En vægkran. Et optimeringsprojekt i 3.g htx - dirac

dirac.ruc.dk

En vægkran. Et optimeringsprojekt i 3.g htx - dirac

En vægkranRapport til dokumentation af forløb i forbindelse med kurset Problemorienteretprojektarbejde i, om og med matematik i gymnasiet, afholdt af Morten Blomhøj og TinneHoff Kjeldsen, IMFUFA, Roskilde Universitetscenter, i perioden februar til maj 2005.Udarbejdet af: Sten BregnhovedLyngby Tekniske GymnasiumJuni 2005


IndholdsfortegnelseIndledning ....................................................................................................... 1Intensionerne for underviserens udbytte af projektet...................................... 1Intensionerne for elevernes udbyttet af projektet............................................ 1Præsentation af projektet................................................................................ 2Beskrivelse af undervisningsforløbet .............................................................. 4Underviserens udbytte i forhold til intensionerne ............................................ 5Elevernes udbytte i forhold til intensionerne ................................................... 6Udvalgte pædagogiske observationer ............................................................ 7Konklusion ...................................................................................................... 7Perspektivering ............................................................................................... 8BilagsfortegnelseBilag 1: Projektoplæg til elever, 2 sider ………………………………….……………….……. 9Bilag 2: Modelleringsprocessen, 1 side ………………………………………………………. 11Bilag 3: Gruppeinddelingsskema, 2 sider ……………………………………………..……... 12Bilag 4: Evalueringsskema, 1 side ……………………………………………………………. 14Bilag 5: Sammentælling af evalueringsskema, 4 sider ………………………………..….… 15Bilag 6: Afsluttende spørgsmål til valgemnet ……………………………………………..…. 19Bilag 7: En elevrapport ……………………….………………………….…………….………. 20


En vægkran Præsentation af projektet Sten Bregnhoved, LTGPræsentation af projektetProjektet indgår som en del af valgemnet i matematik på A-niveau på htx (der er såledestale om 3. g på 6. semester), og det er tværfagligt med fysik på A-niveau, der havde valgtemnet Materialelære som valgemne. Det var tanken at lade fagene Statik & styrkelære,teknikfaget Design og produktion, byggeri og energi samt teknikfaget Design ogproduktion, el (svagstrøm) indgå ligeledes, men dette var ikke realisabelt grundet dissefags planlægning. Imidlertid egner projektet sig glimrende til, at alle ovennævnte fagindgår: Således kunne Design og produktion, el arbejde med Straingauges og wheatstonebroen,Design og produktion, byg kunne arbejde med modelleringen af kranen forståetsåledes, at der kunne vælges andre, mere komplicerede modeller end den fastindspændte bjælke, som vi arbejdede med, alene grundet den yderligere til rådighedværende tid, og Statik & styrkelære kunne arbejde med for eksempel reaktioner frakranen.Projektet i denne udgave handler imidlertid om udarbejdelsen af et forslag til en vægkrantil en maskinfabrik. Klassen opgraderes således til en række ingeniørgrupper i etingeniørfirma, og scenen sættes da ved udlevering af en skrivelse fra føromtaltemaskinfabrik, se bilag 1. Valget af opgaveoplæg ligger i det fordrede svar til indkøbschefenfor maskinfabrikken, som gerne skulle medføre en fornuftig dokumentation, hvilket normalter svært at få alle elever til at udføre.Tidsplanen for gennemførelsen af projektet vises nedenfor. Der blev i alt afsat 8 lektioner á60 minutter til selve projektet, og 2 lektioner til færdiggørelse af valgemnet. Det var ikkemuligt at gennemføre projektet i én køre af hensyn til vores pædagogiske weekend, deplanlagte terminsprøver og den øvrige planlægning af faget.Uge Torsdag Fredag9 Opstart, diskussion,modelleringsprocessen,Tidsplan afleveres, detvidere arbejde med projektetgruppedannelse10 Terminsprøver Pædagogisk weekend11 Projektarbejde fortsat Rapport afleveres12 Påske Påske13 Valgemne færdiggøres n.a.Efter udlevering af oplægget skulle behovet for at lære noget om de i kraftpåvirkedekonstruktioner opståede spændinger samt den af kraften følgende nedbøjning gerneopstå, og der var planlagt udlevering af et kompendium derom på engelsk efter aftale medholdets engelsklærer. Dette motiveredes dels af, at det ikke er alle elever på holdet, derhar statik & styrkelære/byg/fysik A, hvorfor ikke alle har blot et perifert kendskab tilområdet, og dels af elevernes kommende uddannelse, hvor de vil møde lærebøger påfremmedsprog en masse.Der var afsat tid til den forventede diskussion, der burde opstå i denne fase af projektet,idet eleverne burde blive opmærksomme på, at de blandt andet skal igennem enundersøgelsesfase for at tilegne sig den for løsningen af projektet fordrede viden. Det vartanken, at de forskellige faggrupper - altså de elever der på tværs af arbejdsgrupperne(herefter blot grupperne) havde valgfagene Fysik A og Statik & styrkelære - skulle påtagesig ansvaret for at indhente og formidle den viden, som de grundet deres valgfag naturligtFilnavn: Steen Side 2


En vægkran Præsentation af projektet Sten Bregnhoved, LTGville kunne bidrage med. Dette fordrede en entydig identifikation af, hvad det er nødvendigtat vide for at løse opgaven samt en opdeling af projektet i mindre dele.Der var derfor forberedt udlevering og gennemgang af et ark papir, hvormodelleringsprocessen i én udgave blev vist, se bilag 2. Dermed var det muligt at være påforkant med det næste behov – nemlig behovet for et redskab til at strukturere den pådette tidspunkt uoverskuelige opgave. Selve modelleringen havde ligeledes til hensigt atstøtte den fagspecifikke læring, idet det var tanken, at de gennem modelleringen bestemteudtryk og disses grafer skulle tjene til en større forståelse af emnet.Endelig havde jeg begået et skrift, som vises på bilag 3, omhandlende krav og fordringer tilgruppedannelsen. Der gælder flere forhold omkring denne: Opgaven vurderedes som såkompleks, at der af dokumentet fremgik en overordnet køreplan, der dog forinden varopnået konsensus om i forbindelse med klassediskussionen, som foregik forindenudleveringen, således at eleverne havde noget på skrift at forholde sig til, og der var kravom forskellige kompetencer hos de enkelte gruppemedlemmer af samme årsag. Der blevogså stillet den opgave, at eleverne skulle evaluere arbejdsprocessen, idet eleverne jofremover skal opnå kendskab til forskellige arbejdsprocesser foruden egnelæringspræferencer. Endelig tilføjedes et konkurrencemoment, hvilket plejer at virkemotiverende, ved at udlove en bonus til den bedste besvarelse.Afslutningsvis blev eleverne bedt om at beskrive, hvad de hver især havde tænkt sig atbidrage med i gruppearbejdet samt udarbejde en tidsplan for projektets gennemførelse tilaflevering den følgende gang, og således var min opgave efter de første to lektionerreduceret til at agere vejleder for de enkelte grupper frem til afleveringen af gruppernesprodukt.Produktet var en rapport skrevet til den indkøbsansvarlige for den bestillende virksomhed,hvilket fordrer en del forklarende tekst. Der var krav om beregninger, grafer ogfortolkninger af disse (kravene var fremkommet i gruppediskussionen) samt ikke mindst enbeskrivelse af dels gruppedeltagernes respektive roller med en fornuftig vurdering af, omde hver især har levet op til forpligtigelserne, som beskrevet af eleverne selv i forbindelsemed gruppedannelsen, og dels et forsøg på at identificere de forskellige faser imodelleringsprocessen, således som nævnt ovenfor. Hver gruppe skulle aflevere etkomplet løsningsforslag til ledelsen - uanset deres respektive valgfag. Løsningsforslagenekunne i de enkelte grupper dog variere i afhængighed af gruppernes evner.Færdiggørelsen af emnet skete ved udlevering af en række opgaver af lidt mere komplekskarakter, som klassen skulle løse. Dette tjente ikke mindst til kontrol af indlæringen af detgrundlæggende pensum.Filnavn: Steen Side 3


