แนวคิดพื้นฐานและหลักการทำงานของ Kalman Filter ... - โรงเรียนนายเรือ

ปที่ ๔ ฉบับที่ ๔ ตุลาคม – ธันวาคม ๒๕๔๗๔๓โดยที่−( z − H xˆ)xˆ ˆ(๑๕)+ −k= xk+ Kk k k k−( P H2 + R ) −1−Kk= PkHk k k k(๑๖)เครื่องหมายบวกเปนการระบุวา xˆkเปนคาประมาณโดยไดนําคาที่เซนเซอรวัดไดมา−ประกอบการพิจารณา สมการที่ (๑๕) คือสมการที่ใช Update คา xˆkที่เราคาดการณไวลวงหนา (กอนที่−เซนเซอรจะวัดคาได) เมื่อพิจารณาจากสมการที่ (๑๕) และ (๙) แลวจะเห็นวา Hkxˆ kคือ สมการที่−ใชประมาณคาที่เซนเซอรควรวัดได ( ẑk) คํานวณโดยใชคาประมาณ xˆkKalman Filter จะทํางานโดย−หา “Residual” ( zk− Hkxˆ k) ซึ่งเปนผลตางระหวางคาที่เซนเซอรควรวัดไดกับคาที่วัดไดจริง นํามาให−น้ําหนักโดยการคูณดวย Kalman Gain Kkแลวนําผลที่ไดมาใชแกไขคา xˆkที่ไดคาดการณไวลวงหนา−ผูอานจะสังเกตไดวาคาที่นํามาใชแกไข xˆkขึ้นอยูกับขนาดของ Residual และ Kkกลาวโดยทั่วไป ถาผลตางระหวางคาที่คาดการณกับคาที่วัดไดจริงมีมากและขอมูลมีความนาเชื่อถือนอย−−คา Kalman Gain Kkที่คํานวณไดจะมีคาสูง ทําใหตองแกไข xˆkมาก ( Kk( zk− Hkxˆ k) มีคามาก)ในทางกลับกันถาผลตางระหวางคาที่คาดการณไวกับคาที่วัดไดจริงมีนอยและขอมูลมีความนาเชื่อถือ−−คา Kalman Gain Kkที่คํานวณไดจะมีคาต่ํา ทําใหแกไข xˆkเพียงเล็กนอย ( Kk( zk− Hkxˆ k) มีคานอย) โดยอัตโนมัติ การคํานวณคา Kalman Gain Kkตามสมการที่ (๑๖) เปนการคํานวณที่ไดนํา+ขอมูลทางสถิติของระบบมาพิจารณาแลวและเปนคา Gain ที่จะทําให Pkมีคาต่ําสุด จากมุมมองนี้ทําใหเปนที่ยอมรับวา Kalman Filter เปน “Optimal State Estimator”ในการหาคาประมาณโดยใชสมการที่ (๑๕) เราสามารถพิสูจนไดวา คาความคลาดเคลื่อนของ++การประมาณ ek= xk− xˆ k(หรืออีกนัยหนึ่งคือความแมนยําของคาที่คํานวณได) เปนตัวแปรแบบGaussian มี คา Mean เปนศูนย และมี Variance คือk+ 22 − 2[( ek) ] = ( 1 − KkHk) Pk+ KkRk+P = E(๑๗)สุดทายผูอานจะสังเกตไดวา Kalman Filter ทํางานในลักษณะของการ Predict (คาดการณ−ลวงหนาวาสถานะของระบบ xˆkนาจะเปนอยางไรโดยไมใชคาจากเซนเซอร) และการ Estimate (หา+คาประมาณ xˆkเมื่อเซนเซอรวัดคาได) ตอไปจะเปนการพิจารณาเกี่ยวกับสมมุติฐานที่ใชในการพัฒนาKalman Filter Algorithm๑. การตั้งสมมุติฐานวาkw และkv เปนตัวแปรสุมแบบ Gaussian สมเหตุสมผลเพราะสาเหตุสองประการ ประการแรกตามทฤษฎี Central Limit Theorem ที่กลาวไววาเมื่อนําตัวแปรสุมหลายตัว