Geometri - Links

Geometri 

Ib Michelsen 

Ikast 2008

Forsidebilledet 

Detalje fra Matematiker Johannes Meyers kort over Aabenraa Amt og Lundtofte Herred (1648) 

tilhørende Ib Michelsen. 

Version: 1.01 16-8 

Version: 1.02 18-8 

Version: 1.03 29-8 Rettet trykfejl side 22; tilføjet hyperlink samme sted. 

Version: 1.04 13-9 Tilføjer Astronomi-afsnit og trigonometri 

Version: 1.05 6-10 Rettet sætning om hk side 53 

Version: 1.06 18-10 Rette (=fjernet for a og b) fodtegn p. 58. 

Tilføjer Pythagoraskapitlet 

Ordnet ombrydning 

Ajourført indeks og indholdsfortegnelse 

Tlføjet link til udv sindef

Indholdsfortegnelse 

Praktiske bemærkninger...........................................................................................................5 

Brug af bogen...................................................................................................................7 

Arven fra Grækenland..............................................................................................................9 

Græsk matematik..........................................................................................................11 

Ideernes verden...................................................................................................12 

Sprogbrug.............................................................................................................13 

Hvad betyder det?...............................................................................................13 

Konstruktioner...............................................................................................................20 

At dele et linjestykke...........................................................................................21 

Ligedannede figurer............................................................................................24 

Ensvinklede trekanter.........................................................................................24 

Trekanter med proportionale sider...................................................................24 

Ligedannede trekanter........................................................................................25 



Euklid..............................................................................................................................31 

Aksiomerne..........................................................................................................33 

Euklids første sætninger i bog 1........................................................................34 

Kongruens............................................................................................................34 

Nogle af Euklids øvrige sætninger fra bog I....................................................35 

Verdensbilledet og Astronomiske beregninger.........................................................37 

Jordens omkreds (Eratosthenes)........................................................................38 

Afstand til sol og måne I.....................................................................................39 

Afstand til sol og måne II (Aristarchos)............................................................40 

Afstanden til månen............................................................................................41 

Trigonometri ...........................................................................................................................45 

Trekantsberegninger - en oversigt...............................................................................47 

Korttegning....................................................................................................................47 

Johannes Mejers kort...........................................................................................48 

Trianguleringen i Danmark...............................................................................48 

Målebordsblade...................................................................................................49 

Standardtrekanter..........................................................................................................51 

Definition: sin(A).................................................................................................52 

Definition: cos(A)................................................................................................52 

Sætning: mk = hyp*sin(v)...................................................................................53 

Sætning: hk = hyp*cos(v)....................................................................................54 

Definition: tan(A)................................................................................................57 

Sætning: tan(v) = mk / hk...................................................................................57 

3

Pythagoras sætning.............................................................................................58 

Pythagoras og andre sætninger.............................................................................................63 

Pythagoras............................................................................................................65 

Pythagoras sætning.............................................................................................66 

Omvendt Pythagoras..........................................................................................68 

Pythagoras i standardtrekanten........................................................................69 

Afstandsformlen..................................................................................................70 

Sinus og cosinus igen..........................................................................................71 

Definition af sinus og cosinus (ny)....................................................................72 

Sinusrelationerne.................................................................................................73 

Trekantens areal..................................................................................................76 

Cosinusrelationerne............................................................................................76 

Litteratur...................................................................................................................................81 

Stikordsregister........................................................................................................................82 

4

Praktiske bemærkninger

Brug af bogen 

Du kan finde denne bog på http://pc-p4.mimimi.dk/08/c.pdf og downloade den gratis. 

Fra den elektroniske udgave kan du benytte hyperlinkene direkte ved at klikke på 

dem. Du vil så derfra have adgang til flere hjælpemidler. 

Er der noget, du gerne vil spørge om eller fortælle, er du velkommen til at sende en email 

til mig: ib.michelsen@mimimi.dk 

Du skal skrive i din bog! Du tænker bedre med en blyant i hånden. Og det er vigtigt, at 

du ikke læser hen over teksten uden at have sikret dig, at du har forstået, hvad du læste. 

Det er blandt andet det, diverse opgaver skal sikre. Ligeledes er det vigtigt, at du 

kan huske, hvad du læste. 

Det kontrollerer du dels ved at løse opgaver og dels ved at fortælle en anden, hvad du 

har læst. Eller skrive en note om det – efter at du har lukket bogen. 

Altså: Skriv i bogen: Du skal ikke være bange for at skrive noget forkert. Så opdager 

du, at det er forkert, og så retter du det. Går det helt galt, findes bogen jo på Internettet, 

hvorfra du kan udskrive reservesider. 

For at du kan finde rundt i bogen, som består af 4 dele (Geometri, Funktioner, Statistik 

og Sandsynlighed samt et appendiks), er den forsynet med en indholdsfortegnelse forrest, 

et stikordsregister (og en litteraturliste) bagerst. Nogle af siderne har fået en baggrundsfarve; 

betydningen fremgår af afsnittet side 25. 

Når du læser en roman eller ser en film, er det vigtigt, at du forstår alt og får det hele 

med. Men hvis du springer et par kedelig sider over eller henter en kop kaffe under filmen, 

kan du godt føle, at du får det fulde udbytte. Det gælder slet ikke i matematik: 

Du er nødt til at få det hele med! Det, du skulle have lært i sidste uge, er nødvendig viden 

for at forstå den følgende uges matematik. Derfor: kom ikke bagefter. 

7

Arven fra Grækenland

Græsk matematik 

Der er i dag - ca. 2500 år efter den græske kulturs blomstringstid - en stor lighed 

mellem grækernes opfattelse af matematik dengang og en moderne opfattelse. 

Ud fra en række nærmere beskrevne begreber og nogle grundantagelser ("aksiomer") 

udledes ("bevises") en række sætninger (dvs. "generelle påstande") om 

en eller anden sammenhæng. Arbejdet hermed er "matematik". 

Tidligere kulturer som den babyloniske og den ægyptiske har også anvendt 

matematik, og man har kendt mange af de regler, der genfindes i den græske. 

Disse kulturer har haft et ret praktisk syn på matematikken: "Hvis det virker, 

kan vi bruge det." Typisk er det, at fx arealet af en cirkel er blevet beregnet på 

mange forskellige måder. Fx. beregnedes på et tidspunkt som 256/9 2 *r 2 , ikke rigtigt, 

men næsten idet 256/9 2 = 3,1605; det tit anvendte 3+1/7 = 3,1429 og π = 

3,1416... 1 

Det emne, vi vil undersøge først, er "geometri"; ordet er græsk og betyder jordmåling. 

Matematikken har her en praktisk betydning, når den kan levere velbegrundede 

regler for, hvorledes noget af praktisk betydning kan udregnes. Og 

sådan er megen matematik opstået for at kunne beskrive og løse et praktisk 

problem. Både af hensyn til skatteforhold og af hensyn til naboer, er det vigtigt 

at vide, hvor stor ens jordlod er og hvor grænserne går. 

Men megen matematik er også opstået, fordi matematikere har fundet spændende 

og udfordrende strukturer, som har dannet grundlag for en teoriopbygning 

uden noget praktisk formål. Nogle matematikere har oven i købet fundet, 

at denne "unyttige" matematik var den "rigtige" matematik. Forunderligt nok 

har det somme tider vist sig - måske lang tid efter at teoriopbygningen blev 

startet - at den unyttige teori har fået praktisk anvendelse: et ofte fremhævet 

eksempel er studiet af primtal, som er kommet til at danne grundlag for 

kryptologi. I forbindelse med Internettet er kryptologi, som handler om 

hemmeligholdelse af information, blevet særdeles vigtigt. 

I tiden, før grækerne ændrede forholdet, har man som nævnt levet med regler, 

der ikke er blevet bevist: nogle rigtige, andre kun omtrent rigtige. Dengang har 

man ved studiet af mange eksempler set generelle træk, og derfor accepteret 

den observerede regelmæssighed som en almengyldig regel. I Euklids arbejder 

ser vi et væsentligt højere ambitionsniveau: han vil med argumenter sikre sig, at 

1 For en oversigt se: http://mathforum.org/isaac/problems/pi2.html 

11

eglen altid gælder uden undtagelser. 

Som et eksempel: Pythagoras sætning har været kendt lang tid før Pythagoras. 

Han har fået æren for den. Og hos Euklid ser vi den bevist. Og derefter er den 

blevet bevist mange millioner gange siden: både af matematikere, der har kunnet 

bevise sætningen på nye måder, men nok så mange gange ved gentagelser 

af det kendte bevis for at senere generationer også skulle overbevises om sætningens 

rigtighed og forstå argumentationen. 

Det er en umulig opgave selv at finde alle mønstrene: Derfor har det været almindeligt, 

at læreren viser sætningen og argumenterne for den, dvs. beviser den. Er man meget 

kvik, har man nu lynhurtigt fået et instrument til at løse opgaver. Men man har ikke 

fået en forståelse af matematikerens slidsomme arbejde med at finde disse mønstre - og 

måske undtagelser fra mønstrene. Denne bog er tilrettelagt sådan, at noget af arbejdet 

med at lære matematik sætter dig i den arbejdende matematikers stol. Du er dog lidt 

heldigere stillet og behøver ikke at arbejde i årevis. Selvom læreren ikke fortæller dig 

hvordan, vil hans og bogens spørgsmål hjælpe dig på vejen mod målet. 

Ideernes verden 

Euklid er en berømt græsk matematiker, der lever ca. år 300 FVT; han er 

inspireret af den lidt tidligere filosof Platon (429 - 348 fvt.) Denne sondrede 

mellem de fysiske fænomener (floder, heste o.l.) og ideen om fænomenet. 

Platon opfattede "ideen om hesten", det som kendetegner alle heste, som den 

"rigtige hest". 

Når Euklid skal forklare (definere), hvad punkter, linjer og trekanter er, taler 

han ikke om de fysiske fænomener, men ideerne om dem. Det ses tydeligt i 

hans berømte værk: Elementerne, hvor han i begyndelsen beskriver de begreber, 

han vil anvende i matematikken. 

Som to eksempler fra værket (Bog 1) viser: 

1. Et punkt er det, som ikke kan deles 

Det er set med moderne øjne ikke en specielt god definition; modsat ved alle 

hans læsere omtrent, hvad et punkt er. Og nu bliver det sat helt på plads: Et 

punkt kan ikke deles! 

2. En linje er en længde uden bredde 

Igen er det klart, at Euklid arbejder med et begreb, som ikke findes i den fysiske 

verden. Når du tegner en ret linje, har den en bredde lige meget, hvor spids din 

blyant er. Din tegning kan støtte dig i at holde styr på tankerne, men må ikke 

12

forlede dig til at tro, at det du ser (på tegningen), er det, der gælder. De sandheder, 

du kan finde frem til, er alene dem du logisk kan argumentere for med udgangspunkt 

i dine antagelser. 

På den baggrund er det klart, at du aldrig kan tegne en rigtig cirkel, en rigtig 

trekant osv. Alligevel tillader vi os gang på gang at gøre det vel vidende, at figurerne 

ikke er fuldkomne. Men når du så anvender de fundne resultater fra 

matematikken i den ufuldkomne virkelige verden, skal du selvfølgelig være opmærksom 

på, at modellens resultater ikke kan overføres uden videre. 

Sprogbrug 

Matematik har sit eget tit meget præcise sprog. Næsten hvert ords betydning forklares 

meget nøje. Disse forklaringer kaldes definitioner. De følgende (kursiverede) ords betydning, 

må du gerne kende: 

Hvad betyder det? 

Et plan kaldes hos Euklid: En plan flade. I definition 7 forklares: "En plan flade er en 

flade, som ligger lige mellem de rette linjer i den." Meningen er nok lidt uklar, 

men i dagligdagen har vi ikke besvær med at forestille os idealiserede gulve, 

vægge, tavler osv. som plane flader. De kan både være begrænsede eller ubegrænsede; 

det sidste er tit forudsat. 

En trekant er en figur, der er indesluttet af 3 rette linjestykker. Linjestykkerne er trekantens 

sider. De tre punkter (linjestykkerne ligger imellem) kaldes trekantens hjørner 

eller vinkelspidser. Hjørnerne navngives med store bogstaver, den modstående 

side (der forbinder de to andre punkter) navngives med det tilsvarende lille bogstav. 

Til hjørnet A svarer altså siden a. Da a har endepunkterne B og C kaldes 

linjestykket også BC. 

Til højre på siden ses ΔABC. Sæt de manglende 

betegnelser på tegningen (både for 

hjørner og sider.) 

Siderne har en længde, der kan måles. Hvis det er siden a, vi 

vil angive længden på, kan vi for eksempel skrive a = 3, 

hvis a har længden 3. Oftest vil vi ikke angive, om det 

er cm eller km, men angiver længden som et ubenævnt 

tal. Du bemærker altså, a har to betydninger: det er ΔABC 

både navnet på siden og er samtidig et tal, nemlig 

tallet der angiver længden. Vi kan også benytte skrivemåden |BC| for længden, 

13

hhv. BC som navn for a. 