En vægkran Beskrivelse af forløbet Sten Bregnhoved, LTGBeskrivelse af undervisningsforløbetEfter udlevering af oplægget, som umiddelbart blev vel modtaget med et smil på læberne,forløb den næste time med at diskutere problemstillingen i og med hele klassen. Heldigvisbesad klassen som helhed viden nok til at overskue opgaven, således at jeg blot kunnefange de enkelte guldkorn op og lede diskussionen derhen, hvor det var hensigten.Således var vi efter en time klar med følgende: De enkelte faggrupper (matematik, fysiksamt statik & styrkelære) havde fået tildelt nogle specifikke opgaver såsom at bestemmematerialekonstanter for det anvendte stål (statik & styrkelære), at bestemme hvorledes”normal” nedbøjning kan defineres (do.), at udlede udtrykket til bestemmelse af spænding(fysik), at udlede differentialligningen, som giver vinkeldrejning og nedbøjning (fysik) samtat løse samme (matematik). Denne tildeling skete helt naturligt, idet for eksempel en elevspurgte: ”Hvad er en normal nedbøjning?”. Svaret fra en anden elev, som så havde statik& styrkelære var da: ”Den maksimale nedbøjning bestemmes som 1/400 af længden afbjælken.” Her kom jeg så ind med et :”Er du sikker på det? I har nok oftest regnet påtræbjælker, og her arbejder vi med stål. Er det det samme? Hvem kan undersøge det?”,og udgangen på denne idealiserede diskussion var da, at faggruppen Statik & styrkelæretog sig af det.Modelleringsprocessen blev gennemgået ganske kort: Således blev hver delprocesforklaret og relateret til en tidligere opgave, hvor det var muligt. Der blev anvendt omkring10 minutter på dette punkt, men klassen kunne faktisk efterfølgende komme medforslaget: ”Vi kunne simplificere kranen med en simpelt indspændt bjælke” som svar på mitspørgsmål umiddelbart efter gennemgangen af modelleringsprocessen: ”Hvad gør vi nu?”,og der kom også forslag til det profil, der skulle benyttes, og således endte vi på atmodellere et rektangulært tværsnit, hvor bredden var større end højden, et rektangulærttværsnit, hvor højden var større end bredden samt et T-profil. Modelleringen og de deraffølgende grafer skulle benyttes til at vurdere de enkelte tværsnitsdimensioners indflydelsepå nedbøjning og spænding. Enkelte elever kom af sig selv ind på stabilitetsproblemer vedde forskellige tværsnit, og refleksioner over bjælkens egenvægts betydning i forhold tilspænding og nedbøjning.Ovenstående må opfattes som de styrende elementer, idet grupperne herefter i princippethavde stillet sig selv følgende to opgaver: Opstil en model der kan forudsige nedbøjningog spænding for hver af de (mindst) tre ovennævnte profiler. Vurdér hvor stor indflydelsedimensionerne på de enkelte tværsnit har på nedbøjning og spænding, og træf et valg omtværsnit på baggrund heraf. Det skal dog siges, at ikke alle grupper havde opnået denklarhed, som jeg mere eller mindre naivt antog, at de havde, hvilket beskrives nedenfor.Efter denne fase blev arbejdet givet frit, og eleverne arbejdede med gruppeinddelingen ogderefter tidsplanen uden problemer – dog eksisterede der divergerende opfattelser af,hvad en sådan tidsplan skulle indeholde, og kun enkelte grupper kom på egen hånd fremtil en plan, der var anvendelig, idet de øvrige ikke havde overblik nok til at planlægge i dendetaljeringsgrad, der var nødvendig for, at planen skulle være en hjælp og etstyringsredskab.Den følgende dag, gik arbejdet i de forskellige grupper derfor så trægt, at det viste signødvendigt at samle op på informationssøgningen – det vil sige fastlæggelse afmaterialekonstanter, forhold omkring nedbøjning, udtryk til bestemmelse af spændingsamt differentialligning vedrørende vinkeldrejning og nedbøjning. Denne viden besadklassen som helhed dog forinden, men samarbejdet på tværs af grupperne virkede ikkeFilnavn: Steen Side 4


En vægkran Udbyttet af projektet Sten Bregnhoved, LTGdog kommenteret kurverne med bemærkninger som Kurven vokser lineært, eller vi kan se,at bredden bliver urealistisk stor, hvis vi skal opfylde kravet til spændingerne. Andregrupper havde (på traditionel htx-vis!) blot opstillet en ulighed, som da giver for eksempelden mindste bredde, der opfylder kravene. Ergo havde disse grupper ikke udført enegentlig modellering, ihvorvel opgaven jo blev løst på ingeniørmæssig korrekt facon.Helt konkret i forhold til dette projekt kunne et forsøg på at opnå en højere succesrate medhensyn til modellering være at formulere en række opgaver, som stillede krav om grafernefor spænding og nedbøjning som funktion af bredden henholdsvis højden af det førsterektangulære profil, og som lagde op til en vurdering deraf. Ved de efterfølgende profilerkunne der blot spørges i generelle termer i stil med ”Bestem den variabel, der har størsteffekt på nedbøjningen.” med det håb, at eleverne så har set lyset og foretager enmodellering.Elevernes udbytte i forhold til intensionerneUdbyttet i forhold til det matematikfaglige mål var højere end forventet. Eleverne udtrykker,at det var svært at få hul på emnet, men også at det lykkedes at opnå en rimelig forståelseaf emnet ved arbejdet med projektet, og det kan jeg nemt tilslutte mig: Efter projektetudleveredes som anført en række opgaver med lidt mere komplekse tværsnit, se bilag 6.Som det fremgår, så skal eleverne for at løse opgaverne, have opnået en rimeligforståelse for begreberne arealmoment, tyngdepunktakse og inertimoment, og de skal selvvære i stand til at opstille og løse de nødvendige integraler i forbindelse med bestemmelseaf samme. Da dette så ud til at være tilfældet, må jeg konkludere, at projektarbejdet harbåret frugt i denne henseende, men også en samtale under projektet indikerer, at læringenopstod under projektarbejdet: Elev 1: ”Hvad er afstanden nu fra det nederste arealstyngdepunkt til det samlede areals tyngdepunkt?”, Elev 2: ”Det skal vi da ikke bruge tilnoget!”, Elev 1 igen: ”Jeg synes da, at det var det, der stod i eksemplet i kompendiet. Lados se efter.”, Elev 3: ”Du har ret. Vi skal kende afstanden for at bestemme det samledeinertimoment ved hjælp at flytteformlen.” Ofte skete der også det, at en gruppe markerede,og da det blev deres tur, så havde de klaret problemerne på egen hånd.Lektionerne i forbindelse med opsamlingen forløb således, at eleverne fik cirka 15 minuttertil første opgave, hvorefter én af eleverne gennemgik opgaven på tavlen. Det gik over alforventning, og eleverne selv virkede begejstrede over det lidt opskruede tempo, hvormedvi fortsatte, indtil alle fire opgaver var løst. Det er glædeligt at konkludere, at elevernefaktisk godt kan lære noget af et projekt, hvilket jeg ikke har oplevet i så høj grad tidligere.Eleverne har vurderet gruppearbejdet anderledes end jeg. Således vurderer de både egenindsats såvel som de øvrige gruppemedlemmers indsats væsentlig højere, men det er ibegge tilfælde også et kendt fænomen: De fleste elever vurderer sig selv højere, end deburde – ikke så meget omkring en faglig præstation, men oftere på en arbejdsindsats, ogden ene elev er ofte ”flink” ved den anden, når de skal udtale sig om hinanden. Det erhåbet, at reformen vil kompensere på dette område som følge af den deraf planlagteprogression i arbejdsformer.Modelleringsprocessen gik det på den anden side heller ikke helt så godt med, ideteleverne ikke i særlig høj grad var i stand til at tage processen til sig og ej heller til atidentificere delprocesserne. Dette ses også tydeligt af de mangelfulde eller helt manglendenotater desangående. Eleverne er tydeligvis ikke vant til at reflektere over egen læring,Filnavn: Steen Side 6


En vægkran Bilag 1, side 1 af 2 Sten Bregnhoved, LTGIngeniørfirmaet 3.xyMatematikvej 32800 Kgs. LyngbyØstre Bøvelse, den 3. marts 2005Vedr.: Etablering af vægkranI forbindelse med en større ordre på maskinelementer har vi behov for etablering af enrække vægkraner til montering i vores produktionshal. De kan på det vedlagte bilag se enplantegning af hallen. Kranen skal kunne løfte emner med en masse på op til 350 kg, oghver kran skal have en aktionsradius på ikke mindre end 3 meter, men i øvrigt så stor sommuligt, når nedbøjningen af kranen ikke må overstige, hvad der kan betragtes som normaltved fuld belastning.Det er tanken, at vores egne smede skal varetage udførelsen af kranerne, ligesom vi selvleverer det fornødne materiale, idet vi grundet andre forhold har en række plader idimensionen 2000x6000 i konstruktionsstål efter DS 37A liggende. Vi ønsker selvfølgeligat jeres konstruktion er så let og materialebesparende som muligt.Vi forventer Deres tilbud om højst 14 arbejdsdage.Med venlig hilsenAnders Iversen, Indkøbschef af første klasseMaskinfabrikken AV ApSFantasivej 424242 Østre BøvelseFilnavn: Steen Side 9


En vægkran Bilag 1, side 2 af 2 Sten Bregnhoved, LTGFilnavn: Steen Side 10


En vægkran Bilag 2, side 1 af 1 Sten Bregnhoved, LTGFilnavn: Steen Side 11


En vægkran Bilag 3, side 1 af 2 Sten Bregnhoved, LTGGruppeinddelingGrupperne, som I selv sammensætter, består af 3-4 deltagere. Hver gruppe repræsentereren arbejdsgruppe fra ingeniørfirmaet, som har udlovet en bonus til den gruppe, derpræsenterer det bedste forslag. Der er følgende krav til gruppesammensætningen: Dervælges en formand, som skal kunne holde deltagerne i sving, der skal være en deltager,som er god til at indhente oplysninger andet steds i huset, og der skal være én, der ersærlig god til at regne.Gruppens arbejdsopgaver efter nedsættelse:• Alle deltagere beskriver, hvorledes de har tænkt sig at bidrage til løsningen af dengivne opgave. Kopi af beskrivelsen afleveres til ledelsen i dag senest kl. 16.20.• Der udarbejdes en tidsplan med angivelse af milepæle. Tidsplanen afleveres næstegang til ledelsen for godkendelse.• Opgaven fra AV ApS løses…• Der udarbejdes et notat med en evaluering af arbejdet. Evalueringen skal omhandle• Det ”matematiske” arbejde• Gruppedeltagernes arbejde i forhold til det nedenfor beskrevne• Gruppedeltagernes opfattelse af modelleringsprocessen – herunderen tydelig identifikation af de enkelte delprocesser• Hvorledes det gik med at indhente de nødvendige oplysninger fra deandre faggrupper• Notatet afleveres til ledelsen sammen med rapporten til AV ApS, og ledelsen vil dasiden på baggrund af notatet og rapporten indstille til en bonus.Filnavn: Steen Side 12


En vægkran Bilag 3, side 2 af 2 Sten Bregnhoved, LTGGruppe nummer: ___Deltager 1 (Formand): _____________________________ forpligter sig til at bidrage medfølgende: _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Deltager 2: ______________________________ forpligter sig til at bidrage medfølgende: _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Deltager 3: ______________________________ forpligter sig til at bidrage medfølgende: _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Deltager 4: ______________________________ forpligter sig til at bidrage medfølgende: _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Filnavn: Steen Side 13


