05.04.2021 Views

# Matematik for alle - læseprøve

### Create successful ePaper yourself

Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.

PERNILLE PIND

MATEMATIK

FOR ALLE

Håndbog i matematikundervisning

FORLAGET PIND OG BJERRE

Indhold

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

Forord.......................................................7

Hvorfor undervise i matematik?.......9

At undervise i matematik.................21

Naturlige tal..........................................51

Negative tal.......................................... 63

Decimaltal.............................................71

Brøker.....................................................81

Potenser og rødder............................91

Subtraktion........................................ 113

Multiplikation.................................... 125

Division............................................... 141

Procent................................................ 157

Regneregler.......................................169

Ligninger............................................. 179

Funktioner..........................................203

Økonomi............................................ 219

Former.................................................231

Mål ......................................................245

Pythagoras' sætning.......................265

Tegning................................................ 275

Mønstre...............................................285

Statistik............................................... 297

Sandsynlighed.................................. 313

Aktiviteter...........................................327

Ordlister..............................................359

Stikordsregister.................................367

9 Subtraktion

Introduktion

Subtraktion er, sammen med division, de to sværeste regningsarter for

de fleste elever. Begge er beregningsmæssigt sværere end addition. Begge

subtraktion og division indbygget en dobbelthed i den måde, de skal forstås

på.

For eksempel kan 8 – 3 både opfattes som at tage 3 væk fra 8 og som forskellen

mellem 3 og 8. Og 8 : 2 kan både opfattes som, at 8 deles i 2 lige store

portioner, og som hvor mange gange man kan tage grupper på 2 ud af 8.

Subtraktion kommer til udtryk på mange, væsentlig forskellige måder

i sproget, og derfor kan det være vanskeligt at vide, hvornår subtraktion er

den rigtige regneoperation.

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne

• lærer at splitte små tal op, for eksempel at 8 = 5 + 3 og 10 = 7 + 3

• lærer at bruge ovenstående opsplitninger til de tilhørende minusstykker,

for eksempel at 10 – 7 = 3 og 8 – 3 = 5

• lærer de to forskellige forståelser af subtraktion

• lærer at bygge ovenpå ovenstående til regnemetoder for subtraktion

af andre tal, herunder større tal og decimaltal

• lærer at genkende mange forskellige situationer, hvor et tal skal

trækkes fra et andet

• lærer at håndtere en lommeregner til subtraktion.

Omstændigheder

Sprog

De fleste børn har ikke klare begreber til at håndtere subtraktion, før de

kommer i skole. Når noget er blevet væk, er det interessante ofte ikke det,

Subtraktion // Matematik for alle 113

der er tilbage, men det, der er blevet væk. Forskelsbegrebet har mange børn

dog et forhold til, for eksempel ved de, når de har mindre end andre.

Arbejdet med subtraktion baseres på førfaglige begreber om blandt

andet at tage væk, tilbage, forskel, sammenligning og opfyldning.

Tekstopgaver

Subtraktion viser sig i mange forskellige situationer, både i tekstopgaver og

i den virkelige verden. Nedenfor gennemgås de mest almindelige typer af

situationer for subtraktion. Alle er udtryk for regnestykket 8 – 3.

Reduktion

Reduktion af det, man har.

Per har 8 æbler, men spiser 3.

Hvor mange æbler har Per så?

Forskel efterspørges

Sammenligning, hvor forskellen efterspørges.

Per har 8 æbler, og Eva har 3 æbler.

Hvor mange færre har Eva?

Hvor mange flere har Per?

Hvor mange er der til forskel?

Forskel givet

Sammenligning, hvor forskellen er givet.

Per har 8 æbler. Eva har 3 æbler færre end Per.

Hvor mange æbler har Eva?

Opdeling

Forskellige ting fra et overbegreb fordeles i deres underbegreber.

I en kurv er der 8 stykker frugt, både æbler og pærer. I kurven er

der 3 æbler.

Hvor mange pærer er der?

Opfyldning

Man har noget og har et mål for, hvad man ønsker i alt.

114 Matematik for alle // Subtraktion

Eva har 3 æbler.

Hvor mange flere æbler skal hun have, før hun har 8 æbler?

Mange elever tæller op fra 3 til 8 og opfatter det dermed som addition.

Mangel

Man har et mål for, hvad man ønsker i alt, og et antal, som man allerede har.

Eva vil gerne have 8 æbler, men hun har kun 3.

Hvor mange æbler mangler Eva?

Næsten det samme som opfyldning, men de fleste elever tænker her på det

som en subtraktion, fordi det største tal gives først, og ord som for eksempel

“mangler” signalerer subtraktion.

Efter en forøgelse

En slags ligning. Der er lagt et tal til det efterspurgte tal, og det er givet,

Per har lige fået 3 æbler og har nu 8 æbler.

Hvor mange æbler havde Per til at begynde med?

Mange elever vil fejlagtigt opfatte det som et additionsstykke, da ord som

Mange lærebøger introducerer subtraktionsbegrebet via reduktion, og denne

opfattelse kan risikere at blive den eneste situation, eleverne kan genkende.

