Matematiklوrerdag 2008 - Institut for Matematik - Aarhus Universitet

math.au.dk

Matematiklوrerdag 2008 - Institut for Matematik - Aarhus Universitet

Matematik og kemi.Intelligente tællemetoder - frit efterJørgen Brandt.Klaus Thomsen Matematiklærerdag 2008


Matematik og kemi.Intelligente tællemetoder - frit efterJørgen Brandt.Baseret på noter der kan findes på web-adressenhttp://home.imf.au.dk/jbrandt/Klaus Thomsen Matematiklærerdag 2008


Ö ×׸ÓØÖÚÑÑØÖØÒÒ×Ö×ÙÐØØØØØÖØÖ×Ø×ÑÔÐÔÈÓÐݳ×ÓÖÑкØÖÐÚÒسÝÐÔÓÐÝÒÓѹÓÖÙÔÔÒÖ×ÔÖÖÙÒÒÖÒÝÐ×ÖÙÔÔÑØÓÐÑÒØÖ¸ ÙѳÖÖn 2 − nØÑÖÖÐ×Ø×ÔÖÓÐÑÖÐÒ2º×ÑÔнº¾ÄSÚÖØÙÐ×ØÓ¹×ÐØÓÖÑÒÖÙÐÖ¹ÒغÌÐZCØÓÑÖ ÑÓÐÝÐÖÖÖÀÚÓÖÑÒÓÖ×ÐÐÑÓÐÝÐÖÖÖÑÒØÓÔ¿C¹ ÑØÖÖÒ×ØÖ´ÖÙÑеÖÓØØÓÒÖ¹ÒØÒºÀÚÓÖÑÒÓÖ×ÐÐ Cl}ºËÝѹ ÚÖØÙÐ×ØÓØÓÑÒÒ×ØÑÓÐÝÐÖÑÒÒC = {H,2+ n = 1 2 (n2 + n)C2 (x 1 , x 2 ) = 1 2 (x2 1 + x 2)ClHHClÎÚÒÖ×ÒÖØÐØÐØØ×ÑÔк ÙÖ½ÊÙÐÖ¹ÒØHClKlaus Thomsen Matematiklærerdag 2008


Hvis S betegner hjørnerne i benzen-ringen er problemet atbestemme antallet af funktionerf : S → C (= {H,Cl})som giver anledning til forskellige molekyler.Klaus Thomsen Matematiklærerdag 2008


Hvis S betegner hjørnerne i benzen-ringen er problemet atbestemme antallet af funktionerf : S → C (= {H,Cl})som giver anledning til forskellige molekyler.Gruppen Σ S af alle permutationer af S virker på disse funktioner:g · f (s) = f ( g −1 · s )Det tal vi søger er antallet af baner for virkningen af denundergruppe G ⊆ Σ S som svarer til rumlige transformationer, dvs.drejninger og rotationer, men ikke spejlinger!Klaus Thomsen Matematiklærerdag 2008


Polya’s formelTheoremAntallet af ikke-ækvivalente farvninger (forskellige molekyler) er1 ∑|C| c(g)|G|g∈Ghvor c(g) betegner antallet af g’s baner i S.Klaus Thomsen Matematiklærerdag 2008


Polya’s formelTheoremAntallet af ikke-ækvivalente farvninger (forskellige molekyler) er1 ∑|C| c(g)|G|g∈Ghvor c(g) betegner antallet af g’s baner i S.Bemærk at ved brug af denne formel bliver problemet ikke sværereved at tillade flere slags atomer, f.eks. H,Cl og Br.Klaus Thomsen Matematiklærerdag 2008


Polya’s formelTheoremAntallet af ikke-ækvivalente farvninger (forskellige molekyler) er1 ∑|C| c(g)|G|g∈Ghvor c(g) betegner antallet af g’s baner i S.Bemærk at ved brug af denne formel bliver problemet ikke sværereved at tillade flere slags atomer, f.eks. H,Cl og Br.Jørgen Brandts noter håndterer også ’farvninger med vægte’ somgør det let at tælle, f.eks. antallet af forskellige molekyler mednetop 3 klor atomer.Klaus Thomsen Matematiklærerdag 2008


Et citat’The hot topic among medicinal chemists today is a noveltechnique for chemical synthesis in drug research calledcombinatorial chemistry, where usually a core structure andsome building-block molecules are given and allcombinatorially possible combinations are produced. Theresulting set of compounds (called a library) can afterwards besystematically screened for a desired biological activity’(Thomas Wieland, Journal of Mathematical Chemistry, 1997)Klaus Thomsen Matematiklærerdag 2008


Matematik og kemi.Klaus Thomsen Matematiklærerdag 2008


Matematik og kemi.Punktgrupper.Klaus Thomsen Matematiklærerdag 2008


Matematik og kemi.Punktgrupper.Baseret på noter der kan findes på web-adressenhttp://home.imf.au.dk/matkt/Klaus Thomsen Matematiklærerdag 2008


Beslutningstræ til bestemmelse af et molekyles punktgruppeMolekyleD ∞h i ?jaI h C 5 ?jaLineaert?janej C ∞v To eller flere C n , n > 2?nejjai ?janejnej nej O hT dn C 2 ?Klaus Thomsen Matematiklærerdag 2008jaC n ?nej


SymmetrierEn symmetri i R n er en afstandsbevarende afbildning f : R n → R n :‖f (x) − f (y)‖ = ‖x − y‖.Klaus Thomsen Matematiklærerdag 2008