En vægkran Bilag 4, side 1 af 1 Sten Bregnhoved, LTGEvalueringsskemaDet gik jo ikke så godt med det fordrede notat, idet kun én gruppe havde beskrevet allepunkter, så derfor bedes I alle udfylde nedenstående spørgeskema, således at vi allelærer noget af forløbet. I bedes udtrykke jeres holdning til de nedenfor viste udsagn ved atnotere et heltal mellem 1 og 5 ud for udsagnet, hvor 1 betyder, at I er helt uenige iudsagnet, og 5 betyder, at I er helt enige i udsagnet.Skemaet afleveres på katederet næste gang inden testen!Udsagn 1: Projektet var opbygget på en motiverende måde. ____Udsagn 2: Jeg anså projektet for relevant. ____Udsagn 3: Det var sjovt at løse opgaven. ____Udsagn 4: Det var let at overskue helheden i projektet. ____Udsagn 5: Det var let at få indhentet de nødvendige oplysninger fra de forskelligefaggrupper. ____Udsagn 6: Matematikken med valgemnet (Inertimomenter) var let at gå til. ____Udsagn 7: Jeg lærte at regne med inertimomenter i løbet af projektet. ____Udsagn 8: Modelleringsprocessen var let at gå til. ____Udsagn 9: Jeg lærte at identificere de forskellige delprocesser i modelleringsprocessen iløbet af projektet. ____Udsagn 10: Jeg har opfyldt min del af gruppekontrakten. ____Udsagn 11: De øvrige gruppemedlemmer har opfyldt deres del af gruppekontrakten. ____Sluttelig bedes du give din uforbeholdne mening om projektet nedenfor!Tak for hjælpen!!!Sten BregnhovedFilnavn: Steen Side 14


En vægkran Bilag 5, side 1 af 4 Sten Bregnhoved, LTGSammentælling af evalueringsskemaAntal afleverede skemaer: n := 16 Mulige værdier: k:=1..5Udsagn 1: Projektet var opbygget på en motiverende måde. t := 1U:= ( 5 5 4 3 3 5 5 4 3 5 3 3 3 3 5 3)⎛ 0⎜0⎜gennemsnit = 3.875 mindst = 3størst = 5Resultat = 8t t t kt ,⎜⎜ 2⎜6Udsagn 2: Jeg anså projektet for relevant. t := 2⎝⎞⎟⎟⎟⎠U:= ( 5 4 5 3 4 5 4 4 4 5 3 2 4 4 4 4)⎛ 0⎜1⎜gennemsnit = 4 mindst = 2størst = 5Resultat = 2t t t kt ,⎜⎜ 9⎜4Udsagn 3: Det var sjovt at løse opgaven. t := 3⎝⎞⎟⎟⎟⎠U:= ( 3 4 4 2 1 4 4 4 2 4 3 1 4 2 4 4)⎛ 2⎜3⎜gennemsnit = 3.125 mindst = 1størst = 4Resultat = 2t t t kt ,⎜⎜ 9⎜0Udsagn 4: Det var let at overskue helheden i projektet. t := 4⎝⎞⎟⎟⎟⎠U:= ( 2 3 3 2 2 2 3 3 2 2 3 1 2 1 3 2)⎛ 2⎜8⎜gennemsnit = 2.25 mindst = 1størst = 3Resultat = 6t t t kt ,⎜⎜ 0⎜0⎝⎞⎟⎟⎟⎠Udsagn 5: Det var let at få indhentet de nødvendige oplysninger fra deforskellige faggrupper.t := 5U:= ( 3 2 4 3 2 4 3 2 2 1 1 2 2 2 5 4)⎛ 2⎜7⎜gennemsnit = 2.625 mindst = 1størst = 5Resultat = 3t t t kt ,⎜⎜ 3⎜1⎝⎞⎟⎟⎟⎠Filnavn: Steen Side 15


En vægkran Bilag 5, side 2 af 4 Sten Bregnhoved, LTGUdsagn 6: Matematikken med valgemnet (Inertimomenter) var let at gå til.t := 6U:= ( 2 3 4 2 1 4 3 4 4 3 2 1 3 1 4 3)⎛ 3⎜3⎜gennemsnit = 2.75 mindst = 1størst = 4Resultat = 5t t t kt ,⎜⎜ 5⎜0Udsagn 7: Jeg lærte at regne med inertimomenter i løbet af projektet. t := 7⎝⎞⎟⎟⎟⎠U:= ( 3 4 4 2 2 5 4 4 3 4 4 2 4 3 1 4)⎛ 1⎜3⎜gennemsnit = 3.313 mindst = 1størst = 5Resultat = 3t t t kt ,⎜⎜ 8⎜1Udsagn 8: Modelleringsprocessen var let at gå til. t := 8⎝⎞⎟⎟⎟⎠U:= ( 3 4 4 2 2 3 3 3 2 1 1 2 2 2 4 2)gennemsnit = 2.5 t2⎜7⎜mindst = 1størst = 4Resultat = 4t t kt ,⎜⎜ 3⎜0Udsagn 9: Jeg lærte at identificere de forskellige delprocesser imodelleringsprocessen i løbet af projektet.⎛⎝⎞⎟⎟⎟⎠t := 9U:= ( 2 4 4 2 2 5 2 3 2 1 2 2 3 3 5 3)⎛ 1⎜7⎜gennemsnit = 2.813 mindst = 1størst = 5Resultat = 4t t t kt ,⎜⎜ 2⎜2Udsagn 10: Jeg har opfyldt min del af gruppekontrakten. t := 10⎝⎞⎟⎟⎟⎠U:= ( 3 4 5 3 2 5 4 5 4 5 4 3 4 3 5 5)⎛ 0⎜1⎜gennemsnit = 4 mindst = 2størst = 5Resultat = 4t t t kt ,⎜⎜ 5⎜6⎝⎞⎟⎟⎟⎠Filnavn: Steen Side 16


En vægkran Bilag 5, side 3 af 4 Sten Bregnhoved, LTGUdsagn 11: De øvrige gruppemedlemmer har opfyldt deres del afgruppekontrakten.t := 11U:= ( 3 4 5 3 4 5 5 3 2 5 4 3 4 3 4 5)⎛ 0⎜1⎜gennemsnit = 3.875 mindst = 2størst = 5Resultat = 5t t t kt ,⎜⎜ 5⎜5⎝⎞⎟⎟⎟⎠Den samlede optælling giver dermed:gennemsnit T = ( 3.875 4 3.125 2.25 2.625 2.75 3.313 2.5 2.813 4 3.875)mindst T = ( 3 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2)størst T = ( 5 5 4 3 5 4 5 4 5 5 5)Resultat =⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝0082601294232902860027331335501338127430174220145601555⎞⎟⎟⎟⎠Filnavn: Steen Side 17


En vægkran Bilag 5, side 4 af 4 Sten Bregnhoved, LTGSluttelig bedes du give din uforbeholdne mening om projektet nedenfor!13 ud af 16 har fuldt opfordringen. Deres kommentarer gengives i ufordøjet form nedenfor.- syntes det var meget spændende, men fandt ud af senere i forløbet, at nogel af opgaverne var megetsvære at løse.- som du kan se af ovenstående fandt jeg egentlig projektet meget interessant, og de gange hvor vi rigtigtfik arbejdet med det, var det faktisk også en meget tilfredsstillende oplevelse. Det skete beklageligvis ikkeofte nok, og som resultat blev afleveringen udskudt. Til sidst overlappede det dermed andre projekter(også i andre fag), og det blev nedprioriteret og derfor en anelse ustruktureret.- ganske fint, dog en del arbejde.- havde svært ved matematikken, så derfor var det svært at komme i gang og få løst projektet.- glimrende emne, dog lidt uoverskueligt til start.- meget interessant projekt.- jeg synes det har været et meget godt forløb generelt. Dog synes jeg, at forløbet er indtruffet lidt forsent, så alle gruppemedlemmerne havde meget andet at se til, hvilket gjorde forløbet alt for fragmeneteretog præget af manglende gruppearbejde.- okay projekt, dog med for lidt tid efter min mening.- efter at have fundet ud af formler var det okay. Det var et okay emne, men synes ikke, at det skal være igrupper, for så er man afhængig af hinanden.- det virker som om, at alt skal gøres lidt sværere end det behøver. Det er som om, du kun har 10-talselever, og dem, der ligger normalt, har svært ved at følge med.- jeg har hverken teknik, byggeri eller statik & styrkelære, så det var meget uoverskueligt at blive kastetud i.- projektet var svært, men vi kunne måske også havde lavet en bedre indsats. Timerne blev ikke brugtgodt nok.- det var et udemærket projekt, der motiverede én til at arbejde selvstændigt og med kreativitet. Selveprojektet var udfordrende på den måde, at det indeholdt diverse tværfaglige områder, som man skulleuddybe.Filnavn: Steen Side 18


En vægkran Bilag 6, side 1 af 1 Sten Bregnhoved, LTGMatematik AValgemne: Tyngdepunkter og inertimomenterDu skal nu efter at have arbejdet med projektet om vægkranen arbejde med en rækketværsnit, der alle er definerede nedenfor. Du har cirka 15 minutter til hver opgave,hvorefter opgaven gennemgås af én af klassens elever på tavlen.God fornøjelse!!!Sten BregnhovedOpgave 1: Bestem arealmoment, tyngdepunktets beliggenhed og inertimoment fornedennævnte symmetriske profiler.a) T-profil: Højde af krop: 400 mm, bredde af krop: 10 mm, højde af flange:12 mm, bredde af flange: 350 mm.b) I-profil: Højde af krop: 40 mm, bredde af krop: 5 mm, højde af øversteflange: 10 mm, bredde af øverste flange: 50 mm, højde af nederste flange:10 mm, bredde af nederste flange: 30 mm.c) Et cirkulært tværsnit med radius 20 mm.d) Et halvcirkulært tværsnit med radius 30 mm.Filnavn: Steen Side 19


En vægkran Bilag 7: En elevrapport Sten Bregnhoved, LTGMatematikprojekt – Etablering af vægkranLavet af: A. Illum, H. H. Køller, P. Roed & S. PaneUddannelsessted: Lyngby Tekniske Gymnasium (HTX)Klasse: 3.zGruppe: 1Afleveringsdato: 18/3 2005Filnavn: Steen Side 20


