Matematik og modeller Blok 4 2012 Opgaver til Lineær algebra

Matematik og modeller Blok 4 2012Opgaver til Lineær algebraOpgave S.1.1Udregn matricen (M + 2N)(M + N) − (M + N)(M + 2N), hvorM =( )1 20 3og N =[Vink: Det kan betale sig at starte med at reducere udtrykket.]( )1 −1.1 0Opgave S.1.2LadA 1 =⎛⎝ 1 4 20 3 −20 0 6⎞⎠ og A 2 =⎛⎝ 5 1 00 1 20 0 −3⎞⎠ .1. Udregn matrixprodukterne A 1 A 2 og A 2 A 1 . Er de ens? Er de af øvre trekantsform?2. Bestem determinanten af A 2 og den inverse til A 2 .Lad endvidereB =⎛⎜⎝3 0 0 00 1 0 00 0 2 00 0 0 −2⎞⎟⎠3. Udregn B 2 og B 3 .4. Besvar følgende spørgsmål om n × n matricer (du behøver ikke at bevise at dine svar er rigtige):• Hvilken type matrix giver produktet af to øvre trekantsmatricer?• Hvordan ser D k ud for en diagonalmatrix D?• Hvordan ser den inverse til en diagonalmatrix ud?Opgave S.1.3Betragt ligningssystemet{2x − y = 5x + 3y = −1.1. Opskriv ligningssystemet på formen( ( x pM = ,y)q)hvor M er en 2 × 2 matrix og ( p q) en vektor og løs det ved matrixinvertering.2. Løs ligningssystemet (igen) ved at gange nederste ligning igennem med 2 og trække ligningernefra hinanden.Opgave S.1.4Hvilke af følgende matrixprodukter er ikke defineret?( ) ⎛0 2 −1 11.⎝ −2 2 ⎞1 7⎠.1 3 0 1−1 0

2.⎛⎝ −2 2 ⎞( )1 7⎠ 0 2 −1 1.1 3 0 1−1 03.⎛⎝ −2 2 ⎞( )1 7⎠ 0 2 −1.1 3 0−1 0Opgave S.1.5Udregn matrixprodukterne⎛⎝ 2 0 1 ⎞ ⎛⎞−1 1 −10 0 0⎠⎝ 2 0 −3⎠ ,1 2 3 4 −3 1⎛ ⎞(1 −1)2 ⎝ 3 2⎠1og⎛ ⎞( ) −2 0 11 0 1 0⎜ 7 0 0⎟1 1 1 1 ⎝ 3 0 1⎠ ,1 0 1⎛⎞⎝ 3 2⎠ ( 1 −1 2 ) .1Opgave S.1.6 [for koordinatfreaks]Opskriv prikproduktet Ax · By ved at bruge sumnotation og koordinater.Opgave S.1.7LadUdregn matricerne A 2 , A 3 , A 4 samt A 20 .Opgave S.1.8Vis at matricenhar en invers matrix og bestem den inverse matrix.⎛⎞0 0 0 16A = ⎜1/2 0 0 0⎟⎝ 0 1/2 0 0 ⎠ .0 0 1/2 0⎛⎞10 10 20⎝30 20 50⎠5 0 10Opgave S.1.9Bestem determinanten af matricen⎛⎞1 1 −1 0⎜2 1 0 0⎟⎝7 9 13 1⎠1 3 1 0Opgave S.1.10Udregn determinanterne af matricerne⎛⎝ 1 2 3 ⎞4 5 6⎠7 8 9og⎛⎞1 2 3 4⎜0 3 2 1⎟⎝2 4 7 5⎠ .3 7 8 9Opgave S.1.11 ProduktionsplanlægningEt firma fremstiller produkterne P 1 , P 2 , P 3 ud fra påvarerne R 1 , R 2 , R 3 , R 4 , R 5 . Til hver enhed P 1 bruges

