på Åbent VUC Trin 1 Eksempler - VUC Aarhus

vucaarhus.dk

på Åbent VUC Trin 1 Eksempler - VUC Aarhus

Matematik på Åbent VUCEksemplerTalsystemets opbygning - afrunding af talHerunder er tegnet 24 firkanter på to forskellige måder. Til venstre er de placeret på må og få.Til højre er de placeret, så de passer til vores talsystem.24 betyder nemlig 2 ⋅ 10 + 4 , eller to 10’ere og fire 1’ere.325 betyder på samme måde 3 ⋅ 100 + 2 ⋅10+ 5 ,eller tre 100’ere, to 10’ere og fem 1’ere.Forestil dig, at du har tre 100-krone-sedler,to 10-kroner og fem 1-kroner.2,4 betyder to 1’ere (to hele) og fire 10.ende-dele. Det er et tal mellem 2 og 3.De enkelte tal i et tal kaldes cifre. 24 har to cifre. 325 har tre cifre.Tal med komma i kaldes decimaltal. Cifrene efter kommaet kaldes decimaler.Eksempler på opgaverAfrund 3,46 til en decimal.Afrund 254.312 til helt antal tusinde.3,46 er et tal mellem 3,4 og 3,5men tættest på 3,5.Derfor bliver resultatet: 3,53,46254.312 er et tal mellem 254.000 og 255.000men tættest på 254.000.Derfor bliver resultatet: 254.000254.3123,4 3,5254.000 255.000Hvis det tal, som skal afrundes, er præcis i midten, runder man opad. 3,45 afrundes til 3,5.I store tal ( som f.eks. 254.312) sætter man ofte - men ikke altid - punktum efter hvert 3. cifferregnet fra højre. Punktummerne må aldrig tastes med ind på regnemaskinen.Til gengæld ligner regnemaskinens komma et punktum · Det er ret forvirrende!Lektion 01 - Grundliggende regning eksempler Side 2


Matematik på Åbent VUCEksemplerEksempler på opgaverUdregn:3 · 42Udregn:4 · 2963 · 42 Tallene skrives op, og 3 og 2 4 · 2966 ganges med hinanden. 43 · 42 4 · 2963 og 4 ganges med hinanden.1268423 23 24 · 2 9 61 1 8 44 gange 6 giver 24, men2-tallet sættes i mente.4 gange 9 giver 36. Hertillægges 2-tallet. Man får 38,men 3-tallet sættes i mente.4 gange 2 giver 8. Hertillægges 3-tallet. Man får 11.Gange og division med 10, 100, 1.000 o.s.v.Eksempler på opgaver10 ⋅ 122,4 ⋅ 100150 : 10230 : 1.00010 ⋅ 12 = 1202 ,4 ⋅ 100 = 240 150 :10 = 15230 :1.000 = 0, 23Man ganger et tal med 10, 100, 1.000 o.s.v. ved at sætte 0’er på tallet eller rykke kommaet til højre.Man dividerer et tal med 10, 100, 1.000 o.s.v. ved at fjerne 0’er eller rykke kommaet til venstre.Eksempler på opgaver80 ⋅ 30012.000 : 400Man må se bort fra 0’erne i første omgang.Man får: 8 ⋅ 3 = 24Derefter sættes de tre 0’er bagpå.I alt fås:80 ⋅ 300 =24.000Man må fjerne 0’erne parvis på denne måde:12.000 : 400 = 12.000 : 400 = 120 : 4 = 30I den sidste beregning bruger man, at: 12 : 4 = 3Lektion 01 - Grundliggende regning eksempler Side 5


Matematik på Åbent VUCEksemplerOmregningIndholdsfortegnelseIndholdsfortegnelse.......................................................................6Kg-priser........................................................................................7Tid og hastighed............................................................................9Valuta ..........................................................................................11Rente og værdipapirer.................................................................12Lektion 02 - Omregning eksempler Side 6


Matematik på Åbent VUCEksemplerTid og hastighedOpgaver med tid er besværlige, fordi tids-enhederne ikke passer ind i vores talsystem.Det er let at regne med meter og cm, fordi der er 100 cm i en meter, og det er let at regnemed kg og gram, fordi der er 1.000 gram i et kg. Men når der er 60 sekunder i et minut og60 minutter i en time, kan man let lave fejl.Eksempler på opgaverHvor mange minutter er4 timer og 17 minutter?Omregn 310 sekundertil minutter og sekunder.Man får:4 ⋅ 60 + 17 =240 + 17 = 257 minutterMan siger først: 310 : 60 = 5,16...Det betyder, at der er 5 hele minutter,som svarer til 5⋅ 60 = 300 sekunder.Derfor er:310 sekunder = 5 minutter og 10 sekunderEksempler på opgaverDet koster 45 kr. i timen at leje en båd.- Hvad koster det at leje båden i2 timer og 30 minutter?- Hvor længe har man haft båden,når man skal betale 105 kr?Man kan sige:2 t. og 30 min. = 2 ⋅ 60 + 30 = 150minutter451 min. koster = 0,75 kr.602 t. og 30 min. koster: 150 ⋅ 0, 75=112,50 kr.Man kan sige:451 min. koster = 0,75 kr.60For 105 kr. kan man få:140 min. = 2 t. og 20 min.105 =140 min.0,75Eksempel på opgaveEn håndværker tager 780 kr. for 3 timer og 15 minutter. Hvad er timelønnen?Man kan sige:3 t. og 15 min. = 3 ⋅ 60 + 15 = 195minutterPrisen pr. minut er: 780 : 195 = 4 kr.Prisen pr. time er: 4 ⋅ 60 = 240 kr.Lektion 02 - Omregning eksempler Side 9


Matematik på Åbent VUCEksemplerValutaKursen på en fremmed valuta er prisen i kroner for 100 stk. af den fremmede valuta.I disse eksempler og de tilhørende opgaver er der brugt valutakurser fra sommeren 2001,men valutakurser ændrer sig hele tiden.Kursen på svenske kr. er 83,91. Det betyder, at 100 svenske kr. koster 83,91 danske kr.En svensk krone er altså mindre værd end en dansk krone. Helt præcist: 0,8391 kr. eller 83,91 øre.Kursen på US-dollars er 856,91. Det betyder, at 100 US-dollars koster 856,91danske kr.En US-dollar er altså mere værd end en dansk krone. Helt præcist: 8,5691 kr. eller 856,91 øre.Når man skal regne om mellem danske kroner og fremmed valuta, kan man bruge denne formel:F ⋅ KD = D = Antal danske kroner F = Antal fremmed valuta K = Valutakursen100Formlen kan også skrives således:D ⋅100F = ellerKK =D ⋅100FEksempler på opgaver:Hvor meget koster250 US-dollars,når kursen er 856,91?Hvor mange svenske kr. kanman få for 800 danske kr.,når kursen er 83,91?Hvad er kursen på pesetas,når 70.000 pesetas,koster 3.139 kr.?Man får:250 ⋅856,91= 2.142 kr.100Eller blot:250 ⋅ 8,5691= 2.142 kr. fordihver dollar koster 8,5691 kr.Man får:800 ⋅100= 953 sv. kr.83,91Eller blot:800 = 953 sv. kr.0,8391fordi hver svensk kronekoster 0,8391 dansk krone.Man får:3.139⋅100= 4,48470.000100 pesetas koster altså kuncirka 4,50 kr.Man kan meget let få stillet valuta-regnestykker forkert op, men brug din sunde fornuft til atvurdere, om resultatet er rimeligt.I eksemplet til venstre må man forvente, at krone-tallet er en del større end dollar-tallet.I eksemplet i midten må man forvente, at antal svenske kr. er lidt større end antal danske kr.I eksemplet til højre må man forvente, at kursen er lav (langt under 100), fordi antal pesetaser langt større end antal kr.Lektion 02 - Omregning eksempler Side 11


Matematik på Åbent VUCEksemplerRente og værdipapirerHvis man sætter penge i banken, får man renter. Hvis man låner penge, betaler man renter.Renten opgives som et bestemt antal procent pr. år (kaldet pro anno), men pengene stårsjældent i netop et år. Derfor beregnes renten efter det præcise antal dage.For at gøre beregningen lettere kan man lade som om, der er 30 dage i alle måneder og360 dage i et år (fejlen bliver ikke ret stor), men bankens computere bruge de præcise tal.Man bruger denne formel (evt. med 365 i stedet for 360):K ⋅ r ⋅ dR =100 ⋅360R = beregnet rente i kr.K = kapital i kr.r = renten pr. år i procentd = antal dage (kaldet rentedage)Eksempler på opgaverDer står 5.000 kr. fra 1. april til 1. juni på en konto med en rente på 3% pro anno.Beregn renten, hvis man regner…- …med 30 dage i hver måned. - …med det præcise antal dage.Der går 2 måneder ≈ 60 dage, så man får:5.000 ⋅ 3⋅60= 25,00 kr.100 ⋅ 360Der går 61 dage (tæl selv efter), så man får:5.000 ⋅3⋅61= 25,07 kr.100 ⋅365Aktier og obligationer er eksempler på værdipapirer.Aktier er andele i virksomheder (aktieselskaber). Hvis virksomheden giver overskud, får aktieejernedel i overskuddet (udbytte). En aktie har en pålydende værdi, men handelsprisen kanvære højere eller lavere. Den kaldes kursværdien og afhænger af, hvor godt virksomheden går.Kursen på en aktie er handelsprisen forhver 100 kr. i pålydende værdi.Formlen viser sammenhængen:Kursværdi =Pålydendeværdi ⋅ Kurs100Obligationer er gældsbeviser. Hvis man ejer en obligation har man en sum penge til gode.Dette beløb kaldes obligationens pålydende værdi. Man får hvert år udbetalt en bestemtprocentdel af disse penge i rente, og ved slutningen af obligationens løbetid får man udbetaltpenge svarende til den pålydende værdi.Obligationer kan købes og sælges. Man køber og sælger retten til at få de årlige renter samt - tilsidst - den pålydende værdi. Renten på en obligation er fast gennem hele løbetiden (mange år),mens den varierer andre steder. Derfor svinger handelsprisen på obligationer på samme mådesom handelsprisen på aktier. Er renten på en obligation højere end renten andre steder, så vilkursen på obligationen være høj - og omvendt.Udbytte og rente opgives altid som en procentdel af den pålydende værdi (ikke af kursværdien).Lektion 02 - Omregning eksempler Side 12


Matematik på Åbent VUCEksemplerSammensætning af regnearterneIndholdsfortegnelseIndholdsfortegnelse.....................................................................13Plus, minus, gange og division....................................................14Negative tal .................................................................................15Parenteser og brøkstreger............................................................17Potenser og rødder.......................................................................18Lektion 03 - Sammensætning af regnearter eksempler Side 13


Matematik på Åbent VUCEksemplerPlus, minus, gange og divisionEksempler på opgaverUdregn: 8 − 5 + 6 − 4 + 2Udregn: 6 − 4 + 8 + 2 − 5Man regner forfra og får:8 − 5 + 6 − 4 + 2 =3 + 6 − 4 + 2 =9 − 4 + 2 =5 + 2 = 7Man regner forfra og får:6 − 4 + 8 + 2 − 5 =2 + 8 + 2 − 510 + 2 − 512 − 5 = 7Regnestykkerne ovenfor er ens. Tallene er blot skrevet i forskellig rækkefølge.Man kan bytte rundt på tallene i et plus-minus-regnestykke, som man vil, men regnetegnene skalfølge med tallene (der står normalt et ”usynligt” plus foran det forreste tal).Forestil dig at:- du skal have 8 kr., 6 kr. og 2 kr.,- du skal af med 5 kr. og 4 kr.Du vil ende med at have 7 kr. uanset hvilken rækkefølge tingene sker i.(I praksis kan du naturligvis få et problem, hvis du skal af med penge først, og du ingen har).Man kan også tænke således: 8 − 5 + 6 − 4 + 2 = 8 + 6 + 2 − 5 − 4 = 16 − 9 = 7 .Her samler man plus-tallene og minus-tallene i hver sin ende af regnestykket.Eksempler på opgaverUdregn: 4 ⋅ 6 : 3 ⋅ 5 : 2Udregn: 5 ⋅ 4 : 2 ⋅ 6 : 3Man regner forfra og får:4 ⋅ 6 : 3⋅5 : 2 =24 : 3⋅5 : 2 =8 ⋅5 : 2 =40 : 2= 20Man regner forfra og får:5⋅4 : 2 ⋅ 6 : 3 =20 : 2 ⋅ 6 : 3 =10 ⋅ 2 : 3 =60 : 3= 20Regnestykkerne ovenfor er ens. Tallene er blot skrevet i forskellig rækkefølge.Man kan bytte rundt på tallene i et gange-divisions-regnestykke som man vil, men regnetegneneskal følge med tallene (der står normalt et ”usynligt” gange foran det forreste tal).Lektion 03 - Sammensætning af regnearter eksempler Side 14