Gruppe 1Matematikprojekt: Etablering af vægkranIndholdsfortegnelse1. Projektbeskrivelse2. Grundbetingelser til bøjningspåvirkede konstruktionselementer3. Løsningsforslag4. Evaluering og validering5. KonklusionBilag:1. Note vedrørende sammenarbejdet m.m.2. Tidsplan3. Oplægget indeholdende tegning over produktionshallen21


Gruppe 1Matematikprojekt: Etablering af vægkran1. ProjektbeskrivelseI dette projekt har vi som gruppe 1 i ingeniørfirmaet 3.xy udarbejdet et løsningsforslag i forbindelsemed bestemmelsen af en række vægkraners faktiske dimensioner til brug under monteringen iproduktionshallen, som efterspurgt. Til udførelsen af dette løsningsforslag har vi tagetudgangspunktet i de oplysninger, som maskinfabrikken AV ApS har vedlagt i ansøgningen.Oplysningerne er de følgende:• Kranen skal være i stand til at løfte emner med en masse op til m max = 350 kg• Kranen skal have en aktionsradius på L ≥ 3 m• Nedbøjningen af kranen må ikke overstige den ”normale” deformation ved fuldbelastning• Kranen skal udføres ud fra de fornødne materialer, hvilket er plader i dimensionen2000 x 6000 mm i konstruktionsstål efter DS (Dansk Standard) 37A• Konstruktionselementet ønskes så let og materialebesparende som muligt• Løsningsforslaget ønskes præsenteret om højst 10 arbejdsdageMed dette udgangspunkt vil vi i det følgende behandle fra start til slut hvorledes vi er kommet fremtil løsningsforslaget.Løsningsforslaget udføres under to beregningsforudsætninger. Den første forudsætning er enafgrænsning af projektet, hvor vi kun betragter bjælken af konstruktionselementet. Den andenforudsætning er en simplificering af projektet, hvor vi betragter bjælken som et indspændtkonstruktionselement. Her forneden ses en skitse over bjælken i overensstemmelse med voresberegningsforudsætninger:Det er nødvendigt at bestemme en række størrelser i forbindelse med den ”normale” nedbøjningsamt den type konstruktionsstål der er anvendt, som beregningsgrundlag. De pågældende størrelserer bestemt ved undersøgelse i fagbøger hhv. Internettet. Ifølge undersøgelserne fremgår følgende:• Aktionsradiussen er bestemt til L = 4 m• Den ”normale” nedbøjning skal opfylde følgende ulighed:u ≤ 1max 400 ⋅Lhvor u max er den maksimale nedbøjning og L er aktionsradiussen for bjælken22


Gruppe 1Matematikprojekt: Etablering af vægkran• Tykkelsen for konstruktionsstålet efter DS 37A er bestemt til t = {8, 15, 25} mm• Det regningsmæssige styrketal for konstruktionsstålet efter DS 37A afhængig af omtaltetykkelser er bestemt til f yd = 210 N/mm 2• Konstruktionsstålets massefylde er bestemt til ρ = 7860 kg/m 3Med disse bestemmelser har vi nok oplysninger som beregningsgrundlag. For at kunne bestemmebjælkens faktiske dimensioner, så må noget basal teori for bøjningspåvirkedekonstruktionselementer behandles. Dette vil vi gøre under benyttelsen af fagområderne statik, somer læren om legemers ligevægt og som sætter os i stand til at finde frem til det maksimalt påvirkedepunkt i et konstruktionselement, og styrkelære, som behandler de styrkebetingelser tildimensioneringen af konstruktionselementer. Disse grundbetingelser vil efterfølgende sætte os istand til at opstille nogle matematiske udtryk til bestemmelsen af bjælkens faktiske dimensioner.23


Gruppe 1Matematikprojekt: Etablering af vægkran2. Grundbetingelser til bøjningspåvirkede konstruktionselementerTværsnitskonstanterTværsnitsprofiler spiller en vigtig rolle i forbindelse med et materialets evne til at optage en givenbelastning. Dette er ensbetydende med, at tværsnitskonstanterne for et givet profil har indflydelse istyrkeberegningen. Af tværsnitskonstanter kan nævnes flere forskellige, såsom tværsnitsarealet,bredden, højden, evt. radier og to mindre kendte tværsnitskonstanter kaldet inertimomentet hhv.modstandsmomentet. Inertimomentet hhv. modstandsmomentet er udtryk for et materialets stivhedog indgår i forskellige styrkebetingelser. Disse tværsnitskonstanter kan i nogen grad hjælpe os til atidentificere et givet tværsnitsprofils evne til at optage en belastning. Som vi skal se i det følgende,så har fx inertimomentet indflydelse i den maksimale nedbøjning af bjælken, mensmodstandsmomentet har indflydelse i bøjningsspændingen eller de indre spændinger i bjælken somfølge af en given påvirkning.Inertimoment af rektangelLad os betragte et legemes tværsnitsareal A samtidig med vi kun kigger på en lille arealenhed dA.Herved vil inertimomentet i forhold til de indførte akser defineres ved:I x.y 2.⌠⌠⎮ dAI ⎮ x 2 dA⌡y ⌡AAhvor I x hhv. I y er inertimomentet i forhold til akserne, y hhv. x er afstanden fra arealenheden tilakserne og dA er arealenheden.Inertimomentet af et rektangel må kunne bestemmes under benyttelsen af ovenstående definition afinertimomentet. Herunder indlægger vi x- hhv. y-aksen om rektanglets tyngdepunkt. Akserne kaldestyngdeakser. Dernæst betragter vi en lille arealenhed dA med bredden som det eksisterenderektangel og højden dy.24


Gruppe 1Matematikprojekt: Etablering af vægkranI x.⌠⎮ y 2 dA⌡AI xh⌠⎮ 2⎮⎮⌡−h2y 2 ⋅bdyHer udnyttes at arealenheden kan defineres ved dA = b dy, hvor vi derefter substituerer udtrykketfor dy i definitionen for inertimomentet. I øvrig defineres grænserne til y = -h/2 hhv. y = h/2, idet viønsker at bestemme inertimomentet for hele tværsnitsarealet.⎛⎝1I x ⎜3 ⋅b⋅ y3⎞⎠Stamfunktionen bestemmes og vi gør os klar til at substituere grænserne i stedet for y.1I x 3 ⋅b⋅⎛⎜⎝h2⎞⎠3−13 ⋅b⋅⎛⎜⎝−h2⎞⎠3⎛1I x 3 ⋅bh 3⋅⎜8⎝+h 38⎞⎠Her ser vi at udtrykket besidder en fællesfaktor, som vi så sætter uden for parentesen. Dernæstophæver vi kubiktalparenteserne og gør os klar til at ophæve også den sidste parentes.2I x 24 ⋅b⋅ h325


Gruppe 1Matematikprojekt: Etablering af vægkran1I x 12 ⋅b⋅ h3Inertimomentet af et rektangel er altså defineret ved en tolvte del multipliceret med bredden,multipliceret med kubiktallet af højden. Herunder bemærker vi, at bredden og højden afhænger afom rektanglet er stående på højkant eller liggende. Inertimomentet måles i enheden mm 4 .FlytningsformlenVi kan komme ud for, at et tværsnitsprofil er sammensat af flere delprofiler. Dette er fx tilfældetved T-profiler, I-profiler, HE-profiler osv.. Ved sådan sammenbyggede delprofiler vilfællestyngdepunktet være placeret anderledes i forhold til de enkelte delprofilerstyngdepunktsplacering. Hvis den samlede tværsnitsareals tyngdeakse er sammenfaldende meddeltværsnitsarealernes tyngdeakser, så kan inertimomentet for hele tværsnitsprofilet bestemmes vedat addere delprofilernes inertimoment med hinanden. Dog, hvis den samlede tværsnitsarealstyngdeakse ikke er sammenfaldende med deltværsnitsarealernes tyngdeakser, så kan denne regelikke benyttes og må dermed udarbejde en anden løsningsmetodik. Løsningen på problemstillingener den såkaldte flytningsformel.Lad os betragte et legemes tværsnitsareal A samtidig med vi kun kigger på en lille arealenhed dA.Herved vil inertimomentet i forhold til en parallelforskudt akse fra tyngdeaksen bestemmes ved:I xI x.⌠⎮ y 2 dA⌡A.⌠⎮⎮⌡A( ) 2y + a tdAHer udnyttes at afstanden y kan defineres ved y = y t + a, hvor vi derefter substituerer udtrykket for yi definitionen for inertimomentet.I x.⌠⎮⎮⌡A( ) 2y t.⌠dAa 2.⌠+ ⎮ dA+ 2a ⋅ ⋅⎮y dA⌡tA⌡A26


Gruppe 1Matematikprojekt: Etablering af vægkranVed at ophæve kvadratparentesen kommer vi frem til ovenstående integraler. Herunder kan vikonstatere at det første integral repræsenterer inertimomentet af hele tværsnitsarealet i forhold tiltyngdeaksen. Det andet integral består af en konstant afstand a, som går fra tyngdeaksen til denparallelforskudte akse, og som vi lader stå. Det tredje og sidste integral repræsenterer rent faktisk enny størrelse, som vi ikke har præsenteret endnu. Størrelsen kaldes et arealmoment og betegnes Q(her ses bort fra konstantfaktorerne multipliceret til integralet). I forbindelse med definitionen afarealmomentet gælder samme betingelser som for inertimomentet, afstanden y t er blot i førstepotens. Herunder må vi konkludere at det sidste integral må være lig nul, eftersom at tyngdepunktetfor hele tværsnitsarealet er placeret på tyngdeaksen x t . Dette er ensbetydende med at y t -koordinatenfor hele tværsnitsarealet er sammenfaldende med tyngdeaksen x t og medfører dermed, atarealmomentet Q x,t for hele tværsnitsarealet er lig nul.T(x t , y t ) = (0,0).⌠Q y Axt , ⎮ d t⌡Ay ⋅At0A ⋅ 0I x = I x,t + a 2 AInertimomentet af et legemes tværsnitsareal i forhold til en parallelforskudt akse fra tyngdeaksen eraltså defineret ved summen af inertimomentet af tværsnitsarealet i forhold til tyngdeaksen ogkvadratet på afstanden a gående fra tyngdeaksen til den parallelforskudte akse multipliceret medtværsnitsarealet.Modstandsmoment af rektangelSom ved inertimomentet, så bestemmes modstandsmomentet tilsvarende i forhold til detpågældende tværsnitsareals tyngdeakser. Modstandsmomentet om en tyngdeakse er defineret vedinertimomentet af tværsnitsarealet om samme tyngdeakse divideret med afstanden fra tyngdeaksentil det pågældende tværsnitsareals yderste fibre. Ved at anvende omtalte definition måmodstandsmomentet af et rektangel kunne bestemmes således:27