10 enheder R 1 , 30 enheder R 2 , 5 enheder R 3 og 20 enheder R 5 . Til hver enhed P 2 bruges 10 enheder R 1 ,20 enheder R 2 , 5 enheder R 4 og 10 enheder R 5 . En enhed P 3 er sammenbygget af en enhed af produktetP 1 og en enhed af produktet P 2 ; dog medgår ved samlingen 5 ekstra enheder af råvarerne R 3 og R 4 .1. Antag, at der produceres x j enheder P j (for j = 1, 2, 3) og bruges i alt y i enheder R i (for i =1, 2, 3, 4, 5).⎛ ⎞⎛x = ⎝ x ⎞y 11y 2x 2⎠ og y =⎜y 3⎟x 3⎝y 4⎠ .y 5Bestem 5 × 3 matricen A således, at der gælder y = Ax.2. I en periode er der brugt 4300 enheder R 1 , 11500 enheder R 2 og 1600 enheder R 3 . Hvor meget erder brugt af R 4 og af R 5 ?Opgave S.1.12 ProduktionsplanlægningTo kemiske produktionsenheder P og Q fremstiller begge hovedproduktet H, biprodukter U og V, samtspildproduktet W. Produktionen af de fire stoffer er, angivet i kg pr. time:H U V WP 1800 150 100 150Q 1200 150 200 50Enhed Q kan kun arbejde, når P er i gang. Man lade begge enheder arbejde i x 1 timer samt lader Parbejde alene i yderligere x 2 timer (x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0), hvorved der fremstilles i alt y 1 , y 2 , y 3 og y 4 kg afhhv. H, U, V og W. Sæt⎛ ⎞( )y 1x1x = og y = ⎜y 2⎟x 2⎝y 3⎠ .y 41. Bestem 4 × 2 matricen A, således at der gælder y = Ax.2. Vis, at x kan vælges således, at der fremstilles netop 240000 kg H, 22200 kg U og 19200 kg V. Hvorstor er spildproduktionen i dette tilfælde?3. Produktionen sælges til tre kunder K 1 , K 2 og K 3 . Heraf køber K 1 halvdelen af det producerede Hfor 20 kr pr. kg, K 2 køber resten af det producerede H for 16 kr pr. kg samt hele U-produktionenfor 30 kr pr. kg, og K 3 køber hele V-produktionen for 40 kr pr. kg, samtidig med, at han mod enbetaling på 10 kr pr. kg fjerner den fremkomne spildproduktion W.Lad z i være producentens indtægt i kr fra K i (i = 1, 2, 3) og sæt⎛z = ⎝ z ⎞1z 2⎠ .z 3Bestem 3 × 4 matricen B samt 3 × 2 matricen C, således atz = By og z = Cx.Opgave S.1.13 SpildevandEn kemisk fabrik har tre afdelinger, A 1 , A 2 og A 3 , der udleder spildevand til sammme recipient. Spildevandetsindhold af fire forurenende stoffer A, B, C og D er, angivet i gram udledt pr. time:A B C Dspildevand fra A 1 10 40 5 1spildevand fra A 2 30 30 0 2spildevand fra A 3a 10 0 5 2spildevand fra A 3b 0 15 0 2spildevand fra A 3c 0 15 0 2

