Afleveringsopgave 3 - dirac

dirac.ruc.dk

Afleveringsopgave 3 - dirac

Geometri, foråret 2005 21. marts 2005

Afleveringsopgave 3

Opgave 1

I forrige opgavesæt gik Ditlev og Christoffer op i Rundetårn. På vej ned kommer de

til at tale om hvor stort arealet af sneglegangen egentlig er. Ditlev mener at man

kan regne det ud hvis man kender længden l af den strækning man tilbagelægger

når man går op (eller ned) i tårnet og hele tiden holder sig midt i gangen, arealet

må så være l gange 4 m (4 m er bredden af gangen). Christoffer derimod mener at

det er mere indviklet.

Er Ditlevs forslag helt hen i vejret? Hvad er en rigtig måde at udregne arealet på?

Vejledning. Det er tanken at der skal opstilles en simpel matematisk model for den

beskrevne situation, og at spørgsmålene skal besvares ved hjælp af denne matematiske model.

Det er ikke så væsentligt at regne den faktiske værdi ud (den bliver vist 870 m 2 ) – undervejs

kommer der nogle integraler som måske er lidt bøvlede – men hvis man vil gøre det, kan det

nok være nyttigt at vide at funktionen

x ↦→ x √ (

x2 + a

2

2 + a2

2 ln x + √ )

x 2 + a 2

er en stamfunktion til funktionen x ↦→ √ x 2 + a 2 .

I øvrigt er Rundetårn stadig 28 m højt, gangens indre og ydre radius er stadig hhv. 2 m og

6 m, og sneglegangen foretager stadig 7 1 / 2 omgang.

Opgave 2

Denne opgave går ud på at undersøge glatte omdrejningsflader der fremkommer

ved at rotere en kurve u ↦→ ( f(u), 0, g(u) ) omkring z-aksen, dvs. flader med en

parametrisering af formen σ(u, v) = ( f(u) cos v, f(u) sin v, g(u) ) , hvor f er en positiv

funktion og f ˙2

+ ġ 2 > 0. – I denne opgave er det formodentlig ikke nogen fordel at

antage at f ˙2

+ ġ 2 = 1, svarende til at den roterede kurve er ‘unit-speed’.

1. Hvordan kommer første og anden fundamentalform til at se ud for et punkt på

en sådan flade?


Afleveringsopgave 3 Side 2 af 2

Hvad kan man sige om hovedkrumningerne og hovedkrumningsretningerne i et

givet punkt?

Hvad kan man sige om asymptoteretningerne (defineret nedenfor) i et givet

punkt?

2. Anvend resultaterne på forskellige »standardflader«, f.eks.

• en kugle, der kan fås ved at vælge f(u) = cos u og g(u) = sin u (hvor

0 < u < 2π),

• en kegle, der kan fås ved at vælge f(u) = u og g(u) = u (hvor u > 0),

• en cylinder, der kan fås ved at vælge f(u) = 1 og g(u) = u (hvor u ∈ R),

• en hyperboloide med ét net, der kan fås ved at vælge f(u) = √ u 2 + 1 og

g(u) = u (hvor u ∈ R).

Asymptoteretninger

Lad S være en glat flade parametriseret ved σ. En asymptoteretning for fladen S i

punktet P er en retning bestemt ved en retningsvektor t som er tangent til fladen

i P , dvs. den er af formen t = ξσ u + ησ v , og hvorom det gælder at −dN P (t) · t = 0,

( ) T ( ξ ξ

eller ensbetydende hermed F II = 0 (eller i endnu en anden notation:

η η)

Lξ 2 + 2Mξη + Nη 2 = 0).

En asymptotekurve på S er en kurve hvis tangentvektor altid er en asymptoteretning.

Ifølge Proposition 6.1 er en asymptotekurve derfor en kurve hvis normalkrumning

konstant er lig 0. En kurve γ(t) = σ ( u(t), v(t) ) er således en ‘unit-speed’ asymptotekurve

hvis og kun hvis den opfylder differentialligningerne

dvs.

‖ ˙γ‖ 2 = 1 κ n = 0,

E ˙u 2 + 2F ˙u ˙v + G ˙v 2 = 1 L ˙u 2 + 2M ˙u ˙v + N ˙v 2 = 0.

(Se også opgave 6.12 i bogen.)

More magazines by this user
Similar magazines