Anvendelser af integralregning - Vestergaards Matematik Sider

matematikfysik.dk
  • No tags were found...

Anvendelser af integralregning - Vestergaards Matematik Sider

Anvendelser af integralregningI 1600-tallet blev integralregningen indført. Vi skal se, hvor stærkt et værktøj det er tilat løse problemer, som tidligere forekom uoverstigelige. I matematik-grundbogen har viset, hvorledes man kan finde for eksempel rumfanget af et omdrejningslegeme. Idéen erat inddele legemet i tynde snit. Vi skal se, hvordan denne teknik kan benyttes i en rækkeandre problemer. Vi vil dog afstå fra at føre strenge beviser for resultaterne, og i stedetfokusere på det intuitive i metoderne.Eksempel 1På en cirkulær øde ø bor en række indfødte,som antages jævnt fordelt over øensareal. Hver dag skal indbyggerne bevægesig ind til øens midte for at hente vand fraøens eneste brønd. Spørgsmålet er hvorlangt indbyggerne i gennemsnit må bevægesig for at nå brønden? Øens radius er 6 km.Løsning:Det er forholdsvist oplagt, at svaret må være mere end halvdelen af radius, fordi der erflere indbyggere på de yderste 3 km af øen. Mere kan man ikke umiddelbart sige. Hvisproblemet bare havde været af diskret natur, havde det været ret nemt: hvis der for eksempelhavde været 5 personer, som boede 4 km fra brønden, 10 personer i afstanden 2km og 5 personer i afstanden 3 km, så kunne man få svaret ved at udregne det vejedegennemsnit af afstandene: 5 ⋅ 4km+ 10 ⋅ 2km+ 5 ⋅ 5km = 3,25km.20 20 20Denne idé vil vi imidlertid føre videre til det kontinuerte problem: Vi inddeler øen inogle smalle ringe, hvorom vi kan sige, at folk, der bor heri, alle har omtrent den sammeafstand til brønden i øens centrum. Lad os sige, at afstanden for den i’te ring er xi,


Den gennemsnitlige afstand indtil øens centrum er altså 2 3 af øens radius, altså 4 km. 2© Erik Vestergaard – www.matematiksider.dksom vist på figuren. Afstanden skal vægtes med den brøkdel, som ringens areal udgør afhele cirklens areal. Ringens areal er (omtrent) lig med omkredsen gange med tykkelsen,2dvs. 2πxi⋅Δ xi, mens hele skiven med radius R har et areal på A= π⋅ R . Den omtaltebrøkdel er derforRingens areal 2πxi⋅Δxi1Arealbrøkdel = ≈ = ⋅2x2 2 iΔxiHele skivens areal π⋅ R RFor at få en (approksimativ) værdi for gennemsnitsafstanden x for en øboer summerervi over alle ringene, idet vi vægter afstandene med arealbrøkdelene:1x ≈ i ⋅ i ≈ x xR∑{ Afstand fra 'te ring } { 'te rings arealbrøkdel} ∑ i⋅ ⋅22 iΔxiiDen ubeviste påstand er nu, at hvis man lader inddelingerne blive finere og finere, sånærmer summen sig til et integrale og alle ≈ bliver til = :iRR∫ ⎛ 1 ⎞ 2 2 21 3R 21 3 2⎜ 22 ⎟ 2 2 3 0 2 3R R ∫ ⎡ ⎤R ⎣ ⎦ R30 ⎝ ⎠R0x = x⋅ ⋅ x dx = x dx = x = ⋅ R =Eksempel 2 (Tyngdepunktet)I denne opgave skal vi se på begrebet tyngdepunkt og hvordan det bestemmes. Begrebetgår undertiden også under betegnelsen massemidtpunktet (Engelsk: Center of mass). Begrebeter vigtigt, når man har at gøre med en genstand med en vis udstrækning. Indenforfysikken beskæftiger man sig blandt andet med de såkaldte stive legemer og deres bevægelse.Det kan for eksempel være et baseball-bat, som kastes gennem luften. Her erdet baseball battets tyngdepunkt, som vil beskrive en parabelbane.Tyngdepunktet er per definition det punkt i et legeme, hvor tyngdekraften har angrebspunkt.Hermed menes, at hvis man holder en finger under tyngdepunktet, så kan manbalancere legemet. I mange henseender, dog ikke alle, vil et legeme opføre sig om al