hvor det underforstås, at A 3 består af tre underafdelinger A 3a , A 3b og A 3c , som er i drift samtidig.Antag, at A 1 , A 2 og A 3 er i drift hhv. x 1 , x 2 og x 3 timer pr. døgn, hvorved der i alt udledes y 1 , y 2 , y 3 ogy 4 gram pr. døgn af stofferne A,B,C og D. Sæt⎛ ⎞⎛x = ⎝ x ⎞y 11x 2⎠ og y = ⎜y 2⎟⎝y x 3⎠ .3y 41. Bestem 4 × 3 matricen A således, at der gælder y = Ax.2. Myndighederne har pålagt fabrikken, at den højst må udlede 800 g A, 1200 g B, 75 g C og 55 g Dpr. døgn. Fabrikken ønsker at lade alle tre afdelinger være i drift netop så mange timer pr. døgn,at grænserne for B, C og D alle nåes, men ikke overskrides. Vis, at dette er muligt, og at grænsenfor A heller ikke overskrides. Driftsplanen får en ret drastisk konsekvens for en af afdelingerne –hvilken?Opgave S.1.14 Visuel artsbestemmelseI et skovdistrikt vil man estimere antal dyr i bestandene af tre vildtarter A, B og C, der minder omhinanden. Dyrene færdes enkeltvis, og skovpersonalet opnoterer gennem en vis periode, hvad de vedhvert enkelt møde skønner, er et eksemplar af hhv. A, B og C.Denne visuelle bestemmelse er forbundet med usikkerhed. Fra tidligere undersøgelser sammenholdtmed mere sikre optællinger har man konstateret følgende mønster:• Et A-dyr vil i 15% af tilfældene blive registreret som B, i 10% tilfældene som C, mens det i restenaf tilfældene registreres korrekt som A.• Et B-dyr vil i 15% af tilfældene blive registreret som A, i 5% tilfældene som C, mens det i resten aftilfældene registreres korrekt som B.• Et C-dyr vil i 5% af tilfældene blive registreret som A, i 5% tilfældene som B, mens det i resten aftilfældene registreres korrekt som C.Undersøgelsen fortsætter, til der i alt er registreret 400 møder med dyr. Disse antages repræsentative forden smalede bestand, dvs. brøkdelene af de tre arter blandt de 400 registrerede er de samme som dem,de optræder med totalt.Lad x 1 være det sande antal møder med dyr af arten A, blandt de 400 møder, mens y 1 er det registreredeantal A-møder. Lad x 2 og y 2 være de tilsvarende antal for B, samt x 3 og y 3 de tilsvarende antal for C.1. Bestem 3 × 3 matricen A, således at der gælderhvory = Ax,⎛x = ⎝ x ⎞⎛1x 2⎠ og y = ⎝ y ⎞1y 2⎠ .x 3 y 32. Iflg. det oplyste bør der gælde x 1 + x 2 + x 3 = 400 og y 1 + y 2 + y 3 = 400. Vis, ved at bruge y = Ax,at x 1 + x 2 + x 3 = 400 medfører y 1 + y 2 + y 3 = 400.3. Der er registreret 210 A-møder, 122 B-møder og 68 C-møder. Ad anden vej har man anslået densamlede bestand i distriktet, dvs. summen af antallene af de tre arter, til at være 8400. Beregn skønfor de sande antal af hver af de tre arter. (Facit afrundes til hele multipla af 100.)Opgave S.1.15Vis at ligningssystemetx 1 + x 2 = 22x 1 + 3x 2 + x 3 = 7−x 1 + x 3 = 23x 1 + 6x 2 + 3x 3 = 17

ikke har nogen løsninger.Opgave S.1.16Vis at ligningssystemethar den entydige løsning (x 1 , x 2 , x 3 ) = (3, 3, −1).Opgave S.1.17Løs ligningssystemetfor a = 5 og a = 6.x 1 + x 3 = 22x 1 + x 2 + 2x 3 = 7−x 1 + x 2 − 2x 3 = 23x 1 + 3x 2 + x 3 = 175x 2 − 2x 3 = 22x 1 + x 2 + 5x 3 = 1x 1 + x 2 = 33x 1 + 7x 2 + 3x 3 = aOpgave S.1.18Bestem tallene x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 så følgende kemiske reaktion bliver afstemt:x 1 HgI −−4+ x 2 OH − + x 3 NH 3 → x 4 Hg 2NI + x 5 I − + x 6 H 2 O.Opgave S.1.19Løs ligningssystemetx 1 + x 3 − x 5 = 52x 1 − x 2 + 3x 4 = 6.Opgave S.1.20Givet vektorerne⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛1 0 0 0 01a 1 =⎜1⎟⎝1⎠ , a 12 =⎜1⎟⎝1⎠ , a 03 =⎜1⎟⎝1⎠ , a 04 =⎜0⎟⎝1⎠ , a 05 =⎜0⎟⎝0⎠ og b = ⎜⎝1 1 1 1 1Skriv b som en linearkombination af a 1 , a 2 , a 3 , a 4 og a 5 .Opgave S.1.21Undersøg i hvert af følgende tilfælde, om vektorerne udgør et lineært uafhængigt sæt.( (1 21. ,3)−5)2.3.( (1 2, ,3)−5)( ( )1 −5,3)−15( )−167305−4⎞⎟⎠ .