Det bør undgås, da der er mange flere subtraktionssituationer end

reduktion. De forskellige sammenligningssituationer er hyppigere, både i

virkelighedens verden og i tekstopgaverne i de ældre klasser. Desuden er

det ærgerligt ikke at bygge videre på forskelsbegrebet, som mange elever

har et forhold til fra andre sammenhænge.

Indre billeder

Subtraktion forstås både som forskel og reduktion. Reduktion er, når noget

tages væk, forskel er, når tallene sammenlignes.

Mange børn forestiller sig, at subtraktion udelukkende handler om

noget, der forsvinder. Dette kan være en endog meget rigid forestilling, der

gør, at kun de subtraktionssituationer, der handler om reduktion, genkendes

som subtraktion.

Subtraktion // Matematik for alle 115

8 – 3 som forskel

Der er 5 enheder mellem 3 og 8.

0

1

2

3

4 5 6 7

8

8 – 3 som at tage væk

Der er taget 3 enheder fra 8, der

er 5 tilbage.

0

1

2

3

4 5 6 7

8

Skolen

Indskolingen

Subtraktion er for mange det første møde med vanskeligheder i matematik.

Hvor addition føles naturligt for de fleste, og hvor fingrene helt naturligt

tages til hjælp, føles subtraktion for nogle mere naturstridig, og der er også

flere, der ikke ved, hvordan fingrene kan hjælpe ved subtraktion.

I indskolingen skal eleverne lære at genkende og udføre subtraktion i

konkrete mundtlige situationer (regnehistorier), og de skal lære at udføre

subtraktion i symbolregnestykker. Det er også vigtigt at arbejde med sammenhængen

mellem de to repræsentationer, da eleverne med tiden skal

lære at oversætte mellem dem.

Eleverne skal i indskolingen lære begge forståelser af subtraktion, både

som reduktion (tage væk) og som forskel.

Eleverne skal lære sammenhængen mellem addition og subtraktion,

og de skal lære, hvordan det at splitte tal op kan bruges til at finde de tilhørende

minusstykker.

Da 8 = 5 + 3, er 8 – 5 = 3 og 8 – 3 = 5.

I alt arbejde med subtraktion i indskolingen er det naturligt, at eleverne

støtter sig til konkrete materialer. Det kan være udmærket, men hjælp dem

til at opleve fordelene ved andre hjælpemidler som skriftlige notater og

lommeregner.

Mellemtrinnet

På mellemtrinnet skal eleverne lære at bruge en og gerne flere forskellige

regnemetoder til subtraktion af vilkårlige tal. Elevernes brug af regnemetoder

skal baseres på deres talforståelse og regnestrategier fra regning med

små tal.

116 Matematik for alle // Subtraktion

Eleverne skal på mellemtrinnet arbejde både med skriftlig notatregning,

hovedregning, overslagsregning og regning med digitale hjælpemidler.

Det er stadig vigtigt at arbejde med både den mundtlige repræsentation

af subtraktionsstykker (som i regnehistorier) og med den skriftlige symbolrepræsentation

af subtraktionsstykkerne. På mellemtrinnet føjes endnu

en repræsentation til, nemlig den skriftlige tekstopgave. På mellemtrinnet

skal man i højere grad end i indskolingen lægge vægt på, at eleverne lærer

at oversætte mellem repræsentationerne, i særlig grad skal der lægges vægt

på, at eleverne lærer at oversætte en tekstopgave til et regnestykke.

På mellemtrinnet skal eleverne lære at bruge de fire regningsarter

i sammenhæng, for eksempel 240 – 20 · 3 + 200. De skal blive bevidste

om de regler og sammenhænge, som mange af eleverne allerede ubevidst

bruger, nemlig at subtraktion ikke er kommutativ, og at addition og

subtraktion er hinandens omvendte. Vedrørende regningsarternes hierarki

skal eleverne lære, at multiplikation og division udregnes før addition og

subtraktion.

Udskolingen

Ligesom ved addition er det vigtigt ikke at glemme hovedregningen og de

mundtlige regnehistorier i udskolingen.

På dette trin skal eleverne også møde subtraktion af bogstaver, for

eksempel 4x – x. Slet ikke alle elever vil komme til at arbejde med sådanne

udtryk, og det er tilstrækkeligt, hvis de kan anvende dem konkret og

indsætte tal for bogstaverne. Men nogle elever vil kunne regne med bogstaverne

og omforme udtryk med bogstaver til andre udtryk, for eksempel

omforme 4x – x til 3x.

Fagligt

Regneoperationen at trække et tal fra et andet kaldes subtraktion, symbolet –

kaldes minus. 8 – 3 læses “otte minus tre”, og man siger, at “man subtraherer

3 fra 8”, eller “man trækker 3 fra 8”. Det er ikke bredt accepteret at sige

“man minusser 3 fra 8”, men det er dog forståeligt. I hverdagssproget udtrykkes

subtraktion ofte ved en forskel (differens) mellem to tal.

Addition og subtraktion er hinandens omvendte, for eksempel er

100 – 25 + 25 = 100, og x + 3 = 15 kan løses ved at beregne 15 – 3.

Subtraktion er ikke kommutativ, 3 – 2 er forskellig fra 2 – 3.

