestemmes ved at opstille
bevægelsesligningen for systemet, denne er også kendt som
Newtons 2. lov:
Figur 1. Free body diagram af pendul
Σ betyder summen af alle kræfter.
Hvor:
1

Århus Universitet, Ingeniørhøjskolen SRP Maskinteknik
Bemærk at der kun anvendes kræfter i x-retningen, da der ikke er nogen acceleration i y-retningen.
G er tyngdeaccelerationen. Når overstående ligninger samles fås følgende :
Overstående er en 2. ordens differentialligning med løsningen:
√
Heraf fås svingningstiden ud fra den førnævnte formel:
√
√
Masseinertimoment
Bevægelsesligningen for et fysisk pendul er givet ved:
α er vinkelaccelerationen for pendulet og I er masseinertimomentet. Masseintertimomentet skal
bestemmes omkring pendulets omdrejningsakse(der hvor det er fastgjort) og afhænger af følgende:
Længden fra omdrejningspunkt til pendul – l
Massen af pendulet – m
Øvrige dimensioner af pendulet – firkant, cylinder eller lignende
Masseinertimomentet kan være svært at bestemme, men der findes forskellige formler 1 . Hvis pendulloddet
er en cylinder gælder følgende:
m er massen af loddet
1 Se F.eks. Dynamics af J.L. Meriam og L.G. Kraige
2

Århus Universitet, Ingeniørhøjskolen SRP Maskinteknik
h er loddets længde
l er afstanden fra omdrejningspunktet til toppen af pendulet, hvor snoren også er fastgjort.
Bemærk, at denne formel forudsætter, at pendulsnoren er masseløs. Da der til forsøgene anvendes sytråd,
kan vi godt tillade os at gå ud fra dette, men hvis der anvendes tungere/kraftigere snor, skal den tages med
i betragtning.
Svingningstid for fysisk pendul
Som for det matematiske pendul, opstilles bevægelsesligningen for pendulet, vinkelaccelerationen kaldes
også Θ’’.
Heraf fås:
√
Deraf fås svingningstiden udfra den førnævnte formel:
√
√
3

Århus Universitet, Ingeniørhøjskolen SRP Maskinteknik
Vindmodstand på matematisk pendul
På Figur 2 er vindmodstanden tegnet på det matematiske pendul.
Vindmodstanden virker altid i modsat retning af tyngdekraften. Der er
flere måder at definere vindmodstanden for et objekt på. Her antages
at vindmodstanden er proportional med hastigheden 2 . Det vil sige, at
kraften R kan udtrykkes ved:
Ligesom for det matematiske pendul opstilles bevægelsesligningen
for systemet.
Denne differentialligning har den fulde løsning:
( ) ( )
Her er:
A 0 – amplituden for den første svingning – der hvor pendulet slippes
C – en konstant
Φ – er faseforskydningsvinklen
Figur 2. Vindmodstand på et pendul
En større udledning af denne ligning vil ikke blive foretaget her 3 – målet med forsøget er blot at vise, at
luftmodstanden får amplituden for pendulsvingningerne til at aftage eksponentielt.
2 Fra Modern Engineering Matematics
3 Lidt forklaring omkring løsningen kan finde sted ved forsøget, dette kræver dog at eleven på forhånd kender til
løsning af 2. ordens differentialligninger generelt og har kendskab til komplekse tal.
4