⎛⎞⎛⎞⎛⎞4. ⎝ 1 1⎠,⎝ 2 0 ⎠, ⎝ 3 4⎠0 −1 5⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞5. ⎝ 1 1⎠,⎝ 2 0 ⎠, ⎝ 3 5⎠0 −1 1⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞1 1 1 16. ⎜1⎟⎝1⎠ , ⎜1⎟⎝1⎠ , ⎜1⎟⎝0⎠ , ⎜0⎟⎝0⎠1 0 0 0Opgave S.1.22Løs hvert af systemerne( ) ( )5 2 x1=5 3 x 2( )7,17( ) ( ) (2 1 x1 7= ,6 3 x 2 17)( ) ( ) ( )2 1 x1 7=6 3 x 2 21og udregn i hvert tilfælde dels rangen af koefficientmatricen og rangen af totalmatricen.Opgave S.1.23Bestem rangen af hver af matricerne⎛A = ⎝ 1 2 3 ⎞ ⎛4 5 6⎠ , B = ⎝ 3 4 −2 ⎞5 6 3 ⎠ .7 8 9−3 1 7Opgave S.1.24Vi betragter matricen⎛⎞4 3 2 1A = ⎜0 3 2 1⎟⎝0 0 2 1⎠ .0 0 0 1Udregn den inverse matrix A −1 . [Vink: domino-metoden.]Opgave S.1.25Betragt basen(( (1 2,2)5))for R 2 .1. Bestem den vektor i R 2 , der har koordinaterne (5, −1) mht. denne basis. (Brug evt basisskiftmatricen.)2. Find koordinatsættet for vektoren ( )35−47mht. denne basis. (Brug evt basisskiftmatricen.)Opgave S.1.26Betragt basenfor R 3 .⎛⎛⎝⎝ 1 −10⎞⎠ ,⎛⎝ 0 21⎞⎠ ,⎛⎝ 0 −13⎞⎞⎠⎠

1. Bestem den vektor i R 3 , der har koordinaterne (1, 3, 4) mht. denne basis. (Brug evt basisskiftmatricen.)2. Find koordinatsættet for vektoren ⎛⎝ 14 ⎞7 ⎠0mht. denne basis. (Brug evt basisskiftmatricen.)Opgave S.1.27Bestem alle egenværdier og tilhørende egenvektorer for matricen( )24 −45.32 −60Opgave S.1.28Betragt baserneA =(( ( (( ( ))1 2 2 −1, , B = ,2)5))3)1for R 2 .Om vektoren v i R 2 oplyses det at den har koordinaterne (3, 2) mht. basen A. Bestem koordinaterne forv mht. basen B.Opgave S.1.29LadA =⎛⎝ 3 9 70 4 10 0 5⎞⎠ .1. Hvilke af følgende vektorer er egenvektorer for A?⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎝ 9 10⎠⎝ 8 11⎠⎝ 1 00⎞⎠⎛⎝ 0 00⎞⎠ .2. Bestem samtlige egenværdier og tilhørende egenvektorer for A.Opgave S.1.30LadDet oplyses, at⎛A = ⎝ 0 2 a ⎞2 4 b⎠ .1 3 1q =er en egenvektor for A. Bestem værdierne af a og b.⎛⎞⎝ 1 1⎠1Opgave S.1.31Bestem alle egenværdier og tilhørende egenvektorer for matricen( )−3 2A =.−1 −1

