Integralregning - matematikfysik

matematikfysik.dk

Integralregning - matematikfysik

18 © Erik Vestergaard – www.matematikfysik.dk4. Anvendelser af integralregningHvis man kigger i matematikbøger, der bliver anvendt i studier såsom matematik, fysik,kemi, ingeniørvidenskab og økonomi, vil man ofte se den fyldt med integraltegn. Ja selvi biologi støder man på integralregning. Det skyldes at disciplinen integralregning er såkraftigt et værktøj, at det finder anvendelse i så mange sammenhænge. Vi skal kigge pået par anvendelser i dette afsnit. Men først skal vi lige indføre begrebet middelsum.Definition 21 (Middelsum)Lad f være en funktion, som er kontinuert på det lukkede interval [ a, b ]. Lad endvideredette interval være inddelt i n lige store delintervaller, som dermed hver haren bredde på ∆ x = ( b − a)n . Lad x1være et vilkårligt punkt i det første delinterval,x et vilkårligt punkt i det andet delinterval, etc. Da kaldes summen2n∑ i1 2…i=1f ( x ) ⋅ ∆ x = f ( x ) ⋅ ∆ x + f ( x ) ⋅ ∆ x + + f ( x ) ⋅ ∆xfor en middelsum for funktionen f på intervallet [ a, b ].nLad os prøve at få en fornemmelse for situationen i tilfældet med en kontinuert, ikkenegativfunktion. Vi tegner grafen for f og tegner desuden en række rektangler: Det førsterektangel går i x-aksens retning fra venstre endepunkt til højre endepunkt af det førstedelinterval og tegnes med en højde på f ( x1)op fra x-aksen. Rektanglet har dermedet areal på f ( x1)⋅ ∆ x . I det næste delinterval gentages proceduren: Det andet rektangelgår i x-aksens retning fra venstre til højre endepunkt af det andet delinterval og tegnesmed en højde på f ( x2). Dette rektangel har dermed arealet f ( x2)⋅ ∆ x . Man fortsætterindtil man har været igennem alle delintervallerne. Situationen ses på figuren herunder.yf ( x)f ( x 1)f ( x 2)xax 1 x 2x xbDet er indlysende, at middelsummen for funktionen i dette tilfælde er lig med summenaf arealerne af rektanglerne. Det er heller ikke overraskende, at når bredden af delintervallernegår mod 0, så vil summen af arealerne af rektanglerne nærme sig til arealet

More magazines by this user
Similar magazines