Mål ΔABC 's sider (med en almindelig lineal), og skriv målene i tabellen 

herunder med 1 decimals nøjagtighed: 

Side a b cc 

Længde i cm 

En vinkel er en figur bestående af et punkt (vinkelspidsen) og to halvlinjer (eller linjestykker) 

gående ud fra punktet. Halvlinjerne kaldes vinklens ben; forestil dig, at du 

sidder i vinklens spids og placerer dine ben over 

vinklens ben. Så er vinklens venstre ben under dit 

venstreben og tilsvarende for højre vinkelben. Vinkler 

har også et navn og en størrelse, og som for siderne 

bruges ofte samme betegnelse for vinklen og vinklens 

størrelse. I ΔABC kan der benyttes flere navne 

for den samme vinkel: ∠A understreger, at det er en vinkel med vinkelspidsen A, 

∠BAC præciserer, at A er en vinkelspids (da det er det midterste bogstav) og at B 

og C er punkter, der ligger på hver sit vinkelben. I forbindelse med trigonometriske 

beregninger – som sin(A) – undlades vinkeltegnet. Endelig kan vi vælge særskilte 

symboler for punkt og vinkelstørrelse, for eksempel: A og α (alfa, det græske 

alfabets første bogstav). Der var intet i vejen for at benytte andre danske bogstaver, 

som for eksempel v, men benyttes det græske bogstav, kan man se, at vinkelstørrelsen 

α hører sammen med A. Der findes adskillige måder at måle vinkler 

på: I begyndelsen vil vi her benytte grader som måleenhed, men på et senere 

tidspunkt introduceres et andet mål: radianer. Du er sikkert bekendt med, at en 

hel cirkel svarer til 360°. Vinkler inddeles i grupper efter størrelse: lige (præcis 

180°), stumpe (mellem 90° og 180°), rette (præcis 90°) og spidse vinkler (mellem 

0°og 90°). 

Skriv vinklens type i hver sin ramme 

14

Indenfor søfart har man brugt streger til at angive retninger. På en kompasrose er der 

16 navngivne retninger som fx NNV. Mellem disse 16 er der yderligere 16 som kan 

angives fx NØ til N (for retningen mellem NNØ og NØ). 

Find en kompasrose på Internettet og skriv den ud – 

Skriv navne på de 16 retninger 

Beregn for hver retning vinklen med vinkelspids i rosens centrum og det 

ene ben gående gennem N og det andet gennem den valgte retning. Når 

du bevæger dig fra N mod Ø (dvs. "med uret") vokser vinklen og efter at 

have passeret S er vinklen over 180° 

Lav en tabel, der viser sammenhængen mellem retning, streger og grader. 

Forklar også sammenhængen "med ord". 

Enhver trekant har nogle linjer (linjestykker) med særlige navne: 

● højder, som er linjestykker fra en vinkelspids 

til den modstående side, der står vinkelret 

på denne. Højden fra B til b betegnes h 

eller hb, for at præcisere hvilken af de tre 

højder, der er tale om. 

Hvad hedder den tegnede højde mere præcist? Skriv det på tegningen. 

● vinkelhalveringslinjer som er halvlinjer fra 

en vinkelspids, der deler vinklen i 2 

lige store vinkler. Betegnelsen er v eller 

vA (hvis vinkelspidsen er A). 

Hvilken præcis betegnelse kan bruges for v (på tegningen)? Skriv det! 

Hvis ∠A = 61°, .hvor stor er så β? Skriv det. 

● medianer, der er linjestykker fra en vinkelspids 

til midtpunktet af den modstående side. 

De betegnes m eller mc (hvis medianen 

går fra C til et punkt på c). 

15

Hvad vil du kalde den tegnede linje m mere præcist? 

● midtnormaler til siderne er linjer, der står vinkelret 

på en side i sidens midtpunkt. Afhængig 

af øvrige anvendte betegnelser, kan 

du benytte betegnelser som m eller n for 

linjen. 2 

Kald skæringspunktet for midtnormalerne O, og skriv det på tegningen 

Med O som centrum og |OP| som radius tegnes en cirkel 

Kender du navnet på cirklen? skriv navnet her! 

På figuren sættes ens mærker på lige lange linjestykker (mærker, dvs. en 

eller to små tværstreger eller en lille cirkel ol.) 

Hvad kan du sige om længden af linjestykkerne: PV, VQ, QS, SR, RU, 

UP? Skriv det herunder: 

Der findes særlige trekantstyper: 

● Ligesidede, hvis alle 3 sider er lige store, 

● ligebenede, hvis 2 af de 3 sider er lige store, 

● spidsvinklede, hvis trekantens største vinkel er spids, 

● retvinklede, hvis trekantens største vinkel er ret, og 

● stumpvinklede, hvis trekantens største vinkel er stump. 

2 Der er ikke mange 100 % faste regler for navngivning, men derimod mange sædvaner, som 

det er fornuftigt at følge, fordi det ikke forvirrer læseren, hvis navnene følger det vante 

skema. 

16

Tegn alle 5 trekantstyper på en transparent 

En cirkel er en plan figur begrænset af en linje: cirkelperiferien; alle punkterne på cirkelperiferien 

har den samme afstand til ét punkt: cirklens centrum. Afstanden kaldes 

radius og ethvert linjestykke mellem centrum og et punkt på cirkelperiferien kaldes 

en radius. 

Prøv at lave en lang liste over alle de ord, der benyttes ved omtale af 

cirkler: diameter, korde, tangent, centervinkel, periferivinkel ... og beskriv 

for hver af dem præcist, hvad de betyder. 

Hvilke formler kender du i forbindelse med cirkler? Skriv dem herunder: 

17

Tegn en række cirkler: både store og små. Karton og pap er velegnet til de 

små og lidt større cirkler. Klip eller skær dem ud. Find også andre cirkler: 

cykelhjul, fade, møllesten ... 

For alle måles og noteres radius og omkreds. Noter resultaterne i en tabel 

med 2 rækker: øverst radius (x-værdi), lige under den tilsvarende omkreds 

(y-værdi). Omkredsen findes i nogle tilfælde lettest ved at markere 

et punkt på periferien; cirklen "trilles" langs en ret linje indtil mærket er i 

samme position og den kørte afstand måles. 

Sommetider er centrum givet, men ikke altid. Forklar, hvordan du så vil 

finde det! 

Indret et koordinatsystem på mm-papir, så din tegning fylder hele 

papiret: indtegn et punkt for hver cirkel med de målte værdier som 

koordinater. 

Forsøg at tegne en ret linje gennem (0 ; 0) tæt ved alle punkterne: 

Kan det lade sig gøre? 

Hvorfor skal linjen gå gennem (0 ; 0)? 

Kan du ved hjælp af tegningen finde omkredsen for en cirkel med radius 

10 cm - selv om du ikke har målt en sådan cirkel? 

Besvar samme spørgsmål, hvor radius er 1 cm. Ligner det sidste svar 

et tal du kender? 

18

● Hvis firkanten har 4 rette vinkler, kaldes den et rektangel; 

● er også alle siderne er lige store, kaldes den et kvadrat. 

● Hvis firkanten har ét par modstående sider parallelle, er den et trapez; 

● er begge par modstående sider parallelle, kaldes den et parallelogram; 

● er alle siderne lige store i parallelogrammet, kaldes det en rombe. 

Udfyld skemaet om firkanter med 

krydser 

Dvs. for hvert ord i forspalten sættes ét 

eller flere 'x' under de betegnelser, der 

også kan anvendes. For eksempel står 

der 'Rektangel' i forspalten. På samme 

linje er der 5 tomme felter. Når vi ved, at 

vi har et rektangel, kan ordet rektangel 

anvendes – derfor x under rektangel. 

Men ikke alle rektangler er kvadrater: 

derfor skal næste felt være tomt. 3. felt er 

under trapez: vi har et rektangel, kan det 

også kaldes et trapez? hvis ja, sætter vi 

'x'. Og sådan fortsætter du ... 

Parallelle linjer er rette linjer, der ikke skærer hinanden. 

19 

Rektangel 

Kvadrat 

Trapez 

Parallellogram 

Rombe 

Hvilke firkanter kan 

have flere navne? 

Tegn 2 sæt parallelle linjer (på et løst A4-ark) med samme afstand mellem 

de parallelle linjer. Linjerne skærer hinanden, så der dannes en firkant. 

Hvilken type firkant er det? Skriv svaret her: 

Hvad er begrundelsen for dit svar? 

Rektangel 

Kvadrat 

Trapez 

Parallellogram 

Rombe

Konstruktioner 

med passer og lineal 

For de græske matematikere var det ikke nok at vide, hvordan man skulle udføre 

en bestemt konstruktion. Mindst lige så vigtigt var det at kunne påvise, 

hvorfor konstruktionen var rigtig. 

Det hedder "konstruktioner med passer og lineal", fordi det var de eneste redskaber, 

der måtte benyttes. Når man opbygger en teori, er det vigtigt at starte 

på et enkelt, klart grundlag: så få, enkle redskaber som muligt. Du kan så spekulere 

over, hvorfor man netop har valgt disse? Og hvilken passer og lineal, der 

kan bruges i marken? 

En interessant tilføjelse er, at en dansker: Georg Mohr (1640 - 1697) påviste, at 

linealen ikke var nødvendig, men at man kunne nøjes med en passer, i værket: 

Euclides Danicus, Amsterdam 1672. Berømmelsen udeblev imidlertid i 

samtiden, og først ved et tilfælde dukker bogen op i 1928. 

Præcisering af reglerne 

● Opgaven drejer sig om punkter: Enten vi vil finde et bestemt punkt, en 

linje (hvor vi skal benytte 2 punkter), en cirkel (stadig 2 punkter) eller en 

trekant eller noget fjerde. 

● Vi er nødt til at starte med 2 punkter: et udgangspunkt og et mere for at 

skabe en afstand (måleenhed). 

● Det er så tilladt med linealen at tegne en ret linje gennem 2 kendte 

punkter 

● Det er tilladt at placere passerens ene ben i et kendt punkt og indstille 

den, så det andet ben er i et andet kendt punkt, og derefter tegne en cirkel 

● Nye - derefter kendte - punkter opstår ved skæring mellem 

○ 2 rette linjer eller 

○ 2 cirkelbuer eller 

○ en ret linje og en cirkelbue 

Tegn to punkter på et kladdepapir. Hvor mange nye (kendte) punkter kan 

du finde med 3 handlinger (tegning af linjer eller cirkler)? 

20

At dele et linjestykke 

Konstruktionsopgaven går ud på at dele et kendt 

linjestykke. Vi beskriver her punktvis, hvorledes opgaven 

løses: 

1. Opgaven 

○ Vi kender et linjestykke givet ved endepunkterne 

A og B 

○ og skal konstruere et nyt punkt M på 

linjestykket, således at AB deles i to lige store linjestykker, dvs. at |AM| = | 

MB|. 

Nedenunder følger konstruktionsbeskrivelsen. Tegn samtidig med 

gennemlæsningen figuren på et kladdepapir. Når du er færdig, rentegnes 

den i rammen på næste side. 

2. Konstruktionsbeskrivelsen 

I. Tegning af en ligesidet trekant på 

AB 

○ Med A som centrum og | 

AB| som radius tegnes en 

cirkel(bue). 

○ Med B som centrum og | 

AB| som radius tegnes en 

cirkel(bue). 

○ Cirklerne skærer hinanden i 

punkterne C og C'. 

II. Tegning af vinkelhalveringslinjen i 

C 

○ Halvlinjen v fra C gennem 

C' tegnes 

III. Løsningen M 

○ Halvlinjen v skærer 

linjestykket AB i punktet M 

3. Konstruktionen tegnes af dig i rammen 

til højre: 

4. Begrundelse for rigtigheden af konstruktionen 

21

Nedenfor begrunder du, hvorfor konstruktionen er rigtig. Mest elegant vil det være 

at henvise til de relevante sætninger, men da dette er en introduktionsopgave, 

benyttes lidt mere uformelle begrundelser: 

Konstruer en trekant 

Konstruer en cirkel 

Hvorfor er Δ ABC en ligesidet trekant? 

Hvor meget ligner Δ ACC' 

og Δ Β C C ' hinanden? 

Hvorfor er v en vinkelhalveringslinje? 

Hvor meget ligner Δ AMC og Δ Β MC hinanden? 

Hvorfor deler M AB på midten? 

Givet linjestykket AB skal du konstruere en ligesidet trekant, hvor alle 

siderne er dobbelt så lange som AB. Udfør alle 4 punkter. 

Givet linjestykket AB skal du konstruere en cirkel, hvor både A og B 

ligger på cirkelperiferien. Udfør alle 4 punkter. 

Vil alle løsninger nødvendigvis være ens? 

Vil alle løsninger blive ens, hvis radius skal have længden |AB|? 

22

Benyt GeoGebra 

GeoGebra er et gratis matematikprogram, der både kan bruges til geometriske 

konstruktioner og til beregninger. Måske ligger det på din PC? Ellers kan du hente 

det her: Download GeoGebra 

Klik på GeoGebra WebStart 

Du ser så dialogboksen her: 

og klikker ok! 

En betingelse for at programmet virker er, at du 

har programmet Java på din PC. 

I mange af bogens øvelser og opgaver er det ikke 

nødvendigt at have GeoGebra installeret i forvejen; 

man kan blot klikke på det pågældende link og de 

nødvendige programdele hentes automatisk. Dog er det stadig en betingelse, at Java 

er installeret. 