Bestem endvidere modulus og argument for hver af egenværdierne og indtegn deres beliggenhed i denkomplekse plan.Opgave S.1.32Gør rede for at enhver kvadratisk matrix af ulige orden har mindst én reel egenværdi. [Vink: betragt detkarakteristiske polynomium.]Opgave S.1.33Lad⎛B = ⎝ 2 −7 0 ⎞3 2 1⎠ .0 1 21. Find alle reelle egenværdier og tilhørende egenvektorer.2. Find alle komplekse egenværdier og tilhørende egenvektorer. [Vink: besværlige udregninger!]Opgave S.1.341. LadB =⎛⎝ 2 −3 11 −2 11 −3 2Bestem egenværdierne for B, dvs. løs ligningen det(B − λE) = 0, hvor E er 3 × 3 enhedsmatricen.[Vink: ved udregning af udtrykket det(B − λE) kan det betale sig at sætte λ udenfor parantes.]2. Programmet R kan også bruges til at betemme egenværdier med. Der findes en særlig funktionsom hedder eigen() til dette formål.Indtast matricen B i R> B

2. Bestem egenværdier og egenvektorer for B vha. R ved at bruge funktionen eigen(). Kontroller, ategenværdierne er de samme som du fandt tidligere.Opgave S.1.37LadA =(2 22 5).1. Bestem alle egenværdier og egenvektorer for A.2. Bestem en matrix Q sådan at D = Q −1 AQ er en diagonalmatrix.3. Udtryk vha. D matricerne Q −1 A 2 Q samt Q −1 A −1 Q (hvor Q og D er matricerne fra spørgsmåletoven for). [Vink: regn med “bogstaverne” A og Q.]4. Bestem en ortogonal matrix Q sådan at Q T AQ er en diagonalmatrix.Opgave S.1.38Lad1. Vis, at⎛A = ⎝0 −2 −15 −7 −5−8 8 7q 1 =⎛⎝ 1 01er en egenvektor for A og angiv den tilhørende egenværdi λ 1 .2. Vis, at λ 2 = −2 er en egenværdi for A og bestem en tilhørende egenvektor q 2 .⎞⎠⎞⎠ .3. Det oplyses, at A har en egenvektor af formen⎛q 3 = ⎝0 −1a⎞⎠ ,hvor a ∈ R. Bestem a samt egenværdien λ 3 hørende til q 3 .4. Lad nu Q være matricen med q 1 , q 2 og q 3 som hhv. første, anden og tredje søjle. Angiv (udenudregninger) matricen Q −1 AQ.5. [sværere spørgsmål] Lad Q være som før. Bestem et udtryk for matricen Q −1 A k Q for vilkårligtk ≥ 1. Benyt dette til at bestemme grænseværdienhvorlimk→∞13 k Ak Qv,⎛⎞v =⎝ 7 913⎠ .Opgave S.1.39 SocialgrupperEn kommune indplacerer hvert år borgerne i fire socialgrupper, betegnet S 1 , S 2 , S 3 og S 4 , fra højeste tillaveste gruppe. Bevægelser mellem de frie grupper har vist sig at følge dette mønster:• Ingen borger rykker mere end én gruppe op eller ned fra et år til det næste.• Af dem, der et vist år er i gruppe S 1 , rykker 16% næste år ned i gruppe S 2 .