Gruppe 1Matematikprojekt: Etablering af vægkranI xW xe112 ⋅b⋅ h3W xh2Her udnyttes som det fremgår i skitsen, at afstanden fra tyngdeaksen til tværsnitsarealets yderstefibre kan defineres ved e = h / 2, hvor vi derefter substituerer udtrykket for e i definitionen formodstandsmomentet.2W x 12 ⋅b⋅ h21W x 6 ⋅b⋅ h2Modstandsmomentet af et rektangel er altså defineret ved en sjette del multipliceret med bredden,multipliceret med kvadratet af højden. Herunder bemærker vi, at bredden og højden afhænger af omrektanglet er stående på højkant eller liggende. Modstandsmomentet måles i enheden mm 3 .BøjningsspændingNår en bjælke belastes med en lastpåvirkning vinkelret på bjælken, så vil såkaldte indre spændingeropstå i bjælken som følge af belastningen, og bjælken vil have tilbøjeligheden til at bøje. Dennetype indre spændinger kaldes for bøjningsspændinger. I det følgende skal vi udlede et udtryk tilbestemmelsen af den maksimale bøjningsspænding. Dog skal først og fremmest gennemgås nogetbasal teori, som vi skal benytte under udledningen.Herunder introducerer vi en ny størrelse kaldet et moment. Ved et moment forstås produktet afkraften og den vinkelrette afstand fra omdrejningspunktet til kraftens virkelinie. Et momentudtrykker et legemes tilbøjelighed til at dreje under indflydelse af kræfter. Et moment udregnes vedat være konsekvens over den omløbsretning man vælger som positiv. Et særligt moment er det derkaldes et kraftpars moment. Ved et kraftpar forstås to parallelle og modsatrettede lige store kræfter.Det kan vises, at et kraftpars moment antager en konstant størrelse som i øvrig også skal benyttesunder udledningen.M = F(a + b) – FbM = Fa + Fb – Fb28


Gruppe 1Matematikprojekt: Etablering af vægkranM = FaSom forudsagt, så antager et kraftpars moment en konstant størrelse defineret ved den ene kraftmultipliceret med afstanden a mellem kræfterne.Nu kan vi vende tilbage til bøjningsspændingen og udføre nogle forudsætninger somberegningsgrundlag til udledningen.1. Den første forudsætning er, at tværsnitsprofilet for bjælken har et symmetriplan. Herunder vilbjælken bøje efter pågældende symmetriplan.2. Den anden forudsætning er, at bjælkens tværsnitsareal vil forblive plant efter bøjningen.Lad os betragte en bjælke som er bøjningspåvirket af en vinkelret kraft P centralt på bjælken. Viindlægger et snit i bjælken og betragter venstre snitdel.Som det fremgår fra den første snitskitse, så vil snitbjælken være påvirket af en indre kraft kaldetforskydningskraft Q samt et indre moment M som følge af kraftpåvirkningen P. Som det fremgårfra den anden snitskitse, så kan det indre moment erstattes af et kraftpar, hvor vi ser at den øverstekraft er en trykkraft, mens den nederste kraft er en trækkraft. Vi skal nemlig forestille os, at nårbjælken begynder at bøje, så vil de øverste fibre af bjælken trykkes indad, mens de nederste fibre afbjælken trækkes udad. Herved vil tryk- hhv. trækspændingerne repræsenteret af kraftparret fordelessåledes mellem bjælkens fibre:29


Gruppe 1Matematikprojekt: Etablering af vægkranSom det fremgår fra snitbjælken, som i dette tilfælde har et rektangulær tværsnitsprofil, så finder vide maksimale tryk- hhv. trækspændinger i bjælkens yderste fibre. Spændingerne aftagerefterhånden, jo mere vi nærmer os tværsnitsarealets tyngdeakse og antager værdien nul på selvetyngdeaksen. De enkelte kræfter F i kraftparret kan udtrykkes ved rumfanget af denspændingsprisme der dannes.FF1 h⋅ ⋅σ max ⋅b2 214 ⋅h⋅ σ max⋅bSom omtalt, så kunne vi bestemme et kraftpars moment ved den ene kraft multipliceret medafstanden a mellem kræfterne, og vi får at:M = FaAfstanden a kan efterfølgende udtrykkes således:a23 ⋅hVed at substituere ovenstående udtryk for a samt udtrykket for F i udtrykket for et kraftpars momentfinder vi at:M F ⋅ 2 3⋅hM1 4 ⋅hσ 2⋅ max⋅b⋅⋅h3M1 6 ⋅b⋅ h2 ⋅σmax30


Gruppe 1Matematikprojekt: Etablering af vægkranVed at reducere os frem til ovenstående udtryk for M ser vi, at udtrykket indeholdermodstandsmomentet af et rektangel defineret ved W = 1/6bh 2 . Udtrykket for modstandsmomentetsubstituerer vi og det medfører at:M = Wσ maxσ bMWBøjningsspændingen, som endelig er et udtryk for de maksimale tryk- hhv. trækspændinger påbjælkens yderste fibre, er altså defineret ved bøjningsmomentet divideret med tværsnittetsmodstandsmoment. Bøjningsspændingen måles i enheden N/mm 2 eller MPa.Endvidere gælder for bøjningspåvirkede konstruktionselementer, at et materialets regningsmæssigestyrketal skal være større eller lig med bøjningsmomentet. Denne styrkebetingelse kan udtrykkesmatematisk og vi får at:σ b ≤ f ydMW≤ f ydM ≤ W f ydDenne styrkebetingelse skal vi benytte som udgangspunkt til bestemmelsen af bjælkens faktiskedimensioner.Nedbøjning (deformation)Udover at opfylde omtalte styrkebetingelse, skal bøjningspåvirkede konstruktionselementer ogsåopfylde krav i forbindelse med nedbøjningen af bjælken som følge af en given påvirkning. Iprojektbeskrivelsen har vi defineret en nedbøjningsbetingelse, som er stillet til den betragtedebjælke. Herunder kan formler til bestemmelsen af den maksimale hældningskoefficient samt denmaksimale nedbøjning udledes ved at tage udgangspunktet i en differentielligning af 2. orden oplagttil vores belastningsmodel.31


Gruppe 1Matematikprojekt: Etablering af vægkran2d −F⋅( x−L)u2dxEI ⋅dd⋅ud x−F⋅( x−L)⋅dxEI ⋅Her udføres en lille omskrivning på venstre side samtidig med vi multiplicerer dx på begge sider ogforkorter. Dernæst gør vi os klar til at integrere på begge sider.⌠⎮⎮⌡ddudx−F ⌠⋅⎮EI ⋅ ⌡x−Ldxαddx u⎛−F x 2 ⋅⎜− Lx ⋅ + kEI ⋅ 21⎝⎞⎠Differentielligningens første fuldstændige løsning bestemmes og vi adderer integrationskonstantenk 1 på højre side. Vi bemærker at når x = 0, altså dér hvor indspændingen finder sted, så ernedbøjningen ikke indtruffet, hvilket vil sige at tangenten ligger vandret på bjælken og α = 0. Vedat indsætte følgende værdier for x hhv. α ind i den fuldstændige løsning findes atintegrationskonstanten k 1 = 0. Hvis vi definerer x = L, så kan et partikulært løsning tilbestemmelsen af den maksimale hældningskoefficient bestemmes.32


Gruppe 1Matematikprojekt: Etablering af vægkranα−F⋅EI ⋅⎛⎜⎝L 22− L 2⎞⎠α−F⋅EI ⋅⎛⎜⎝L 2 − 2L ⋅22⎞⎠Her sættes tællerne i parentesen på fælles brøkstreg. Dernæst gør vi os klar til at reducere udtrykketog ophæve parentesen.α−F⋅EI ⋅⎛⎜⎝−L 22⎞⎠FL ⋅2α max2E ⋅ ⋅ IDen maksimale hældningskoefficient er altså defineret ved kraftpåvirkningen multipliceret medkvadratet på aktionsradiussen, divideret med to, multipliceret med elasticitetsmodulet, som vilredegøres senere, multipliceret med tværsnittes inertimoment. Ved at tage udgangspunktet i forrigefuldstændige løsning, så kan et udtryk til bestemmelsen af den maksimale nedbøjning bestemmes.ddx udu−F⋅EI ⋅−F⋅EI ⋅⎛⎜⎝⎛⎜⎝x 2 2x 2 2⎞− Lx ⋅⎞− Lx ⋅⎠⎠⋅dxHer udføres en separation af differentialerne. Dernæst gør vi os klar til at integrere på sider.⌠⎮⌡1 du⌠−F⎮⋅⎮EI ⋅ ⎮⌡x 2 2−Lx ⋅ dxu⎛−F x 3 L⋅⎜− ⋅EI ⋅ 6 2 x2 + k 2⎝⎞⎠Differentielligningens anden fuldstændige løsning bestemmes og vi adderer integrationskonstantenk 2 på højre side. Som omtalt, så vil nedbøjningen ved x = 0 være u = 0. Ved at indsætte følgendeværdier for x hhv. u i den fuldstændige løsning, findes at integrationskonstanten k 2 = 0. Hvis videfinerer x = L, så kan et partikulært løsning til bestemmelsen af den maksimale nedbøjningbestemmes.33