Matematik på Åbent VUCEksemplerParenteser og brøkstregerHvis der er parenteser i lange regnestykker, skal parenteserne udregnes først.Eksempler på opgaverUdregn: 4 ⋅ (8 − 3)Udregn: 6 + (4 ⋅3− 2) : 5Man får:4 ⋅ (8 − 3) = 4 ⋅ 5 = 20Man får:6 + (4 ⋅ 3 − 2): 5= 6 + (12 − 2): 5=6 + 10 : 5 = 6 + 2 = 8En brøkstreg betyder det samme som et divisions-tegn.Hvis der er regnestykker over eller under brøkstregen, skal de udregnes før man dividerer.Hvis der er brøkstreger i lange regnestykker, skal de - ligesom parenteser - udregnes først.Eksempler på opgaverUdregn:5 + 79 − 68 ⋅3Udregn: 3 + − 56Man får:5 + 7=9 − 6123= 4Opgaven i eksemplet svarer til at skrive( 5 + 7) : (9 − 6) = 12 :3 = 4 ,men brøkstregen er mere ”fiks”.Man får:8⋅3 243 + − 5 = 3 + − 5 = 3 + 4 − 5 = 26 6Eksempler på opgaverSkriv6 ⋅ 4 ⋅23 ⋅ 8uden brøkstreg. Skriv 8 ⋅ 5 ⋅2 : 4 : 10 på en brøkstreg.Man får:6 ⋅ 4 ⋅ 2= 6 ⋅ 4 ⋅ 2 : 3 : 83⋅8Man får:8⋅5⋅28 ⋅ 5 ⋅ 2 : 4 :10 =4 ⋅10Lektion 03 - Sammensætning af regnearter eksempler Side 17


Matematik på Åbent VUCEksemplerPotenser og rødderHvis man ganger det samme tal med sig selv mange gange, kan man skrive det som en potens.Eksempler på opgaverSkriv 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 som en potens.Udregn også resultatet.Skriv75 som et almindeligt gangestykke.Udregn også resultatet.Man får:6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 =46Man siger seks i fjerde.På regnemaskinen trykkes 6 ^ 4 = for atberegne resultatet. Man får: 1.296.Man får:5 7 = 5 ⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5 = 78.125Man siger fem i syvende.Eksemplerne viser at resultaterne af potens-udregninger ofte bliver meget store.Bemærk at ”potens-knappen” også kan se således ud: y xpå regnemaskinen.Den mest almindelige potens-beregning er at sætte i anden potens.De fleste regnemaskiner har en ”i anden-knap”. Den ser således ud: x 2 .For at finde5 5 =2⋅ 5 tastes 5 x 2 og man får 25.Rødder er det modsatte af potenser.Eksempler på opgaverFind 16 Find 3 816 kaldes for kvadratroden af 16.Man fårfordi16 = 424 eller 4 ⋅ 4 er 16.Man skulle tro, at 16 også kan være − 4 , fordi38 kaldes både for den tredje rod af 8og for kubikroden af 8.Man fårfordi38 =232 eller 2 2 ⋅ 2⋅ er 8.2(− 4) er 16 (husk regnereglen: − ⋅ − = + ).Men hvis man vil have det negative tal med, skriver man normalt ± 16 . Og − 16 betyder − 4 .Regnemaskiner kan beregne kvadratrødder med denne knap x .Regnemaskiner kan også beregne kubikrødder, men metoden varierer fra maskine til maskine.Lektion 03 - Sammensætning af regnearter eksempler Side 18


Matematik på Åbent VUCEksemplerBrøker og forholdstalIndholdsfortegnelseIndholdsfortegnelse.....................................................................19Hvad er brøker - nogle eksempler...............................................20Forlænge og forkorte...................................................................21Udtage brøkdele ..........................................................................22Uægte brøker og blandede tal .....................................................23Brøker og decimaltal...................................................................23Regning med brøker - plus og minus..........................................23Regning med brøker - gange og division....................................23Forholdstal...................................................................................23Lektion 04 - Brøker eksempler Side 19


Matematik på Åbent VUCEksemplerHvad er brøker - nogle eksemplerTegningerne forestiller en lagkage og to plader chokolade.Lagkagen er inddelt i 4 lige store stykker – eller brøkdele.Hver brøkdel kaldes 41 (en fjerde-del).Chokoladen til venstre er inddelt i 16 lige store stykker.Ligesom en Rittersport.Hver del kaldes 161 (en sekstende-del).Chokoladen til højre er inddelt i 6 lige store stykker.Hver del kaldes 61 (en sjette-del).Her er to lagkager og to plader chokolade, som der er spist af.Der er spist 43 af lagkagen til venstre. Der er 41 tilbage.Der er spist 85 af lagkagen til højre. Der er 83 tilbage.Der er spist 167 af chokoladen til venstre. Der er 169 tilbage.Der er spist 127 af chokoladen til venstre. Der er 125 tilbage.Tallet over brøkstregen kaldes tæller.Tæller 2Tallet under brøkstregen kaldes nævner. 3NævnerEn brøkstreg er også et divisionstegn.2 kan betyde to ting, som reelt er det samme:3- en hel deles i 3 dele - vi tager de 2- resultatet af 2 divideret med 3Lektion 04 - Brøker eksempler Side 20


Matematik på Åbent VUCEksemplerForlænge og forkorteDer findes mange ”navne” for den samme brøk. Man skifter navn ved at forlænge eller forkorte.Eksempel på opgaverForlæng brøken 32 med 4. Forkort brøken 164 med 4.Man skal gange både tæller og nævner med 4:Man får:232⋅4=3 ⋅ 4=812Tegningen viser, at brøkerne 32 og 128er ens.Man skal dividere tæller og nævner med 4:Man får:416=4:416:414Tegningen viser, at brøkerne 164=og41 er ens.23=2 ⋅ 43⋅4=812416=4 : 416 : 4=14Gør man tæller og nævner større uden at ændre brøken, så forlænger man brøken.Man forlænger ved at gange tæller og nævner med samme tal.Gør man tæller og nævner mindre uden at ændre brøken, så forkorter man brøken.Man forkorter ved at dividere tæller og nævner med samme tal.Man forkorter normalt mest muligt.Eksempel på opgaveHvor stor en brøkdel udgør 15 ud af 20?15Man skal forkorte brøken mest mulig:20Man får:1520=15:520:5=34Tegningen viser resultatet.Lektion 04 - Brøker eksempler Side 21


Matematik på Åbent VUCEksemplerUdtage brøkdeleEksempel på opgaveFind 32 af 12.Man kan finde 32 af 12 på 2 måder.- Man kan enten:1først sige: af 12=12:3=432og derefter sige: af 12 = 2 ⋅ 4=832 2 ⋅12- Eller man kan sige: ⋅ 12 = = 8 .3 3På regnemaskinen tastes 2 × 12 ÷ 3 =23De tre skriveformer af 122 2 ⋅12og ⋅ 12 og3 3betyder det samme.Eksempel på opgave18 svarer til 43 af et tal. Find tallet.Man kan finde tallet - det hele - på to måder:- Man kan enten:1først sige: af det hele er 18 : 3 = 643 = 118 = 6 4 = 24444og derefter sige: Det hele må være 6 ⋅ 4=2418⋅4- Eller man kan sige: = 24 .3På regnemaskinen tastes 18 × 4 ÷ 3 =Lektion 04 - Brøker eksempler Side 22


Matematik på Åbent VUCEksemplerUægte brøker og blandede talBrøker er ofte mindre end en hel. Så er tælleren mindre end nævneren,og brøken kaldes en ægte brøk. 43 og 51 er eksempler på ægte brøker.Hvis en brøk er større end en hel, er der to skriveformer:Man kan både sige, at der er 49 lagkage,og at der erAltså:94= 212 lagkage.414Brøken 49 kaldes en uægte brøk. Tæller er større end nævner.Tallet12 kaldes et blandet tal. Det er sat sammen af et helt tal og en ægte brøk.4Tegningen til højre viser, at11656= 1 .Eksempel på opgaver13Omskriv til blandet tal. Omskriv 2 til uægte brøk.531Man får:135= 235Der bliver 2 hele, fordi 13 : 5 = 2 , rest 3.Lav evt. selv en tegning,der viser omregningen.Man får:12 =373Det er fordi 2 ⋅ 3 + 1 = 7Nogle gange skrives regnestykket således:1 2⋅3+12 = =3 373Lektion 04 - Brøker eksempler Side 23


Matematik på Åbent VUCEksemplerBrøker og decimaltalDecimaltal er også brøker. De kaldes nogle gange decimalbrøkerFørste ciffer efter kommaet er 10.-dele, andet ciffer er 100.-dele o.s.v.Almindelige brøker kan laves om til decimaltal ved:- enten at forlænge til 10.-dele, 100.dele o.s.v.- eller at dividere tæller med nævner på regnemaskinen.Eksempel på opgaverOmskriv 21 til decimaltal. Omskriv 41 til decimaltal.- Man kan enten forlænge:- Man kan enten forlænge:1 51 2525 2= = 0,5= = 0,25 ( = +2 104 100100 10 100- eller taste 1 ÷ 2 = på regnemaskinen. - eller taste 1 ÷ 4 = på regnemaskinen.1Så får man: =10, 5Så får man: = 0, 25245 )Eksempel på opgaveOmskriv 31til decimaltal.Man kan ikke forlænge til hverken 10.-dele eller 100.dele eller …..Man får: 1 = 0,333....ved at taste 1 ÷ 3 = på regnemaskinen, og afrunder til fx: 1 = 0, 3333Eksempler på opgaverOmskriv 0,3 til brøk.Omskriv 0,75 til brøk.Man får:3100 ,3 = Man får:751000 ,75 = =34Lektion 04 - Brøker eksempler Side 24


Matematik på Åbent VUCEksemplerRegning med brøker - plus og minusHvis to brøker har samme nævner, kan man lægge dem sammen vedat lægge tællerne sammen og beholde nævneren.Man trækker brøker fra hinanden på samme vis.Eksempler på opgaver2 45 3+ −9 97 7Man får:294969+ = , som kan forkortes til 2 . Man får: − =3 7 7 7532Tegningen viser beregningen til venstre:29+49=69=23Hvis to brøker med forskellige nævnere skal lægges sammen eller trækkes fra hinanden,skal man først finde en fællesnævner.Eksempler på opgaver1 11 3+ −2 32 8Man får:1213362656+ = + =Man får:12−38=48−38=18Tegningen viser beregningen til venstre:12+13=36+26=56Lektion 04 - Brøker eksempler Side 25


Matematik på Åbent VUCEksemplerRegning med brøker - gange og divisionMan ganger et tal og en brøk ved at gange tælleren med tallet og dividere med nævneren.Eksempel på opgave3 ⋅ 8 (eller 38 ⋅44 - rækkefølgen er ligegyldig)343⋅8244Man får: ⋅8= = = 643- Det kan både betyde af 8 hele (til højre)43- Og betyde 8 portioner på (her under)4Tegningerne viser, at begge dele giver 6. På regnemaskinen tastes 3 × 8 ÷ 4 =Man ganger to brøker ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner.Eksempel på opgave2 3 ⋅3 4Man får:23⋅34=2⋅33⋅4=612=12Tegningerne viser - på to måder - at resultatet er rimeligt. (Men de er lidt svære at forstå)2 32 3⋅ er det samme som af3 43 4eller - da rækkefølgen er ligegyldig:3 23 2⋅ er det samme som af4 34 3ellereller2 af eller eller33 af eller eller4Lektion 04 - Brøker eksempler Side 26


Matematik på Åbent VUCEksemplerMan dividerer en brøk med et tal ved at gange nævneren med tallet.Eksempel på opgave3: 24Man får:3 3 2 =4 4 ⋅ 2: =38Tegningen til højre viser regnestykket34: 2 =38Hvis divisionen går op kan man også gøre som i dette eksempel:6 276:2: = =737Man dividerer et tal med en brøk ved at gange med den omvendte brøk.Eksempel på opgave24 :323324⋅3122Man får: 4 : = 4 ⋅ = = = 6Tegningen til højre viser, at når manhar 4 hele, kan man 6 gange få 322Man dividerer en brøk med en brøk ved at gange med den omvendte brøk.Eksempel på opgave1 1 :2 3Tegningen er svær at forståMan får:121312311⋅32⋅132: = ⋅ = = = 112Tegningen skal vise, at hvis manhar 21 plade chokolade, kan man1 1få plade 1 gang3 21= 1: = :2Lektion 04 - Brøker eksempler Side 27


Matematik på Åbent VUCEksemplerForholdstalEksempel på opgaveDel 1.000 kr. mellem to personer i forholdet 2 : 3.Beløbet skal deles i 5 portioner, fordi 2 + 3 = 5 .Den ene person får ⋅1.000= 400 kr.25Den anden person får ⋅1.000= 600 kr.35Eksempel på opgaveEn læskedrik skal blandes med vand i forholdet 1 : 6 .Drikken sælges i flasker med 500 ml (½ liter).Hvor meget færdigblandet drik bliver der ud af en flaske?Hver meget koncentreret drik skal man bruge for at få en liter færdigblandet drik?Der skal bruges 6 ⋅500= 3. 000 ml vand til 500 ml koncentreret drik.I alt får man 3.500 ml = 3,5 liter færdigblandet drik.1Fordi 1 + 6 = 7 skal der bruges liter koncentreret drik til en liter færdigblandet drik7Det svarer til 0,143 liter eller 143 ml.Et forhold kan forkortes ligesom en brøk.Forholdet 20 : 30 kan forkortes til 2 : 3 . Man dividerer begge tal med 10.Lektion 04 - Brøker eksempler Side 28