Subtraktion // Matematik for alle 117

Subtraktion hænger sammen med division opfattet som måling, hvor

man måler, hvor mange gange et givet tal kan være i et andet tal, man

kan sige, at måling er gentaget subtraktion. For eksempel er 8 : 2 = 4, da

8 – 2 – 2 – 2 – 2 = 0.

I regningsarternes hierarki er addition sammen med subtraktion nederst,

det vil sige alle andre regneoperationer i et regnestykke udregnes før

Når man trækker et mindre tal fra et større, får man et positivt resultat.

Når man trækker et større tal fra et mindre, får man et negativt resultat. I

hånden udregnes dette, ved at man udregner det modsatte regnestykke og

tilføjer et minus til resultatet.

Den klassiske algoritme, lodret opstilling, anbefales ikke som en regnemetode,

som eleverne skal bruge, da den er ufleksibel, svær at forstå, svær

at huske og umulig at bruge til overslagsregning. Eleverne kan i slutningen

af skoleforløbet have glæde af at blive præsenteret for den klassiske algoritme,

da den er klassisk og illustrerer en smuk optimering af, hvordan man

effektivt kan regne i hånden, hvilket tidligere var vigtigt.

Det gennemgående regneeksempel nedenfor er 904 – 849. Med regnestrategier,

uden at bruge en regnemetode, kan man for eksempel regne

“900 – 850, det er 50, og så havde vi egentlig 4 mere, det er 54, og så trak vi

1 for meget fra, det giver 55.”

Nedenfor gennemgås forskellige regnemetoder med regnestykket, altså

forskellige måder at regne på, hvis ens regnestrategier ikke slår til.

Fylde op

Fylde op kaldes også kassedamemetoden. Som en kassedame før i tiden gav

tilbage, starter man fra det mindste beløb og fylder op, indtil man når det

største beløb.

Regnestykket 904 – 849 kan se således ud med fylde op.

En meget naturlig måde at holde regnskab på i denne metode er at

anvende den tomme tallinje.

849 850

900 904

1

50 4

55

Udregningen går således:

“Fra 849 er det nemt at fylde op til 850, det er 1.

Fra 850 til 900, det er 50.

Fra 900 til 904, det er 4.

118 Matematik for alle // Subtraktion

Så lægger vi sammen, det er 1 + 50 + 4 = 55.”

Man kan også anvende denne skrivemåde:

904 – 849 = 55

4 50 1

55

Og med lidt øvelse kan udregningen komme til at se således ud:

904 – 849 = 1 + 50 + 4 = 55

Man fremmer arbejdet med fylde op ved at tale med eleverne om, hvilke tal

det er godt at fylde op til (det er typisk tal i 10-tabellen), og hvilke hop der

kan være nemme.

Som overslagsregning kunne denne metode gå således:

“Regnestykket er tæt på 900 – 850. Fra 850 op til 900 er der 50.”

Fordelene ved metoden er, at den baserer sig på addition, som er den nemmeste

regningsart for de fleste. Man kan tage de enkelte trin så store eller

små, som man kan overskue, og eleverne regner med tal og ikke kun med

cifre.

I lidt ad gangen splittes tallet til højre op i passende portioner, og man fjerner

lidt ad gangen fra tallet til venstre.

Der holdes regnskab, ved at hver linje repræsenterer hele regnestykket.

Det er vigtigt at sørge for at holde subtrahenden fra minuenden. Det er

centralt, fordi subtraktion ikke er kommutativ. Man kan undervejs strege

de tal ud, som man har brugt.

Regnestykket 904 – 849 kan se således ud

904 – 849

904 800 40 5 4

1 00 40 5

Udregningen går således:

“Fra 849 splittes op i 800 og 40 og 5 og 4.

Jeg vælger at splitte 9 op i 5 og 4, da jeg

kan se et 4-tal i 904, som jeg gerne vil af

med.

60

55

5

Fra 904 kan jeg nu relativt nemt fjerne 800 og 4. Så er der 100 tilbage

af venstre tal og 40 og 5 tilbage af højre tal.

Subtraktion // Matematik for alle 119

Så fjerner jeg 40 fra de 100. Og nu er der 60 tilbage af venstre tal

og 5 tilbage af højre tal.

De sidste 5 fjernes, resultatet er 55.”

Og med lidt øvelse kan udregningen komme til at se

således ud:

904 – 849

1 00 45

55

En variant af denne metode er at tænke i, at man fjerner lige meget

fra begge tal, indtil højre tal er væk.

Denne variant kaldes også rullegardinmetoden.

Udregningen går således:

“Først fjernes 800 fra begge tal. Det giver tallene

104 og 49. Så kan man tage 4 væk, det giver 100

og 45. 40 væk fra begge tal giver 60 og 5. Og til

sidst tages 5 væk. Tallet til højre er nu 0, og tallet

til venstre er resultatet: 55.”

904 – 849

104 49

100 45

60 5

55 0

Med lidt øvelse kan denne udregning forkortes ligesom ovenfor.

Som overslagsregning kunne denne metode gå således:

“Regnestykket er tæt på 900 – 850. Vi splitter op og fjerner først

800 fra begge tal, så er det 100 minus 50, det giver 50.”