© Erik Vestergaard – www.matematiksider.dk 3dets masse er koncentreret i tyngdepunktet. Derfor spiller tyngdepunktet ofte en centralrolle i fysiske problemstillinger, ligesom i tilfældet med baseball battet.Figuren herover illustrerer, at de tre vægte kan holdes i ligevægt, hvis man understøtterstangen i punktet med x-koordinat xT. De tre vægte befinder sig på den antaget vægtløsestang i positionerne x 1, x 2og x 3. Masserne er henholdsvis m1, m2og m 3. Tyngdepunktetskoordinater x er da givet ved:Tm ⋅ x + m ⋅ x + m ⋅x m m m= = ⋅ + ⋅ + ⋅M M M M1 1 2 2 3 3 1 23(1) xTx1 x2 x3hvor M = m1+ m2+ m3er den samlede masse. Omskrivningen i 2. lighedstegn viser, attyngdepunktet fås ved at vægte positionerne for de enkelte lodder med deres respektivemassebrøkdele. Tyngdepunktet kan også karakteriseres som det punkt, i forhold tilhvilket det såkaldte kraftmoment er lig med 0 . Løst sagt betyder det her, at kraft gangearm på venstre side af understøtningspunktet er lig med kraft gange arm på højre side afunderstøtningspunktet. Se mere herom i opgave 6.Hvis man mere generelt har at gøre med endeligt mange masser m1, m2, … , mnanbragt i punkter i rummet, angivet ved stedvektorerne henholdsvis r1, r2, … , r n, så er tyngdepunktetr for systemet af de n masser givet ved stedvektoren:T m1⋅ r1+ m2⋅ r2 + … + mn⋅rn(2) rT=Mhvor igen M = m1+ m2 + … + mner systemets samlede masse. Problemet bliver sværere,når man har at gøre med en kontinuert massefordeling. Her kan man ikke umiddelbartsummere op som ovenfor, da der er uendeligt mange partikler i systemet. For at løseproblemet er det hensigtsmæssigt at anvende integralregning. Hvis man har at gøre meden plan massefordeling på formen:{ ( x, yz , ) a≤ x≤b∧ gx ( ) ≤ y≤ f( x)∧ z=z0}så viser det sig, at tyngdepunktet r = ( x , y , z ) kan findes vedT T T T


4© Erik Vestergaard – www.matematiksider.dk(3)b∫2 2∫ ( f x g x )1x⋅( f( x) −g( x)) dx2⋅ ( ( )) − ( ( )) dxaaxT= ; yT=; zbbT( f( x) −gx ( )) dx ( f( x) −gx ( )) dx∫ab∫a= z0Mængden er illustreret på figuren nedenfor. Det ses, at området i y-aksens retning er begrænsetaf graferne for to funktioner f og g . Det skal endvidere nævnes, at formlernesgyldighed som forudsætning har, at massefylden overalt i det plane lag er konstant!I opgave 1 og 2 kan du bestemme tyngdepunkter og i den lidt sværere opgave 3 kan duforsøge at bevise formlerne (3) ved at benytte en teknik a lá den beskrevet i eksempel 1.


© Erik Vestergaard – www.matematiksider.dk 5OpgaverOpgave 1Betragt følgende plane mængde: { ( xyz , , ) −2≤ x≤2 ∧ x 2 ≤ y≤4 ∧ z=0}a) Tegn eventuelt situationen på grafregneren for at se, hvordan mængden ligger.b) Bestem områdets areal først i hånden og kontroller bagefter med grafregneren.c) Benyt (3) til at finde tyngdepunktet for figuren. Benyt gerne grafregneren hertil.d) Klip figuren ud af et stykke tykt karton og afmærk tyngdepunktet: Kan du balancerefiguren i dette punkt? (Lav et lille hul, så nålespidsen ikke glider!)Opgave 2Betragt følgende plane mængde: {( xyz , , ) 0≤ x≤π ∧ 0≤y≤sin( x) ∧ z=0}a) Tegn eventuelt situationen på grafregneren for at se, hvordan mængden ligger.Husk at sætte maskinen til at regne vinkler i radianer!b) Bestem områdets areal først i hånden og kontroller bagefter med grafregneren.c) Benyt (3) til at finde tyngdepunktet for figuren. Benyt gerne grafregneren hertil.