SymmetrierEn symmetri i R n er en afstandsbevarende afbildning f : R n → R n :‖f (x) − f (y)‖ = ‖x − y‖.TheoremEn symmetri har formenf (x) = L(x) + b,hvor L er en lineær symmetri og b ∈ R n er en fast(translations)vektor.Klaus Thomsen Matematiklærerdag 2008


SymmetrierEn symmetri i R n er en afstandsbevarende afbildning f : R n → R n :‖f (x) − f (y)‖ = ‖x − y‖.TheoremEn symmetri har formenf (x) = L(x) + b,hvor L er en lineær symmetri og b ∈ R n er en fast(translations)vektor.Heraf følger at en symmetri er invertibel, og den inverse er selv ensymmetri: f −1 (x) = L −1 (x) − L −1 (b). Symmetrierne udgør engruppe.Klaus Thomsen Matematiklærerdag 2008


Rotationzxf(x)xyRotation om en akseKlaus Thomsen Matematiklærerdag 2008


SpejlingSpejling i en planKlaus Thomsen Matematiklærerdag 2008


Dreje-spejlingzxxyf(x)En dreje-spejlingKlaus Thomsen Matematiklærerdag 2008


Symmetri- og punktgrupperEn gruppe G af symmetrier f kaldes for en punkt-gruppe når derfindes et punkt x 0 ∈ R n såf (x 0 ) = x 0 ∀f ∈ G.Klaus Thomsen Matematiklærerdag 2008


Symmetri- og punktgrupperEn gruppe G af symmetrier f kaldes for en punkt-gruppe når derfindes et punkt x 0 ∈ R n såf (x 0 ) = x 0 ∀f ∈ G.Lad M ⊆ R n være en delmængde. Så erSym(M) = {f : R n → R n : f er en symmetri og f (M) = M}en gruppe - symmetrigruppen for M.Klaus Thomsen Matematiklærerdag 2008


Symmetri- og punktgrupperEn gruppe G af symmetrier f kaldes for en punkt-gruppe når derfindes et punkt x 0 ∈ R n såf (x 0 ) = x 0 ∀f ∈ G.Lad M ⊆ R n være en delmængde. Så erSym(M) = {f : R n → R n : f er en symmetri og f (M) = M}en gruppe - symmetrigruppen for M.TheoremSymmetrigruppen for en begrænset delmængde M ⊆ R n er enpunktgruppe.Klaus Thomsen Matematiklærerdag 2008


Ækvivalente punktgrupperTo punktgrupper, G 1 og G 2 , er konjugerede - og dermed ’ens’ - nårder findes en symmetri g sågG 1 g −1 = G 2 .Klaus Thomsen Matematiklærerdag 2008


Ækvivalente punktgrupperTo punktgrupper, G 1 og G 2 , er konjugerede - og dermed ’ens’ - nårder findes en symmetri g sågG 1 g −1 = G 2 .OBS: Isomorfe punktgrupper kan sagtens være ’forskellige’!!Klaus Thomsen Matematiklærerdag 2008


Ækvivalente punktgrupperTo punktgrupper, G 1 og G 2 , er konjugerede - og dermed ’ens’ - nårder findes en symmetri g sågG 1 g −1 = G 2 .OBS: Isomorfe punktgrupper kan sagtens være ’forskellige’!!Beslutningstræet angiver en algoritme til at bestemmepunktgruppen for et givet molekyle. Diagrammet indeholderdermed en liste af alle punktgrupper der kan optræde for molekyler.(Og det er langt fra alle punktgrupper der kan.)Klaus Thomsen Matematiklærerdag 2008


Om noterneIndeholder:Klaus Thomsen Matematiklærerdag 2008


Om noterneIndeholder:• - Alle ovennævnte udsagn præciseret og bevist for n = 2.Klaus Thomsen Matematiklærerdag 2008


Om noterneIndeholder:• - Alle ovennævnte udsagn præciseret og bevist for n = 2.• - Forudsætningerne er små: Vektorregning i 2 dimensioner.Klaus Thomsen Matematiklærerdag 2008


Om noterneIndeholder:• - Alle ovennævnte udsagn præciseret og bevist for n = 2.• - Forudsætningerne er små: Vektorregning i 2 dimensioner.• - Generaliseringer til 3 dimensioner anført uden bevis.Klaus Thomsen Matematiklærerdag 2008


Om noterneIndeholder:• - Alle ovennævnte udsagn præciseret og bevist for n = 2.• - Forudsætningerne er små: Vektorregning i 2 dimensioner.• - Generaliseringer til 3 dimensioner anført uden bevis.• - Kemikernes notation for punktgrupper og beslutningstræet.Klaus Thomsen Matematiklærerdag 2008


Vands punktgruppeMolekyleLineaert?D ∞h i ?jaI h C 5 ?jaja nej C ∞v To eller flere C n , n > 2?nejjai ?janejnejO hT dnejn C 2 ?C n ? Klaus Thomsen Matematiklærerdag 2008 nejja


Vands punktgruppe - fortsatD nh σ h ?jaD nd nσ d ?jajan C 2 ?C n ? (3)ja nejjaC s σ ?nejnej nejnejja nej D n C i i ? C 1C nh σ h ?janejC nv n σ v ?janejjaS 2n S 2n ? C nnejKlaus Thomsen Matematiklærerdag 2008

More magazines by this user
Similar magazines