Gruppe 1Matematikprojekt: Etablering af vægkranu−F⋅EI ⋅⎛⎜⎝L 36−L 32⎞⎠u−F⋅EI ⋅⎛⎜⎝L 3 − 3L ⋅36⎞⎠Her sættes tællerne i parentesen på fælles brøkstreg. Dernæst gør vi os klar til at reducere udtrykketog ophæve parentesen.u−F⋅EI ⋅⎛⎜⎝−2⋅L 36⎞⎠FL ⋅3u max 3E ⋅ ⋅ IDen maksimale nedbøjning er altså defineret ved kraftpåvirkningen multipliceret med kubiktallet påaktionsradiussen, divideret med tre, multipliceret med elasticitetsmodulet, multipliceret medtværsnittes inertimoment. Nedbøjningen måles i mm.Den eneste størrelse som indgår i de udledte udtryk og som vi ikke har præsenteret endnu erelasticitetsmodulet E. Denne størrelse er proportionalitetsfaktoren til størrelserne spændingen σ hhv.enhedsforlængelsen eller tøjningen ε. Proportionaliteten mellem spændingen og enhedsforlængelsengælder kun for materialerne stål og træ. Denne proportionalitet kan udtrykkes matematisk således:σ ∝σεεE∆LLElasticitetsmodulet er afhængigt af materialetypen. For ståls vedkommende er elasticitetsmoduletfor stål af alle kvaliteter bestemt til E = 0,21*10 6 N/mm 2 .Formlerne til bestemmelsen af den maksimale hældningskoefficient hhv. den maksimalenedbøjning skal vi benytte til bestemmelsen af bjælkens faktiske dimensioner.34


Gruppe 1Matematikprojekt: Etablering af vægkran3. LøsningsplanHvis armen af vores kran opfattes som en indspændt konstruktion, må vi have en belastningsmodelsom den nedenfor viste:Egenlasten, Fq, kan udtrykkes som:F qmg ⋅ρ⋅V⋅gρ⋅b⋅h⋅L⋅ghvor m er massen, g er tyngde accelerationen givet ved 9,82m/s 2 , ρ er densiteten, L er spændviddenaf kranen, mens h og b er hhv. højden og bredden af kranen (tværsnit vist nedenfor). (situation 1)Det maksimale moment i kranen, M max , må da kunne udtrykkes som (regnet positivt med uret):M maxFL ⋅LL+ F q ⋅ FL ⋅ + ρ⋅b⋅h⋅L⋅g⋅FL ⋅ +22ρ⋅bL 2⋅h⋅g⋅2ud fra følgende (tidligere omtalte) styrkebetingelse, kan vi da dimensionere tværsnitet:M max ≤f yd ⋅W xudtrykket for M max og W indsættes:FL ⋅⇓fl ⋅⇓L 2 I x + ρ⋅b⋅h⋅g⋅≤2f yd ⋅e1l 2 12 ⋅b⋅ h3+ ρ⋅b⋅h⋅g⋅≤ f2 yd ⋅h2FL ⋅L 2 1+ ρ⋅b⋅h⋅g⋅≤ f2 yd ⋅ 6 ⋅b⋅ h235


Gruppe 1Matematikprojekt: Etablering af vægkranb isoleres:1fl ⋅ ≤ f yd ⋅ ⋅b⋅h 2 −6⇓⎛ρ⋅bl 2 ⋅h⋅g⋅21FL ⋅ b f yd ⋅ h 2 L 2≤ ⋅⎜⋅ − ρ⋅h⋅g⋅⎝ 62⇓FL ⋅b ≥1f yd ⋅ ⋅h 2 L 2− ρ⋅h⋅g⋅62⎞⎠om kranen ved vi jo at stålet er af DS 37A standarten, hvormed f yd er bestemt til 210Mpa.Tykkelsen af stålet er 8, 15 eller 25mm. massefylden p er ved opslag fundet til:ρ7860⋅ kgm 3 7.86⋅10 − 6 kg⋅mm 3ved indsættelse, kan det for ”situation 1” da findes at:b ≥ 7915mm ⏐ h = 8mmb ≥ 1983,3mm ⏐ h = 15mmb ≥ 677,1mm ⏐ h = 25mmdet tænkes imidlertid at bjælken vil være stærkere hvis den roteres 90° (situation 2):det må da gælde at:FL ⋅FL ⋅1L 2 12 ⋅h⋅ b3+ ρ⋅b⋅h⋅g⋅≤ f2 yd ⋅b2L 2 1+ ρ⋅b⋅h⋅g⋅≤ f2 yd ⋅ 6 ⋅h⋅ b236


Gruppe 1Matematikprojekt: Etablering af vægkranHvilket vha. lommeregner isoleres til:b ≥⎡⎣⎛3⋅⎝8⋅F⋅f yd + 3g ⋅ 2 ⋅L 3 ⋅ρ 2⎠+ 3g ⋅ ⋅ hL ⋅3 ⋅ρ⎦⋅2⋅h⋅f yd⎞⎤Lder indsættes og for ”situation 2” findes det at:b ≥ 230,6mm ⏐ h = 8mmb ≥ 170,9mm ⏐ h = 15mmb ≥ 134,5mm ⏐ h = 25mmTil bjælkens hældning og ned bøjning, har vi fra tidligere kapitel fundet:αFL ⋅22E ⋅ ⋅ I og u FL ⋅33E ⋅ ⋅ Ihvor E antages at være 0,21*10 6 MPa (fundet ved opslag). Disse er dog for påvirkningen af enenkeltkraft og ikke for en jævnt fordelt belastning, ligeså vel som de ikke udtrykker noget omhvordan flere kræfter der angriber forskellige steder skal lægges sammen i denne sammenhæng. Deter os derfor ikke umiddelbart muligt at medtage egenlasten i beregningerne, hvorfor vi indtil videreser bort fra denne.Ved indsættelse i formlerne finder vi følgende:situation 1:b ≥ 7915mm ⏐ h = 8mm ⇒ α = 0,3887v = 21,1920°u max = 1033,9mmb ≥ 1983,3mm ⏐ h = 15mm ⇒ α = 0,2324v = 13,2098°u max = 625,9mmb ≥ 677,1mm ⏐ h = 25mm ⇒ α = 0,1185v = 8,4486°u max = 396,0mmsituation 2:b ≥ 230,6mm ⏐ h = 8mm ⇒ α = 0,016v = 0,9178°u max = 42,7mm37


Gruppe 1Matematikprojekt: Etablering af vægkranb ≥ 170,9mm ⏐ h = 15mm ⇒ α = 0,0210v = 1,2025°u max = 55,98mmb ≥ 134,5mm⏐ h = 25mm ⇒ α = 0,0258v = 1,4863°u max = 68,91mmsom det ses heraf, så nedbøjer kranen mindst i situation 2, hvor bjælken er højere end den er bred.Imidlertid så nedbøjer alle bjælkerne for meget, idet at de max må nedbøje 1/400 af længden (dvs.max 10mm).Der opstilles derfor en ulighed for dimensionering af bjælken, ud fra nedbøjningen:1400 ⋅LFL ⋅3≥3E ⋅ ⋅Iidet at bjælken i situation 2 er tydeligt stærkere en den første, beregnes der her kun på den. Hvisdens inertimoment indsættes i udtrykket overfor fås:1400 ⋅LFL ⋅3≥13E ⋅ ⋅ ⋅h⋅b 312b isoleres:1400 ⋅L⋅3⋅E1⋅ ⋅h⋅b 3 ≥ FL ⋅312⇓b ≥3FL ⋅31400 ⋅L⋅3⋅E1⋅ ⋅h12ved indsættelse fås:b ≥ 374,1422mm ⏐ h = 8mmb ≥ 303,4145mm ⏐ h = 15mmb ≥ 255,9097mm ⏐ h = 25mmdet ses at de her fundene værdier stemmer overens med styrkebetingelsen, hvormed de er tænkeligeløsninger til kranens tværsnitsdimensioner. Det tænkes dog at andre profiltyper ville være bedre/mere materialebesparende, hvorfor det nedenfor er beregnet for et T-profil.38


Gruppe 1Matematikprojekt: Etablering af vægkranfor at opsætte styrkebetingelser, og derudfra dimensionere bjælken, er vi nødt til først at kende detfælles tyngdepunkt for tværsnittet. Dette finder vi ved at opfatte arealerne af de to rektangler, T-profilet består af, som kræfter der har beliggenhed i rektanglernes tyngdepunkter, der læggessammen efter momentligningen (for mere om denne metode se kilde 1 side 49):resultanten bestemmes:R A 1 + A 2 hb ⋅+ hb ⋅ 2h ⋅momentligningen opsættes:⋅bRx ⋅bA 1 ⋅2+bA 2 ⋅2der indsættes:2h ⋅⋅b⋅xh⋅b22+h⋅b22og x isoleres til:xb2(hvilket giver sig selv da der er en symmetrilinje midt i profilet, parallelt med y-aksen)på samme måde findes et udtryk til y-koordinatet af tyngdepunktet:Ry ⋅⇓2h ⋅⇓y⇓⋅b⋅y⎛⎝bA 1 ⋅ + A2 2 ⋅⎜bb b h+ +4 2 4h+2⎞⎠h⋅ b2 + hb ⋅2 + b⋅h22239


Gruppe 1Matematikprojekt: Etablering af vægkrany3b ⋅ +4hhvorfor e må være:e3b ⋅ +8hUd fra flytningsformlen m.m. må modstandsmomentet (I/e) da være:W112 ⋅h⋅ b3 +⎛⎜⎝3b ⋅+ h4−b2⎞⎠21⋅h⋅b+12 ⋅b⋅ h3 +3b ⋅ + h8⎡⎢⎣3b ⋅ + h4−⎛⎜⎝b +h2⎞⎤⎥⎠⎦2⋅h⋅bhvis det indsættes i vores styrkebetingelse fås:M max ≤f yd ⋅W⇓21l 2 12 ⋅h⋅ b3 ⎛ 3b ⋅ + h b−⎞ 1+ ⎜⋅h⋅b⎝ 4 2 ⎠ 12 ⋅bh3 3b ⋅ + h+ ⋅ +⎡ ⎛⎢ − ⎜ b +⎣ 4 ⎝fl ⋅ + ρ⋅b⋅h⋅g⋅≤ f2 yd ⋅3b ⋅ + h8alle kendte størrelser indsættes, og b findes til (der er her set bort fra negative løsninger):h2⎞⎤⎥⎠⎦2⋅h⋅bb ≥ 118,0884mm ⏐ h = 8mmb ≥ 81,8267mm ⏐ h = 15mmb ≥ 56,1078mm ⏐ h = 25mmdisse størrelser skal da undersøges for nedbøjning:αFL ⋅22E ⋅ ⋅ I⇓ (udtryk for inertimomentet indsættes)αog2E ⋅ ⋅⎡⎢⎢⎢⎢⎣112 ⋅h⋅ b3 +⎛⎜⎝3b ⋅+ h b−4 2⎞⎠fL ⋅221⋅h⋅b+12 ⋅b⋅ h3 +3b ⋅ + h8⎡⎢⎣3b ⋅ + h4−⎛⎜⎝b +h22⎞⎤ ⎥⎦⎠⋅h⋅b⎥⎤⎥⎥⎥⎦40