Matematik på Åbent VUCEksemplerProcentregningIndholdsfortegnelseIndholdsfortegnelse.....................................................................29Find et antal procent af…............................................................30Procent, brøk og decimaltal ........................................................31Hvor mange procent udgør…..?..................................................32Find det hele…............................................................................33Promille .......................................................................................33Moms...........................................................................................34Ændring i procent........................................................................35Forskel i procent..........................................................................36Lektion 05 - Procent eksempler Side 29


Matematik på Åbent VUCEksemplerOrdet procent betyder pr. hundrede, og procentregning er en slags brøkregning, hvor man regner1med 100-dele - eller prøver at regne om til 100-dele. En procent er . Man skriver 1%.100Find et antal procent af….Eksempel på opgavePå et VUC er der 735 kursister. Heraf er 40% mænd.Hvor mange procent af kursisterne er kvinder?Hvor mange mænd er der?De to procent-tal for mænd og kvinder skal give 100% tilsammen.Derfor er der 100% - 40% = 60% kvinder.Antallet af mænd kan findes på flere måder.- Man kan - se tegningen - sige:100% = 735kursister7351% = = 7,35kursist10040% = 7,35 ⋅ 40 = 294 kursisterDenne måde er nem at forståmen besværlig at skrive.1% = 7,35 kursist40% = 294 kursister100% = 735 kursister- Eller man kan - i en beregning - sige:735⋅ 4040% af 735 = = 294 kursister10040Denne skrive-måde er brøk-regning. Man finder af 735.100På regnemaskinen tastes 735 x 40 ÷ 100 =Beregnings-metoden kan sættes på formel på denne måde:Del =Det hele ⋅ Antalprocent100- Endelig kan man - i en beregning - sige:40% af 735 = 0,40⋅ 735 = 294 kursister.Her bruger man, at 40% er det samme som decimal-tallet 0,40 (se næste side).Lektion 05 - Procent eksempler Side 30


Matematik på Åbent VUCEksemplerProcent, brøk og decimaltalProcent-tal, brøker og decimal-tal er tre sider af samme sag.Således er 50% både det samme som 21 og det samme som 0,5.Et procent-tal kan altid omskrives til det samme antal 100-dele. Nogle gange kan man forkorte.Eksempel på opgaveOmskriv disse procent-tal til brøker: 7% , 80% og 250%Man får:7 % =71008080 % = =10045Tegningen viser at80 % =45250 5 1250 % = = = 2100 2 2En brøk kan nogle gange omskrives til procent-tal ved at forlænge eller forkorte til 100-dele.Men langt fra alle brøker kan forlænges eller forkortes til 100-dele (se næste side).Man laver et procent-tal om til et decimal-tal ved at rykke kommaet to pladser til venstre.Man laver et decimal-tal om til et procent-tal ved at rykke kommaet to pladser til højre.Eksempel på opgaveOmskriv disse procent-tal til decimal-tal: 5% , 60% og 147%Man får: 5 % = 0, 05 60 % = 0, 60 (eller blot 0,6) 147% = 1,47Eksempel på opgaveOmskriv disse decimal-tal til procent-tal: 0,005 ; 0,75 og 4,3Man får: 0,005 = 0,5% 0,77 = 75% 4,3 = 430%Lektion 05 - Procent eksempler Side 31


Matematik på Åbent VUCEksemplerEn brøk kan altid omskrives til procent-tal ved at dividere tæller med nævnerog rykke kommaet to pladser til højre. Man bruger decimal-tal som mellem-resultatEksempel på opgaveOmskriv disse brøker til procent-tal: 43 og 3232Man får: = 0,75 = 75%= 0,66666... = 67%433 3 75I opgaven med kan man også sige = = 75%.4 4 1002I opgaven med er resultatet et uendeligt decimal-tal. Man kan også sige 66,7% eller 66,67%….3Hvor mange procent udgør…..?Eksempel på opgavePå et VUC er der 395 kursister. Heraf er 257 kvinder.Hvor mange procent af kursisterne er kvinder?Procent-tallet kan findes på flere måder.- Man kan sige:100 % = 395kursister3951 % = = 3,95kursist100257Kvinderne udgør = 65% af kursisterne.3,95- Eller man kan - i en beregning - sige:Kvinderne udgør257 ⋅100= 65% af kursisterne.395257Man omregner brøken til procent-tal. På regnemaskinen tastes 257 ÷ 395 x 100 =395Man beregner, hvor mange procent en del udgør af det hele, på denne måde:Del ⋅100Antalprocent =Det heleLektion 05 - Procent eksempler Side 32


Matematik på Åbent VUCEksemplerFind det hele…..Eksempel på opgave51 personer deltog i sports-klubbens årsmøde. Det svarer til 15% af medlemmerne.Hvor mange medlemmer er der i alt?Tallet kan findes på flere måder.- Man kan sige:15% = 51 personer511 % = = 3,4 person15I alt er der 3,4 ⋅100= 340 medlemmer af sportsklubben.- Eller man kan - i en beregning - sige:I alt er der51⋅100= 340 medlemmer af sportsklubben.15På regnemaskinen tastes 51 ÷ 15 x 100 =Når man ved, hvor mange procent en del udgør, kan man beregne det hele på denne måde:Det heleDel ⋅100=AntalprocentPromillePromille ligner procent, men ordet betyder pr. tusinde. En promille er altsåPromille-opgaver regnes stort set som procent-opgaver.11.000og skrives 1‰.Eksempel på opgaveFind 2‰ af 60.000 kr.Man får:2‰ af 60.000 kr. =60.000⋅ 2= 120 kr.1.000Læg mærke til, at der divideres med 1.000 i stedet for med 100.Lektion 05 - Procent eksempler Side 33


Matematik på Åbent VUCEksemplerMomsAlle priser tillægges 25% moms.Eksempel på opgaveEt par bukser koster 156 kr. uden moms. Find prisen med moms.Opgaven kan besvares på mange måder:- Man kan sige:Pris uden moms: 156 kr.156 ⋅ 25Moms: =10039 kr.I alt195 kr.- Eller man kan sige:Pris uden moms: 156 kr.Moms: 0,25⋅ 156 = 39 kr.I alt195 kr.- Eller man kan - i en beregning - sige:156 ⋅125Pris med moms: = 195 kr.100- Eller man kan - i en beregning - sige:Pris med moms: 1,25⋅156= 195 kr.Pas på når du skal regne baglæns ogfinde prisen uden moms.Tegningen til højre viser, at:- momsen udgør 25%eller 41 af prisen uden moms.25 1- men momsen udgør eller 125 5eller 20% af prisen med moms.Pris uden moms Moms25%100%Pris med moms100% 25%100% 25% 25%Eksempel på opgaveEn boremaskine koster 499 kr. med moms. Find prisen uden moms.Man får:Pris uden moms:499 ⋅100= 399,20 kr.125Lektion 05 - Procent eksempler Side 34


Matematik på Åbent VUCEksemplerÆndring i procentEn ændring kan her både betyde en stigning og et fald.Eksempler på opgaverEn togbillet koster 160 kr.Prisen stiger med 15%.Find prisen efter stigningen.En computer koster 9.995 kr.Prisen falder med 20%.Find prisen efter faldet.Begge opgaver kan regnes på flere måder:- Man kan sige:Gammel pris:160 kr.160 ⋅15Stigning: =10024 kr.Ny pris184 kr.- Man kan sige:Gammel pris: 9.995 kr.9.995⋅ 20Fald: =1001.999 kr.Ny pris7.996 kr.- Eller man kan - i en beregning - sige:160 ⋅115Ny pris: = 184 kr.100- Eller man kan - i en beregning - sige:Ny pris: 1,15 ⋅160 = 184 kr.- Eller man kan - i en beregning - sige:9.995 ⋅80Ny pris: = 7.996 kr.100- Eller man kan - i en beregning - sige:Ny pris: 0,80⋅ 9. 995 = 7.996 kr.Man finder en ændring i procent på denne måde:Ændring i procent=Ændring i tal ⋅100StarttalEksempler på opgaverPrisen på en busbillet ervokset fra 18 kr. til 22 kr.Find stigningen i procent.Prisen på et TV er faldetfra 2.999 kr. til 1.999 kr.Find faldet i procent.Man får:Stigning i tal: 22 - 18 = 4 kr.Stigning i procent:4 ⋅100= 22,2%18Man får:Fald i tal: 2.999 - 1.999 = 1.000 kr.1.000⋅100Fald i procent: = 33,3%2.999Du skal altid dividere med start-tallet uanset om start-tallet er størst eller mindst.Lektion 05 - Procent eksempler Side 35


Matematik på Åbent VUCEksemplerForskel i procentDu skal finde en forskel i procent, når der i en opgave bliver spurgt om, hvor meget et taler større end (eller mindre end) et andet tal. Eller højere end eller lavere end eller dyrere end eller...Man finder en forskel i procent på denne måde:Forskel iForskel i tal ⋅100procent ="End"-talMan kan også skrive Sammenligningstal under brøkstregen, men ordet end bliver næstenaltid brugt i spørgsmålene.Nu kommer to eksempler, som ligner hinanden, men alligevel giver forskellige resultater.Hold tungen lige i munden!!!Eksempler på opgaverEn liter mælk koster 6,00 kr. i Super-Købog 7,50 kr. i Nær-Kiosken.Hvor mange procent er Nær-Kioskendyrere end Super-Køb?En liter mælk koster 6,00 kr. i Super-Købog 7,50 kr. i Nær-Kiosken.Hvor mange procent er Super-Købbilligere end Nær-Kiosken?Man skal dividere med prisen i Super-Køb,fordi der blive spurgt ”end Super-Køb”.Man får:Forskel i tal: 7,50 - 6,00 = 1,50 kr.Man skal dividere med prisen i Nær-Kiosken,fordi der blive spurgt ”end Nær-Kiosken”.Man får:Forskel i tal: 7,50 - 6,00 = 1,50 kr.Forskel i procent:1,50⋅100= 25%6,00Forskel i procent:1,50⋅100= 20%7,50Tegningen viser, at forskellen fylder meresammenlignet med Super-Købend sammenlignetmed Nær-Kiosken.Pris i Super-KøbPris i Nær-KioskenForskelForskelPris i Super-KøbForskelPris i Nær-KioskenLektion 05 - Procent eksempler Side 36


Matematik på Åbent VUCEksemplerBogstavregningIndholdsfortegnelseIndholdsfortegnelse.....................................................................37Formler........................................................................................38Reduktion ....................................................................................39Ligninger .....................................................................................40Lektion 06 - Bogstavregning eksempler Side 37


Matematik på Åbent VUCEksemplerI bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal.FormlerEn formel er en slags regne-opskrift, hvor man med bogstaver viser, hvorledes nogetskal regnes ud. F.eks. formler til beregning af areal og rumfang af geometriske figurer.Man skifter formlens bogstaver ud med tal og regner så løs som i et almindeligtregnestykke. Hvis formlen er kompliceret, bliver regnestykket det også.Eksempler på opgaverBeregn:R = 5 ⋅ S + 7når S = 3Beregn:F = (2,5 ⋅ g − 12)når g = 9 og h = 6: hMan får:R = 5 ⋅S+7= 5 ⋅3+ 7= 15 + 7 = 22Man får:F = (2,5 ⋅ g−12): h= (2,5 ⋅9−12)= (22,5 −12): 6: 6= 10,5 : 6 = 1,75I de næste eksempler er der udeladt gangetegn i formlerne. Det gør man ofte.Eksempler på opgaverBeregn:n − 5M = 5n + − 83når n = 11Beregn:Z = 4x2 −ynår x = 3 og y = 25Man får:n−5M = 5n+− 8311−5= 5 ⋅11+− 83= 55 + 2 − 8 = 49Man får:Z = 4 x2−y2= 4 ⋅3− 25= 4 ⋅9− 5 = 36 − 5 = 31Lektion 06 - Bogstavregning eksempler Side 38