6© Erik Vestergaard – www.matematiksider.dkOpgave 3 (Bevis for (3))I denne opgave skal du forsøge at bevise formlerne for tyngdepunktet i (3).Hjælp: Indse for det første, at man ligeså godt kan vægte med arealer frem for medmasser, da massefordelingen antages jævn i det plane område. Inddel området i strimlermed bredden Δ x parallelle med y-aksen, som antydet på figuren nedenfor. Vis, atstrimlen omkring x omtrent har et areal, som er lig med ( f ( x) − g( x))⋅Δ x og at koordinaternefor strimlens tyngdepunkt er ca. ( x, ( f( x) + g( x ))). Summer over alle strimler,12idet du vægter tyngdepunkterne med deres respektive arealbrøkdele. Benyt endelig teknikkenmed at lade inddelingen blive finere og finere, så summerne nærmer sig til etintegrale. Bemærk, at der i nævnerne i (3) står det samlede areal af figuren!Opgave 4Find selv på en interessant figur og find dets tyngdepunkt. Klip dernæst figuren ud af etstykke karton og afmærk tyngdepunktet: Kan du balancere figuren i dette punkt?Opgave 5Søg på Internettet om fakta og teori omkring emnet tyngdepunkt. Husk, at begrebet ogsåbetegnes massemidtpunkt og på engelsk center of mass. Fremlæg resultaterne i klassen.Opgave 6 (Vægtstangsprincippet – lidt svær!)Som nævnt på side 3, så vil en vægtstang være balanceret, såfremt det samlede kraftmomentpå systemet er 0 . I tilfældet med lodderne på vægtstangen fås kraftmomentetsstørrelse ved at gange tyngdekraften m⋅ g for hver objekt i systemet med dets afstand(regnet med fortegn!) til balancepunktet:m ⋅ g⋅( x − x ) + m ⋅g⋅( x − x ) + m ⋅g⋅( x − x ) = 01 1 T 2 2 T 3 3Vis, at dette er ensbetydende med (1).T


© Erik Vestergaard – www.matematiksider.dk 7Opgave 7 (Tyngdepunkt af trekant)En trekants tyngdepunkt er i medianernes skæringspunkt. Afprøv dette i praksis. Lidtsværere: Prøv at argumentere for, at en trekant kan balancere omkring enhver af densmedianer. Hjælp: Benyt et parallelforskydningsargument for at danne symmetri!Opgave 8 (Inertimoment)Et vigtigt begreb i mekanikken er det såkaldte inertimoment. Når ingeniører designermekaniske apparater, hvori der er drejelige dele er det vigtigt at tage højde for dennestørrelse. Inertimomentet beskriver trægheden i de roterbare dele. Det mest simpletilfælde er hvor man har en masse M, som kan betragtes som punktformig, og somroterer omkring en akse. På venstre del af figuren herunder er den punktformige masseanbragt for enden af en tynd stang, vi kan betragte som masseløs. Stangens længdebetegnes med L og roterer om den lodrette akse. Per definition er inertimomentet I af2dette system lig med I = M ⋅ L . Af dette udtryk ses det, at inertimomentet bliver størrejo længere massen er fra omdrejningsaksen!Et interessant spørgsmål er nu, hvad der sker med inertimomentet, hvis al massen ikkeer samlet i et punkt for enden af stangen, men er fordelt jævnt langs stangen. I det følgendeskal du betragte stangen som bestående af en masse små masser. Situationen ervist på figuren til højre.a) Hvorfor er det intuitivt klart, at inertimomentet må være mindre end i situationen tilvenstre?b) Vis, ved at inddele i en masse små dele, at inertimomentet af den homogene stang1 2til højre er lig med I = ML . Hjælp: Vis, at massen af en lille del af stangen med3længden Δ x er lig med M ⋅Δ xL.c) Betragt nu situationen, hvor en tynd cirkulær skive roterer omkring en akse, der går1 2gennem skivens centrum og er vinkelret derpå. Vis, at I = MR , hvor R er skivens2radius.d) Undersøg begrebet inertimoment yderligere på Internettet.NB! I øvrigt kan det nævnes, at hvis man har en legemes inertimoment I og kender1 2vinkelhastigheden ω i rotationen, så er rotationsenergien lig med E = Iω .rot 2