Gruppe 1Matematikprojekt: Etablering af vægkranuFL ⋅33E ⋅ ⋅ I⇓ (udtryk for inertimomentet indsættes)u3E ⋅ ⋅⎡⎢⎢⎢⎢⎣112 ⋅h⋅ b3 +⎛⎜⎝3b ⋅+ h b−4 2⎞⎠størrelserne indsættes og det giver at:FL 3 ⋅21⋅h⋅b+12 ⋅b⋅ h3 +3b ⋅ + h8b ≥ 118,0884mm ⏐ h = 8mm ⇒ α = 0,0439v = 2,5156°u max = 117,1560mmb ≥ 81,8267mm ⏐ h = 15mm ⇒ α = 0,0610v = 3,4910°u max = 162,6792mmb ≥ 56,1078mm ⏐ h = 25mm ⇒ α = 0,0821v = 4,5944°u max = 218,9766mm⎡⎢⎣3b ⋅ + h4−⎛⎜⎝b +h22⎞⎤ ⎥⎦⎠⋅h⋅b⎤⎥⎥⎥⎥⎦Idet disse nedbøjer mere end de tilladte 10mm, opstilles der ligesom før en ulighed fordimensionering af bjælken, ud fra nedbøjningen:1400 ⋅LFL ⋅3≥3E ⋅ ⋅I⇓1400 ⋅LFL ⋅3≥⎡2⎢ 112 ⋅h⋅ b3 ⎛ 3b ⋅ + h b ⎞ 1+ ⎜ − ⋅h⋅b+⎝ 4 2 ⎠ 12 ⋅b⋅ h3 +⎢3E ⋅ ⋅⎢3b ⋅ + h8⎢⎣hvorved b bliver:b ≥ 272,4307mm ⏐ h = 8mmb ≥ 217,8349mm ⏐ h = 15mm⎡⎢⎣3b ⋅ + h4−⎛⎜⎝b +h22⎞⎤ ⎥⎦⎠⋅h⋅b⎤⎥⎥⎥⎥⎦41


Gruppe 1Matematikprojekt: Etablering af vægkranb ≥ 178,0213mm ⏐ h = 25mmligesom før ses det at de her fundene værdier stemmer overens med styrkebetingelsen, hvormed deogså er tænkelige løsninger til kranens tværsnitsdimensioner.Til sidst, vil vi også lige prøve at beregne på et I-profil:Pga. symmetri, må det om tyngde punktet gælde at:1e x2 ⋅bog e y h+12 ⋅bden maksimale afstand fra tyngdepunktet og til de yderste fibre, må da være:e12 ⋅b+ hinertimomentet må da blive:1I x12 ⋅h⋅ b3 + 2⋅ 1 bh ⋅3 + 2⋅12⎛⎜⎝h2+b2⎞⎠2⋅b⋅h112 ⋅h⋅ b3 1+6 ⋅b⋅ h3 + 2⋅⎛⎜⎝h2+b2⎞⎠2⋅b⋅hvi opsætter samme styrkebetingelse som sidst:M max ≤f yd ⋅Wder indsættes og reduceres:⇓FL ⋅⎡⎢1L 2 12 ⋅h⋅⎢b3+ pb ⋅ ⋅h⋅g⋅≤ f2 yd ⋅b+ h2⎢⎢⎣+16 ⋅b⋅ h3b+ h2+2⋅⎛⎜⎝2h b+⎞⋅b⋅h2 2 ⎠b+ h2⎤⎥⎥⎥⎥⎦42


Gruppe 1Matematikprojekt: Etablering af vægkran⇓FL ⋅⎡⎢1L 2 12 ⋅h⋅⎢b3+ pb ⋅ ⋅h⋅g⋅≤ f2 yd ⋅ +b+2⋅h⎢⎢⎣⎡⎢216 ⋅b⋅ h3b+2⋅h2+2⋅1L 2 6 ⋅hb3 1⋅3 ⋅bh3 h+ ⋅ + 4⋅+⎢⎜⎝ 2FL ⋅ + pb ⋅ ⋅h⋅g⋅≤ f2 yd ⋅⎢b + 2⋅hder indsættes, og b findes til:b ≥ 85,6353mm ⏐ h = 8mmb ≥ 62,4955mm ⏐ h = 15mmb ≥ 46,6723mm ⏐ h = 25mmudtryk for α og u findes:⎣⎛⎛⎜⎝h+2b2b2⎞⎠b+2⋅h⎞⎠22⋅b⋅h2⋅b⋅h⎤ ⎥⎥⎥⎦⎤⎥⎥⎥⎥⎦α⇓αFL ⋅22E ⋅ ⋅ I2E ⋅ ⋅⎡⎢⎣FL 2 ⋅112 ⋅h⋅ b3 1+6 ⋅b⋅ h3 + 2⋅⎛⎜⎝h2+b2⎞⎠2⋅b⋅h⎤⎥⎦u⇓uFL ⋅33E ⋅ ⋅ I3E ⋅ ⋅⎡⎢⎣FL 3 ⋅112 ⋅h⋅ b3 1+6 ⋅b⋅ h3 + 2⋅⎛⎜⎝h2+b2⎞⎠2⋅b⋅h⎤⎥⎦der indsættes og fås:b ≥ 85,6353mm ⏐ h = 8mm ⇒ α = 0,0382v = 2,1866°u max = 101,8175mmb ≥ 62,4955mm ⏐ h = 15mm ⇒ α = 0,0415v = 2,3763°u max = 110,6616mm43


Gruppe 1Matematikprojekt: Etablering af vægkranb ≥ 46,6723mm ⏐ h = 25mm ⇒ α = 0,0393v = 2,2515°u max = 104,8439mmda u ≥ 10mm, opstilles udtryk:1400 ⋅LFL ⋅3≥3E ⋅ ⋅I⇓1400 ⋅LFL ⋅3≥⎡ 13E ⋅12 ⋅h⋅ b3 1⋅⎢+6 ⋅b⋅ h3 + 2⋅⎣der indsættes, og det findes at:b ≥ 190,9938mm ⏐ h = 8mmb ≥ 149,9762mm ⏐ h = 15mmb ≥ 119,3204mm ⏐ h = 25mm⎛⎜⎝h2+b2⎞⎠2⋅b⋅h⎤⎥⎦og ligesom før ses det at disse løsninger overholder styrkebetingelserne.44


Gruppe 1Matematikprojekt: Etablering af vægkran4. Evaluering og valideringSom det fremgår fra beregningerne, så giver tværsnitsdimensionerne for pågældende profiler, der erbestemt ud fra styrkebetingelsen, en for stor nedbøjningen. Dette er ensbetydende med at deforkastes. Der kigges dermed kun på dem der er bestemt ud fra udtrykket:1400 ⋅LFL ⋅3≥3⋅E⋅ITværsnitsdimensionerne som vi kigger på er de følgende:Stående rektangel (situation 2):b ≥ 374,1422mm ⏐ h = 8mmb ≥ 303,4145mm ⏐ h = 15mmb ≥ 255,9097mm ⏐ h = 25mmT-profil:b ≥ 272,4307mm ⏐ h = 8mmb ≥ 217,8349mm ⏐ h = 15mmb ≥ 178,0213mm ⏐ h = 25mmI-profil:b ≥ 190,9938mm ⏐ h = 8mmb ≥ 149,9762mm ⏐ h = 15mmb ≥ 119,3204mm ⏐ h = 25mmDe tværsnitsdimensioner, som er mest prisbesparende må være dem, der giver det mindstetværsnitsareal. Derfor beregnes tværsnitsarealerne for de ovenfor omtalte tværsnitsdimensioner, idet følgende:A 2; h = 8mm = 374,1422mm*8mm = 2993,1376mm 2A 2; h = 15mm = 303,4145mm*15mm = 4551,2175mm 2A 2; h = 25mm = 255,9097mm*25mm = 6397,7425mm 2A T; h = 8mm = 2*272,4307mm*8mm = 4358,5712mm 2A T; h = 15mm = 2*217,8349mm*15mm = 6535,047mm 2A T; h = 25mm = 2*178,0213mm*25mm = 8901,0650mm 2A I; h = 8mm = 3*190,9938mm*8mm = 4583,9483mm 2A I; h = 15mm = 3*149,9762mm*15mm = 6748,9304mm 2A I; h = 25mm = 3*119,3204mm*25mm = 8949,0313mm 2Ud fra beregningerne ser vi tydeligvis, at det tværsnitsprofil som er mest prisbesparende errektanglet med en tykkelse på 8mm og en højde på 374,1422mm. Dog må vi forkaste denne her45