Matematik på Åbent VUCEksemplerReduktionReduktion betyder, at man prøve at skrive bogstavudtryk (det samme som formler)på en kortere måde. Man regner med bogstaver.Eksempler på opgaverReducer:5 ⋅ a − 2 ⋅ a + aReducer:2x + 5y − 3 + x − 3y − 4Bogstavet a symboliserer et tal.Ikke et bestemt tal. Blot et eller andet tal.Når a står alene, er det det samme som1⋅aMan får:5⋅ a−2 ⋅a+a = 4⋅a eller blot 4aMan kan regne x’er sammen, man kan regne y’ersammen, og man kan regne tal sammen.Man får:2 x+5 y−3 + x−3y−4 =2 x+x+5 y−3 y−3 − 4 =3x+2 y−7Det kan være svært at forstå ideen i bogstav-reduktion, men prøv at tænke på, at:- eksemplet til venstre svarer til at sige: 5 agurker - 2 agurker + 1 agurk = 4 agurker- eksemplet til højre til: 2 æbler + 5 pærer - 3 + 1 æble - 3 pærer - 4 = 3 æbler + 2 pærer - 7Sammenligningen med frugt og grønt holder ikke helt, men den er god at tænke på.Eksempler på opgaverReducer:4 ⋅ 2a − 6a : 2 + aReducer:3x2+ 4x − x2− 3xMan får:4 ⋅ 2a−6a: 2+ a =8a−3a+a = 6aLæg mærke til at 6a : 2 bliver til 3a.Det svarer til det halve af 6aMan får:3x3x22+ 4 x−x− x22− 3x =+ 4 x−3x = 2 x2+ xMan kan ikke regne x 2 ’er og x’er sammenPrøv at udskifte a med 3 i startudtrykket til venstre (og hold hovedet koldt).Man får: 4 ⋅ 2 ⋅3− 6 ⋅ 3 : 2 + 3 = 24 − 9 + 3 = 18 . Det er det samme som 6 ⋅ a , altså 6 ⋅ 3.Prøv også at udskifte a med 5 i startudtrykket til venstre (og hold fortsat hovedet koldt).Man får: 4 ⋅ 2 ⋅5− 6 ⋅ 5 : 2 + 5 = 40 −15+ 5 = 30 . Det er stadig det samme som 6 ⋅ a , altså 6 ⋅ 5 .Prøv selv at udskifte a med andre tal. Du får altid6 ⋅ tallet. Det er ideen i bogstavreduktion.Lektion 06 - Bogstavregning eksempler Side 39


Matematik på Åbent VUCEksemplerDe sidste eksempler med reduktion er stygge:Eksempler på opgaverReducer:5a + (4 − 2a) + 3Reducer:3b − (b − 5 + 3a) + 6aReducer:5 ⋅ (4 + 2a) + (8a − 6): 2Man får:5a+(4 − 2a) + 3 =5a+4 - 2a+3 =5a- 2a+4 + 3 =3a+7Man får:3b−(b−5 + 3a) + 6a =3b−b+5 − 3a+6a =3a+2b+5Man får:5 ⋅ (4 + 2a) + (8a−6)5 ⋅ 4 + 5 ⋅ 2a+8a20 + 10a+4a−3 =14a+17: 2: 2=− 6 : 2 =Man kan uden videre hæve (fjerne) en plus-parentes.Man hæver en minus-parentes ved at ændre fortegnene på hvert led i parentesen.Man ganger en parentes med et tal ved at gange hvert led i parentesen med tallet.Man dividerer en parentes med et tal ved at dividere hvert led i parentesen med tallet.LigningerEn ligning er et slags regnestykke, hvor et af tallene mangler - det er udskiftet med et bogstav.Man skal finde ud af, hvilket tal der får regnestykket til at passe.Eksempler på opgaverLøs ligningen:12 = x + 5Du må gerne gætte eller prøve dig frem.Løs ligningen:3x + 2 =20Du må gerne gætte eller prøve dig frem.Du kan sikkert straks se, at x må være 7.Man skriverx = 7Det kaldes at gætte en løsning.Du kan måske se, at x må være 6.Man skriverx = 6For at være sikker kan man regne efter:3⋅6 + 2 = 2018 + 2 = 2020 = 20Lektion 06 - Bogstavregning eksempler Side 40


Matematik på Åbent VUCEksemplerMan må altid gerne gætte eller prøve sig frem, når man løser ligninger, men nårligningerne er komplicerede, er det både svært og tidskrævende.Der findes særlige metoder til at løse ligninger. Her kommer nogle eksempler.Hvis det første eksempel er for indviklet så prøv at blade videre til de næste sider.Eksempler på opgaverLøs ligningen:5 ⋅ x − 6 = 15Tænk på ligningen som et spørgsmål der lyder:”Hvilket tal har den egenskab, at 5 gange tallet minus 6 giver 15?”Tænk også på x som et tal der er ”pakket ind” i nogle beregninger.Vi skal pakke x ud og se, hvilket tal der gemmer sig inde bagved.Til venstre er metoden vist trin for trin. Til højre er nogle af trinene hoppet over.5⋅ x−6 = 15 Når 5x− 6 er lig med 15, kan man lægge 6 tilpå begge sider af lighedstegnet.5 ⋅ x−6 + 6 = 15 + 6 Der kommer til at stå noget andet på begge sider,men lighedstegnet gælder stadig.5⋅x = 15 + 6Man lægger 6 til for at ophæve -6.5⋅x = 215 ⋅ x=5x =215215x = 4,2Der kommer til at stå 5 x i stedet for 5x− 6,og x er blevet pakket delvist ud.Senere dividerer man med 5 på begge sider aflighedstegnet for at ophæve, at der står 5 ⋅ foran x.Til sidst er x pakket helt ud, og man kan regne ud,at x er 4,2.Når man løser en ligning af denne type, nøjes manofte med at skrive som vist til højre.5 ⋅ x−6 = 155 ⋅ x = 15 + 65 ⋅ x = 21x =215x = 4,2Når du løser ligninger kan du også tænke på en gammeldags skålvægt.Der står lodder på begge skåle og vægten er i balance.På lodderne står der, hvor meget de vejer,men tallet mangler på det mørke lod (x).Ved at flytte rundt på lodderne, og ved at tilføje ogfjerne lodder, skal man få det mørke lod (x) til at ståalene på den ene vægtskål, uden at vægten tipper.Når det mørke lod står alene, kan man regne ud, hvad det vejerved at kikke på lodderne på den anden vægtskål.Lektion 06 - Bogstavregning eksempler Side 41


Matematik på Åbent VUCEksemplerNår man løser ligninger, må man:- lægge det samme tal til på begge sider af lighedstegnet.- trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet.- gange med det samme tal på begge sider af lighedstegnet.- dividere med det samme tal på begge sider af lighedstegnet.Eksempel på opgaveLøs ligningen:x − 7 =9x−7 = 9x−7 + 7 = 9 + 7x = 9 + 7x = 16Man lægger 7 til på begge sider af lighedstegnet x−7 = 9for at ophæve -7.x = 9 + 7Når man løser en ligning af denne type, nøjes manofte med at skrive som vist til højre. x = 16Når man lægger det samme tal til på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, manflytter et minus-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et plus-tal.Eksempel på opgaveLøs ligningen:37 = x + 1937 = x+19 Man trækker 19 fra på begge sider af lighedstegnet37 −19= x+19 −19for at ophæve +19.37 −19= xNår man løser en ligning af denne type, nøjes manofte med at skrive som vist til højre.18 = xDen sidste ændring, hvor x flyttes over på venstrex = 1837 = x+1937 −19= x18 = xside, er kun til ”pynt”. x = 18Når man trækker det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, manflytter et plus-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et minus-tal.Lektion 06 - Bogstavregning eksempler Side 42


Matematik på Åbent VUCEksemplerEksempel på opgaveLøs ligningen:x12 =312 =x3x⋅312 ⋅ 3 =312 ⋅ 3 = x36 = xMan ganger med 3 på begge sider af lighedstegnetfor at ophæve at x bliver divideret med 3.Når man løser en ligning af denne type, nøjes manofte med at skrive som vist til højre.Den sidste ændring, hvor x flyttes over på venstreside, er kun til ”pynt”.12 =x312 ⋅ 3 = x36 = xx = 36x = 36Når man ganger med det samme tal til på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, manflytter et divisions-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et gange-tal.Eksempel på opgaveLøs ligningen:4 ⋅ x = 324 ⋅ x = 324 ⋅ x=4x =324324x = 8Man dividerer med 4 på begge sider af lighedstegnetfor at ophæve, at x bliver ganget med 4.Når man løser en ligning af denne type, nøjes manofte med at skrive som vist til højre.4 ⋅ x = 32x =324x = 8Når man dividerer med det samme tal til på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, manflytter et gange-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et divisions-tal.Lektion 06 - Bogstavregning eksempler Side 43


Matematik på Åbent VUCEksemplerHer kommer et par eksempler, som er drilske, selv om de ser lette ud:Eksempler på opgaverLøs ligningen:13 = 29 - x13 = 29 − x13 + x = 29x = 29 −13x = 14Løs ligningen:4515 =x15 =15 ⋅ x = 45x =45x4515x = 3Man kan ikke ende med at have x til at stå alene bag et minus, bag et divisionstegneller under en brøkstreg. Derfor laver man disse ”tricks”:- til venstre fjerner man - x ved at lægge x til på begge sider af lighedstegnet.- til højre fjerner man x fra pladsen under brøkstregen ved at gange med x påbegge sider af lighedstegnet.Her kommer nogle mere indviklede eksempler:Eksempel på opgaveLøs ligningen:3 ⋅ x − 9 = 213⋅x−9 = 213⋅x = 21+93⋅x = 30x =303x = 10Først lægger man 9 til på begge sider af lighedstegnet.(Det ser ud som om -9 flyttes over på den anden side og ændres til +9).Derefter dividerer man med 3 på begge sider af lighedstegnet.(Det ser ud som om 3 ⋅ flyttes over på den anden side og ændres til : 3 .Husk at brøkstregen betyder divisionstegn).Lektion 06 - Bogstavregning eksempler Side 44


Matematik på Åbent VUCEksemplerEksempel på opgaveLøs ligningen:5 ⋅ x − 11= 745 ⋅ x−11= 745⋅x−11= 7 ⋅ 45⋅x−11= 285 ⋅ x = 28 + 115 ⋅ x = 39x =395x = 7,8Først ganger man med 4 på begge sider af lighedstegnet.(Det ser ud som om : 4 flyttes over på den anden side og ændres til⋅ 4 ).Derefter lægger man 11 til på begge sider af lighedstegnet.(Det ser ud som om -11 flyttes over på den anden side og ændres til +11).Til sidst dividerer man med 5 på begge sider af lighedstegnet.(Det ser ud som om 5 ⋅ flyttes over på den anden side og ændres til : 5 .Husk at brøkstregen betyder divisionstegn).Eksempel på opgaveLøs ligningen:6x − 6 = 4x + 16 x−6 = 4 x+16 x = 4 x+1+66 x−4 x = 1+62 x = 7x =72x = 3,5Først lægger man 6 til på begge sider af lighedstegnet.(Det ser ud som om -6 flyttes over på den anden side og ændres til +6).Derefter trækker man 4x fra på begge sider af lighedstegnet.(Det ser ud som om 4x flyttes over på den anden side og ændres til - 4x).Derefter regner man sammen på begge sider af lighedstegnet.Til sidst dividerer man med 2 på begge sider af lighedstegnet.(Det ser ud som om 2 ⋅ flyttes over på den anden side og ændres til : 2.Der er et usynligt gangetegn, og brøkstregen betyder divisionstegn).Det er altid en god ide, at kontrollere sine beregninger. I eksemplet ovenfor får man:6 ⋅3,5− 6 = 4 ⋅3,5+ 121−6 = 14 + 115 = 15Lektion 06 - Bogstavregning eksempler Side 45


Matematik på Åbent VUCEksemplerTil sidst kommer et par eksempler, hvor der indgår potenser og rødder:Eksempler på opgaverLøs ligningen:x 2 = 49Løs ligningen:x = 4x 2 ±= 49x= 4x = ±49x = 42x =7x = 16I eksemplet til venstre tager man kvadratroden på begge sider af lighedstegnet.Tænk på at2x må være x.I eksemplet til højre sætter man begge sider af lighedstegnet i anden potens.2Tænk på at ( x ) må være x.Potenserne og rødderne kan også være "pakket ind" som vist herunder:Eksempler på opgaverLøs ligningen:Løs ligningen:24 ⋅ x = 121x − 3 = 84 ⋅ x2= 121x − 3 = 8xx22== 30,25x = ±1214x = ± 5,530,25Man skal først have x 2 ellerx = 8 + 3x = 11x = 11x = 121x til at stå alene. Derefter gør man som i de øverste eksempler.2Lektion 06 - Bogstavregning eksempler Side 46


Matematik på Åbent VUCEksemplerFunktioner og koordinatsystemerIndholdsfortegnelseIndholdsfortegnelse.....................................................................47Brug af grafer og koordinatsystemer ..........................................48Lineære funktioner......................................................................51Andre funktioner .........................................................................55Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler Side 47


Matematik på Åbent VUCEksemplerBrug af grafer og koordinatsystemerEksempel på opgaveEt supermarked sælger kartofler for 2 kr. pr. kg.Lav en graf i et koordinatsystem.Billige kartoflerKun 2 kr. pr. kg- Vej selv af -Først beregnes nogle priser:- 1 kg kartofler koster 2 ⋅1= 2 kr.- 2 kg kartofler koster 2 ⋅ 2 = 4 kr.- og så videre…..og 0 kg kartofler koster naturligvis 0 kr.Man kan lave en tabel som denne:Antal kg kartofler 0 1 2 3 4 5Pris i kr. 0 2 4 6 8 10Ud fra tallene i tabellen kan man lave tegningen herunder:Pris i kr1098765432102,5 kg koster 5 kr0 1 2 3 4 5Antal kg kartoflerPrikkerne på tegningen svarer til tal-parrenei tabellen.Men man behøver ikke at købe et heltantal kg kartofler. Det viser den skrå streggennem prikkerne. Man kan f.eks. se,at 2,5 kg kartofler koster 5 kr.Tal-akserne og gitteret på tegningen kaldes et koordinat-system.Prikkerne kaldes punkter.Den skrå streg kaldes en graf.Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler Side 48