For de fleste elever kan det være en god introduktion til at bruge denne

metode, at de starter med at splitte tallet til højre op i hundreder, tiere og

enere. Derefter kan de splitte yderligere op, afhængigt af hvad der ser ud til

at virke bedst i forhold til tallet til venstre.

Fordelene ved denne metode er, at eleverne kan fjerne i de mængder

og det tempo, der passer dem bedst selv, og at eleverne som i fylde op regner

med tal og ikke kun med cifre.

En klassisk algoritme: lodret opstilling

I den lodrette opstilling udnytter man i høj grad positionssystemet. Man

trækker et tal fra et andet tal ciffer for ciffer, startende fra højre mod venstre,

og når det ikke går (altså giver et negativt tal), udnytter man, at cifferet

til venstre er ti gange så stort, og tager dette med ind i beregningen.

120 Matematik for alle // Subtraktion

Når næste ciffer på denne måde inddrages i beregningen, kaldes dette,

at “man veksler en tier” eller at “man låner en tier”.

Da metoden baserer sig på positionerne, er det hensigtsmæssigt med

den lodrette opstilling, hvor man skriver cifre i samme position under hinanden.

Tallene skrives altså, så de står under hinanden og flugter i højre

side, når der er tale om hele tal, og med komma over komma, når der er

tale om decimaltal.

635 – 238 ser således ud udregnet med den lodrette opstilling:

10 10

/6 /3 5

−238

397

Et ciffer med streg over betyder, at cifferet er blevet én mindre, fordi

der er vekslet én af disse til 10 af den mindre potens. Den vekslede

tier skrives ovenover cifferet til højre for. Den vekslede tier lægges

til øverste ciffer, hvorefter det nederste ciffer nu kan trækkes fra.

Udregningen går således:

“5 minus 8, det kan man ikke. Veksl 10.

15 minus 8 er 7.

2 (som er 3 – 1) minus 3. Det kan man ikke. Veksl 10.

12 minus 3 er 9.

5 (som er 6 – 1) minus 2, det er 3.”

Når man ser på, hvorfor den lodrette opstilling virker, er udregningerne

følgende:

Vi ser først på enerne og venter med at se på resten.

5 – 8 er et negativt tal, så vi må veksle 10.

10 + 5 – 8 = 7.

Første del af resultatet er på plads.

Vi ser derefter på tierne.

(30 – de vekslede 10) – 30 giver et negativt tal, så vi må veksle 100.

100 + (30 – 10) – 30 = 90.

Anden del af resultatet er nu på plads.

Til slut ser vi på hundrederne.

(600 – de vekslede 100) – 200 = 300.

Tredje del af resultatet er nu på plads.

Denne algoritme støtter ikke overslagsregning.

Subtraktion // Matematik for alle 121

Almindelige fejl

Elever, der kun kender reduktionssituationer, kan udvikle en dobbelt tællestrategi,

hvor eleven prøver at tælle ned i talrækken, samtidig med at de

tæller op, hvor langt de er nået i nedtællingen. For eksempel udføres 19 – 5

som “18, det er 1 væk, 17, det er 2 væk, 16, det er 3 væk, 15, det er 4 væk,

14, det er 5 væk”. Den strategi er både besværlig og risikabel, da der let kan

opstå tællefejl i den ene eller den anden retning.

Når elever bruger tallinjen som konkret materiale ved subtraktion,

optræder den samme fejl som ved addition: De tæller streger og ikke mellemrum.

Ved fylde op og lidt ad gangen er de almindeligste fejl, at der ikke splittes

korrekt op. Det kan både være forkert i forhold til 10-talssystemet og

bare forkert.

Eleverne kan også blive forvirrede undervejs og pludselig lægge sammen

i stedet for at trække fra eller trække det forkerte fra det forkerte.

849 850

900 904

1

50 4

45

1 og 4 trækkes fra 50 i stedet for at blive lagt til.

​9 splittes fejlagtigt op i 4 og 4.

904 – 849

904 800 40 4 4

1 00 40 4

60 4

56

​849 splittes fejlagtigt op i 800 og 4 og 9, altså

cifferet 4 og ikke det korrekt tal 40.

904 – 849

904 800 4 9

1 00 9

En af de almindeligste fejl ved subtraktionsudregninger i den lodrette opstilling

er, at eleverne trækker det mindste ciffer fra det største – uanset

hvilket ciffer der står øverst.

9 1

122 Matematik for alle // Subtraktion

635

−23 8

403

En anden fejl er, at eleven opfinder den manglende tier og ikke trækker den

fra det næste ciffer, og altså slet ikke veksler.

10

6 3 5

−23 8

407 ​

Særlig når man skal veksle hen over nogle nuller, opfinder elever en manglende

tier.

10 10

/605

−1 79

436 ​

Den korrekte metode er først at veksle en hundreder og derefter veksle en

tier herfra.

1/0 10

/605

−1 79

426 ​

Bemærk stregen over den vekslede tier, som illustrerer, at vi ikke

kunne veksle fra 0-et, men skulle veksle fra en position længere

ude.