Eksperimenter med GeoGebra: Klik her 

Benyt samme link til at konstruere et linjestykke AB og derefter finde 

midtpunktet M, jævnfør øvelsen side 21-22 

Kontroller, at konstruktionen ”virker”, selv om du flytter A eller B med 

musen 

Gem dit arbejde som en hjemmeside sådan: 

Klik på Fil / Eksport / Dynamisk ark som Netside ... 

Udfyld titel: Linjestykkets midtpunkt 

Skriv dit navn 

Tilpas tekst over / under konstruktion – evt. bare tomt felt 

Klik på Eksport 

Vælg mappe og filnavn 

Gem 

Når din hjemmeside vises: tjek, at den ser rigtig ud 

Udskriv 

Benyt igen samme link til at lave andre konstruktioner på samme 

måde: 

Nedfæld den vinkelrette 

Oprejs den vinkelrette 23 

Konstruer en vinkelhalveringslinje 

Konstruer højder i en trekant 

Konstruer medianer i en trekant 

Konstruer midtnormaler i en trekant

Ligedannede figurer 

Først vil vi se nærmere på par af trekanter; dertil indføres følgende definitioner: 

Ensvinklede trekanter 

To trekanter er ensvinklede, hvis der for hver vinkel i den ene findes en tilsvarende lige 

så stor vinkel i den anden. 

Trekanter med proportionale sider 

To trekanter har proportionale sider, hvis der for hver side i den ene findes en tilsvarende 

side i den anden, der blot er forstørret (eller formindsket) med den samme skalafaktor. 

Tegn på et A4-ark en ret stor – tilfældigt valgt – trekant 

Mål siderne – og skriv målene på figuren 

Tegn en ny trekant, hvor alle siderne er halvt så store 

Mål alle 6 vinkler 

Sammenlign dit resultat med de andre elevers 

Tegn evt. en ny trekant, hvor du har ganget de oprindelige sidelængder 

med et tilfældigt valgt tal (skalafaktoren). Mål også de nye vinkler ... 

Kan du formulere en regel? Skriv den herunder: 

Tegn på et A4-ark en ret stor – tilfældigt valgt – firkant 

Mål siderne – og skriv målene på figuren 

Tegn en ny firkant, hvor alle siderne er halvt så store 

Mål alle 8 vinkler 

Sammenlign dit resultat med de andre elevers – og med den foregående 

øvelses resultat. 

Kan du formulere en regel? 

24

Ligedannede trekanter 

To trekanter er ligedannede, hvis de både er ensvinklede og er trekanter med proportionale 

sider 


To trekanter er ligedannede, hvis de enten er ensvinklede eller er trekanter med proportionale 

sider 

1. Sætningen påstår, at ved jeg, at trekanterne er ensvinklede, har de også proportionale 

sider. 

2. Og: Hvis jeg i stedet ved, at de har proportionale sider, ved jeg også, at trekanterne 

er ensvinklede. 

Bemærk, at sætningen i virkeligheden er 2 sætninger. Der er to – forskellige påstande. 


Vi vil ikke bevise 3 ovenstående sætninger (om ligedannede trekanter). Men ved hjælp 

af de tidligere opgaver er du måske overbevist om rigtigheden? Men hvordan bliver 

du sikker på, at sætningens påstand altid gælder? 

Farvernes betydning 

Tegn på et A4-ark en ret stor – tilfældigt valgt – trekant 

Mål vinklerne – og skriv målene på figuren 

Tegn en ny trekant, hvor vinklerne har samme mål 

Mål alle 6 sider 

Beregn de 3 forhold mellem tilsvarende siders længder, fx 

k = a/a', k' = b/b' og k'' = c/c' 

Sammenlign dit resultat med de andre elevers 

Kan du formulere en regel? Skriv den herunder: 

For at gøre bogens struktur mere gennemskuelig, er der benyttet farvet baggrund mv. 

for nogle afsnit. 

3 Sætningen hører ikke til de mest elementære sætninger, men den trækkes frem her, fordi alle 

de geometriopgaver, du skal kunne løse, direkte eller indirekte afhænger af den. 

25

Definitioner 4 

Når vi definerer begrebet ligedannede trekanter som ovenfor, betyder det, at vi kommer 

med en præcis forklaring på, hvornår vi vil kalde to trekanter ligedannede. Tilsvarende 

gælder for andre definitioner. 

Forklaringerne er konsekvent markeret med en lys gul baggrundsfarve som her. 

Sætninger 

En sætning er en påstand; ovenstående sætning påstår blandt andet, at hvis du ved , at 

to trekanter er ensvinklede, så kan du være sikker på, at de er ligedannede. 

Denne sætning er en generel påstand: det er alle par (og ikke bare nogle) ensvinklede 

trekanter, der også er ligedannede. 

Sætninger er konsekvent markeret med en lys violet baggrundsfarve som her. 

Beviser 

En sætning er- som sagt - en påstand. Den kan være rigtig eller forkert. Vi vil meget 

naturligt gerne være sikker på, at de sætninger, vi arbejder med altid er rigtige. 

Tænk for eksempel på sætningen om vinkelsummen i en trekant. Hvordan kan man 

vide, at den altid er rigtig? Ingen kan have undersøgt alle trekanter! Men når mange 

har undersøgt mange trekanter og ikke fundet undtagelser, ligner det et mønster. Man 

regner med, at der findes en regelmæssighed og reglen formuleres. Sådan laves matematik. 

Men nu mangler vi bare at sikre os imod, at der kommer en med en speciel trekant, 

hvor reglen ikke gælder. For så ville sætningen jo ikke være sand. Hvis det skete ville 

sætningen være forkert eller falsk (og ikke gældende); den ville være falsificeret. Et 

modeksempel er nok til at reglen ikke er sand. 

Det vi mangler, er at stable nogle argumenter på benene, således at både vi og andre 

indser, at sætningen nødvendigvis altid er sand. At gøre dette er at bevise sætningen; 

argumenterne er beviset. 

Beviser er konsekvent markeret med en lyseblå baggrundsfarve som her. 

Baggrundsviden 

Forskellige former for baggrundsviden – ofte historisk – er markeret med en lys grøn 

farve som her. 

4 Farvebetegnelserne er upræcise. Her henviser de til den trykte udgave. På skærmen kan 

farverne være anderledes. 

26

Oversigter 

Nogle steder i bogen er der nogle oversigter, der opsummerer fx definitioner, sætninger, 

teknikker mv. Disse er markeret med en lys rød farve som her. 

Opgaver eller øvelser 

I en tynd blå ramme er opgaver og øvelser skrevet med rød skrift. Med punkttegn er 

der markeret, at her skal du gøre noget! 

Her ser du et minieksempel: 

Orientering om opgaven .... 

Opgaven: Besked om, hvad du skal gøre 

Eksempel på beregninger 

Trekanterne herover er ligedannede. Vinkelspidser (hvor vinklerne er lige) store er 

navngivet med samme bogstav - i den røde trekant med fodtegnet 1. 

Det er oplyst, at forstørrelsesfaktoren k = 1,7. Oplyses det også, at a = 10,66, kan a1 beregnes 

ved indsættelse i 

a1 = k*a, dvs. 

a1 = 1,7*10,66 ⇔ 

a1 = 18,13 

Oplyses det, at c1 = 16,62, kan c beregnes ved indsættelse i 

c = a/k, dvs. 

c = 16,62/1,7 ⇔ 

27

c = 9,77 

Model for skriftlige besvarelser 

Opgaven 

ΔABC og ΔA1B1C1 er ensvinklede, hvor 

∠Α = ∠Α1, ∠Β = ∠Β1 og ∠C = ∠C1. 

a = 3 og a1 = 5,2; desuden kendes c1 = 4,8. 

Beregn c. 

Tegn en pil fra den blå trekant til den røde. Marker den med "*k". Hvorfor? 

Tegn en pil fra den røde til den blå og marker den med ...? 

Hvordan findes sider, der svarer til hinanden? 

28

Besvarelsen 

Skitse (Tegning) 5 

Da de to trekanter er ensvinklede, 

ved vi at de også er ligedannede 

og at der findes en fælles 

skalafaktor k for sider, der svarer 

til hinanden. . 6 

Da siderne a og a1 er modstående 

sider til den samme vinkel kan forstørrelsesfaktoren k findes ved: 

k = a1 / a 

De kendte tal indsættes i formlen: 

k = 5,2 / 3 7 

Da siderne c og c1 er modstående sider til den samme vinkel, gælder der også: 

k = c1 / c ⇔ c = c1 / k 

De kendte tal indsættes i formlen: 

c = 4,8 : (5,2 / 3) = 2,76 = 2,8 8 

Ekstra opgave 

5 Geometriopgaver indledes altid med en tegning påført de oplyste størrelser 

6 Begrundelse for at trekanterne er ligedannede; det sidste skal benyttes ved løsningen 

7 Omskrivning til decimalbrøk unødvendig 

8 Bemærk parentesen om brøken og svaret både før og efter afrunding. Der vælges at aflevere 

facit med samme nøjagtighed som de oplyste størrelser. 

29 

*k 

3 5,2 

4,8 

Antag, at du også kender b = 1,8 fra opgaven lige ovenover. Vis den fulde 

besvarelse ved beregning af b1 (men genbrug blot tegningen;-)

Flere opgaver 

En sommerdag har Jens en skygge på 2,60 m; han måler selv 1,85 m i 

højden. En mast i nærheden har en skygge 7,50 m. Hvor høj er masten? 

Hvile forudsætninger har du benyttet ved beregningen? Præciser dem. 

Hvor bred er åen? Vibeke og Yrsa kan se et træ på brinken på den anden 

side af åen og har med pejlestokke og 

målebånd lavet nedenstående skitse - 

som ikke er målfast. Deres mål er:|AB| = 

40 m, |CD| = 50 m, |AC| = 15 m, |BD| = 

45 m. Beregn bredden. 

Bredden er m 

Hvad er stiltiende forudsat? 

30

Euklid 

et overblik

Aksiomerne 

Som nævnt begynder Euklid med at definere punkter, rette linjer, figurer med 

videre. 23 definitioner i alt. En definition er en forklaring på, hvad der menes 

med et bestemt (nyt) ord. Du har læst om et punkt og en linje bl.a. 

Euklid går endvidere ud fra nogle "indlysende sandheder" (aksiomer.) Han 

forudsætter de 5 følgende postulater som (sit) grundlag for geometrien: 

1. At man kan tegne et linjestykke mellem 2 punkter 

2. At man kan forlænge et linjestykke ud i et til en ret linje 

3. At man kan tegne en cirkel med ethvert centrum og enhver radius 

4. At alle rette vinkler er lige store 

5. At når én ret linje skærer 2 rette linjer, mødes 

de to rette linjer på den side, hvor summen af 

de indvendige vinkler er mindre end summen 

af to rette vinkler. 

Postulaternes indhold er visualiseret: følg links. 

Derudover baserer Euklid sin argumentation på de følgende 5 almindelige 

begreber: 

6. Størrelser, der er lige så stor som en anden størrelse, er lige store. 

7. Hvis der lægges lige meget til lige store størrelser, fås lige store 

størrelser. 

8. Hvis der trækkes lige meget fra lige store størrelser, fås lige store 

størrelser. 

9. Størrelser, der kan dække hinanden, er lige store. 

10. Det hele er større end en del. 

På dette grundlag bygges geometrien. Enhver sætning, der anvendes, skal først 

bevises ved hjælp af disse aksiomer eller andre allerede beviste sætninger. 

33

Euklids første sætninger i bog 1 

Over en periode på flere tusinde år, er det næsten umuligt at overlevere bøger, 

på trods af at bøger før Gutenberg har været kostbarheder, der måtte værnes 

om. Så hvad vi i dag ved om Euklid er baseret på afskrifter af afskrifter med 

den usikkerhed det giver, kommentarer og henvisninger i andre værker og 

sammenligning og sammendrag af mange forskellige kilder. 

I Danmark blev der i slutningen af 1800-tallet lavet et stort og fortjenstfuldt arbejde 

af den klassiske filolog J. L. Heiberg, som udarbejdede en græsk udgave 

af Euklids bøger baseret på en lang række kilder sammen med H. Menge. Hans 

elev, Thyra Eibe, oversatte dette værk til dansk omkring århundredeskiftet 

(1900). Denne oversættelse fik uvurderlig betydning i Danmark til den dag i 

dag - og kunne i højere grad også have fået det internationalt om dansk havde 

været et internationalt sprog. 

Bogen findes i nyere oplag, men er ikke tilgængelig på Internettet. Det er derimod 

D. E. Joyce hjemmeside på adressen: 

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html 

hvor en kommenteret tekst kan findes med illustrerende java-apletter. 

På trods af at Euklid ikke selv benytter ordet kongruens, vil vi alligevel anvende det om 

"ens trekanter". 

Kongruens 

To trekanter siges at være kongruente, hvis de har siderne parvis ens, vinklerne parvis 

ens og samme arealer. 

Kongruens 

I. (SVS) To trekanter er kongruente, hvis de har to sider parvis ens samt den 

mellemliggende vinkel. (Euklid, I.4) 

II. (SSS) To trekanter er kongruente, hvis de har alle sider parvis ens. (Euklid, I.8) 

III. 