Matematik på Åbent VUCEksemplerEt koordinatsystem har en vandret og en lodret tal-akse.Den vandrette akse kaldes x-akse eller første-akse.Den lodrette akse kaldes y-akse eller anden-akse.Herunder er vist to koordinatsystemer.I det øverste koordinat-system er der markeret tre punkter.Det ene punkt ligger lige over 1-tallet på x-aksenog lige ud for 2-tallet på y-aksen.Derfor hedder punktet (1,2).Tallene 1 og 2 kaldes punktets koordinater.Det andet punkt har koordinaterne 3 og 4.Derfor hedder punktet (3,4).Tallet 3 kaldes x-koordinat eller første-koordinat.Tallet 4 kaldes y-koordinat eller anden-koordinat.Det tredje punkt ligger på x-aksen og hedder (2,0)543210(3, 4)(1, 2)(2, 0)0 1 2 3 4 5I det nederste koordinat-system er der tegnet to grafer.Den skrå graf går igennem alle de punkter,hvor x-koordinaten og y-koordinaten er ens.For eksempel (0,0) og (1,1).Den vandrette graf går igennem alle de punkter,hvor y-koordinaten er 3,5.For eksempel (0 ; 3,5) og (1 ; 3,5).Læg mærke til at der bruges et semikolon (;), nårder er komma (,) i koordinaterne5432100 1 2 3 4 5Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler Side 49


Matematik på Åbent VUCEksemplerI koordinat-systemerne på forrige side går begge tal-akser til 5, men tal-akserne kan indrettes påmange andre måder, og akserne kan godt være forskellige. Her er et par eksempler:1008060402000 20 40 60 80 1001,00,80,60,40,20,00 2 4 6 8 10Nogle gange forlænger man tal-akserne bagud og nedad for at få de negative tal med.Det er vist herunder:54(-3, 2)3210-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1(-2, -4)-2-3-4-5(3, -3)Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler Side 50


Matematik på Åbent VUCEksemplerLineære funktionerEn funktion er en sammenhæng mellem to talstørrelser.Tallene kan variere, men de afhænger af hinanden.Her er et par eksempler:Prisen på en taxa-tur afhænger normalt af, hvor mange km man kører.En taxa-tur kan være både være billig og dyr. Og den kan både være kort og lang.Men de to tal kan ikke variere på må og få. Prisen afhænger af turens længde.Prisen er en funktion af antal km.Prisen for at sende et brev afhænger normalt af, hvor mange gram brevet vejer.Prisen (portoen) er en funktion af brevets vægt.En funktion kan beskrives ved hjælp af:- en tabel- en graf i et koordinatsystem- en funktionsforskrift (et regneudtryk, en formel) - kaldes ofte blot funktionGrafen for en funktion er ofte en ret linie. Så kaldes funktionen en lineær funktion.Eksempel på opgaveTre foto-butikker tager forskellige priser når defremkalder film og laver billeder.Sammenlign priserne ved at:- lave tabeller- tegne grafer i et koordinatsystem- opstille funktionerFørst udregnes prisen for nogle forskellige film hosAndersens Foto:- ved 10 billeder bliver prisen: 2 ⋅10+ 30 = 20 + 30 = 50 kr.- ved 20 billeder bliver prisen: 2 ⋅ 20 + 30 = 40 + 30 = 70 kr.- og så videre…..Tallene samles i en tabel.Andersens Foto2 kr. pr. billede30 kr. for fremkaldelseBilled-Ringen4 kr. pr. billedePrisen er med fremkaldelseCity-Film90 kr. pr. filmPrisen er med fremkaldelseog uanset antal billederLektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler Side 51


Matematik på Åbent VUCEksemplerTabellen ser således ud:Antal billeder på en film: 0 10 20 30 40Pris hos Andersens Foto: 30 50 70 90 110Det er måske ikke så realistisk med 0 billeder, men tallet er taget med for ”systemets skyld”.Derefter udregnes priser hos Billed-Ringen:- hvis der er 10 billeder på en film, bliver prisen: 4 ⋅10= 40 kr.- hvis der er 20 billeder på en film, bliver prisen: 4 ⋅ 20 = 80 kr.- og så videre…..Hos City-Foto er prisen 90 kr. uanset antal billeder. Nu kan tabellen udviddes:Antal billeder på en film: 0 10 20 30 40Pris hos Andersens Foto: 30 50 70 90 110Pris hos Billed-Ringen: 0 40 80 120 160Pris hos City-Film: 90 90 90 90 90Ud fra tallene i tabellen laves disse grafer:Pris i kr1601401201008060City-FilmAndersens Foto40200Billed-Ringen0 5 10 15 20 25 30 35 40Antal billeder på en filmLektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler Side 52


Matematik på Åbent VUCEksemplerGraferne viser bl.a. at:- at Billed-Ringen er billigst, hvis der er under 15 billeder på en film.- at Billed-Ringen og Andersens Foto er lige dyre ved 15 billeder.- at Andersens Foto er billigst, hvis der er mellem 15 og 30 billeder på en film.- at Andersens Foto og City-Film er lige dyre ved 30 billeder.- at City-Film er billigst, hvis der er over 30 billeder på en film.Da de fleste film er på enten 24 eller 36 billeder, vil der være mest fornuft i at vælgeAndersens Foto eller City-Film.Nu kaldes antallet af billeder på en film for x,og prisen kaldes for y.y er en funktion af x, og y kaldes forfunktionsværdien af x.Sammenhængen mellem x og y kan beskrivesmed disse funktions-forskrifter:Foto-butikFunktionAndersens Foto y = 2 ⋅ x + 30Billed-Ringeny = 4 ⋅ xCity-Foto y = 90Alle tre funktioner kaldes lineære funktioner, fordi deres grafer bliver rette linier.Lineære funktioner kan generelt skrives på formen:y = a ⋅ x + bI funktionen y = 2 ⋅ x + 30 er a = 2 og b = 30.I funktioneny = 4 ⋅ x er a = 4 og b = 0. Men man skriver ikke nullet.I funktionen y = 90er a = 0 og b = 90. Men man skriver ikke nullet.Tallet a fortæller, hvor meget grafen hælder. Det kaldes stigningstal.Hvis a er lille, er grafen flad. Hvis a er stor, er grafen stejl.Hvis a er negativ, så hælder grafen nedad.Tallet b fortæller, hvor grafen skærer y-aksen. Der hvor grafen ”starter”.Hvis b = 0, er x og y ligefrem proportionale. De vokser i takt.Hos Billed-Ringen er prisen ligefrem proportional med antallet af billeder.Hvis to funktions-grafers skæringspunkt er svært at aflæse, kan det beregnes.Man kan beregne, hvor grafen for Andersens Foto og grafen for Billed-Ringenskærer hinanden ved at løse ligningen:2 ⋅ x + 30 = 4 ⋅ xMan finder skæringspunktets x-værdi, når man sætter funktionernes højre-sider lig med hinanden.Kontroller selv, at man får x = 15. Det betyder, at priserne bliver ens ved 15 billeder.Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler Side 53


Matematik på Åbent VUCEksemplerDet er ofte bogstaverne x og y, der indgår i funktions-forskrifter,men andre bogstaver kan bruges også.Funktionerne kan have selv bogstav-navne.Hvis funktionen hedder f, kaldes funktionsværdien f(x) i stedet for y.Eksempel på opgaveTegn i et koordinatsystem grafen for disse funktioner:f(x) = 0,5 ⋅ x + 4g(x) = 2 ⋅ x + 1Først beregnes en række sammenhængende værdier af x og f(x).- hvis x = 0: f(x) = 0,5 ⋅ 0 + 4 = 0 + 4 = 4- hvis x = 1: f(x) = 0,5 ⋅1+4 = 0,5 + 4 = 4,5- hvis x = 2: f(x) = 0,5 ⋅ 2 + 4 = 1+4 = 510og så videre. Tallene sættes ind i en tabel:x 0 1 2 3 4f(x) 4 4,5 5 5,5 68Derefter laves en tilsvarende tabel for funktionen g.Regn selv efter:x 0 1 2 3 4g(x) 1 3 5 7 9Til sidst tegnes graferne i et koordinatsystem.Læg mærke til, at:- grafen for f går 1 hen og 0,5 op- grafen for g går 1 hen og 2 op- grafen for f skærer y-aksen i 4- grafen for g skærer y-aksen i 16y = 0,5x+4Grafen4går 1 henog 0,5 op.y = 2x+12 Grafengår 1 henog 2 op.0-2 0 2 4 6-2Mange funktioner, beskriver virkelige (eller realistiske) ting. Som i eksemplet med foto-priserne.Andre funktioner er ren ”tal-gymnastik”. Som eksemplet herover.Ofte giver det kun mening at kikke på de positive tal. Som i eksemplet med foto-priserne.Nogle gange tager man negative tal med. Som på graferne herover.Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler Side 54


Matematik på Åbent VUCEksemplerAndre funktionerMange af de funktioner, som du møder, er lineære funktioner.Men du kan også støde på grafer og funktioner, hvis grafer ikke er rette linier.Her er et par eksempler:Eksempel på opgaveEt skur skal være firkantet (et rektangel eller et kvadrat).Arealet skal være 12 m 2 .- Lav en tabel og en graf over mulige mål.- Opstil også en funktionDen anden side(bredde)Den ene side(længde)12 m 2Først udregnes forskellige mulige kombinationer af sidelængder:12- hvis den ene side er 6 m, så bliver den anden side = 2 m6- hvis den ene side er 5 m, så bliver den anden side 2, 4 5og så videre. Tallene samles i en tabel (nogle af tallene er afrundede):Den ene side i m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Den anden side i meter 12 6 4 3 2,4 2 1,7 1,5 1,3 1,2 1,1 1I virkeligheden vil man næppe lave et skur,hvor den ene side er 1 m og den anden sideer 12 meter, men muligheden er medfor ”systemets skyld”.Tallene i tabellen kan vises på grafen til højre.Grafen er ikke en ret linie men en blød bue.12Man kan opstille denne funktion: y = ,xhvor x er den ene side, og y er den anden side.Læg mærke til at graf og tabel er ”symetriske”.Når er x = 3 så er y = 4, og omvendt når x = 4, såer y = 3.Man siger, at x og y er omvendt proportionale.1510500 5 10 15Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler Side 55


Matematik på Åbent VUCEksemplerEksempel på opgaveTegn en graf for funktionen f(x) = x − 6x + 8 .Start med at udfylde denne tabel:x 0 1 2 3 4 5 6f(x)2Først beregnes de sammenhængende værdier af x og f(x).- hvis x = 0:2f(x) = 0 − 6 ⋅ 0 + 8 = 0 − 0 + 8 = 8- hvis x = 1:2f(x) = 1 − 6 ⋅1+8 = 1−6 + 8 = 3- hvis x = 2:2f(x) = 2 − 6 ⋅ 2 + 8 = 4 −12+ 8 = 0og så videre. Tabellen ser således ud:x 0 1 2 3 4 5 6f(x) 8 3 0 -1 0 3 8Grafen bliver igen en blød bue men af en anden type end før.1086420-2 0 2 4 6 8 10-2Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler Side 56


Matematik på Åbent VUCEksemplerGeometriIndholdsfortegnelseIndholdsfortegnelse.....................................................................57Længdemål og omregning mellem længdemål...........................58Omkreds og areal af rektangler og kvadrater..............................59Omkreds og areal af andre figurer ..............................................60Omregning mellem arealenheder................................................63Nogle geometriske begreber og redskaber..................................64Målestoksforhold.........................................................................65Rumfang......................................................................................66Omregning mellem rumfangsenheder.........................................67Massefylde ..................................................................................68Sidelængder i retvinklede trekanter (Pythagoras’ sætning)........69Regne baglæns ............................................................................70Lektion 08 - Geometri eksempler Side 57


Matematik på Åbent VUCEksemplerI geometri bruges en lang række formler til beregning af bl.a. areal og rumfang.På disse sider, er der eksempler på, hvorledes man bruger nogle af formlerne.Du skal ikke huske formlerne udenad. Du kan bruge en formel-samling.Længdemål og omregning mellem længdemålVi bruger flere forskellige måleenheder, når vi måler længde (eller afstand), menstandardenheden er en meter (m). En meter kan - som vist herunder - opdeles i:- decimeter (dm). Der går 10 dm til en meter. Ordet "deci" betyder tiende-del.- centimeter (cm). Der går 100 cm til en meter. Ordet "centi" betyder hundrede-del.- millimeter (mm). Der går 1000 mm til en meter. Ordet "milli" betyder tusinde-del.(millimeter er ikke med på tegningen - der var ikke plads)1 m = 10 dm1 dm = 10 cm1 cmHer er sammenhængen mellemmåleenhederne stillet op i en tabel:1 m = 10 dm = 100 cm = 1.000 mm1 dm = 10 cm = 100 mm1 cm = 10 mmHvis man måler større afstande bruger man ofte kilometer.- en kilometer (km) er 1.000 meter. Ordet "kilo" betyder tusinde.Til opgaverne hører et specielt skema, som kan bruges ved omregning mellem måleenheder.Eksempler på opgaverOmregn 97,5 cm til mm.Omregn 1.250 m til km.I skemaet står der ” ⋅ 10 ” fordi,hver cm svarer til 10 mm.Man får:97 ,5 cm = 97,5 mm ⋅10= 975 mmI skemaet står der ”: 1. 000 ” fordi,hver km svarer til 1.000 m.Man får:1.250m = 1.250 km :1.000 = 1,250 kmLektion 08 - Geometri eksempler Side 58