Ekstra materialer

I arbejdet med subtraktion kan der anvendes forskellige konkrete materialer:

tyver-perlekæde, kuglerammer, tallinjer, Cuisenairestænger og enkeltelementer

som knapper, perler, sten eller Centicubes.

Når man bruger konkrete materialer til hjælp ved subtraktion, er der forskellige

strategier:

Subtraktion // Matematik for alle 123

• tæl hvert af tallene op i to bunker, sammenlign de to bunker

• find det mindste tal, fyld op ved at tælle til det største tal, find forskellen

• find det største antal, og reducer med det mindste ved at tælle dette

antal fra igen.

Det er vigtigt, at eleverne arbejder med de forskellige strategier, da de passer

til forskellige subtraktionssituationer og lægger grunden for forskellige

regnemetoder.

8-5

Sammenlign

=

Fyld op

“seks, syv, otte – det er tre mere”

Reducer/tag væk

=

I arbejdet med alle strategier er det vigtigt at arbejde med regruppering/opsplitning

af tallene, så det ikke ender i endeløst tælleri. Regruppering/

opsplitning giver gode mentale billeder af bestemte antal og forskelle, som

kan udnyttes i al anden talbehandling.

124 Matematik for alle // Subtraktion

Stikordsregister

Symboler

1. akse .................................................... 206

1. ordenssprog ........................... 22, 52–53

2. akse .................................................... 206

2. ordenssprog ........................................ 22

3. ordenssprog ........................................ 22

10-talssystemet .................................57, 74

25%-fraktil ............................................ 303

50%-fraktil ............................................ 303

75%-fraktil ............................................ 303

A

afdrag .................................................... 224

afhængig variabel ................................. 206

afrunding ................................................ 78

akse ........................................................ 279

aksonometrisk tegning ....................... 280

aktiviteter .........................37–41, 327–358

algebraiske fliser ...........................192–194

algebraisk ligningsløsning ..........186–188

analytisk tænkning ..........................25–26

andenordenssprog ................................. 22

annuitet ................................................. 226

annuitetslån .......................................... 226

arbejdshukommelse .............................. 28

areal – cirkel ......................................... 252

arealmetoden .............. 130–133, 147–148

areal – parallelogram ..................251–252

areal – rektangel ................................... 250

areal – trapez ........................................ 252

areal – trekant ...................................... 251

associative lov ...............................174–175

automatisere ......................................... 102

B

balancevægt ......................... 186–187, 201

basismultiplikationer ............................ 76

begreber .................................................. 14

begrebsnet ......................................48, 351

bevis ...................................... 239, 268–272

billedplan .............................................. 281

blandet tal ............................................... 85

boksplot ........................................305, 308

bortmønster .......................................... 289

brændpunkt .......................................... 241

brøker ................................................81–90

brøkstreg ................................................. 84

børnehaveklasse ................................... 328

C

centervinkel .......................................... 241

centi ......................................................... 95

centiliter ................................................ 256

centralprojektion ................................. 281

centrum ................................................. 240

cirkel ..............................................240–241

cirkelbue ............................................... 241

cirkeldiagram ...................... 164, 304, 307

cirkelperiferi ......................................... 240

cosinus .................................................. 258

Cuisenairestænger ............................... 112

Stikordsregister // Matematik for alle 367

cylinder ................................................. 242

D

data ........................................................ 299

deci .......................................................... 95

deciliter ................................................. 256

decimaltal .........................................71–80

decimaltalsleg ....................................... 341

dele ................................................141–156

deskriptiv statistik .......................299–309

deskriptorer ..................................301–303

det usagte ......................................349–350

diagonal ................................................ 236

diameter ................................................ 240

didaktisk kontrakt ...........................40–41

differens ................................................ 117

diskriminant ......................................... 191

distributive lov ..................................... 175

dividende .............................................. 144

division .........................................141–156

division med brøk ............................86–87

divisor ................................................... 144

dobbelt op ............................................. 135

drejning .........................................288–289

dyskalkuli ................................................ 27

E

efter en forøgelse .................................. 115

efter en reduktion ................................ 100

eksplicit formel .................................... 290

eksponent ............................................... 93

eksponentialfunktion .......................... 213

eksponentiel vækst ......................213–214

ekstern evaluering ................................. 47

elevreaktioner ............................ 29, 31–32

ellipse .................................................... 241

enhedscirkel ......................................... 258

enkeltelementer ..............................54, 111

ensvinklede trekanter .......................... 236

en-til-en-observationstest .................... 49

evaluering .........................................46–50

F

faglige begreber ...................................... 23

faktorer .................................................. 126

Fibonacci-talfølge ................................ 291

figurrækker ...................................291–294

firkant ............................................239–240

flytning ..........................................288–289

forkorte brøk .......................................... 85

forlænge brøk ......................................... 85

formativ evaluering .........................46–47

former ...........................................231–244

forskel ............................................117, 174

forskel efterspørges .............................. 114

forskel givet .......................................... 114

forstørrelsesfaktor ................................ 236

fortjeneste ............................................. 221

forøgelse ................................................ 100

frekvens .........................................300–301

frisemønstre ......................................... 289

frontplan ............................................... 281

funktion ........................................203–218

