Integralregning - matematikfysik

matematikfysik.dk

Integralregning - matematikfysik

26 © Erik Vestergaard – www.matematikfysik.dkEksempel 26 (Rumfang af kugle)Et smukt eksempel på brug af formel 23 fås ved at dreje en halvcirkel 360° omkring x-aksen. Den derved fremkomne punktmængde er en kugle! Vi ved at ligningen for en cirkelmed radius r og centrum i (0,0) er x + y = r . Hvis vi isolerer y i denne ligning,2 2 22 2får vi y = r − x , hvor vi kun vælger den positive del.43r∫−rr−rr−r( ( ))V = π ⋅ f x dx∫22 2( )= π ⋅ r − x dx∫2 2= π ⋅ r − x dx2 3 2 33r3r= π ⋅ ⋅ − ( −π ⋅ ⋅ )322 1 3r⎤3 ⎦−r= π ⋅ ⎡⎣r ⋅ x − ⋅ x= ⋅ π ⋅ rryrf ( x)xr2Husk her, at r er en konstant, hvorfor dens stamfunktion er rformlen for kuglens rumfang, som vi så ofte før har benyttet!2⋅ x. Vi har dermed bevist□Eksempel 27 (Rumfang af kegle)1En velkendt formel for en kegles rumfang er V =3⋅ h ⋅ A, hvor h er keglens højde og A2er keglens grundfladeareal. Hvis r er radius i grundcirklen, så er A = π ⋅ r . Dermed skal2vi vise, at1V = 3⋅ h ⋅ π ⋅ r . Det er heldigvis let at vise, for en kegle er et omdrejningslegeme,som fås ved at dreje en ret linje omkring x-aksen. Som det fremgår af figurennedenfor, er forskriften for den lineære funktion f ( x)= r h ⋅ x (bemærk, at linjen gårigennem punkterne (0,0) og ( h, r ) ). Det giver følgende:h2 ⎛ r ⎞V = π ⋅ ∫ ( f ( x)) dx = π ⋅∫⎜ ⋅ x ⎟ dx0 0⎝ h ⎠h 2 2 hr 2 r 2= π ⋅∫ ⋅ x dx = π ⋅ ⋅ x dx2 2hh∫0 02 2π ⋅ r1 3h π ⋅ r1 3= ⋅ ⎡2 3x ⎤0 2 3hh ⎣⋅⎦= ⋅ ⋅h1 2= 3⋅ h ⋅ π ⋅ rh2yhrf ( x) = x hrxhvorved det ønskede er vist.□

More magazines by this user
Similar magazines