Matematik på Åbent VUCEksemplerOmkreds og areal af rektangler og kvadraterEt rektangel er en firkant, hvor:- siderne er parvis lige lange- hjørnerne er rette vinklerEksempler på rektangler:Et kvadrat er en firkant, hvor:- alle sider er lige lange- hjørnerne er rette vinklerEksempler på kvadrater:Et kvadrat er et særligt ”pænt” rektangelEksempler på opgaverFind omkreds og areal af et rektangel medlængden 4 m og bredden 3 m.Find arealet af et rektangel medlængden 350 cm og bredden 2,50 m.Omkredsen findes ved:- enten at sige: 4 m + 3 m + 4 m + 3 m = 14 m- eller at sige: 2 ⋅ 4 m + 2 ⋅3m = 14 mArealet findes ved at bruge formlen:Areal = længde ⋅ bredde eller blot A = l ⋅ bMan får:A = 4 m ⋅ 3 m = 122mTegningen viser, at rektanglet svarer til12 kvadrater, som måler 1 m på hver led.Et sådant kvadrat kaldes en kvadratmeter (1 m 2 )4 mMan kan ikke regne med både m og cm, så350 cm laves om til 3,50 m.Man får:A = 3,50 m ⋅ 2,50 m =28,75 mTegningen viser, at resultatet er rimeligt.Hvis du tæller de hele, de halve og den kvartekvadratmeter sammen, så får du 8,75 m 2 .350 cm = 3,50 m2,50 m3 mHvis du er usikker på, hvorledes manomregner længdemål, så blad en sidetilbage. Der er et par eksempler.Lektion 08 - Geometri eksempler Side 59


Matematik på Åbent VUCEksemplerOmkreds og areal af andre figurerEksempel på opgaveTegningen til højre er en skitse af et hus.Find husets areal.6 m12 mFor at finde arealet må huset opdeles i rektangler.Det kan f.eks. gøres således:7 m10 mDer mangler tilsyneladendenogle mål for det nederste rektangel,men ved at kikke på tallene på skitsenkan man regne ud at:- arealet af det øverste rektangel må være:- arealet af det nederste rektangel må være:I alt er huset derfor:A = 12 m ⋅ 6 m =A = 5 m ⋅ 4 m =272 m220 m292mArealer som det ovenfor kan ofte findes på flere måder.Tænk selv over om du kunne have fået resultatet på andre måderUd over rektangler og kvadrater skal du kende trekanter, parallelogrammer, trapezer og cirkler.I de næste eksempler kan du se, hvorledes de ser ud.Eksempel på opgaveFind arealet af en trekant med grundlinie 5 cm og højde 3 cm.Man får:A =12⋅ h ⋅ g =12⋅ 5 cm ⋅ 3 cm =27,5 cmTegningen viser, at arealet af trekanten svarer til halvdelenaf arealet af et rektangel, med længden 5 cm og højden 3 cm.1A = 2⋅ h ⋅ ghøjdegrundlinieDen lille tegning viser, at højden i en trekant nogle gange kan falde ”uden for”.Lektion 08 - Geometri eksempler Side 60


Matematik på Åbent VUCEksemplerEksempel på opgaveFind arealet af et parallelogram med grundlinie 4 cm og højde 3 cm.Man får:A = h ⋅ g = 4 cm ⋅ 3 cm = 122cmA = h ⋅ gTegningen viser, at arealet af parallelogrammet svarer tilarealet af et rektangel, med længden 4 cm og højden 3 cm.Du klipper venstre ende afog flytter stykket mod højre.højdegrundlinieEksempel på opgaveFind arealet af et trapez hvor de parallelle sider (a og b) er 6 cm og 3 cmog højden er 4 cm.Man får:A =12⋅ h ⋅ (a + b) =12⋅ 4 cm ⋅ (6 cm + 3 cm) = 182cmTegningen viser, at trapezet kan klippes i stykker og laves omtil et rektangel, med længden 4,5 cm og højden 4 cm.1A = 2⋅ h ⋅ (a + b)ahøjdebDen lille tegning viser, at trapezer godt kan være ”skæve”.Lektion 08 - Geometri eksempler Side 61


Matematik på Åbent VUCEksemplerEksempel på opgaveFind omkredsen af en cirkel med en radius på 1,5 cm.(Det svarer til en diameter på 3 cm)Man får:- enten O = π ⋅ d = π ⋅3cm = 9,4 cm- eller O = 2 ⋅ π ⋅ r = 2 ⋅ π ⋅1,5cm = 9,4 cmO = π ⋅ dellerO = 2 ⋅ π ⋅ rradiusdiameterTegningerne viser en cirkel, der ”rulles ud”.Omkredsen et altid et bestemt tal gange diameteren.Dette tal kaldes π (læses pi).π er et uendeligt decimaltal, som starter med 3,14…Mange regnemaskiner har en π -knap.radiusdiameterradiusdiameteromkredsEksempel på opgaveFind arealet af en cirkel med en radius på 2,5 cm.Man får:22A = π ⋅ r = π ⋅ 2,5 =19,6 cmPå regnemaskinen tastes: π X 2,5 x 2 =På tegningen bliver cirklen skåret i lagkagestykker og lagt ”omvendt”.2Forestil dig at stykkerne gøres meget tyndere.Resultatet vil ligne et rektangel.Længden bliver en halv omkreds - altså π ⋅ 2,5Højden bliver lig med radius - altså 2,5 cmArealet bliver derfor2π ⋅ 2,5⋅2,5 = π ⋅ 2,5 =A = π ⋅ rcm19,6 cm22radiusLektion 08 - Geometri eksempler Side 62


Matematik på Åbent VUCEksemplerOmregning mellem arealenhederMan skal tænke sig meget godt om, når man laver omregning mellem arealenheder.Når der skal 10 dm til en meter, kan man let tro, at der også skal 10 dm 2 til en m 2 ,men tegningen herunder viser bl.a., at der går 10 ⋅ 10 = 100 dm 2 til en m 2 .1 m 2 = 100 dm 2 1 dm 2 = 100 cm 21 cm 2Her er sammenhængen mellemarealenhederne stillet op i en tabel:1 m 2 = 100 dm 2 = 10.000 cm 2 = 1.000.000 mm 21 dm 2 = 100 cm 2 = 10.000 mm 21 cm 2 = 100 mm 2Bemærk at den mindste af enhederne (mm 2 ) ikke er med på tegningenTil opgaverne hører et specielt skema, som kan bruges ved omregning mellem måleenheder.Eksempler på opgaverOmregn 2500 cm 2 til m 2 . Omregn 3,5 cm 2 til mm 2 .I skemaet står der ”: 10. 000 ” fordi,hver m 2 svarer til 10.000 cm 2 .Man får:222500 cm = 2500 m :10.000 =0,25 m2I skemaet står der ” ⋅ 100 ” fordi,hver cm 2 svarer til 100 mm 2 .Man får:223 ,5 cm = 3,5 mm ⋅100=350 mm2Lektion 08 - Geometri eksempler Side 63


Matematik på Åbent VUCEksemplerNogle geometriske begreber og redskaber.Når man arbejder med geometriske figurer, har man ofte brug foren passer og en vinkelmåler.Passeren skal bruges til at tegne cirkler, og den kanogså anvendes til andre tegneopgaver.Vinkelmåleren bruges til at måle og afsætte vinkler.De to redskaber er vist til højre.En vinkel er et mål for størrelsen af et cirkeludsnit eller størrelsenaf et ”hjørne” (en vinkelspids) i f.eks. en trekant eller en firkant.En cirkel måler 360°(læses 360 grader)hele vejen rundt.Et ”lige” hjørnemåler 90° og kaldesen ret vinkel.Det er en kvart cirkel.En vinkel på mindreend 90° kaldesen spids vinkel.Den viste vinkel er 60°En vinkel på mereend 90° kaldesen stump vinkel.Den viste vinkel er 120°I en trekant er de tre vinkler altid 180° tilsammen.Nogle særligt ”pæne” trekanter har specielle navne:I en ligesidet trekant eralle siderne lige lange, ogalle vinklerne er 60°.I en ligebenet trekant erto af siderne lige lange ogto af vinklerne lige store.I en retvinklet trekant er enaf vinklerne ret - altså 90°.Særligt ”pæne” figurer kan være regulære eller symmetriske. Her er et par eksempler:RegulærsekskantSymmetrisk figur medvandret symmetriakse(eller spejlingsakse).Lektion 08 - Geometri eksempler Side 64


Matematik på Åbent VUCEksemplerMålestoksforholdEksempel på opgaveTegningen viser et hus i målestoksforhold 1:200.Find husets længde og bredde.Find også husets areal.Grundrids af hus1:200Først måles længde og bredde på tegningen.Man får 7,5 cm og 4,0 cm.Så beregnes de rigtige mål ved at gange med 200.Man får:- længde: 7,5 cm ⋅ 200 = 1500 cm = 15,00 m- bredde: 4 ,0 cm ⋅ 200 = 800 cm = 8,00 mArealet beregnes til:15 m ⋅ 8 m = 1202mPå tegningen i eksemplet ovenfor er længdemålene 200 gange mindre end i virkeligheden.Eller man kan sige, at målene på det rigtige hus er 200 gange større end på tegningen.Det er definitionen på et målestoksforhold. Tegningen er en formindsket kopi af huset.Men arealet af det rigtige hus er 200 ⋅ 200 = 40.000 gange større end arealet af tegningen.Kik tilbage på siden med "Omregning mellem arealenheder". Så forstår du sikkert hvorfor!Eksempel på opgaveEn byggegrund har form som et rektangel.Længden er 30 m og bredden er 20 m.Lav en tegning i målestoksforhold 1:500Tegningens mål findes ved at dividere med 500.Man får:- længde: 30 m : 500 = 0,06 m = 6 cm- bredde: 20 m : 500 = 0,04 m = 4 cmTegningen ser ud som til højreHvis man vil skrive mål på tegningen, skaldet være de rigtige mål - ikke de tegnede mål.20 m30 m1:500Når to figurer er præcise forstørrede/formindskedekopier af hinanden, siger man, at de er ligedannede.Men selv om man forstørrer/formindsker længdemålene,så er er vinklerne uforandrede.Lektion 08 - Geometri eksempler Side 65


Matematik på Åbent VUCEksemplerRumfangEksempel på opgaveLadet på en lastbil har de mål, som er vist på skitsen.Hvor mange m 3 (kubikmeter) kan det rumme?Rumfanget findes ved at bruge formlen:Rumfang = længde ⋅ bredde ⋅ højde eller blot V = l ⋅ b ⋅ h(Bogstavet V bruges for rumfang)Man får:V = 8 m ⋅ 2 m ⋅ 2 m =328 mDet betyder, at ladet kan rumme 28 terninge-formede kasser,som måler 1 m på hver led.En sådan terning kaldes en kubikmeter (m 3 ).2 m28 X 1 m 32 m7 mEksempel på opgaveEn kasse har de mål, som er vist på skitsen.Hvor mange liter kan den rumme?Liter er det samme som kubikdecimeter (dm 3 ).(se evt. næste side om rumfangsenheder)Derfor laves målene om fra cm til dm inden beregningen.Man får:V =3= 7,5 dm ⋅3dm ⋅ 4 dm 90 dm eller 90 liter40 cm75 cm30 cmEksempel på opgave5 cmEn lille dåse har de mål, som er vist på skitsen.Hvor mange milliliter (ml) kan den rumme?9 cmMilliliter er det samme som kubikcentimeter (cm 3 )og dåsen har form som en cylinder.223Man får: V = π ⋅ r ⋅ h = π ⋅ 5 ⋅9= 707 cm eller 707 mlPå regnemaskinen tastes: π X 5 x 2 X 9 =Til højre er vist formlen for rumfanget af en cylinder.Der findes en række andre formler, som du ogsåkan få brug for, når du regner opgaver med rumfang.V = π ⋅ r2 ⋅hradiushøjdeLektion 08 - Geometri eksempler Side 66