funktionsforskrift ................................ 207

fylde op .........................................118–119

fællesnævner .......................................... 85

færdigheder ............................................ 15

føle former ............................................ 349

førfaglige begreber ................................. 22

førsteordenssprog .................................. 22

G

gaffelfunktion ....................................... 223

gange .............................................125–140

gange med 9 ......................................... 136

gange med 11 ....................................... 136

gange parenteser sammen ..........175–177

368 Matematik for alle // Stikordsregister

gennemsnit ...................................301–302

geometri – former .......................231–244

geometri – mål .............................245–264

geometriske mønstre ...................289–290

giga .......................................................... 95

graf ......................................................... 207

grafisk ligningsløsning ......188–189, 194,

197

grafisk repræsentation .303–305, 307–308

grublere ................................................... 39

grundlinje ............................................. 238

grundtal .................................................. 93

grupperede observationer ..........305–309

græshoppetænkning .......................25–26

gunstige udfald .................................... 316

gæt antal ................................................ 353

gæt mål ..........................................353–354

gæt og prøv efter ................. 151, 184–185

gøre omvendt ...............................187–188

H

halvering ............................................... 151

halvåbent interval ................................ 306

hektar .................................................... 256

hele tal ..................................................... 65

histogram ......................................307–308

hjælpemiddelkompetence .................... 14

hjælpemidler .......................................... 34

holistisk tænkning ...........................25–26

horisontlinje ......................................... 281

hosliggende katete ............................... 258

hovedforsvindingspunkt ..................... 281

hovedregningsstrategier .............336–341

hovedstol ............................................... 224

hukommelsesstrategier ....................... 102

hulbrikker ............................................. 112

hverdagens matematik .............................9

hverdagsviden ........................................ 27

hvor mange og hvad ............................ 354

hyperbel ................................................ 215

hypotenuse ........................................... 237

hyppighed .....................................300–301

hældningskoefficient ........................... 209

hældningstal ......................................... 209

hændelse ............................................... 316

hæve minusparentes .............................. 68

højde – firkant ...................................... 240

højde – trekant ..................................... 237

højtpræsterende ...............................31–34

I

ikkegrupperede observationer ...299–305

improvisationsteater ....................346–347

individets dannelse ................................ 17

individets nytte ...................................... 17

indre billeder ....................................25–26

indskreven cirkel ................................. 239

indtægt .................................................. 221

intern evaluering ................................... 47

interval .................................................. 305

intervalhyppighed ............................... 306

irrationale tal ........................... 74, 96, 249

isometrisk tegning ............................... 280

J

jævnt fordelt ......................................... 324

K

kant ........................................................ 236

kardinaltal .........................................51, 56

kasse ...................................................... 242

kassedamemetoden .....................118–119

katete ..................................................... 237

kegle ...................................................... 242

kilo ........................................................... 95

klassetest ................................................. 49

Stikordsregister // Matematik for alle 369

klassificere .............................................. 53

koefficient ............................................. 195

kombination ......................................... 320

kombinatorik ........................................ 316

kombinatorisk sandsynlighed ............ 316

kommatal ................................................ 71

kommunikationskompetence .............. 13

kommutativ ......................... 104, 130, 174

kommutative lov .................................. 174

kongruent ............................................. 236

konkav ................................................... 240

konkrete materialer ............................... 35

konstruktion ......................................... 241

konveks ................................................. 240

konventioner ........................................ 169

koordinatsystem .................................. 206

korde ..................................................... 240

korttidshukommelse ............................. 28

kritisk stillingtagen .............................. 309

krum ...................................................... 235

krystallografisk mønster ..................... 290

kube ....................................................... 242

kubikrod ................................................. 95

kugle ...................................................... 242

kugleramme ...................................59, 112

kurvediagram ....................................... 305

kvartilsæt .............................................. 303

kvotient ................................................. 144

L

lang division .................................149–150

langtidshukommelse ............................. 28

lidt ad gangen .....106–107, 119–120, 148

ligebenet trekant .................................. 237

ligedannede .......................................... 236

ligedeling ......................................145–147

ligefrem proportional .......................... 210

ligesidet trekant .................................... 237

lige store koefficienter .................195–197

ligninger ........................................179–202

ligningssystem ...................................... 183

lineal ...................................................... 262

lineær funktion ............................208–210

linjestykke ............................................. 238

liter ........................................................ 256

lodret opstilling – multiplikation .............

133–134

lodret opstilling – subtraktion ...120–121

logbog ...................................................... 48

logiske forbindelsesord ......................... 23

lommeregner .......................................... 36

LOVPORT ............................... 44–46, 329

lukket interval ...................................... 305

længde ................................................... 249

længdemål ............................................ 235

læs selv matematik ............................... 343

lån ..................................................224–227

M

magisk opfattelse af regneoperationer .....