• Af dem, der et vist år er i gruppe S 2 , rykker 12% op i gruppe S 1 og 8% ned i S 3 .• Af dem, der et vist år er i gruppe S 3 , rykker 8% op i gruppe S 2 og 15% ned i S 4 .• Af dem, der et vist år er i gruppe S 4 , rykker 6% op i gruppe S 3 .Kommunens indbyggertal er 42000 og det antages i denne opgave, at dette antal er konstant fra år tilår, idet der ses bort fra til- og fraflytning samt fødsel og død. Lad x t,i (i = 1, 2, 3, 4) betegne antallet afborgere i gruppe S i ved den årlige optælling i år t. Sæt⎛ ⎞x t,1x t = ⎜x t,2⎟⎝x t,3⎠ .x t,41. Angiv en 4 × 4 matrix A således, at forudsætningerne udtrykkes i modellen x t+1 = Ax t .2. Et år registrerede man 2900 indbyggere i S 1 , 4900 i S 2 og 12600 i S 3 . Hvormange indbyggere varder i hver af de fire socialgrupper året efter?3. Løs ligningssystemet (A − E)x = 0 ved at opskrive totalmatricen og udføre følgende rækkeoperationer:læg første, anden og tredje række til fjerde række. Bestem herefter løsningerne x tilligningssystemet. Hvilken egenværdi for A er hermed blevet bestemt?Fortolk en tilhørende egenvektor som en “stabil” fordeling mellem socialgrupperne og bestemdenne fordeling ved at bruge det konstante indbyggertal i kommunen.Opgave S.1.40LadBestem grænseværdien lim t→∞ y t /x t .(xt)=y t(3 54 2) t (1000).Opgave S.1.41Et opinionsinstitut spørger ved regelmæssige undersøgelser den samme gruppe mennesker, i alt 1700personer, om de er tilhængere af et bestemt fænomen. De mulige svar er JA, NEJ og VED IKKE. Følgendemønster har vist sig:• Blandt dem, der ved en vis undersøgelse svarer JA, vil ca. 60% også svare JA ved næste undersøgelse,mens resten fordeler sig ligeligt på NEJ og VED IKKE.• Blandt dem, der ved en vis undersøgelse svarer VED IKKE, vil ca. 40% svare det samme næstegang, lige så mange svarer NEJ, og resten, ca. 20%, svarer JA.• Blandt dem, der ved en vis undersøgelse svarer NEJ, vil ca. 80% svare det samme næste gang,mens resten fordeler sig ligeligt på JA og VED IKKE.Lad x t,1 , x t,2 og x t,3 betegne antallene af hhv. JA, VED IKKE og NEJ ved den t’te undersøgelse og sæt⎛x t = ⎝ x ⎞t,1x t,2⎠ .x t,31. Bestem 3 × 3 matricen A således, at det beskrevne mønster udtrykkes i modellen x t+1 = Ax t .Ved den første undersøgelse var der 800 JA-svar og 600 NEJ-svar, mens de resterende svarede VEDIKKE.2. Bestem startvektoren x 0 og beregn (gerne vha. R) vektorerne x t for t = 1, . . . 6.3. Gør rede for at x t konvergerer mod en “grænsevektor” og bestem denne. (Dette betyder, at undersøgelsernestabiliseres mere og mere.)