● (VSV)To trekanter er kongruente, hvis de har to vinkler parvis ens samt den 

mellemliggende side. 

● (VVS) To trekanter er kongruente, hvis de har to vinkler parvis ens samt en af 

de modstående sider. 

(Euklid, I.26) 

34

Forkortelserne – som fx SVS - beskriver en trekantstype, med kendt side, vinkel , side 

Disse sætningerne bevises ikke; den interesserede studerende henvises fx til D. E. 

Joyce' hjemmeside (se ovenfor.) 

Nogle af Euklids øvrige sætninger fra bog I 

De første sætninger handler om: 

● at kunne konstruere en ligesidet trekant 

● at kunne flytte linjestykker 

● at trække et linjestykke fra et andet 

● at en ligebenet trekant har lige store grundvinkler 

● og at hvis grundvinklerne er ens, er trekanten ligebenet 

● at kunne konstruere en vinkelhalveringslinje 

● at kunne dele et linjestykke 

● at kunne oprejse den vinkelrette (dvs. konstruere en linje vinkelret på en anden 

i et givet punkt) 

● at kunne nedfælde den vinkelrette (dvs. konstruere et linje gennem et givet 

punkt, der står vinkelret på en given linje) 

● ... 

Ekstra konstruktionsopgaver 

Konstruer med passer og lineal følgende en vinkelhalveringslinje 

en midtnormal 

givet et punkt og en linje konstrueres en linje vinkelret på den givne 

gennem punktet 

en indskreven cirkel (i en trekant) 

en omskreven cirkel (om en trekant) 

eller benyt GeoGebrakonstruktionerne fra side 23 

Argumenter for rigtigheden af konstruktionerne 

Renskriv bedste konstruktion med forklaringer 

35

Verdensbilledet og Astronomiske beregninger 

Vedrørende diskussionen om jordens facon følger her et kort citat fra slutningen af 

Holbergs Erasmus Montanus (skrevet 1731): 

Act V, Scen. 5 

MONTANUS. 

Ach gunstige Herre! Jeg skal følge hans Raad, og beflitte mig paa, at blive et 

andet Menniske herefter. 

LIEUTENANT. 

Got, saa gir jeg eder da løs igien, naar I har giort de Løffter baade til eders egne, 

og eders Sviger-forældre, og bedet dem om Forladelse. 

MONTANUS. 

Jeg beder eder da ydmygst med grædende Taare alle om Forladelse, og lover at 

føre et gandske andet Levnet herefter, fordømmer mit forrige Væsen, fra hvilket 

jeg er bragt ikke meere ved den Tilstand, jeg er geraadet udi, end ved denne 

brave Mands grundige Tale og Lærdom, for hvilken jeg derfor næst mine 

Forældre, skal altid have meest estime for. 

JERONIMUS. 

Saa holder I da ikke meere for min kiære Svigersøn, at Jorden er rund; thi den 

post ligger mig meest om Hiertet. 

MONTANUS. 

Min hierte Svigerfar, jeg vil ikke disputere videre derom. Men jeg vil allene sige 

dette, at alle lærde Folk er nu omstunder af de Tanker, at Jorden er rund. 

JERONIMUS. 

A - - - Hr. Lieutenant! Lad ham blive Soldat igien, til Jorden bliver flack. 

MONTANUS. 

Min kiære Svigerfar, Jorden er saa flack, som en Pandekage, er han nu fornøyet. 

JERONIMUS. 

Ja, nu er vi gode Venner igien; nu skal I faae min Dotter, kommer nu 

allesammen ind hos mig, og drikker paa en Forligelse; Hr. Lieutenant giør os 

den Ære at komme ind. 

37

Verdensbilledet i gennem 2000 år 

I det antikke Grækenland opfattede man Jorden som verdens centrum med sol, 

måne og planeter kredsende rundt om jorden. Denne opfattelse blev formuleret 

(og begrundet) af filosoffen Aristoteles (384 FVT – 322 FVT) og blev overtaget af 

kirken. I små 2000 år accepteres modellen af de fleste; Aristarchos (se nedenfor) 

er en enkelt undtagelse. Først i 1543 foreslår Kopernicus en model med solen i 

centrum. Tycho Brahe (1546 – 1601) arbejdede stadig med en model med jorden 

i centrum, men hans mange observationer af himmelrummet satte Kepler (1571 

– 1630) i stand til at formulere en teori om, at planeterne i vort solsystem 

kredser om solen i ellipseformede baner. Endelig i 1687 kommer Isac Newtons 

(1642 – 1727) tyngdelov og giver mulighed for at forklare himmellegemernes 

bevægelser. Hermed indledes oplysningstiden. 

Jordens omkreds (Eratosthenes) 

Eratosthenes (240 FVT.) opnåede berømmelse for sin vurdering af jordens omkreds. 

Hans argumenter var: 

● På en bestemt dag stod solen lodret over Syrene; samtidig kunne Erastostenes i 

Alexandria måle vinklen mellem lodret og en linje til solen som 1/50 af en hel 

cirkel. 

● Alexandria ligger stik nord for 

Syrene, altså på samme 

meridian. 

● Afstanden mellem Alexandria og 

Syrene blev opmålt til 5000 

stadier 

● Denne afstand (buelængden) er 

ligefrem proportional med 

centervinklen (som er den 

samme som den målte β, da 

solstrålerne forudsættes at være 

paralle) 

Derfor beregnes jordens omkreds (over 

polerne) til 50x5000 stadier = 250.000 

stadier eller godt 40.000 km 9 

9 Argumentationen er rigtig, men forudsætningerne halter en lille smule: Solen har ikke stået 

præcist lodret over Syrene og Alexandria ligger ikke præcist N for Syrene, men den største 

38

Hvad forestiller de røde, rette linjer på tegningen? 

Hvor mange grader er 1/50 af en hel cirkel? 

Hvorfor er det vigtigt, at Alexandria ligger stik nord for Syrene? 

Er solstrålerne parallelle? 

Hvilken sætning bruges for at begrunde, at de to markerede vinkler er 

ens? 

Hvordan ville du praksis måle β ? 

Kugle eller pandekage? 

Eratostenes går ud fra, at jorden er rund. Før ham har der ikke været almindelig 

enighed herom. Dog kan det ikke have været en fjern tanke, fordi det - i 

modsætning til den flade model - kan forklare: 

● hvorfor ser sømanden, der er på vej mod land, først bjergets top? 

● hvorfor jordens skyggebillede ved måneformørkelser altid er cirkulært - 

en skiveformet jord ville oftere lave et elliptisk skyggebillede? 10 

Afstand til sol og måne I 

Set fra jorden er det ikke umiddelbart indlysende, at de 

to "største" himmellegemer: solen og månen, ikke er 

lige store. De fylder jo lige meget på himlen: nemlig ca. 

½ °. At de er meget tæt på at være lige store, kan du 

nemt overbevise 

dig 

om ved at se 

på billeder af 

solformørkelser som dette. Men det betyder 

jo ikke, at de er lige store - blot at skivernes 

radier har det samme forhold som afstandene 

til betragteren (eller som afstandene til 

jordens centrum; i den sammenhæng er jordens 

radius ikke stor) Bemærk de to ligedannede 

trekanter på principskitsen. 

fejlkilde har været den unøjagtige bedømmelse af afstanden mellem de to byer. Yderligere 

mangler vi præcis viden om forholdet km/stadier. 

10 http://en.wikipedia.org/wiki/Flat_Earth 

39

Forklar, hvad tegningen ovenover forestiller. 

Hvor er der solformørkelse? 

Viser skitsen også, hvor der er delvis solformørkelse? 

Hvis solen - mere realistisk - havde en større afstand til jord og måne, 

hvad ville der så ske med: arealet af området med total solformørkelse? 

og med arealet af området med delvis solformørkelse? 

Find de to ligedannede trekanter 

Forklar, hvorfor de er ligedannede 

Hvad er skalafaktoren på skitsen ( k > 1)? I virkeligheden er den ca. 400 

Vælg nogle passende, beskrivende navne på længderne af siderne i 

trekanterne (fx Afstand_Til_Sol) og skriv k som 2 ens, men forskelligt 

skrevne brøker med disse navne 

Afstand til sol og måne II (Aristarchos) 

Aristarchos (310 - 230 FVT) er (måske) den første med et heliocentrisk verdensbillede: i 

stedet for at have jorden som verdens centrum sætter han solen i centrum. Skitsen 

ovenover belyser, hvorledes han fandt forholdet mellem afstandene fra jorden til hhv. 

solen og månen. 

Antag, at vi har halvmåne; det betyder, at månen set fra jorden belyses fra siden og at 

∠SMJ = 90°. ∠MJS kan måles på jorden (og blev målt til ca. 87°). Dermed kan der tegnes 

trekanter, der er ligedannede med himmelrummets trekant og derfra kan forholdet 

findes - omend med stor usikkerhed. Senere vil du indse, at forholdet også kan beregnes 

(med trigonometriske funktioner); dette ændrer dog ikke noget på usikkerheden, 

der ligger i at bestemme ∠MJS nøjagtigt – og fastslå præcist, hvornår det er halvmåne. 

Hvert minuts fejl medfører en vinkelfejl på ca. 0,01°. Og uden særlige hjælpemidler vil 

en fejl på adskillige timer være det normale. 

Ved at følge linket her, kan du se en model, der demonstrerer, hvad små ændringer af 

vinklen gør mht. forholdet af afstandene. På grund af fejlbedømmelsen af vinklen 

finder Aristarchos forholdet til 19:1, hvor det skulle være 389:1. 

40

Lav en tabel med to rækker og 10 kolonner ved at benytte linket til 

Aristarchos model: øverst skrives en række vinkler, nedenunder de 

tilsvarende størrelsesforhold mellem afstandene til solen og månen. 

Udskriv 2 af trekanterne 

Er Aristarchos resultater værdiløse, når der tages hensyn til målefejl? 

Hvis vi benytter Aristarchos resultat: hvad er forholdet mellem 

rumfanget af solen og rumfanget af månen? 

Hvad er forholdet, hvis vi i stedet går ud fra at forholdet mellem 

afstandene er 389:1 ? 

Afstanden til månen 

Figuren herunder viser solen og jorden og helskyggen på jordens natside. Når 

månen er på jordens natside kan den ofte ses alligevel, fordi månens bane ligger 

udenfor jordens helskygge. Den svæver oftest uden om skyggen. Men engang 

imellem kommer den ind i skyggen og vi kan så se en måneformørkelse. 

Aristarchos noterer sig, at tiden, fra måneformørkelsen begynder til månen er 

helt inde i skyggen, svarer til tiden, den er helt inde i skyggen: derfor kan 

månen som tegningen viser ligge på halvdelen af den del af månebanen, der 

ligger i helskyggen. 

41

Begrund påstanden. Følg linket. Benyt skyderen på figuren til at lade månen 

passere skyggen. 

Månen kan passere jordens helskygge i forskellige baner: de kan variere 

fra lige at strejfe skyggen til at gå tværs igennem skyggen. Hvad betyder 

det for måneformørkelsens udseende og tid? og for Aristarchos argumentation? 

Linjen gennem jordens og solens centrer tangerer derfor månen, når den lige er 

kommet helt ind i helskyggen - eller lige er på vej ud. Samtidig tangeres månen 

på den anden side af solens og jordens fællestangent - der jo ligger i helskyggens 

yderflade. 

Den hvide vinkel er 0,5°; det er jo vinklen, som månen ses under (og det gør 

ikke megen forskel om det er fra jordens overflade eller fra jordens centrum; 

forskellen på afstandene er under 2 %.) 

Den grønne vinkel er præcist halvdelen af den vinkel solen ses under: dvs. 

0,25°. Da den mellemliggende vinkel så udgør resten af 180°, fås, at i ΔSCM kendes 

en vinkel og da siden overfor M er (mindst) 19 gange længere end siden 

over for S, vil ∠M være ca 19 gange større end ∠S. Noget unøjagtigt kan ∠M 

beregnes til 0,71°. 

Tegn 3 forskellige stumpvinklede trekanter, hvor den ene af de 

hosliggende sider er 19 gange større end den anden. 

Mål de spidse vinkler 

Beregn forholdet mellem de spidse vinkler, dvs. 

(største spidse vinkel):(mindste spidse vinkel) 

Kommenter dit resultat 

Hvorledes fremkommer 0,71°? 

Benyt evt. linket: http://pc-p4.mimimi.dk/c/maaneFormoerkelse4.html 

42 

Linjestykket CH er en linje fra jordens 

centrum ud til røringspunktet for tangenten 

SM. CH står vinkelret på SM. I den 

"mest røde" ΔMCH kendes nu både den 

rette ∠H og den spidse ∠M samt siden 

overfor M (det er jo jordens radius.) Derfor 

kan vi nu (i princippet) tegne en formindsket 

udgave af trekanten: ΔM'C'H' 

med de samme vinkler. Forstørrelsesfaktoren 

k kan – når man kender jordens ra-

dius - så beregnes. Alternativt kan afstanden fra jorden til månen måles i jordradier. 11 

I stedet for at studere tiden for en passage genne jordens skygge, kan man også 

studere et fotografi af en måneformørkelse – og fx med GeoGebra finde de (relative) 

diametre for hhv. måne og et tværsnit af jordens skygge, hvor månen passerer 

skyggen. Følg linket. 