Matematik på Åbent VUCEksemplerOmregning mellem rumfangsenhederDer bruges to systemer af rumfangsenheder. Meter-enheder og liter-enheder.Tegningen herunder viser bl.a., at der går 10 ⋅ 10 ⋅10= 1.000 dm 3 til en m 3 .1 dm 3 = 1.000 cm 31 m 3 = 1.000 dm 3 1 cm 3Her er sammenhængen mellemrumfangsenhederne vist i en tabel:1 m 3 = 1.000 dm 3 = 1.000.000 cm 3 = 1.000.000.000 mm 31 dm 3 = 1.000 cm 3 = 1.000.000 mm 31 cm 3 = 1.000 mm 3Man måler også rumfang med liter-enheder:liter (l), deciliter (dl), centiliter (cl) og milliliter (ml).Her er hoppet mellem enhederne kun en ti-gang.Det er vigtigt at vide, at:1 liter1 dl1 cl1 ml- 1 dm 3 er det samme som en liter (l)- 1 cm 3 er det samme som en milliliter (ml)Her er vist sammenhængen mellem liter-enhederne:1 liter = 10 dl = 100 cl = 1.000 ml1 dl = 10 cl = 100 ml1 cl = 10 mlEksempel på opgaveOmregn 3,5 m 3 til liter.En liter er det samme som en dm 3 . Derfor skal man gange med 1.000.Man får:3,5 m=333= 3,5 dm ⋅1.0003.500 dm = 3.500 literLektion 08 - Geometri eksempler Side 67


Matematik på Åbent VUCEksemplerMassefyldeMasse er et andet ord for vægt, og fylde betyder rumfang.Derfor er massefylde det samme som vægt pr. rumfangsenhed.Som formel skrives det normalt som vist til højre, men formlenkan også omskrives som vist herunder:Massefylde =VægtRumfangVægt = Rumfang · Massefylde ellerRumfang =VægtMassefyldeHvis et materiale har massefylden 2,5 g pr. cm 3 , betyder det,at en cm 3 (en kubikcentimeter-terning) vejer 2,5 g.Vand har en massefylde på 1 g pr. cm 3 .Massefylde er vægtpr. rumfangsenhed.Fx vægt pr. cm 3 .Lette ting, der kan flyde (fx træ), har en massefylde under 1 g pr. cm 3 .Tunge ting, der ikke kan flyde (fx de forskellige metaller),har en massefylde på over 1 g pr. cm 3 .Når man regner med massefylde, er det vigtigt at havestyr på både rumfangsenhederne (se forrige side) ogvægtenhederne.1 ton = 1.000 kg = 1.000.000 g1 ton1 kg = 1.000 g1 kg1 gEksempler på opgaverEn metalklods vejer 323 gog har et rumfang på 85 cm 3 .Hvad er massefylden?Hvor meget vejer 5 m 3 grus,når massefylden for gruseter 2,3 tons pr. m 3 ?Hvor meget fylder 0,5 kgalkohol, når massefyldener 0,8 kg pr. liter?Man får:Man får:Man får:323 gMassefylde =85 cm= 3,8 g pr.cm33Vægt = 5 m3= 11,5 tons⋅ 2,3 tonspr.m30,5 kgRumfang =0,8 kg pr.liter= 0,625 literI eksemplerne ovenfor er der sat enheder på tallene i beregningerne og ikke kun på facit.Det behøver man ikke, men mange synes, at det er en god hjælp.Pas på med opgaver hvor der er små decimaltal som i eksemplet til højre. Man bliver let forvirret!Lektion 08 - Geometri eksempler Side 68


Matematik på Åbent VUCEksemplerSidelængder i retvinklede trekanter (Pythagoras’ sætning)Læresætningen om sidelængderne i en retvinklet trekant, er måske den mest berømteregneregel inden for matematik. Pythagoras har fået æren for sætningen.Han levede i Grækenland for mere end 2.000 år siden.BDet mest enkle eksempel er en såkaldt 3-4-5-trekant.Hvis man laver en trekant, hvor siderne måler 3 cm,4 cm og 5 cm, vil trekanten altid være retvinklet.Det gælder naturligvis også, hvis man brugerandre måleenheder. Fx 3 m, 4 m og 5 m.Man bruger normalt bogstavnavne som vist på tegningen, og sætningen lyder:Ac = 5 cmb = 4 cma = 3 cmCMan navngiver hjørnermed store bogstaver ogsider med små bogstaver.2 2a + b =c2Hvis du regner efter, får du at:og det er jo ganske rigtigt.3 =2 2 2+ 4 5 eller 9 + 16 = 25,Denne sammenhæng mellem sidelængderne gælder altid for retvinklede trekanter.Det er vigtigt, at c er den længste side - siden modsat den rette vinkel.Det er lige meget, hvilken af de korte sider man kalder a og b.Eksempler på opgaverTegningen viser en retvinklet trekant.Ac =a = 12 cmBb = 5 cmFind den manglende sidelængde c.CSkitsen viser en stige,der er stillet op aden høj mur.Stigens længdeer 4,50 m.110 cmHvor højt nårstigen op?Man sætter ind i formlenog løser en ligning:122+ 52= c144 + 25 = c169 = c222c = 169 = 13 cm2 2a + b =c2Stigen, muren og jorden danner en retvinklettrekant, hvor c = 4,50 m og en af de korte siderer 110 cm = 1,10 m. Denne side kaldes a.Siden langs muren kaldes b og findes således:1,102+ b1,21+bb222= 4,502= 20,25= 20,25 −1,21= 19,04b =19,04 = 4,36 mLektion 08 - Geometri eksempler Side 69


Matematik på Åbent VUCEksemplerRegne baglænsFormlerne for areal og rumfang bruges (naturligvis) mest, når man skal beregne arealer og rumfang.Men hvis man mangler et af længdemålene på en figur, og man kender figurens areal eller rumfangog det andet (de andre) længdemål, så kan man regne baglæns (lignings-løsning).Eksempler på opgaverFind bredden af et rektangel medarealet 12 m 2 og længden 4,8 m.Formlen for arealet af et rektangel er: A = l ⋅ bMan sætter de kendte tal ind i formlen ogregner baglæns (løser en ligning):A = l ⋅ b12 = 4,8⋅b124,8= b2,5 = bb = 2,5 mFind højden af en kasse, der rummer 0,87 m 3og har længden 145 cm og bredden 80 cm.Rumfangs-formlen lyder: V = l ⋅ b ⋅ hFor at enhederne kan passe sammen laves 145 cmom til 1,45 m og 80 cm laves om til 0,80 m0,87 = 1,45⋅0,80 ⋅ h0,87 = 1,16 ⋅ h0,871,16V = l ⋅ b ⋅ h= h0,75 = hh = 0,75 m = 75 cmEksempler på opgaverFind arealet af en cirkel der haren omkreds på 44 cm.Find radius i en cylinder der er60 cm høj og kan rumme 118 liter.Der er ingen formel, der direkte forbinderomkreds og areal, men man kan finde radiusmed denne formel: O = 2 ⋅ π ⋅ r446,28344 = 2 ⋅ π ⋅ r44 = 6,283⋅r= rr = 7,0 cmNu findes arealet med formlen:A =A = π ⋅ r2Rumfangs-formlen lyder: V = π⋅r2 ⋅ hFor at enhederne kan passe sammen laves 60 cmom til 6 dm (husk at 1 liter = 1 dm 3 ).2118 = π⋅r ⋅ 6118 = 18,85 ⋅ r11818,852V = π⋅r ⋅ h6,26 = r= 222π ⋅ r = π ⋅ 7,0 153,9 cmr = 6,26 = 2,5dm = 25 cm= r222Lektion 08 - Geometri eksempler Side 70


Matematik på Åbent VUCEksemplerStatistikIndholdsfortegnelseIndholdsfortegnelse.....................................................................71Middelværdi med mere ...............................................................72Hyppigheds- og frekvens-tabeller...............................................73Diagrammer.................................................................................74Hvilket diagram er bedst? ...........................................................76Grupperede observationer ...........................................................77Lektion 09 - Statistik eksempler Side 71


Matematik på Åbent VUCEksemplerNår man skal holde styr på mange oplysninger, f.eks. en masse tal, kan det være en fordelat samle dem i en tabel eller lave et diagram ud fra tallene. Dette kaldes for statistik.Man ser ofte tabeller og diagrammer i aviser og på TV.Du skal:- kunne forstå og aflæse tabeller og diagrammer.- selv kunne lave tabeller og diagrammer ud fra tal eller andre oplysninger.Du skal også vide, at man kan snyde med tal og statistik. Vidste du at:En statistiker er en person, som kan ligge med fødderne ien varm bageovn og hovedet i en kold dybfryser og sige:I gennemsnit er temperaturen meget behagelig.Middelværdi med mereEksempel på opgavePå et VUC-hold bliver kursister spurgt om, hvor mange fag de følger.Der er 18 kursister. Den første siger 3 fag, den næste siger 5 fag o.s.vHer er alle svarene:3, 5, 4, 2, 5, 4, 4, 4, 1, 3, 1, 5, 3, 4, 3, 1, 4, 1Find mindsteværdi, størsteværdi og variationsbredde.Find typetal og middelværdi.Mindsteværdien er det mindste af svarene. Man får 1 fag.Størsteværdi er det største af svarene. Man får 5 fag.Variationsbredde er forskellen på det største og det mindste svar: Man får 5 −1= 4 fag.Typetal er det svar, som gives flest gange. Man får 4 fag.Middelværdien findes ved at lægge alle svarene sammen og dele med antal svar. Man får:3 + 5 + 4 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + 4 + 1 57= = 3,2 fag pr. kursist.1818Middelværdi kaldes også gennemsnit. De to ord betyder det samme.Lektion 09 - Statistik eksempler Side 72


Matematik på Åbent VUCEksemplerHyppigheds- og frekvens-tabellerEksempel på opgave (fortsat)På et VUC-hold bliver kursister spurgt om, hvor mange fag de følger. Der er 18 kursister.Svarene er:3, 5, 4, 2, 5, 4, 4, 4, 1, 3, 1, 5, 3, 4, 3, 1, 4, 1Lav en tabel over hyppighed og frekvens.Hyppighederne findes ved at tælle hvor mange der har svaret 1, hvor mange der har svaret 2 o.s.v.Man får:Antal fag 1 2 3 4 5 I altHyppighed 4 1 4 6 3 18I stedet for Hyppighed, kunne man i tabellen skrive Antal svar eller Antal kursister.Det ville man gøre, hvis det var en ”rigtig” tabel i en avis eller på TV.4 ⋅100Frekvenserne findes ved at udregne procent-tal. Frekvensen for 1 fag er = 22%.18Tabellen udviddes og man får:Antal fag 1 2 3 4 5 I altHyppighed 4 1 4 6 3 18Frekvens 22% 6% 22% 33% 17% 100%I dette eksempel er procent-tallene afrundet til helt tal. Ofte tager man en decimal med,men lad være med at skrive hele rækken af decimaler.I stedet for Frekvens, kunne man i tabellen skrive Antal procent.Det ville man gøre, hvis det var en ”rigtig” tabel i en avis eller på TV.Lektion 09 - Statistik eksempler Side 73


Matematik på Åbent VUCEksemplerDiagrammerHerunder er vist hvorledes man laver et pindediagram, et cirkeldiagram og en kurve.Men der findes mange flere diagrammer end disse. Kik i de matematik-bøger som er på dit VUC.Eksempel på opgave (fortsat)På et VUC-hold bliver kursister spurgt om, hvor mange fag de følger. Der er 18 kursister.Svarene er vist i tabellen:Antal fag 1 2 3 4 5 I altHyppighed 4 1 4 6 3 18Lav et pindediagram over hyppighederne.Pindediagrammet kan se således ud:76Hyppighed5432101 2 3 4 5Antal fagMan kan også lave et diagram over frekvenserne. De to diagrammer vil ligne hinanden.Lektion 09 - Statistik eksempler Side 74


Matematik på Åbent VUCEksemplerEksempel på opgaveEt hold med 18 nystartede VUC-kursister bliverspurgt om, hvorledes de kommer til VUC.Svarene er vist i tabellen.Lav et cirkeldiagram over talleneTransportmiddelAntalpersonerTil fods 4Cykel 6Bus 3Bil 5I alt 18En hel cirkel er 360º (360 grader).Cirklen skal inddeles i 4 ”lagkagestykker”. En for hver transportform.4 4 ⋅ 360Lagkagestykket for Til fods skal udgøre af 360º: Man får: = 80º18 18De andre lagkagestykker bliver 120º, 60º og 100º. Regn selv efter.Du kan også beregne grad-tal ud fra procent-tal (frekvenser).Først laves en cirkel med en passer. Så laves lagkagestykkerne et af gangen med en vinkelmåler.Til fodsCykel33%Bus17%Til fods22%Bil28%Man beregner ofte procent-tal og skriver dem på som vist her over.Man kan også måle vinklerne i et diagram og regne baglæns og finde procent-tallene.Lektion 09 - Statistik eksempler Side 75


Matematik på Åbent VUCEksemplerEksempel på opgaveI august starter der 18 kursister på et VUC-hold.I årets løb er der både nye kursister, der kommer ind på holdet, og kursister, som må stoppe.Tabellen viser antal kursister måned for måned.Måned Aug. Sept. Okt. Nov. Dec. Jan. Feb. Marts April MajAntalkursister18 21 20 17 16 22 18 17 16 14Lav en kurve over tallene.Kurven tegnes i et koordinatsystem og ser således ud:25Antal kursister20151050MajAprilMartsFeb.Jan.Dec.Nov.Okt.Sept.Aug.MånedHvilket diagram er bedst?Der findes ingen faste regler for, hvornår man skal bruge de forskellige diagrammer.Men her er et par tommelfinger-regler.Kurven er god, når man skal vise, hvorledes det samme tal ændrer sig over tiden.Pinde- og cirkeldiagrammer er gode, når man vil vise forskellige tal på samme tidspunkt.Pindediagrammet giver et godt billede af, hvor store tallene er i forhold til hinanden.Cirkeldiagrammet giver et godt billede af, hvor stor en del hvert tal udgør af det hele.Lektion 09 - Statistik eksempler Side 76