8© Erik Vestergaard – www.matematiksider.dkOpgave 9 (Strømning i blodkar)Formen af et blodkar (vene eller arterie), kan modelleres med en cylinder med radius Rog længde L, som illustreret på figuren nedenfor.På grund af friktionen langs blodkarrets væg, er blodets hastighed v størst i midten afblodkarret og aftager mod 0 ud mod væggen. Sammenhængen mellem hastigheden ogafstanden r fra cylinderaksen kaldes the law of laminar flow og blev opdaget i 1840 afden franske fysiker Jean-Louis-Marie Poiseuille og lyder:(4)vΔp2 2= ⋅( R −r)4ηLhvor η betegner blodets viskositet og Δ p er trykforskellen mellem enderne af cylinderen.Hvis Δ p og L er konstante, så angiver (4) hastigheden som funktion af r, hvorr∈ 0, R .[ ]a) Den gennemsnitlige hastighedsændring, når man bevæger sig udad fra r = r 1 tilr = r 2 er naturligt nok givet vedΔ v vr (2) − vr (1)=Δr r −r2 1Når man lader Δr→ 0 , vil differenskvotienten nærme sig til differentialkvotientenv′() r . Bestem et udtryk for denne størrelse, som i øvrigt betegnes hastighedsgradienten.For en af menneskets mindre arterier kan man bruge følgende værdier:2η=0, 027, R= 0,008cm, L= 2cm og P=4000dynes/cm . Bestem hastigheden, nårr = 0, 003cm , og bestem hastighedsgradienten for samme værdi af r.b) I dette spørgsmål skal du udlede følgende udtryk for strømmen eller fluxen F igennemblodkarret:4π⋅Δp ⋅R(5)F =8⋅η⋅LFlux er volumen (blod) pr. tidsenhed. Udtrykket (5) kaldes for Poiseuilles lov.Hjælp: Da hastigheden langs blodkarrets væg er mindre end langs dets akse, må duforetage en integration. En hensigtsmæssig inddeling er at kigge på ringe omkringaksen, for heri er blodets hastighed omtrent konstant. Hvis du bedre kan finde ud afdet, når den variable hedder x, så kan du eventuelt udskifte r med x. Der skal integreresfra 0 til R.


© Erik Vestergaard – www.matematiksider.dk 9Opgave 10 (Jordens tyngdefelt)Den store britiske fysiker Isaac Newton opdagede i 1600-tallet massetiltrækningsloven,som siger, at to masser m og M i den indbyrdes afstand r påvirker hinanden med enkraft af følgende størrelse, hvor G er gravitationskonstanten:m⋅M(6) F = G⋅r2Kraften på den ene masse er endvidere rettet mod tyngdepunktet af den anden masse. Påfiguren nedenfor ser du et meteor, som kommer ind i Jordens tyngdefelt og har retningdirekte mod Jordens centrum.Som bekendt er det mekaniske arbejde, som en kraft F udfører på et legeme lig med”kraft gange vej”, når kraften og bevægelsesretningen er ensrettede, hvilket er tilfældether. Vi ønsker at beregne det arbejde, som tyngdekraften udfører på meteoren fra denkommer fra det uendelige fjerne til den lander på Jordens overflade. Der er imidlertid enkomplikation: Kraften er ikke den samme hele vejen; faktisk bliver den større og størrejo nærmere meteoret kommer Jorden. Derfor er man nødt til at dele problemet op i småvejstykker, hvor kraften kan regnes konstant. I det følgende kan vi regne med følgende24 −11 2 2værdier R= 6367000 m, M = 5,974⋅ 10 kg, G = 6,6726⋅10 N ⋅ m kg for henholdsvisJordens radius, masse samt gravitationskonstanten.a) Vis ved at integrere fra R til ∞ , at det arbejde A, som Jordens tyngdekraft udførerG⋅m⋅Mpå meteoret med masse m, fås af følgende formel: A =Rb) Når en raket skydes fra Jordens overflade ud i rummet, så skal raketten overvindetyngdekraften, dvs. den skal have tilført lige så megen energi som angivet vedformlen i spørgsmål a). Det kan ske ved at den har en stor kinetisk energi fra starten.Vis, at raketten skal have en fart af 11,2 km/s (den såkaldte escape-hastighed),for at kunne komme (uendeligt langt) ud i rummet.


10 © Erik Vestergaard – www.matematiksider.dkOpgave 11 (En skæv pyramide)I denne opgave skal du bevise, at rumfanget af en helt vilkårlig pyramide med grundfladeG og højde H er lig med 1 ⋅H⋅ G.3a) Foretag et vandret snit i pyramiden, stykket x under toppunktet. Benyt ensvinkledetrekanter til at argumentere for, at arealet af snittet må være lig med ( x H) 2⋅ G.b) Skær et tyndt lag med tykkelsen Δ x af pyramiden i den lodrette afstand x fratoppen, som vist på figuren nedenfor til højre. Angiv et omtrentligt udtryk for lagetsvolumen.c) Opskær hele pyramiden i lag som under punkt b) og summer deres rumfang. Opstilet integrale, som angiver pyramidens rumfang, og udregn det. Stemmer resultatetmed formlen ovenfor?d) Grundfladen behøver hverken være et kvadrat eller et rektangel. Gælder formlen forrumfanget også, hvis figuren har en helt vilkårlig form som grundflade?

More magazines by this user
Similar magazines