Prøv selv noget tilsvarende med andre fotografier af måneformørkelser. 

11 Du skal snart se, hvorledes man beregner disse størrelser uden nødvendigvis at måle på 

trekanter 

43

Trigonometri 

Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) 

0,00 0,00 30,00 0,50 60,00 0,87 

1,00 0,02 31,00 0,52 61,00 0,87 

2,00 0,03 32,00 0,53 62,00 0,88 

3,00 0,05 33,00 0,54 63,00 0,89 

4,00 0,07 34,00 0,56 64,00 0,90 

5,00 0,09 35,00 0,57 65,00 0,91 

6,00 0,10 36,00 0,59 66,00 0,91 

7,00 0,12 37,00 0,60 67,00 0,92 

8,00 0,14 38,00 0,62 68,00 0,93 

9,00 0,16 39,00 0,63 69,00 0,93 

10,00 0,17 40,00 0,64 70,00 0,94 

11,00 0,19 41,00 0,66 71,00 0,95 

12,00 0,21 42,00 0,67 72,00 0,95 

13,00 0,23 43,00 0,68 73,00 0,96 

14,00 0,24 44,00 0,69 74,00 0,96 

15,00 0,26 45,00 0,71 75,00 0,97 

16,00 0,28 46,00 0,72 76,00 0,97 

17,00 0,29 47,00 0,73 77,00 0,97 

18,00 0,31 48,00 0,74 78,00 0,98 

19,00 0,33 49,00 0,75 79,00 0,98 

20,00 0,34 50,00 0,77 80,00 0,98 

21,00 0,36 51,00 0,78 81,00 0,99 

22,00 0,37 52,00 0,79 82,00 0,99 

23,00 0,39 53,00 0,80 83,00 0,99 

24,00 0,41 54,00 0,81 84,00 0,99 

25,00 0,42 55,00 0,82 85,00 1,00 

26,00 0,44 56,00 0,83 86,00 1,00 

27,00 0,45 57,00 0,84 87,00 1,00 

28,00 0,47 58,00 0,85 88,00 1,00 

29,00 0,48 59,00 0,86 89,00 1,00 

30,00 0,50 60,00 0,87 90,00 1,00

Trekantsberegninger - en oversigt 

Den retvinklede trekant 

● Pythagoras' sætning: c 2 =a 2 �b 2 

● Modstående katete (mk) = hyposenusen*sin(v), hvor v er størrelsen af den 

aktuelle spidse vinkel 

● Hosliggende katete (hk) = hypotenusen*cos(v) 

● Modstående katete (mk) = hosliggende katete (hk)*tan(v) 

------------------------------------------------------------------------------------- 

En vilkårlig trekant 

● Ensvinklede trekanter er ligedannede og omvendt 

● Sætning om vinkelsummen i en trekant: 

∠A + ∠B + ∠C + = 180° 

● 1. arealsætning: T =½⋅h g 

● 2. arealsætning: T =½⋅ab⋅sin�C � 

● 3. Herons formel: T =� s⋅�s−a�⋅�s−b�⋅�s−c� 

hvor s er trekantens halve omkreds 

● Sinusrelationerne: 

Trigonometri betyder trekantsberegninger. Grunden til at trekanten benyttes er, at den 

er en meget enkel figur, hvori beregningerne er forholdsvis lette. Samtidig kan enhver 

polygon ( det betyder mangekant) opdeles i trekanter. Firkanten deles for eksempel af 

diagonalen i to trekanter. 

Trigonometri er vigtig ved korttegning. I Danmark fx er en stor mængde målepunkter 

spredt ud landet; de forbindes til et net af trekanter for at kunne fastlægge målepunkternes 

placering i forhold til hinanden. Det kaldes triangulering. 

Korttegning 

a b c 

= = 

sin �A� sin � B� sin �C � 

● Cosinusrelationerne: c 2 =a 2 �b 2 −2bc⋅cos� A� 

Som det allerede er nævnt, betyder geometri jordmåling og resultaterne benyttes til at 

47

tegne kort. Formålet kunne fx være at finde vej eller at fastlægge skel eller beregne 

ejendommes størrelse. 

I Danmark skyldes de ældste kort optegnelser gjort af Ptolemæus fra Alexandria ca. 

200 EVT. Selve kortet er dog tegnet væsentligt 

Det ældste Danmarkskort senere. 

Kort tegnet efter optegnelser fra 

Ptolemæus af Alexandria, 200 E.V.T. 

Johannes Mejers kort 

De første første gode kort i Danmark og hertugdømmerne 

skyldes Johannes Mejer fra 

Husum. Han tegnede en lang række kort: først 

for hertugen på Gottorp, Friedrich 3. og senere 

for den danske konge, Christian 4. Han havde 

studeret matematik i København, som dengang 

også bl.a. inkluderede astronomi, landmåling 

og kartografi. I midten af 1600-tallet var hans 

kort ubestridt de bedste, og det vedblev de med at være i en lang periode. 

Trianguleringen i Danmark 

Blandt de mange kort, der blev tegnet før 1700-tallet, var der et uløst problem: at få lokale 

kort til at hænge rigtigt sammen med andre lokale kort. Først så sent som i 1764 

startede Bugge 12 en opmåling, hvor hele landet blev delt ind i trekanter, som skabte et 

net til at placere lokale kort korrekt. Teknikken var: Bugge startede med en omhyggelig 

opmåling af én side i den første trekant (basislinjen). Derefter målte han vinklen i et 

trekantshjørne, hvor basislinjen er det ene vinkelben og sigtelinjen mod trekantens 3. 

punkt er det andet ben. Denne vinkelmåling blev gentaget i det andet trekantshjørne 

på basislinjen. Så kunne alle sider og vinkler bestemmes i denne første trekant. Fra de 

beregnede sider i trekanten kunne man arbejde sig videre og opmåle nye trekanter 

udelukkende ved at bestemme vinkler. Således blev hele Danmark dækket af et net af 

trekanter, der kunne bruges til korrekt placering af de kort, der dækkede et mindre 

område. De lokale kort, der dækkede et areal på ca. 6,3 km x 9,4 km, udførtes som målebordsblade 

- se nedenfor. Vi vil både studere hvordan måleblade tegnes og hvorledes 

beregningerne i forbindelse med trekanter foretages. 

12 http://www.geomat.dk/landmaaling/kildetekster/pdf/Triangulering.pdf 

48

Målebordsblade 

Brøndbye Høi 

1.:Triangulering (Bugges første trekanter) 

Tinghøj 

Basislinjen er den blå (omhyggeligt opmålte) linje fra Tinghøj til Brøndbye Høj. Alle øvrige 

(sorte) afstande er beregnet ved hjælp af vinklerne og basislinjen. Fra de nye punkter arbejdes 

der videre på trekantsnettet over Ballerup, Ølstykke ... til det fjerne Jylland. 

Samtidigt med trianguleringen blev landet opmålt og tegnet på målebordsblade. Det var 

meget detaljerede kort i målestokken 1:20.000. De fik en ganske lang levetid under forskellige 

myndigheder. I hvertfald solgtes de stadig i boghandlen efter 1970 som fx M 

2108 Finderup, opmålt 1877, rettet 1954, trykt i Köbenhavn 1964 ved Geodætisk Institut. 

Det var teknikken ved fremstillingen, der gav dem navn. En lidt forenklet gengivelse af 

denne er: Man benyttede et bord, hvor det kommende kort blev fastgjort. 2 punkter 

(hvorfra der var en vis udsigt) A og B i naturen blev udvalgt, afstanden mellem dem 

målt, og punkterne overført til kortet med en tilsvarende (meget mindre) afstand mellem 

de tegnede punkter: lad os kalde dem A1 og B1. 

Bordet blev så stillet op: først ved fx A med kortets A1 præcist over A og linjen A1B1 lå 

lige over en del af AB. 

Andre punkter i landskabet blev lagt ind ved at tegne sigtelinjer fra A1 (A) på papiret 

sigtende fx mod et kirkespir K. Når et passende antal sigtelinjer mod vigtige punkter 

var indlagt, blev bordet flyttet til B med B1 lige ovenover og igen A1B1 liggende over en 

del af AB. Når der så herfra blev tegnet en sigtelinje mod K var der dannet to ligedannede 

trekanter: ABK i naturen og A1B1K1 på kortet. Med tilpas mange støttepunkter 

49 

Rundetårn

kunne den rutinerede kartograf indtegne øvrige detaljer på fri hånd. 

Herunder er vist det rektangulære målebord efter at det er flyttet. I positionen, hvor A1 

lå over A (og B1 lå over punktet i naturen markeret B1), blev den blå sigtelinje tegnet. 

Efter flytningen tegnes så en ny sigtelinje, og K1´s position findes i skæringspunktet. 

I skolegården eller et andet passende sted markeres 2 steder som 

hhv. A og B. Ude i gården er der plantet 3 eller flere landmålerstave 

i punkter, der skal afsættes på kortet. 

I skal i grupper lave et målebord og en anvendelig sigtelineal. 

Ved opstilling af bordet ved punktet A hhv. B og tegning af 

sigtelinjer findes de markerede øvrige punkters position på kortet. 

Rentegn kortet 

Forsyn kortet med diverse detaljer: vej, bygning, beplantning mv. 

Ved opmåling på kortet beregnes afstande mellem alle punkter i 

"naturen". 

Til sidst sammenlignes resultaterne med lærerens opmålinger. 

50

Standardtrekanter 

Her er der tegnet en retvinklet ΔABC: 

∠C =90°. Både ∠A og ∠B er spidse 

vinkler. 

Siden overfor den rette vinkel kaldes 

hypotenusen; de to andre sider (i en 

retvinklet trekant) kaldes kateterne. 

For at kende forskel på dem. kaldes de 

hhv. den modstående katete og den hosliggende 

katete. Hvad der er hvad, afhænger 

af, hvilken spids vinkel vi går ud fra. 

Hvis vi vælger at gå ud fra ∠A, ligger a overfor denne vinkel: a er den modstående katete. 

∠A har 2 ben: det ene er hypotenusen og det andet er den hosliggende katete (her 

b). Var vi gået ud fra ∠B, bytter kateterne navne. 

Sæt en lille ring om hjørnet A på figuren ovenover og skriv 

modstående og hosliggende på de tilsvarende kateter 

Lav samme øvelse på et nyt papir med samme tegning; nu går du 

ud fra B og sætter ring om dette hjørne 

Herunder er der tegnet et koordinatsystem, en enhedscirkel (dvs. radius har længden 1) og 

en retvinklet ΔABC, hvor A ligger i koordinatsystemets begyndelsespunkt og B ligger i 1. 

kvadrant på cirkelperiferien og C på x-aksen (eller første-aksen). En trekant, hvor hypotenusen 

har længden 1, kaldes en standardtrekant. 

51

På tegningen måles ∠A og a = |BC|. Resultaterne skrives i tabellen herunder: 

∠A a 

66° 0,92 

Definition: sin(A) 

sin(A) [læses: sinus til A] defineres som længden af den modstående katete til den 

spidse vinkel A i standardtrekanten. 

På helt tilsvarende måde kunne vi have målt den hosliggende side i standardtrekanten. 

Længderne svarende til vinklen A kaldes cos(A): 

Definition: cos(A) 

Tegn på mm-papir et koordinatsystem og en enhedscirkel (hvor 1 

svarer til 10 cm). Skriv tallene 0,1 ; 0,2; 0,3; ... ; 1,0 på begge akser. 

Vælg 5 punkter på kvartcirklen i 1. kvadrant og kald punkterne B1, 

B2, B3, B4, B5 

Tegn de tilsvarende standardtrekanter – gerne med forskellige 

farver. 

Mål i hver trekant ∠A og a = |BC| og skriv resultaterne i en tabel 

som ovenstående. Benyt tal med 2 decimaler. 

Kontroller alle resultaterne på lommeregneren ved at indtaste 

sin(A); lommeregnerens skærm er vist herover for eksemplet 

ovenover. Din lommeregner kan vise det lidt anderledes. 

Kontroller aflæsninger mv., hvis din aflæsning afviger mere end 

0,01 fra lommeregneren. 

Sammenlign med tabellen på kapitlets forside. 

cos(A) [læses: cosinus til A] defineres som længden af den hosliggende katete til den 

spidse vinkel A i standardtrekanten. 

52

Begrundelsen for at arbejde med standardtrekanter 

er, at alle størrelser i en 

standardtrekant er kendte: I standardtrekanten 

med den spidse vinkel v er 

hypotenusen 1, den ene spidse vinkel 

altså v og den anden 90° – v. Kateternes 

sidelængder kan enten måles på en tegning 

eller aflæses i en tabel eller beregnes 

på en lommeregner. 

Disse resultater benyttes så til at beregne 

størrelser i en vilkårlig retvinklet trekant, 

som det ses herunder: 

Sætning: mk = hyp*sin(v) 

I en retvinklet trekant, hvor en spids vinkel har størrelsen 

v, den tilsvarende modstående katete har længden mk og 

hypotenusen har længden hyp, gælder 

mk = hyp * sin(v) 

Bevis 

Der er givet en tilfældig retvinklet trekant hvor den spidse 

vinkel har størrelsen v (fx 63,69°). 