Matematik på Åbent VUCEksemplerGrupperede observationerHvis man stiller et spørgsmål, hvor der er mange mulige svar, så må man samle svarerne i”grupper”. Det kaldes intervaller.Eksempel på opgavePå et VUC-hold bliver kursister spurgt om, hvor langt (helt antal km) de har til VUC.Der er 18 kursister.Svarene er:10, 1, 18, 6, 14, 4, 22, 3, 19, 8, 13, 4, 1, 10, 0, 2 4, 1Grupper svarene i intervallerne 0 - 4 km, 5 - 9 km o.s.v.Lav en tabel over hyppighed og frekvens.Lav et diagram over frekvensfordelingen:Tabellen laves på præcis samme måde som tidligere vist.Først tæller man op, hvor mange der har svaret 0, 1, 2, 3 eller 4 km.Så tæller man op, hvor mange der har svaret 5, 6, 7, 8 eller 9 km. O.s.v.Tabellen ser således ud:Antal km 0 - 4 5 - 9 10 - 14 15 - 19 20 - 24 I altHyppighed 8 2 5 2 1 18Frekvens 44% 11% 28% 11% 6% 100%Diagrammet kan se således ud:50%40%Frekvens30%20%10%0%20 - 2415 - 1910 - 145 -90 - 4Antal kmLektion 09 - Statistik eksempler Side 77


Matematik på Åbent VUCEksemplerTabellen og diagrammet her over ser ud, som de typisk vil gøre det i en avis eller på TV.Men i matematik bruges ofte en speciel måde at skrive intervaller på.Man bruger enten firkantede parenteser eller større end- og mindre end-tegn.Her er nogle eksempler:Lukket interval Åbent interval Halvåbent interval Halvåbent interval[0 ; 5] ] 0 ; 5[ [0 ; 5[ ] 0 ; 5]0 ≤ x ≤ 5 0 < x < 5 0 ≤ x < 5 0 < x ≤ 50 5 0 5 0 5 0 50 - 51 - 40 - 41 - 5eller 0,0 - 5,0eller 0,1 - 4,9eller 0,0 - 4,9eller 0,1 - 5,0eller 0,00 - 5,00eller 0,01 - 4,99eller 0,00 - 4,99eller 0,01 - 5,00eller….eller….eller….eller….Med firkantede parenteser kan hyppigheds- og frekvenstabellen skrives således:Antal km [0 ; 5[ [5 ; 10[ [10 ; 15[ [15 ; 20[ [20 ; 25[ I altHyppighed 8 2 5 2 1 18Frekvens 44% 11% 28% 11% 6% 100%Diagrammer for grupperede observationer laves ofte således:50%40%30%20%10%0%0 5 10 15 20 25Det kaldes et søjlediagram eller et histogram.Lektion 09 - Statistik eksempler Side 78


Matematik på Åbent VUCEksemplerSandsynlighed og kombinatorikIndholdsfortegnelseIndholdsfortegnelse.....................................................................79Simpel sandsynlighed..................................................................80Kombinatorik ..............................................................................81Sandsynlighed og kombinatorik..................................................83Kombinatorik og kugletrækning .................................................83Lektion 10 - Kombinatorik og sandsynlighedsregning eksempler Side 79


Matematik på Åbent VUCEksemplerSandsynlighedsregning og kombinatorik er to matematik-områder, som ofte hæftes sammen.Det er fordi, at kombinatorik kan anvendes som hjælpemiddel i sandsynlighedsregning.Men man kan dog:- både arbejde med sandsynlighedsregning uden brug af kombinatorik.Det kaldes herunder for simpel sandsynlighed.- og bruge kombinatorik til andet end sandsynlighedsregning.Simpel sandsynlighedSandsynlighed beregnes på denne måde: Sandsynlighed =Antal gunstige udfaldAntal mulige udfaldEksempler på opgaverDu kaster med en almindelig terning.- hvad er sandsynligheden forat få en 6’er?- hvad er sandsynligheden forat få et lige tal?Terningen kan lande på 6 måder,Der er stadig 6 mulige udfald.så der er 6 mulige udfald.Nu er 3 af udfaldene (2, 4 og 6) gunstige.Men kun et 1 af udfaldene (6’er) er gunstigt. Man får:Man får:3 11 = som kan omregnes til 0 ,5 = 50 %som kan omregnes til 0 ,17 = 17 %6 26Eksempel på opgaveHvad er sandsynligheden for, at en bus erforsinket over 5 min?Man får:16=29 + 42 + 161687= 0,18 = 18%En optælling viser at:- 29 busser kørte præcis til tiden- 42 busser var forsinket 1 - 5 min.- 16 busser var forsinket over 5 min.Eksemplerne med terningen kaldes teoretisk sandsynlighed.Eksemplet med busserne kaldes statistisk sandsynlighed.Lektion 10 - Kombinatorik og sandsynlighedsregning eksempler Side 80


Matematik på Åbent VUCEksemplerKombinatorikEksempel på opgaveDu kaster med en sort og en hvid terning.På hvor mange måder (antal kombinationsmuligheder) kan terningerne lande?Begge terninger kan lande på 6 måder.Man får:6 ⋅ 6 = 62 = 36 kombinationsmuligheder.Mulighederne er vist som 36 felter i skemaet til højre.Pilen peger på kombinationen af en sort 3’er og en hvid 2’er.Der er også 36 kombinationsmuligheder, når terningerne er ens.Slår man med to ens terninger rigtig mange gange, vil man fåkombinationen en 5’er og en 6’er (eller en 6’er og en 5’er)dobbelt så ofte som kombinationen to 6’ere.Eksempel på opgavePå en restaurant kan man frit sammensætteen 3 retters-menu ud fra det viste menu-kort.Hvor mange kombinationsmuligheder er der?ForretSalatSuppeHovedretBøfStegPizzaLasagneDessertIsKageFrugtMan får:2 ⋅ 4 ⋅ 3 = 24 kombinationsmuligheder.Mulighederne er vist på tegningen til højre.Tegningen kaldes et tælletræ. Den viser, at man:- først vælger mellem 2 forretter- derefter vælger mellem 4 hovedretterSuppeBøfStegPizzaLasagneIsKageFrugt- til sidst vælger mellem 3 desserterHver ”grenspids” svarer til en kombinationsmulighed,men der er ikke plads til at skrive tekst over alt.SalatDen øverste pil peger på: Suppe - lasagne - kageDen nederste pil peger på: Salat - steg - frugtTælletræer er gode til at vise kombinatorik, mende er svære at tegne. De bliver let for store.Lektion 10 - Kombinatorik og sandsynlighedsregning eksempler Side 81


Matematik på Åbent VUCEksemplerEksemplerne på denne side ligner hinanden to og to, men er alligevel forskellige.Hold hovedet koldt og tænk grundigt over forskellene.Eksempler på opgaverEn alarm har de viste tryk-knapper.For at slå alarmen fra skal man indtasteen kode på 4 bogstaver.- Hvor mange kombinationsmulighederer der, hvis hvert bogstav måbruges flere gange ?F.eks. DCAC eller BBCB eller FEAB.Det første bogstav kan vælges på 6 måder,det andet bogstav kan vælges på 6 måder,og så videre…..Man får:6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 =46=1 .296 kombinationsmuligheder- Hvor mange kombinationsmulighederer der, hvis hvert bogstav kun måbruges en gang?F.eks. FEAB.Det første bogstav kan vælges på 6 måder, mendet andet bogstav kan kun vælges på 5 måder,da der allerede er valgt et bogstav.Det tredje bogstav kan vælges på 4 måder ogdet fjerde bogstav på 3 måder.Man får:6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 360 kombinationsmulighederEksempler på opgaverPå et VUC-hold med disse 12 kursisterskal der vælges 2 personertil skolens kursistråd.- Hvor mange kombinationsmulighederer der, når der:- først vælges et medlem til rådet- derefter vælges en suppleant?Medlemmet kan vælges på 12 måder.Suppleanten kan kun vælges på 11 måder,da der allerede er valgt en person.Man får:12 ⋅ 11 = 132 kombinationsmulighederF.eks. Ida som medlem og Bo som suppleant,eller Bo som medlem og Ida som suppleant,eller…..Anna Carl Ida Kaj Mie PiaBo Else Jens Lis Ole Ulf- Hvor mange kombinationsmulighederer der, når begge personer skalvære medlemmer af rådet?Det første medlem kan vælges på 12 måder.Det andet medlem kan kun vælges på 11 måder,da der allerede er valgt en person.Men man får kun:12 ⋅11= 66 kombinationsmuligheder2fordi mulighederne er parvis ens.Der er lige meget om Ida eller Bo vælges først.Lektion 10 - Kombinatorik og sandsynlighedsregning eksempler Side 82


Matematik på Åbent VUCEksemplerSandsynlighed og kombinatorikEksempel på opgaveVed en fodboldturnering kan mangætte på resultatet af nogle kampe.Man skal udfylde den viste tipskupon.Hvad er sandsynligheden for at gætte alleresultaterne rigtigt?Man skal først finde antal kombinationsmuligheder.Den første kamp kan ende på 3 måder(sejr til Gåsedal, uafgjort eller sejr til Andebjerg).Den næste kamp kan også ende på 3 måder o.s.v.Der er i alt 3⋅ 3⋅3⋅3⋅3 = 35 = 243 muligheder,fordi der er 5 kampe.Sandsynligheden for at ramme den rigtige er:1= 0,004 = 0,4%243Tælletræet til højre viser ideen i udregningen, mendet er næsten umuligt at tegne træet helt færdigt1X2Kombinatorik og kugletrækningAlle kombinatorik-opgaver kan "oversættes" til,at man et antal gange skal trække en kuglefra en pose med et antal kugler.(Men det kan være svært at oversætte)Kombinatorik-opgaver handler om situationer, hvor der et antal gange skal vælges mellemet antal valgmuligheder.Hvis man udfylder en almindelig tipskupon, skal man 13 gange (ud for hver kamp) vælgemellem 3 valgmuligheder (1, X eller 2). Det svarer til, at man 13 gange trækker en kuglefra en pose med 3 kugler.Hvis man kaster 2 terninger, skal terningerne 2 gange "vælge" mellem 6 valgmuligheder.Det svarer til, at man 2 gange trækker en kugle fra en pose med 6 kugler.På næste side er en oversigt over forskellige "kugle-træknings-modeller".Lektion 10 - Kombinatorik og sandsynlighedsregning eksempler Side 83


Matematik på Åbent VUCEksemplerEksempel på opgave:På hvor mange måder kan man sammensætteen 3-retters menu ud fra et menukort med3 forretter, 4 hovedretter og 2 desserter?Opgaven svarer til, at man har 3 forskellige poser,med forskellige antal kugler. Der er:3 ⋅ 4 ⋅ 2 = 24 kombinationsmulighederPoserne er forskellige:Eksempel på opgave:Hvor mange kombinationsmuligheder er der på encykellås med 6 trykknapper, der kan stå i 3 positioner?Opgaven svarer til, at man har 6 ens poser,med 3 kugler i hver pose, eller at man brugerden samme pose 6 gange og lægger den truknekugle tilbage efter hver trækning. Der er:3⋅ 3⋅.... ⋅3= 36 = 729 kombinationsmulighederEksempel på opgave:I en bestyrelse med 5 medlemmer skal der vælgesen formand, en næstformand og en kasserer.På hvor mange måder kan det gøres?Opgaven svarer til, at man 3 gange fra den sammepose trækker en kugle. Man starter med 5 kugler iposen, og der må ikke lægges tilbage. Der er:5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 kombinationsmuligheder.Posen kan genbruges.Kuglerne lægges tilbage.Posen kan genbruges.Kuglerne lægges ikke tilbage.Rækkefølgen har betydning.Posen genbruges. Kuglerne lægges ikke tilbage. Rækkefølgen er ligegyldig.Eksempel på opgave:På hvor mange måder, kan man udaf en bestyrelse på 5 medlemmer finde2 personer til en arbejdsgruppe?5 ⋅ 4Der er = 10 kombinationsmuligheder.2Man kunne tro, at der var5 ⋅ 4 = 20 muligheder, men mulighederneer parvis ens. (De samme 2 personerfundet i forskellig rækkefølge).Eksempel på opgave:På hvor mange måder, kan man ud af en bestyrelse på5 medlemmer finde en arbejdsgruppe på 3 personer?5 ⋅ 4 ⋅3Der er = 10 kombinationsmuligheder.3⋅2 ⋅1Hvis rækkefølgen havde haft betydning, var der5 ⋅ 4 ⋅3= 60 muligheder, men mulighederne kansamles i grupper af muligheder med de samme3 personer fundet i forskellige rækkefølger.Og 3 personer kan findes på 3 ⋅ 2 ⋅1= 6 måder.Lektion 10 - Kombinatorik og sandsynlighedsregning eksempler Side 84

More magazines by this user
Similar magazines