Tillæg til partikelfysik - matematikfysik

© Erik Vestergaard – www.matematikfysik.dk 35Appendiks B – TærskelenergiVi skal nu give et bevis for den formel for tærskelenergien, som er angivet side 10. Entak til Jens-Søren K. Andersen, Esbjerg Gymnasium, for at have gjort mig opmærksompå formlen og udlede den. Lad os formulere formlen og dens forudsætninger præcist.Tærskelenergi når targetpartiklen er i hvileI laboratoriet skydes en partikel ind mod en anden partikel i hvile. Den mindstekinetiske energi (tærskelenergien), som den indkommende partikel skal have for atreaktionen kan foregå, er givet ved følgende formel:(36) E ,kin tærskel⎛ m før + mefter⎞= − Q ⋅⎜⎜2 m ⎟⎝ ⋅ target ⎠hvor mfør og mefter er den samlede hvilemasse henholdsvis før og efter reaktionen,2mtarget er hvilemassen af partiklen, der beskydes, og Q = −( mefter− m før ) ⋅ c er reaktionensQ-værdi.Bevis: Vi forestiller os, at der før reaktionen er en partikel A, som sendes hen imod en ilaboratoriet stillestående partikel B. Efter reaktionen er der n partikler, som vi nummerererfra 1 til n. Vi skal først udnytte, at partikelsystemets invariante masse er uændretfør og efter reaktionen, ligesom den heller ikke afhænger af referencesystemet (inertialsystemet).Vi har:(37)⇕⇕M0,før,lab= M0,efter,CMS2 4 2 40,før,lab⋅ =0,efter,CMS⋅M c M cn22 2 2 ⎛ ⎞ 2 2A+B−A+ ⋅ = ⎜∑i ⎟ − ⋅i=1( E E ) ( p 0) c E (0) c⇕⎝ ⎠n22 2 2 ⎛ ⎞( EA + EB)− pA ⋅ c = ⎜ ∑ Ei⎟⎝ i=1 ⎠hvor vi i tredje linje har udnyttet udtrykket (11), at partikel B ligger stille, så p B = 0 samt at den samlede impuls i CMS er nulvektor: p1 + p2 + … + p n = 0. Lad os regnevidere på venstre side i (37):2 2 2A+B−A⋅( E E ) p c2 2 2 2A B 2 A B A= E + E + ⋅ E ⋅ E − p ⋅ c2 4 2 2 2 4 2 2 2 2A A B kin A A B A(38) ( ) 2 ( , )= m ⋅ c + p ⋅ c + m ⋅ c + ⋅ E + m ⋅ c ⋅ m ⋅ c − p ⋅ c2 4 2 4 4 2A B2A B2kin,A B= m ⋅ c + m ⋅ c + ⋅ m ⋅ m ⋅ c + ⋅ E ⋅ m ⋅ c2 4 2A B kin,A B= ( m + m ) ⋅ c + 2 ⋅ E ⋅ m ⋅ c