Denne trekant er ensvinklet med en standardtrekant, der 

også har en spids vinkel af størrelse v, idet det tredje par 

vinkler bliver ens pga. 180°−reglen. 

Derfor er trekanterne ligedannede; skalafaktoren k beregnes 

vha. siderne overfor den rette vinkel som 

k = hyp / 1 = hyp; 

da siderne med længderne mk og sin(A) ligger overfor 

vinkler med den samme størrelse, nemlig v, fås sætningen 

mk = k * sin(A) = hyp * sin(v) 

53

Sætning: hk = hyp*cos(v) 

I en retvinklet trekant, hvor en spids vinkel har størrelsen v, den tilsvarende hosliggende 

katete har længden hk og hypotenusen har længden hyp, gælder 

hk = hyp * cos(v) 

Løs resten af opgaven på samme måde, idet: 

Gennemfør beviset på tilsvarende måde som for den foregående 

sætning. 

Renskriv beviset. 

Typiske opgaver 

● Givet en retvinklet trekant med hypotenusen 

5 og en spids vinkel på 30°. 

● Beregn de to manglende sider. 

Løsning 

(Tegn altid en skitse, påfør de oplyste 

mål): 

Da trekanten er retvinklet, benyttes 

sætningen: 


De oplyste tal indsættes: 

mk = 5*sin(30°) = 5*0,50 ⇔ 

mk = 2,50 ⇔ 

mk = 2,5 

Løs resten af opgaven på samme måde, idet: 

du beregner den manglende vinkel 

benytter samme metode og opstilling som vist 

og desuden angiver en alternativ løsningsmetode 

Flere eksempler 

Tegn hjælpeskitser som den viste ud for de følgende eksempler. 

● Givet en retvinklet trekant med en spids vinkel på 30° og en modstående side 

på 0,8. Find hypotenusen. 

54

Løsning 

(Tegn selv en skitse, påfør de oplyste mål): 

Da trekanten er retvinklet, benyttes sætningen: 



0,8 = hyp*sin(30°) = hyp*0,50 ⇔ 13 

0,8 : 0,50 = hyp*0,50:0,50 ⇔ 

1,6 = hyp 

● Givet en retvinklet trekant, hvor sin(v) = 0,6561. Find vinklen. 

Bemærkning: Hvis du ser på tabellen, der indleder kapitlet, er der to kolonner: 

en for vinkler og en for sinus-værdier. Tabellen kan læses begge veje: Kender 

du vinklen, starter du i 1. kolonne, kender du sinus-værdien, starter du i 2. kolonne 

og går tilbage til 1. kolonne. At gå tilbage (til vinklen) i sinustabellen skrives: 

sin -1 . 

Løsningsmetode 1 

sin(v) = 0,6561 ⇔ 

v = sin -1 (0,6561) ⇔ 

v = 41° 

Løsningsmetode 2 

Tabeller er ikke den bedste metode til at løse opgaven. Indtil for knap 30-40 år 

siden var det metoden, men i dag benyttes lommeregnere. 

På lommeregneren indtastes en sekvens som 

○ [2nd] [sin] ( 0,6561 ) [enter] 

eller 

○ 0,6561 [inv] [sin] 

eller noget tredje. Læs manualen til lommeregneren! 

Mht. opstilling er det principielt lige meget, hvordan du finder sin -1 (0,6561); 

13 Bemærk, at det er en almindelig ligning, der skal løses. I stedet for det sædvanlige x står der 

blot hyp. Metoden til at isolere hyp eller x er som altid: gør det samme på begge sider af 

lighedstegnet, således at den ubekendte står mere og mere alene. 

Her fjernes faktoren 0,50 ved at dividere på begge sider med 0,50 

55

dog bør du vise resultatet både før og efter en afrunding til det ønskede antal 

decimaler, som vist her: 

sin(v) = 0,6561 ⇔ 

sin -1 (sin(v)) = sin -1 (0,6561) ⇔ 14 

v = 41,00° ⇔ 

v = 41,0° 

● Find den spidse vinkel i en retvinklet trekant, når det oplyses, at hypotenusen 

har længden 20 og den modstående katete 3. 

Løsning 

(Tegn selv en skitse, påfør de oplyste mål): 

Da trekanten er retvinklet, benyttes sætningen: 



3 = 20 * sin(v) ⇔ 

3 : 20= 20 * sin(v) : 20 ⇔ 

3/20 = sin(v) ⇔ 

sin(v) = 3/20 ⇔ 

v = sin -1 (3/20) ⇔ 

v = 8,62° ⇔ 

v = 8,6° 

15 

14 Du bemærker, at vi som sædvanligt har gjort det samme på begge sider af lighedstegnet. Det 

betyder, at vi har to ens tal, finder dem i sinustabellens højre kolonne og derefter finder det 

tilsvarende tal i venstre kolonne. Og begge opslag i tabellen giver naturligvis det samme 

resultat. (Fordi alle tal i højre kolonne er forskellige!) Derfor er tallene i næste ligning også 

ens ... På venstre side står der: Find vinklen v i venstre kolonne, find den tilsvarende 

sinusværdi i højre kolonne og gå så tilbage og se, hvad der stod i venstre kolonne. Da du 

bare er gået frem og tilbage skriver man normalt straks: v. 

15 Bemærk, at det er hensigtsmæssigt at undlade at regne med afrundede decimalbrøker og at 

udskyde anvendelsen af lommeregneren indtil det endelige resultat kan udregnes ved én 

tastesekvens. 

56

Træningsopgaver: 

Tegn en lang række retvinklede trekanter (hvor den rette vinkel 

tegnes så præcist som muligt). Mål i hver af dem yderligere to 

størrelser og beregn derefter de manglende. Der bør indgå opgaver, 

hvor du kender 

en spids vinkel og den modstående katete 

en spids vinkel og den hosliggende katete 

en spids vinkel og hypotenusen 

en katete og hypotenusen 

Kontroller ved måling på din tegning, om du har regnet rigtigt. 

Definition: tan(A) 

tan(A) [læses: tangens til A], hvor A er en spids vinkel defineres som 

sin� A� 

tan �A�= 

cos�A� 

Sætning: tan(v) = mk / hk 

Når v er en spids vinkel i en retvinklet trekant, gælder 

tan �v�= mk 

hk 

Bevis 

Når v er en spids vinkel i en retvinklet trekant, gælder 

mk hyp⋅sin �v� 

= 

hk hyp⋅cos�v � 

mk 

hk 

mk 

hk 

hyp⋅sin �v� sin �v� 

= = 

hyp⋅cos�v� cos�v� 

= hyp⋅sin �v� 

hyp⋅cos�v� 


ifølge vore sætninger 

forkort med hyp 

sin �v� 

= =tan �v � iflg. definitionen 

cos�v � 

● Givet en retvinklet trekant hvor den modstående katete har længden 3 og den 

hosliggende har længden 5 beregnes de to spidse vinkler. 

Løsning 

(Skriv mål på skitsen): 

57

Da trekanten er retvinklet, 

benyttes sætningen: 


hk 


tan �v�= 3 

5 ⇔ 

v=tan −1 � 3 

5 � ⇔ 

v=30,96 ° =31,0 ° ⇔ 

v = 31,0° 

Pythagoras sætning 

For enhver retvinklet trekant gælder: 

kvadratet på hypotenusen er lig med summen af kateternes kvadrater. 

Bemærkninger 

● Kvadratet på hypotenusen kan betyde: 

○ arealet af det kvadrat, der har hypotenusen som side 

○ eller arealets størrelse (dvs. et tal), der fås som længden af hypotenusen i 

anden 

● Kaldes længderne hyp, k1 og k2 fås: hyp 2 = k1 2 + k2 2 

● Ofte gengives sætningen (idet der som eksempel benyttes ΔABC) som c 2 = a 2 + b 2 

● Beviset for sætningen følger senere 


Når du kender 2 af siderne i en retvinklet trekant, kan du altid beregne den tredje ved 

indsættelse i ligningen herover. Ligninger af denne type har to løsninger, men der ses 

naturligvis bort fra den negative løsning; en sidelængde er et positivt tal. 

Eksempel: Hypotenusen i en retvinklet trekant har længden 5 og den ene katete længden 

3; beregn længden af den sidste katete. 

58

Løsning 

Bemærkninger 

(Skriv mål på skitsen): 

Da trekanten er retvinklet gælder 

Pythagoras sætning: 

hyp 2 = k1 2 + k2 2 

De oplyste størrelser indsættes: 

5 2 = 3 2 + k2 2 ⇔ 

5 2 - 3 2 = 3 2 + k2 2 - 3 2 ⇔ 

16 = k2 2 ⇔ 

k2 = 4 (eller k2 = -4, hvilket ikke er 

muligt) 

k2 = 4 

Her er resultatet heltalligt – og er anført som et helt tal. Det normale er, at svaret er en 

decimalbrøk; hvis de oplyste værdier er hele tal eller tal anført med en decimal, 

angives svaret først uafrundet med 2 decimaler og derefter afrundet efter 5-reglen med 

1 decimal. Ellers anføres svaret med samme antal decimaler som i de oplyste størrelser. 

Længder i matematikopgaver oplyses ofte uden angivelse af enheder (som cm eller 

km); så skal svaret heller ikke angives med nogen enhed. 

Opgaver 

I en række retvinklede trekanter får du yderligere 2 oplysninger; find for dem 

alle de manglende sider, vinkler og arealet. 

Δ1: Hypotenusen har længden 10 og den ene katete har længden 6 

Δ2: Arealet er 12 og den ene katete har længden 8 

Δ3: Den ene spidse vinkel er 38° og den modstående katete har 

længden 40 

Δ4: De to kateter har hhv. længderne 5 og 12 

... 

Δ9: Den ene spidse vinkel er 30° og arealet er 42,37 (Kræver lidt 

fantasi!) 

59

Eksempel 

Ofte møder du en opgave med et eksempel fra "det virkelige liv". Den kunne være formuleret 

således: 

"Bestem solhøjden (dvs. vinklen mellem vandret plan og en sigtelinje til solen) når Peter, 

der måler 1,80 m kaster en 2,30 m lang skygge på jorden." 

Besvarelse 

Vi formulerer en matematisk model ved at indføre nogle 

forenklende antagelser: 

● Peter kan beskrives 

ved et 

lodret 

linjestykke 

med længden 

1,80, 

● hans skygge 

ved et vandret 

linjestykke. 

● De to 

linjestykker er benene i en ret vinkel med spids under 

Peters fødder. 

På tegningen herover er den matematiske model skitseret: 

Opgaven består i at finde vinklen β ; da de to kateter kendes i den retvinklede trekant, 

benyttes sætningen 


hk 

Heri indsættes de kendte størrelser: 

tan�beta�= 1,80 

2,30 ⇔ 

beta=tan −1 � 1,80 

2,30 �=38,04° =38,0 ° 

Dvs. at solhøjden β er 38,0° 

60

Egne geometriopgaver for par eller grupper I 

Alle gruppens medlemmer laver opgaver til hinanden vha. hjemmesiden pcp4.mimimi.dk/c/trigonometriRet 

På hjemmesiden trækker opgavestilleren punkterne A, B og C til en 

tilfældigt valgt position og udskriver siden i et passende antal 

eksemplarer. 

For de sider, der skal udleveres, skjuler du først algebravinduet: 

Menuen: Vis / Algebra vindue 

Til gengæld noterer opgavestilleren 2 af oplysningerne (om sider, højder 

eller vinkler eller arealer eller andre størrelser) fra sin egen kopi på de 

sider der udleveres til de andre. Benyt alle decimaler. 

Skriv spørgsmålstegn på tegningen for de størrelser, der ønskes beregnet. 

Beregninger foretages på løse ark. Svar skal gives med samme antal 

decimaler som de oplyste størrelser. 

For ikke at lave unøjagtige beregninger pga. afrunding af mellemfacit er det en god 

vane 

1. At udskyde brug af lommeregner indtil du kan finde det ønskede direkte 

uden at skulle genindtaste mellemfacitter. 

2. Hvis du skal bruge et tidligere beregnet resultat, bruger du ikke det 

nedskrevne resultat, men ét, du har gemt i lommeregnerens hukommelse. 

T er arealet, ∠ A = α, ∠ B = β. 

Du kan også selv lave dine egne opgaver: Tegn en tilfældigt valgt retvinklet trekant, 

mål 2 sider eller en vinkel og en side og beregn de manglende størrelser. Du 

kontrollerer svarene ved at måle på tegningen. 

61

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras 

Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 

500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt, og som det 

afbildede græske frimærke på den foregående side viser et eksempel på. Selve 

sætningen kan føres tilbage til babyloniske kilder, der er mindst 1000 år ældre end 

Pythagoras. Men hvem der er ophavsmand til det første bevis, står hen i det uvisse. 

Men nogle hundrede år senere kan vi finde 2 forskellige beviser for sætningen hos 

Euklid. 

Pythagoras lægger iøvrigt også navn til pythagoræiske talsæt: det vil sige 3 heltal, der 

svarer til sidelængderne i en retvinklet trekant. Et par eksempler er: {3; 4; 5} og 

{5; 12; 13} 

Nu vil vi bevise hans sætning med et af de mange beviser, der i tidens løb er 

fremkommet. Du kan finde en lang række andre beviser på 

http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml 

Det første, der nævnes der, er det ene af Euklids beviser for sætningen: nemlig I.47 fra 

Euklids første bog. 