127–128

maksimum ............................................ 302

mangel ................................................... 115

matematikkens sprog ..................346–352

matematikteater ................................... 348

matematikvanskeligheder ...............26–31

matematisk bevis ................................. 266

matematisk løft ...................................... 33

matematisk sætning ............................ 266

median – statistik ........................302–303

median – trekant ................................. 239

mega ........................................................ 95

middeltal .............................. 301–302, 306

middelværdi .................................301–302

midtnormal .......................................... 238

milli ......................................................... 95

370 Matematik for alle // Stikordsregister

milliliter ................................................ 256

mindsteværdi ....................................... 302

minimum .............................................. 302

minus .............................................113–124

modellering ....................................39, 330

modelleringskompetence ..................... 11

modstående katete ............................... 259

moms ..................................................... 224

Multi Math ........................................... 356

multiplikation ..............................125–140

multiplikation med brøk ...................... 86

multiplikation som areal ..................... 126

multiplikation som forhold ................ 127

multiplikation som rate ...................... 126

multiplikationsprincip ........................ 318

mængdetal .............................................. 56

mønster .........................................285–296

mål .................................................245–264

målebånd .............................................. 262

målerlarvetænkning ........................25–26

målestoksforhold .........................278–279

måletal ..................................................... 56

N

nabovinkler .......................................... 235

naturlige mål ................................246–247

naturlige tal ......................................51–62

nedre kvartil ......................................... 303

negative tal ........................................63–70

neurologiske vanskeligheder ................ 28

n fakultet ............................................... 319

Nim ........................................................ 358

n-kant ............................................236–237

normalfordeling ................................... 298

n’te rod .................................................... 95

nul ............................................................ 56

numre ...................................................... 56

nævner .................................................... 84

nøgletal .........................................301–303

O

observationer ....................................... 299

observer .................................................. 49

omdrejningspunkt ............................... 288

omkreds – cirkel .................................. 249

omkreds – rektangel ............................ 249

omskreven cirkel .................................. 238

omsætning ....................................255–257

omvendt proportionalitet ...........214–215

opdeling ................................................ 114

opfyldning ............................................ 114

opløse i faktorer ...........................135–136

opsplitning ............................................ 124

opstilling af ligning ......................197–199

optrævling ............................................ 185

ordenstal ................................................. 56

ordinaltal ................................................ 56

ordindsætning ...................................... 346

ordnet med tilbagelægning ........322–326

ordnet uden tilbagelægning .......320–321

ordning ...........................................65, 319

P

parabel ................................................... 212

parallel ................................................... 235

parallelforskydning ............................. 289

parallelogram ....................................... 240

parallelprojektion ................................ 279

parenteser ............................................. 172

parentessætninger .......................176–177

passer ..................................................... 243

periferivinkel ........................................ 241

perlekæde ................................ 59, 62, 112

permutation .......................................... 321

perspektivtegning ........................281–282

pi ............................................................ 249

Stikordsregister // Matematik for alle 371

plantegning ...................................279–280

plus ..................................................99–112

pluspar .................................................. 102

polyeder ........................................241–242

polygon .........................................236–237

polynomium ......................................... 210

portefølje ................................................. 47

positionssystem ...................................... 57

positive tal .............................................. 65

potenser ............................................91–98

potensopløftning .............................93–95

primtal ..................................................... 56

prisme ................................................... 242

problembehandling ............................. 329

problembehandlingskompetence ........ 11

procent ..........................................157–168

procentelastik ....................................... 167

procentpoint ......................................... 158

procentuel vækst ..........................213–214

produkt ................................................. 126

projektarbejde ........................................ 39

promille ................................................. 160

proportional ......................................... 210

pyramide ............................................... 242

Pythagoras’ sætning ....................265–274

Q

quiz og byt ....................................351–358

R

rabat ....................................................... 221

rationale tal .......................................55, 84

reduktion – ligningsløsning .......190–191

reduktion – tekstopgave ..................... 114

reelle tal ................................................... 56

regnehistorie ........................................ 103

regnehuller .......................................27, 31

regnemetoder ....................................... 103

regneregler ....................................169–178

regnestrategier .................... 101, 336–341

regning med sandsynligheder ....323–325

regningsarternes hierarki ................... 173

regression .............................................. 211

regruppere ............................................ 101

regruppering ........................................ 124

regulær polyeder .................................. 241

regulær polygon ................................... 236

rektangel ............................................... 239

rekursiv formel ..................................... 290

renter .............................................224–227

renters rente ......................................... 225

rentesregning ....................................... 213

repræsentationskompetence ................ 13

rest ......................................................... 144

retfærdig ............................................... 325

ret vinkel ............................................... 257

retvinklet trekant ................................. 237

rombe .................................................... 240

roset ....................................................... 290

rotation .........................................288–289

rumfang – cylinder .............................. 254

rumfang – kasse ................................... 254

rumfang – kegle ................................... 254

rumfang – kugle ...........................254–255

rumfang – prisme ................................ 254

rumfang – pyramide ........................... 254

rumlige figurer .............................241–242

ræsonnementskompetence .................. 12

rødder ....................................... 91–98, 212

S

samfundets dannelse ............................. 18

samfundets nytte ................................... 17