Gruppe 1Matematikprojekt: Etablering af vægkranløsning fordi faktorer såsom horisontale påvirkninger, drejningen af kranen og tværsnittes stabilitetgør at kranen ikke er særlig hensigtsmæssig. Dette skyldes at tværsnittes tykkelse er meget lille ogvil formentlig ikke kunne optage disse påvirkninger. Derfor kigger vi på øvrige tværsnitsprofiler.Hvis vi kun kigger på T-profilet og I-profilet, så er T-profilet med h = 8mm mest prisbesparende (A= 4358,5712mm 2 ). Det kan dog tænkes at der er tværsnitsprofiler som er mere prisbesparende (haret mindre areal). Hvis vi kigger på det I-profil, som vi har regnet på, så ses det at I-profilets breddeer lige så stor som højden af stammen (midterstykket af I-profilet), hvorfor det snare er et HE-profil.Hertil burde vi have beregnet I-profilets tværsnitsdimensioner, som en ligning med to ubekendte,nemlig både bredden og højden af stammen. I så tilfælde ville vi ikke være i stand til at regne påden, på anden vis end at sætte den ene af størrelserne til en værdi og finde hvilken værdi den andenda antager; gøre dette for alle tænkelige værdier, og da vælge den mest hensigtsmæssige. Grundetmanglende tid m.m. har vi ikke haft mulighed for dette. I stedet for har vi kigget på hvorledes etreelt I-profil er opbygget. Vi har derved fundet at for mindre I-profiler er bredden ofte det halve afstammens højde (eller i nogle tilfælde mindre). Vi prøver derfor at beregne på et sådant I-profil(benævnt som I 2 -profil for resten af rapporten).Inertimomentet bestemmes:1I x12 ⋅h⋅ b3 2 h 2⎛ b+⎞ b+ ⋅⎜⋅ ⋅h2 1 b+ ⋅ ⋅ ⋅h 32 2 2 12 2⎝⎠112 ⋅h⋅ b3 +⎛⎜⎝h2+2b ⎞⋅b⋅h+2 ⎠112 ⋅b⋅ h3På baggrund af tidligere beregninger ved vi at de tværsnitsdimensioner som bjælkerne skal have forikke at nedbøje mere end 10mm, overholder styrkebetingelsen, hvorfor vi blot dimensionerer ud fraudtrykket:1400 ⋅LFL ⋅3≥3⋅E⋅I⇓1400 ⋅LFL ⋅3≥⎡2⎛ 1 ⎞3⋅E⎜⎝ 12 ⎠ ⋅h⋅ b3 ⎛ h b⋅⎢+ ⎜ +⎞⋅b⋅h+⎣ ⎝ 2 2 ⎠1 ⎤12 ⋅b⋅ h3 ⎥⎦46


Gruppe 1Matematikprojekt: Etablering af vægkrander indsættes og b findes til:b ≥ 231,6730mm ⏐ h = 8mmb ≥ 183,5488mm ⏐ h = 15mmb ≥ 148,4401mm ⏐ h = 25mmtværsnitsarealet for disse beregnes således:A h = 8mm = 231,6730mm*8mm + 2*½*231,6730mm*8mm = 3706,7677mm 2A h = 15mm = 183,5488mm*15mm + 2*½*183,5488mm*15mm = 5506,4627mm 2A h = 25mm = 148,4401mm*25mm + 2*½*148,4401mm*25mm = 7422,0058mm 2Det ses heraf, at det af disse profiler som har h = 8mm, har et tværsnitsareal på 3706,7677mm 2 ,hvilket er mere prisbesparende end de T- og I-profiler som vi tidligere har regnet på. Som løsningvælges der derfor denne tværsnitsprofil.Som nævnt under beregningerne så har vi på grund af uvidenhed, formlernes kompleksitet ogmanglende tid, ikke medtaget egenlasten i vores beregninger. Vi har dog ved opslag fundet enformel til beregningen af nedbøjningen for en indspændt bjælke, belastet med en jævnfordeltbelastning:upL ⋅48⋅E⋅ I (hvor p er belastningen pr. meter)den jævnfordelte belastning bestemmes:pF qL2⋅ρb⋅ ⋅h⋅L⋅g+ ρ⋅b⋅h⋅L⋅g2L2⋅ρ⋅b⋅h⋅gVed at indsætte i formlen, så finder vi at den valgte bjælke uden anden belastning nedbøjer0,7848mm. Dette må således betyde at egenlasten har en lille indflydelse på nedbøjningen, hvorforvi bliver nødt til at tage højde for det.Nu har vi intet bevis for det, men hvis vi antager at den samlede nedbøjning kanfindes ved addition af de nedbøjninger som hver enkelte parameter forsager, så må vi kunneomdimensionere bjælken ud fra udtrykket:1400 ⋅lfl ⋅3≥3⋅E⋅I+ρ ⋅l 48⋅E⋅I⇓1400 ⋅lfl ⋅3≥⎡ 13⎛ ⎞⋅E⎜⎝ 12 ⎠ ⋅h⋅ b3 ⎛ h⋅⎢+ ⎜ +⎣ ⎝ 22b ⎞⋅b⋅h+2 ⎠1 ⎤12 ⋅b⋅ h3 ⎥⎦+⎡8⎛ 1 ⎞⋅E⋅⎢⎜⎝ 12 ⎠ ⋅h⋅ b3 +⎛⎜⎣ ⎝ρ ⋅l 4h22b+⎞⋅b⋅h+2 ⎠1 ⎤12 ⋅b⋅ h3 ⎥⎦47


Gruppe 1Matematikprojekt: Etablering af vægkranvi indsætter de kendte størrelser og finder at:b ≥ 241,4852mm ⏐ h = 8mm (I 2 -profil)tværsnitsarealet for vores endelige tværsnitsprofil bliver da:A = 241,4852mm*8mm + 2*½*241,4852mm*8mm = 3863,7639mm 2Hvilket stadig er mindre end arealet for T- og I-profilerne.Af andre ting der skal nævnes, er der den længde vi har valgt (4m i stedet for 3m). Dette har vi valgtpå baggrund af den tegning over produktionshallen der er vedlagt.Til tegningen er der ikke angivet et målestoksforhold, men der er angivet hvor mange kvadratmeterområderne er på. Såfremt væggene er tegnet rigtigt i forhold til hinanden, så kan vi derudfraberegne målestoksforholdet:Det ene af lokalerne angivet til at være 1872m 2 , og på tegningen er det 7,5*5,5cm = 37,5cm 2 .Forholdet for hvad en 1cm svarer til findes da:1872⋅m 237.5⋅cm 249.92⋅cm 2706.54⋅cmdvs. forholdet er ca. 1:700.Af deres oplæg er det ikke angivet hvor kranerne skal placeres, men hvis det er langs de på denvedlagte tegning skraverede vægge, at der skal monteres kraner, så er det en strækning af 84m derskal sættes kraner op på. Dette er fundet af at de to strækninger er på tegningen 5,5 og 6,5m, og5,5cm*700 + 6,5cm*700 = 84m.Hvis kranerne kun har en aktionsradius på 3m, så skal der antageligvis placeres enhver sjette meter (aktionsdiameteren), hvilket vil sige at der skal sættes 14 kraner op (fundet af84/6). Har kranerne derimod en aktionsradius på 4m så skal der kun sættes en op hver 8. meter,hvilket betyder at der kun skal bruges 11 kraner (84/8 = 10,5 ≈ 11). Idet at der således skal monteresfærre kraner, kan der antageligvis spares nogle materialer. Hertil antages det at detelektroniske/hydraulisk som styrer kranen er markant dyrere end stålet. Forskellen i hvor meget stålder skal bruges er dog vist i det følgende:Hvis vi tager et tværsnitsprofil magen til vores, dog med den ændring at L = 3m, så kan densdimensioner findes til:b ≥ 195,5328⏐ h = 8mmhvilket er fundet ud fra udtrykket:1400 ⋅LFL ⋅3≥3⋅E⋅I+ρ ⋅L 48⋅E⋅I48


Gruppe 1Matematikprojekt: Etablering af vægkranarealet af denne bliver da:A = 2*195,5328*8 = 3128,5245mm 2idet at der skal være 14 kraner, og de er 3m lange, så skal der samlet bruges:V 3128.52453000 ⋅ ⋅14131.398010 ⋅ 6 ⋅mm 3L= 3i modsætning til vores løsning, hvor der skal bruges 11 kraner som er 4m lange:V 3863.76394000 ⋅ ⋅11170.005610 ⋅ 6 ⋅mm 3L= 4samlet så er der altså et tab af stål på:V ståltab 170.0056⋅10 6 ⋅mm 3 − 131.3980⋅10 6 ⋅mm 3 38.6076⋅10 6 ⋅mm 3 0.0386⋅m 3til gengæld så skal der sættes 3 kraner mindre op, hvor såfremt at prisen for al udstyret til styring afkranen samt fremstillingen og monteringen af kranen er mere end prisen for 0,0129m 3 stål af enmiddelmodig standart, så er der penge sparet ved vores løsning. Ud fra dette argument, så burde viimidlertid have lavet kraner med en længde af fx 6m (den fulde længde af de til rådighed stilledestålplader) eller mere, da der i så tilfælde skulle monteres endnu færre kraner. Dette kunne vi for såvidt også sagtens, begrænsningen hertil er dog at vi ikke får oplyst hvor stor en belastningstyringsmekanismerne og væggene hvor kranen monteres, kan holde til. Hvis dette var blevetoplyst, så ville vi nemt kunne beregnes hvad bjælkens faktiske dimensioner samt spændviddenskulle være, ved indsættelse i de tidligere fundne udtryk.Såfremt at den her fremlagte argumentation for brugen af kraner, der har en længde på 4m, ikke ertilfredsstillende, da bør der blot bruges kraner med spændvidden 3m, som har de for lidt sidenfundne dimensioner for sådan en (b ≥ 195,5328 og h = 8mm; I 2 -profil).49


Gruppe 1Matematikprojekt: Etablering af vægkran5. KonklusionPå baggrund af evalueringen og valideringen, har vi valgt et I-profil med spændvidden 4m ogfølgende opbygning og tværsnitsdimensioner:b ≥ 241,4852mm ⏐ h = 8mmSom omtalt, så findes øvrige tværsnitsprofiler som også vil kunne bruges til dette formål. Dog erdette tværsnitsprofil det profil som vi synes vil være den mest optimale til etableringen afvægkraner. Vi kan ikke bortkaste, at der kan være tværsnitsprofiler som egner bedre end voresløsningsforslag, men af dem vi har haft tid til at regne på, så er I-profilet den mest egnet.50

More magazines by this user
Similar magazines