De fleste af de øvrige sætninger i dette kapitel er direkte eller indirekte afledt af denne 

sætning. 

65

Pythagoras sætning 

For enhver retvinklet trekant gælder: 

kvadratet på hypotenusen er lig med summen af kateternes kvadrater. 16 

Bevis 

Hovedideen i beviset vises her; detaljer fremgår af den efterfølgende opgave: 

1. Vi har givet en 

vilkårlig retvinklet 

trekant (her kaldt 

ABC) med 

tilhørende 

kvadrater; c er 

hypotenusen og a 

og b er kateterne 

2. Vi betragter 

summen af 

kateternes 

kvadrater (svarende 

til arealet af den 

sammensatte blårøde 

figur) 

3. Vi fjerner et areal 

svarende til 2 gange 

trekantens areal 

(markeret med sort) 

- og lægger det 

samme til et andet 

sted (rød og blå 

trekant). Det 

samlede areal er 

uforandret. 

16 "Kvadratet på hypotenusen" kan opfattes: 1) som arealet af det kvadrat, der har samme 

sidelængde som hypotenusen eller 2) som tallet, der fortæller hvor stort kvadratets areal er 

(og det får man ved at gange hypotenusens længde med sig selv.) I det bevis der følger, vises 

sammenhængen for arealerne, men deraf følger sætningen (hvor der bruges tal): 

hypotenusen 2 = katete1 2 + katete2 2 

eller forkortet: hyp 2 = k1 2 + k2 2 

66

Den nye figur (til højre) er et kvadrat med samme side 

som hypotenusen; dermed er sætningen bevist. 

Opgave: Om frimærket fra kapitlets forside 

Vi måler længder på figurerne ved at sætte sidelængden på de helt små tern til 

1 (en). Den hvide trekant i midten er retvinklet. 

Hvor lang er hypotenusen? 

Svar: 

Hvad er hypotenusens kvadrat (som tal)? 

Svar: 

Hvad er den mindste katetes kvadrat? 

Svar: 

Hvad er den største katetes kvadrat? 

Svar: 

Hvad er måleenheden for arealerne? 

Svar: 

Passer Pythagoras sætning i dette tilfælde? 

Svar: 

Hvorfor? 

Svar: 

67

Opgave: Præciser argumentationen 

Der findes mange forskellige beviser for denne sætning. Her beviser vi den 

med geometriske argumenter; andre metoder benytter også algebraiske 

argumenter, det vil sige inddrager beregninger i argumentationen. Beviset 

gennemgås i et diasshow; det følger hovedideen som nævnt ovenfor, men er 

en mere detaljeret gennemgang. For at forstå beviset er det nødvendigt at 

besvare de spørgsmål, der kommer undervejs. 

Omvendt Pythagoras 

For enhver trekant gælder: 

at hvis kvadratet på en af siderne er lig med summen af de to andres kvadrater, 

så er det en retvinklet trekant. 

Eksempel 

Hent diasshowet: http://pc-p4.mimimi.dk/08/pythagoras/sakk.pps 

(fx. med Internet Explorer; højreklik og vælg 'fuld skærm'. Når 

du skal udskrive et dias, klik og udskriv normalt. 

Følg instruktionen på skærmen. 

Detaljen med at dreje trekanterne kan ses på hjemmesiden: http://pcp4.mimimi.dk/c/pythagorasBevis.html 

Bemærk, at ingen af begrundelserne har noget med den valgte 

trekant at gøre. Du kan faktisk ændre på størrelse og beliggenhed 

af ΔABC - og gentage alle argumenterne. 

Vi har en trekant med siderne 5, 12 og 13. 

Beregnes kvadraterne fås hhv. 25, 144 og 169. 

Det ses nemt, at 25 + 144 = 169 . 

Sætningen påstår så, at denne trekant er retvinklet. 

68

Opgave 

Bevis 

Det generelle bevis overlades til dig selv. 

Pythagoras i standardtrekanten 

Hvis v er en spids vinkel gælder 

cos 2 �v��sin 2 �v�=1 

Tegn en retvinklet trekant med kateter på 12 og 5 cm 

Beregn hypotenusens længde 

Begrund omhyggeligt, hvorfor din tegning har samme vinkler som 

trekanten i eksemplet med siderne 5, 12 og 13. 

Opgave 

De oplyste tal er de tre sidelængder i 5 trekanter: T, S, .... Sæt √ ud 

for de retvinklede. 

T: 16, 63, 65 

S: 12, 16, 20 

R: 20, 22, 29 

P: 97, 72, 65 

O: 65, 16, 63 

Hvis trekanten er retvinklet, har du et pythagoræisk talsæt. 

Bemærk betydningen af skrivemåden: cos 2 �v �=cos�v�⋅cos� v� 

Bevis 

Tegningen ved siden af er en tilfældig valgt 

standardtrekant. 

Kald den ene spidse vinkel v. 

Skriv sidernes længder på tegningen. 

Benyt Pythagoras sætning. 

69

Afstandsformlen 

Eksempel 

Opgaven er at beregne afstanden mellem P(-200;100) og Q(300;250) i det retvinklede 

koordinatsystem. 

Derfor dannes ΔPQR; R vælges med det ene punkts x-værdi og det andet punkts yværdi. 

Her har R koordinaterne (300;-100). PR er dermed parallel med x-aksen og QR 

med y-aksen. Trekanten er derfor retvinklet og Pythagoras sætning kan anvendes. 

Først beregnes længderne af kateterne: 

q = 300 - (-200) = 500 og 

p = 250 - (-100) =350 

Værdierne indsættes i: 

hyp 2 = k1 2 + k2 2 : 

hvorefter 

r 2 = 500 2 + 350 2 ⇔ 

r 2 = 372500 ⇔ 

r = 610,3 ⇔ 

r = 610 

Det ses at, uanset om man beregner længden af kateten eller den tilsvarende negative 

70

værdi, vil værdien af afstanden være den samme når tallene er indsat i formlen. 

Generelt fås sætningen: 

Hvis P(x1;y1) og Q(x2;y2) er 2 punkter i et retvinklet koordinatsystem, kan afstanden 

mellem dem beregnes som 

∣PQ∣=�� x 2 −x 1 � 2 �� y 2 − y 1 � 2 

Sætningen kan nemt generaliseres; i det 3-dimensionale rum fås helt tilsvarende: 

∣PQ∣=�� x 2 −x 1 � 2 �� y 2 − y 1 � 2 �� z 2 −z 1 � 2 

Sinus og cosinus igen 

Vi har tidligere defineret sinus- og cosinusfunktionerne ved hjælp af 

standardtrekanter. Definitionerne var gældende for alle spidse vinkler. 

Der er herunder tegnet et koordinatsystem og en enhedscirkel. A ligger i (0 ; 0), B er et 

punkt på enhedscirklen (kaldet retningspunktet) og C er et punkt på x-aksen med 

samme x-værdi som B. 

Link til figur: http://pc-p4.mimimi.dk/c/udvidetsinusdefinition 

Først bemærkes, at cos(A) = |AC| og at sin(A) = |CB| ifølge vor hidtidige definition, så 

længe B ligger i 1. kvadrant. Det vil sige, at koordinaterne til B(xB;yB) = (cos(A) ; sin(A)) 

sin(A) kunne derfor lige så godt være defineret som: 

sin(A) = yB , og tilsvarende for cos(A): 

cos(A) = xB . 

Hvis vi ændrer definitionen, får det ingen betydning for de hidtidige vinkler, men vi 

får nu mulighed for at finde sinus og cosinus til andre vinkler end hidtil. Ændringen af 

definitionen er en udvidelse; nu kan den anvendes på alle mulige vinkler: stumpe, rette, 

spidse osv. 

71

Definition af sinus og cosinus (ny) 

For en vilkårlig vinkel v vælges (0 ; 0) som vinkelspidsen. Det ene vinkelben er x-aksen, 

det andet er en linje drejet vinklen v mod uret fra x-aksen. 

For v > 0 er x-aksen vinklens højre ben, for v < 0 er x-aksen venstre ben. 

Principielt kan et hvilkensomhelst gradtal (blandt de reelle tal) anvendes. 

Der hvor det drejede ben skærer enhedscirklen findes retningspunktet B(xB;yB). 

Så defineres sin(A) = yB, og cos(A) = xB. 

Herunder findes en enhedscirkel med en række retningspunkter. 

Lav en tabel med overskrifterne: Navn, Positiv vinkel, Negativ vinkel, 

cos(v), sin(v). Ud over rækken med overskrifter skal der være 8 rækker: 

en for hvert punkt. Benyt vinkelmåler. 

Udfyld tabellen. 

Forklar: hvorfor har fx vinklerne 120° og -240° samme sinusværdi? er der 

flere vinkler med præcis denne sinusværdi? hvor mange? 

Tegn en række tilfældige trekanter og mål sider og vinkler så præcist som 

muligt (med lineal og vinkelmåler.) 

Kald den første trekant ABC. 

a 

Beregn brøkerne: 

sin � A� ; 

b 

sin � B� ; 

c 

sin�C � 

Beregn de tilsvarende brøker for dine andre trekanter. 

Kan du se et mønster? 

Sammenlign dine beregninger med din sidemands beregninger. 

Kan I formulere en regel? (En sætning.) 

Hvis JA: skriv den herunder: 

72

Sinusrelationerne 

I en vilkårlig ΔABC gælder: 

a b c 

= = 

sin � A� sin �B� sin �C � 

Bevis 

En vilkårlig ΔABC opdeles af en højde h i 2 retvinklede trekanter. I den brune 

retvinklede ΔACH er hypotenusen b; i forhold til vinkel A er h den modstående katete. 

Derfor gælder: 

h=b⋅sin� A� 

Tilsvarende fås for den guleΔBCH, at hypotenusen er a og i forhold til vinkel B er h 

igen den modstående katete. Derfor fås: 

h=a⋅sin � B� 

Da h er den samme i begge ligninger fås: 

b⋅sin � A�=a⋅sin � B� Divider begge sider med sin� A�⋅sin � B�. 

b⋅sin� A� a⋅sin �B� 

= ⇔ Forkort venstre side med sin � A�, 

sin � A�⋅sin � B� sin � A�⋅sin � B� 

b a 

= 

sin � B� sin � A� 

forkort højre side med sin � B�. 

På nøjagtig samme måde kan det vises ved at dele trekanten med højden fra B, at 

c a 

= 

sin �C � sin �A� 

Derfor er alle tre brøker lige store: 

a b c 

= = 

sin � A� sin � B� sin �C � 

hvilket skulle vises. 

73

I beviset ovenover har vi forudsat, at ΔABC kunne opdeles i to retvinklede trekanter. 

Det er ikke altid tilfældet - se figuren her. 

Men bevis så, at også her gælder: 

h=b⋅sin �A� 

Noter: hvor er den retvinklede 

trekant, hvor A er en spids 

vinkel og b er hypotenusen? 

h=a⋅sin �B� 

Bemærk, at sin(B) = sin(180°-B) 

Derfor er det uden betydning, om 

højden falder indenfor eller udenfor 

trekanten. 


For at anvende sinusrelationerne skal du kende en af brøkerne, dvs. både tæller og 

nævner. Sagt på en anden måde: du skal kende både en 

vinkel og den tilsvarende modstående side. Så skal du 

yderligere kende en side eller en vinkel mere. 

Er den 3. oplysning en vinkel, kan du nemt beregne den 

sidste vinkel og indsætte de kendte tal i formlen: der er 

altid præcist et svar for de manglende størrelser. 

Er den tredje oplysning en sidelængde, kan der opstå 3 

situationer: der er 1 løsning, 2 løsninger eller 0 løsninger. 17 

Hvordan kan det gå til? Se på figuren ovenover: her er vinkel A givet, c er givet og a 

er givet. De 2 første størrelser er vist på figuren. Forestil dig nu, at a er meget lille! 

hvad sker der så? eller a er meget stor! hvad sker der så? og endelig, at a har en 

mellemstørrelse. 

Find svarene ved at tegne cirkler på figuren. 

17 Når der skal findes vinkler, kan du skrive sinusrelationerne: 

sin �A� 

a 

� B� sin �C � 

=sin = 

b c 

Hvorfor er det også rigtigt? Hvorfor er det praktisk? 

74

Eksempel 

I ΔABC er ∠A= 75°; a = 5 og c = 4. Beregn manglende sider og vinkler. 

Svar 

Sinusrelationerne gælder i enhver trekant, derfor gælder: 

a c 

= 

sin� A� sin�C � 

Ved indsætning fås: 

eller 

sin �75� sin�C � 

= 

5 4 ⇔ 

sin �C �= 

4⋅sin �75� 

5 

C=sin −1 � 4⋅sin�75� 

5 

∠ C = 50,60° 

= 50,6° 

18 

⇔ 

� 

sin � A� �C � 

=sin 

a c 

Derefter kan ∠B beregnes med reglen om vinkelsummen i en trekant; 

∠Β 

= 180° 

− 50,6° 

− 75° = 54,4° 

Den sidste side fås ved at anvende sinusrelationerne igen: 

a b 

= 

sin � A� sin� B � 

Ved indsætning fås: 

5 

sin�75� = 

b 

sin �54,4� ⇔ 

5⋅sin�54,4� 

sin �75� =b 

b = 4,20 = 4,2 

18 Sinus-ligningen har normalt to løsninger mellem 0° og 180°; hvis v er løsning er 180°-v også 

en løsning. Dog skal det også gælde, at overfor den største side ligger den største vinkel. 