Opgave S.1.42 InsektpopulationVi betragter hunnerne i en population af 1-årige insekter. Hunnerne kan være frugtbare eller golde. Enundersøgelse har vist, at de kan opdeles i to grupper, A og B, som belaster miljøet forskelligt. Goldehunner er altid i gruppe B. Frugtbare hunner får i gennemsnit 2.6 hun-unger, hvoraf nogle dog vil væregolde. Når man opdeler de frugtbare hunner i A og B, viser følgende formeringsmønster sig:Hunner i gruppe A får i gennemsnit 0.8 hun-unger, som går til gruppe A, og 1.8 hun-unger, som gårtil gruppe B. Af de sidstnævnte vil 1.0 være frugtbare og 0.8 være golde. Frugtbare hunner i gruppeB får igennemsnit 0.6 hun-unger, som går til gruppe A, og 2.0 hun-unger, som går til gruppe B. Af desidstnævnte vil 0.1 være frugtbare, mens hovedparten, 1.9, er golde.Lad x t , y t og z t betegne antal hunner i år t i hhv. gruppe A, frugtbare i gruppe B og golde i gruppe B.Sæt⎛v t = ⎝ x ⎞ty t⎠ .z t1. Bestem 3 × 3 matricen M, således at der gælderv t+1 = Mv t .2. Bestem den dominerende egenværdi for M samt en tilhørende egenvektor.3. Hvorledes kan den relative fordeling mellem gruppe A og gruppe B af populationen forventes atvære, når der er gået lang tid?Opgave S.1.43Lad⎛P = ⎝1/2 1/3 5/61/3 1/2 1/61/6 1/6 0⎞⎛⎠ og lad v 0 = ⎝ 70000⎞⎠ .1. Bestem, gerne vha R, vektorerne v 1 , · · · , v 10 , hvor v t+1 = Pv t for t ≥ 0.2. Kontroller (gerne vha R), at λ 1 = 1, λ 2 = 1/6 og λ 3 = −1/6 er egenværdier for P. Angiv tilhørendeegenvektorer q 1 , q 2 og q 3 (gerne vha R).3. Bestem c ∈ R sådan at P k v 0 → cq 1 for k → ∞, hvor q 1 er den vektor der er angivet i svaretovenfor.Opgave S.1.44Bevis, at en vilkårlig overgangsmatrix har egenværdien 1. [Vink: søg inspiration i sidste del af OpgaveS.1.39.]Opgave S.1.45Betragt den symmetriske matrixA =⎛⎝ 0 2 2 ⎞2 1 0 ⎠ .2 0 −11. Find alle egenværdier og egenvektorer for A.2. Opstil en ortogonal matrix Q sådan at D = Q T AQ er en diagonalmatrix, og angiv D.3. Lad⎛b = ⎝ 2/3 ⎞ ⎛2/3⎠ , c = ⎝ 1/3 ⎞0 ⎠ .1/31/3Udregn A 5 b og A 6 c.

Opgave S.1.46Betragt den affine modelhvor a ∈ R.1. Lad a = 1/2. Vis, atfor t → ∞, uanset startvektoren( )xt+1=y t+1( ) ( ) (0 1/2 xt 1+ ,1/2 a y t 2)( )6er den eneste ligevægt for modellen samt at10( ) (xt 6→y t 10)(x0y 0).2. Lad a være vilkårlig. Vis, at modellen for |a| < 3/4 har netop én ligevægtligevægt ved a og vis, at der gælderfor t → ∞, uanset startvektoren(x0y 0).(xt)→y t(x∗y ∗)(x∗y ∗). Udtryk denneOpgave S.1.47Løs ligningssystemetx 1 + x 2 + 2x 3 = 1x 1 − x 2 + 3x 3 = 2ved at bringe totalmatricen på reduceret række-echelonform.Opgave S.1.48Løs ligningssystemetx 1 − x 2 + 4x 3 = 10x 1 + 2x 2 + x 3 = 1ved at bringe totalmatricen på reduceret række-echelonform.Opgave S.1.49Er {1, 3} en basismængde for matricenEr {1, 2}?( )1 7 13?2 9 26Opgave S.1.50Bestem samtlige basismængder for matricen( )1 1 2.1 2 2Opgave S.1.51Bestem Hessematricen for funktionen f (x 1 , x 2 ) = e x 1+x 2 − x 1 + x2 2 og undersøg om den er positiv definit.Opgave S.1.52Lad A betegne en 7 × 7 matrix med heltallige elementer og antag at summen af elementerne i hverrække er lig med 28, samt at summen af elementerne i hver søjle også er lig med 28.

Vis, at tallet 196 går op i det A.Vink: Lav rækkeoperationer hvor de 6 første rækker lægges til den 7. række. Lav derefter søjleoperationer,hvor de 6 første søjler lægges til den 7. søjle. Determinanten kan derefter beregnes ved at opløseefter 7. søjle, og hver af de første 6 6 × 6 determinanter udregnes derefter ved at opløse efter den sidsterække.Henrik L. Pedersen (henrikp@life.ku.dk)april 2012