sammenligning .................................... 100

sammenlægning .................................. 100

sammensat rente .................................. 226

sandsynlighed ..............................313–326

selvevaluering ......................................... 48

372 Matematik for alle // Stikordsregister

simulering ............................................. 325

sinus ...................................................... 258

skat .................................................222–224

skema .................................................... 318

skitsetegning ......................................... 280

skyggeleg .......................................354–355

skærmleg .......................................348–349

snorlinge ............................................... 112

spejling .................................................. 288

spejlingsakse ......................................... 288

spejlvende tal .......................................... 58

spids vinkel ........................................... 257

spidsvinklet trekant ............................. 237

spil ..................................43, 325, 356–358

split efter 10-talssystemet ...........105–106

splitte op ............................................... 101

stabeldiagram ....................................... 304

stambrøk ................................................. 85

startskud ................................................. 42

statistik ..........................................297–312

statistiske deskriptorer ................301–303

statistisk sandsynlighed ..... 316, 322–323

stigningstal ........................................... 209

stikprøver ......................................319–322

store tals lov .......................................... 322

strategier ...........................................16, 30

stump vinkel ......................................... 257

stumpvinklet trekant ........................... 237

stykkevis lineær funktion ................... 223

størsteværdi .......................................... 302

subitize .................................................... 54

subitizing ................................................ 28

subtraktion ...................................113–124

subtraktion af brøker ............................ 86

sum ........................................................ 104

sumkurve .............................................. 308

summativ evaluering .......................46–47

summeret frekvens .............................. 300

summeret hyppighed .......................... 300

symboler ................................................. 23

symbol- og formalismekompetence .... 13

symmetri ............................................... 286

synsretning ........................................... 281

særlige behov ....................................26–34

sætning ..........................................265–266

søjlediagram .................................303, 307

T

tabel ...................................... 207, 299–300

tabelperlekæde ..................................... 140

talblindhed ............................................. 27

talfliser .................................................... 60

talfølger .........................................290–291

talhus ....................................................... 75

talkort ...................................................... 61

tallinje ................................54, 59, 80, 112

tal med enheder ..................................... 51

talord ....................................................... 58

tal som antal ........................................... 51

tal som navngivning .............................. 51

tal som ordenstal ................................... 51

taltavle .............................................59, 112

taltromle ................................................. 60

tangens .................................................. 258

tangent .................................................. 240

tankegangskompetence ...................10–11

tapetmønster ................................289–290

tegning ..........................................275–284

tegninger ................................................. 23

teknisk tegning ..................................... 279

tekstopgaver ............................ 24, 38, 342

tekstopgaver – division ...............141–142

tekstopgaver – multiplikation ....126–127

tekstopgaver – subtraktion .........114–115

teoretisk sandsynlighed ..............316–317

tera ........................................................... 95

termin .................................................... 224

terning ................................................... 242

tessellation ............................................ 290

Stikordsregister // Matematik for alle 373

tidsmål .................................................. 257

tidsmåling ............................................... 56

tier-venner ............................................ 102

todimensional ...................................... 235

to ligninger med to ubekendte ...194–197

tommestok ............................................ 262

tomme tallinje .................60–61, 112, 338

toppunkt ............................................... 212

topvinkel ............................................... 235

tovtrækning .......................................... 338

trapez ..................................................... 240

trappediagram ...................................... 304

tredimensional ..................................... 235

tredjeordenssprog .................................. 22

trekant ...........................................237–239

trigonometriske funktioner ........258–260

triptæller ................................................. 61

træningsopgaver .................................... 38

tyngdepunkt ......................................... 239

typeinterval ..................................306–307

typetal .................................................... 302

tælle baglæns .......................................... 55

tælle i hop ............................................... 55

tællematerialer ....................................... 58

tæller ....................................................... 84

tælleremse ............................................... 53

tælle smart .............................................. 52

tællestrategier ...............................101–102

tælletal ..................................................... 56

tælletræ .........................................317–318

tælle videre ............................................. 55

tønde land ............................................. 256

U

uafhængig variabel .............................. 206

ubekendt ............................................... 183

udfald .................................................... 316

udfaldsrum ........................................... 316

udfoldning ............................................ 282

uendelig mange decimaler ................... 74

ulighed ..........................................189–190

undersøgelser .......................... 42–43, 334

universitetsmatematik ..............................9

uordnet med tilbagelægning ......321–322

usynligt ler ....................................347–348

uægte brøk .............................................. 85

V

valuta .............................................221–222

valutakurs ............................................. 221

variabel ..........................................182, 207

variationsbredde .................................. 302

videnskabelig notation .......................... 98

vinkelben .............................................. 235

vinkelhalveringslinje ...................238–239

vinkelmål ............................. 235, 257–260

vinkelmåler ........................................... 263

vinkelsum ............................................. 239

vægtmål ................................................ 257

værksted .................................................. 40

værktøjer ................................................. 34

X

x-akse .................................................... 206

Y

y-akse .................................................... 206

ydelse ..................................................... 224

Z

Z ............................................................... 65

Æ

ægte brøk ................................................ 85

Ø

økonomi ........................................219–230

øvre kvartil ........................................... 303

374 Matematik for alle // Stikordsregister

Å

åbent interval ....................................... 306

åbne opgaver ...................41–42, 331–335

Stikordsregister // Matematik for alle 375