Men da a > c og ∠A= 75° < 180 – 50,6° = 129,4°, kan ∠C ikke være 129,4°. I tilfældet her er der 

kun én løsning. Det kan også nemt indses ved at konstruere trekanten. 

75

Trekantsberegninger med sinusrelationer 19 

Trekantens areal 

Arealet T for en vilkårlig trekant ABC kan beregnes som 

T = 1 

1 

1 

bc⋅sin� A�= a c⋅sin � B�= a b⋅sin�C � 

2 2 2 

Bevis 

I beviset for sinusrelationerne viste vi, at 

h c =b⋅sin � A�=a⋅sin� B � 

Vælges c som grundlinje og hc som højde gælder: 

T = 1 1 

h g= 

2 2 

I ΔABC er ∠B= 68° og ∠C = 59°; c = 5. Beregn de manglende sider og 

vinkler. 

I ΔABC er ∠Β= 68° og b = 8 og c = 10. Beregn de manglende sider og 

vinkler. 

Tegn en vilkårlig trekant og mål 3 af størrelserne – heraf 1 eller 2 sider og 

mindst en vinkel overfor en kendt side. Beregn de manglende størrelser. 

Kontroller, at de beregnede mål stemmer overens med tegningen. 

1 

b⋅sin �A�⋅c= b c⋅sin � A� 

2 

T = 1 

1 

h g =1 a⋅sin �B�⋅c= a c⋅sin �B� 

2 2 2 

Den tredje sætning fås tilsvarende ved at benytte en af de andre højder. 

Cosinusrelationerne 

I en vilkårlig trekant gælder det, at 

a 2 =b 2 �c 2 −2⋅b⋅c⋅cos� A� 

b 2 =a 2 �c 2 −2⋅a⋅c⋅cos� B� 

c 2 =a 2 �b 2 −2⋅a⋅b⋅cos�C � 

og 

Huskeregel: Sætningen kaldes også "udvidet Pythagoras". Den ligner den alm. 

sætning, men der er til sidst et "rettelsesled" med alle 3 bogstaver. Vinklen skal svare til 

siden på venstresiden af ligninen. 

19 Lav nøjagtige tegninger, hvor mål kan kontrolleres. 

76

Bevis 20 

1.1 c=z�w 

1.2 c 2 = z 2 �w 2 �2⋅z⋅w 

1.3 z=b⋅cos� A� 

1.4 h 2 =b 2 −z 2 

1.5 

og h 2 =a 2 −w 2 

a 2 −w 2 =b 2 −z 2 ⇔ 

a 2 =b 2 −z 2 �w 2 ⇔ 

a 2 =b 2 �c 2 −z 2 �w 2 −c 2 

1.6 

a 2 =b 2 �c 2 −z 2 �w 2 −z 2 −w 2 −2⋅w⋅z ⇔ 

a 2 =b 2 �c 2 −2⋅z 2 −2⋅w⋅z ⇔ 

a 2 =b 2 �c 2 −2⋅z� z�w � 

1.7 a2 =b 2 �c 2 −2⋅b⋅cos� A�⋅c ⇔ 

a 2 =b 2 �c 2 −2⋅b⋅c⋅cos� A� 

c deles ad H i linjestykkerne z og w 

fås af 1.1 

som fås af sætningen om den 

hosliggende katete anvendt på den 

venstre (blå) retvinklede trekant 

som fås af Pythagoras sætning 

anvendt på den blå og den røde 

trekant 

som følger af 1.4 

som følger af 1.5 idet 1.2 benyttes 

som følger af 1.1 og 1.3 

20 Det forudsættes stiltiende, at c kan deles i to linjestykker af punktet H (som er fodpunktet for 

højden.) Selvom det ikke er tilfældet kan sætningen også bevises, men det gøres ikke her. 

77 

QED

Gennemfør nu beviset i det tilfælde, at H ligger på linjestykket AB's 

forlængelse. 

Er sætningen også rigtig, hvis A (eller B) og H falder sammen? 

Hvad ville en af sætningerne hedde i trekant TUV? 

Cosinusrelationerne anvendes typisk til 

● at finde den tredje side når du kender den modstående vinkel og de to andre sider 

● at finde vinkler i en trekant med tre kendte sider 

Find vinklerne i en trekant med siderne 4,2; 6,0 og 5,8. 

Find den tredje side i en trekant, hvor den modstående vinkel er 116° og 

de to kendte sider har længderne 31 og 45. 

Renskriv den fulde løsning til den sidste opgave herunder. 

78

Egne geometriopgaver for par eller grupper II 

Alle gruppens medlemmer laver opgaver til hinanden vha. hjemmesiden pcp4.mimimi.dk/c/trekantsmaal 

På hjemmesiden trækker opgavestilleren punkterne A, B og C til en 

tilfældigt valgt position og udskriver siden i et passende antal 

eksemplarer. 

For de sider, der skal udleveres, skjuler du først algebravinduet: 

Menuen: Vis / Algebra vindue 

Til gengæld noterer opgavestilleren 3 af oplysningerne (om sider, højder 

eller vinkler eller arealer eller andre størrelser) fra sin egen kopi på de 

sider der udleveres til de andre. Benyt alle decimaler. 

Skriv spørgsmålstegn på tegningen for de størrelser, der ønskes beregnet. 

Beregninger foretages på løse ark. Svar skal gives med samme antal 

decimaler som de oplyste størrelser. 

For ikke at lave unøjagtige beregninger pgra. afrunding af mellemfacit er det en god 

vane 

1. At udskyde brug af lommeregner indtil du kan finde det ønskede direkte 

uden at skulle genindtaste mellemfacitter. 

2. Hvis du skal bruge et tidligere beregnet resultat, bruger du ikke det 

nedskrevne resultat, men ét, du har gemt i lommeregnerens hukommelse. 

T er arealet, ∠ A = α, ∠ B = β og ∠ C = γ. δ = ½ β. 

79

Litteratur 

Bjørn Grøn: Fra græsk geometri til moderne algebra () 

Jessen, Møller og Mørk: Matematik - tanke, sprog og redskab,(hhv. HFfællesfag 

og HF-tilvalg), Gyldendal, 1991 og 1992 

D. E. Joyce: Euclid, Clark University 

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/Euclid.html 

Eli Maor: Trigonometric Delights,Princeton University Press 

http://press.princeton.edu/books/maor/sidebar_b.pdf (om Plimpton 322, 

vinkelmåling og tabeller...) 

Georg Mohr: Euclides Danicus, Amsterdam 1672 

(se http://da.wikipedia.org) 

http://www.geomat.dk/landmaaling/kildetekster/pdf/ Triangulering.pdf 

http://mathforum.org/isaac/problems/pi2.html 

(Om jagten på π) 

http://en.wikipedia.org/wiki/Flat_Earth 

http://www.geomat.dk/landmaaling/kildetekster/pdf/Triangulering.pdf 

(Især om Det Kongelige Videnskabernes Selskab´s opmåling fra 1760érne og de næste 

mange år ved Bugge). 

http://www-istp.gsfc.nasa.gov/stargaze/Shipprc2.htm 

(Om afstanden til månen) 

81

Stikordsregister 

Afstand til sol og måne I.........................................................................................................39 

Afstand til sol og måne II ......................................................................................................40 

Afstand til sol og måne II (Aristarchos)................................................................................40 

Afstanden til månen................................................................................................................41 

Afstandsformlen......................................................................................................................70 

Aksiomerne..............................................................................................................................33 

almindelige begreber...............................................................................................................33 

Aristarchos...............................................................................................................................40 

basislinjen.................................................................................................................................48 

Baggrundsviden.......................................................................................................................26 

begyndelsespunkt....................................................................................................................51 

Bevis..........................................................................................................................................73 

Beviser.......................................................................................................................................26 

beviset.......................................................................................................................................26 

Bugge........................................................................................................................................48 

Bugge, Thomas.........................................................................................................................48 

cirkel..........................................................................................................................................17 

cirkelperiferien...................................................................................................................17, 51 

cirklens centrum......................................................................................................................17 

cos..............................................................................................................................................52 

cosinus.................................................................................................................................52, 71 

Cosinusrelationerne................................................................................................................76 

Cosinusrelationerne: ..............................................................................................................47 

D. E. Joyce.................................................................................................................................34 

Definitioner..............................................................................................................................26 

Det Kongelige Videnskabernes Selskab´s opmåling...........................................................81 

Eksempel..................................................................................................................................27 

Elementerne.............................................................................................................................12 

enhedscirkel.............................................................................................................................51 

ensvinklede..............................................................................................................................24 

Erasmus Montanus..................................................................................................................37 

Eratosthenes.............................................................................................................................38 

Euclides Danicus......................................................................................................................20 

Euklid..................................................................................................................................12, 31 

falsificeret.................................................................................................................................26 

Firkanter...................................................................................................................................19 

første-aksen..............................................................................................................................51 

Geodætisk Institut...................................................................................................................49 

82

geometri....................................................................................................................................11 

Georg Mohr..............................................................................................................................20 

grader........................................................................................................................................14 

Grøn..........................................................................................................................................81 

Grøn, Bjørn...............................................................................................................................81 

H. Menge..................................................................................................................................34 

Holberg.....................................................................................................................................37 

hosliggende katete...................................................................................................................51 

hypotenusen.............................................................................................................................51 

højd............................................................................................................................................15 

højder........................................................................................................................................15 

højre vinkelben........................................................................................................................14 

J. L. Heiberg..............................................................................................................................34 

Johannes Mejer.........................................................................................................................48 

Jordens omkreds......................................................................................................................38 

kateterne...................................................................................................................................51 

Konstruktioner.........................................................................................................................20 

koordinatsystem......................................................................................................................51 

Korttegning..............................................................................................................................47 

kryptologi.................................................................................................................................11 

kvadrant....................................................................................................................................51 

kvadrat......................................................................................................................................19 

ligebenede.................................................................................................................................16 

ligedannede..............................................................................................................................25 

Ligesidede................................................................................................................................16 

længde.......................................................................................................................................13 

Maor..........................................................................................................................................81 

Maor, Eli...................................................................................................................................81 

matematisk model, besvarelse...............................................................................................60 

medianer...................................................................................................................................15 

midtnormaler...........................................................................................................................16 

Model for skriftlige besvarelser.............................................................................................28 

modstående katete...................................................................................................................51 

Målebordsblade.......................................................................................................................49 

oversigt.....................................................................................................................................47 

oversigt, trekantsberegninger................................................................................................47 

Oversigter.................................................................................................................................27 

Parallelle linjer.........................................................................................................................19 

parallelle linjer.........................................................................................................................19 

plan............................................................................................................................................13 

polygon.....................................................................................................................................47 

83

postulater..................................................................................................................................33 

proportionale sider..................................................................................................................24 

Ptolemæus................................................................................................................................48 

Pythagoras....................................................................................................................12, 65, 68 

Pythagoras og andre sætninger.............................................................................................63 

Pythagoras sætning...........................................................................................................58, 66 

Pythagoras sætning, bevis......................................................................................................66 

Pythagoras, omvendt..............................................................................................................68 

radianer.....................................................................................................................................14 

radius........................................................................................................................................17 

rektangel...................................................................................................................................19 

rette............................................................................................................................................14 

retvinklede................................................................................................................................16 

rombe........................................................................................................................................19 

sin..............................................................................................................................................52 

Sinus..........................................................................................................................................71 

sinus..........................................................................................................................................52 

Sinusrelationerne.....................................................................................................................73 

skalafaktor................................................................................................................................24 

spidse vinkler...........................................................................................................................14 

spidsvinklede...........................................................................................................................16 

standardtrekant.......................................................................................................................51 

Standardtrekanter....................................................................................................................51 

stumpe......................................................................................................................................14 

stumpvinklede.........................................................................................................................16 

Sætninger..................................................................................................................................26 

tan..............................................................................................................................................57 

tangens......................................................................................................................................57 

Thyra Eibe................................................................................................................................34 

trapez........................................................................................................................................19 

trekantens hjørner....................................................................................................................13 

trekantens sider........................................................................................................................13 

trekant.......................................................................................................................................13 

Trekantens areal.......................................................................................................................76 

Triangulering...........................................................................................................................48 

Trigonometri......................................................................................................................45, 47 

venstre ben...............................................................................................................................14 

Verdensbilledet og Astronomiske beregninger...................................................................37 

vinkel.........................................................................................................................................14 

vinkelhalveringslinjer.............................................................................................................15 

vinkelspidsen...........................................................................................................................14 

84

vinkelspidser............................................................................................................................13 

vinklens ben.............................................................................................................................14 

x-aksen......................................................................................................................................51 

...................................................................................................................................................69 

.............................................................................................................................................40, 44 

π.................................................................................................................................................11 

85

Geometri - Links

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?