Matematik for alle - læseprøve

PERNILLE PIND
MATEMATIK
FOR ALLE
Håndbog i matematikundervisning
FORLAGET PIND OG BJERRE

Indhold
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Forord.......................................................7
Hvorfor undervise i matematik?.......9
At undervise i matematik.................21
Naturlige tal..........................................51
Negative tal.......................................... 63
Decimaltal.............................................71
Brøker.....................................................81
Potenser og rødder............................91
Addition................................................ 99
Subtraktion........................................ 113
Multiplikation.................................... 125
Division............................................... 141
Procent................................................ 157
Regneregler.......................................169
Ligninger............................................. 179
Funktioner..........................................203
Økonomi............................................ 219
Former.................................................231
Mål ......................................................245
Pythagoras' sætning.......................265
Tegning................................................ 275
Mønstre...............................................285
Statistik............................................... 297
Sandsynlighed.................................. 313
Aktiviteter...........................................327
Ordlister..............................................359
Stikordsregister.................................367

9 Subtraktion
Introduktion
Subtraktion er, sammen med division, de to sværeste regningsarter for
de fleste elever. Begge er beregningsmæssigt sværere end addition. Begge
skiller ad, hvor addition og multiplikation samler. Og endelig har både
subtraktion og division indbygget en dobbelthed i den måde, de skal forstås
på.
For eksempel kan 8 – 3 både opfattes som at tage 3 væk fra 8 og som forskellen
mellem 3 og 8. Og 8 : 2 kan både opfattes som, at 8 deles i 2 lige store
portioner, og som hvor mange gange man kan tage grupper på 2 ud af 8.
Subtraktion kommer til udtryk på mange, væsentlig forskellige måder
i sproget, og derfor kan det være vanskeligt at vide, hvornår subtraktion er
den rigtige regneoperation.
Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne
• lærer at splitte små tal op, for eksempel at 8 = 5 + 3 og 10 = 7 + 3
• lærer at bruge ovenstående opsplitninger til de tilhørende minusstykker,
for eksempel at 10 – 7 = 3 og 8 – 3 = 5
• lærer de to forskellige forståelser af subtraktion
• lærer at bygge ovenpå ovenstående til regnemetoder for subtraktion
af andre tal, herunder større tal og decimaltal
• lærer at genkende mange forskellige situationer, hvor et tal skal
trækkes fra et andet
• lærer at håndtere en lommeregner til subtraktion.
Omstændigheder
Sprog
De fleste børn har ikke klare begreber til at håndtere subtraktion, før de
kommer i skole. Når noget er blevet væk, er det interessante ofte ikke det,
Subtraktion // Matematik for alle 113

der er tilbage, men det, der er blevet væk. Forskelsbegrebet har mange børn
dog et forhold til, for eksempel ved de, når de har mindre end andre.
Arbejdet med subtraktion baseres på førfaglige begreber om blandt
andet at tage væk, tilbage, forskel, sammenligning og opfyldning.
Tekstopgaver
Subtraktion viser sig i mange forskellige situationer, både i tekstopgaver og
i den virkelige verden. Nedenfor gennemgås de mest almindelige typer af
situationer for subtraktion. Alle er udtryk for regnestykket 8 – 3.
Reduktion
Reduktion af det, man har.
Per har 8 æbler, men spiser 3.
Hvor mange æbler har Per så?
Forskel efterspørges
Sammenligning, hvor forskellen efterspørges.
Per har 8 æbler, og Eva har 3 æbler.
Hvor mange færre har Eva?
Hvor mange flere har Per?
Hvor mange er der til forskel?
Forskel givet
Sammenligning, hvor forskellen er givet.
Per har 8 æbler. Eva har 3 æbler færre end Per.
Hvor mange æbler har Eva?
Opdeling
Forskellige ting fra et overbegreb fordeles i deres underbegreber.
I en kurv er der 8 stykker frugt, både æbler og pærer. I kurven er
der 3 æbler.
Hvor mange pærer er der?
Opfyldning
Man har noget og har et mål for, hvad man ønsker i alt.
114 Matematik for alle // Subtraktion

Eva har 3 æbler.
Hvor mange flere æbler skal hun have, før hun har 8 æbler?
Mange elever tæller op fra 3 til 8 og opfatter det dermed som addition.
Mangel
Man har et mål for, hvad man ønsker i alt, og et antal, som man allerede har.
Eva vil gerne have 8 æbler, men hun har kun 3.
Hvor mange æbler mangler Eva?
Næsten det samme som opfyldning, men de fleste elever tænker her på det
som en subtraktion, fordi det største tal gives først, og ord som for eksempel
“mangler” signalerer subtraktion.
Efter en forøgelse
En slags ligning. Der er lagt et tal til det efterspurgte tal, og det er givet,
hvad der derefter er.
Per har lige fået 3 æbler og har nu 8 æbler.
Hvor mange æbler havde Per til at begynde med?
Mange elever vil fejlagtigt opfatte det som et additionsstykke, da ord som
for eksempel “fået” signalerer addition.
Mange lærebøger introducerer subtraktionsbegrebet via reduktion, og denne
opfattelse kan risikere at blive den eneste situation, eleverne kan genkende.
Det bør undgås, da der er mange flere subtraktionssituationer end
reduktion. De forskellige sammenligningssituationer er hyppigere, både i
virkelighedens verden og i tekstopgaverne i de ældre klasser. Desuden er
det ærgerligt ikke at bygge videre på forskelsbegrebet, som mange elever
har et forhold til fra andre sammenhænge.
Indre billeder
Subtraktion forstås både som forskel og reduktion. Reduktion er, når noget
tages væk, forskel er, når tallene sammenlignes.
Mange børn forestiller sig, at subtraktion udelukkende handler om
noget, der forsvinder. Dette kan være en endog meget rigid forestilling, der
gør, at kun de subtraktionssituationer, der handler om reduktion, genkendes
som subtraktion.
Subtraktion // Matematik for alle 115

8 – 3 som forskel
Der er 5 enheder mellem 3 og 8.
0
1
2
3
4 5 6 7
8
8 – 3 som at tage væk
Der er taget 3 enheder fra 8, der
er 5 tilbage.
0
1
2
3
4 5 6 7
8
Skolen
Indskolingen
Subtraktion er for mange det første møde med vanskeligheder i matematik.
Hvor addition føles naturligt for de fleste, og hvor fingrene helt naturligt
tages til hjælp, føles subtraktion for nogle mere naturstridig, og der er også
flere, der ikke ved, hvordan fingrene kan hjælpe ved subtraktion.
I indskolingen skal eleverne lære at genkende og udføre subtraktion i
konkrete mundtlige situationer (regnehistorier), og de skal lære at udføre
subtraktion i symbolregnestykker. Det er også vigtigt at arbejde med sammenhængen
mellem de to repræsentationer, da eleverne med tiden skal
lære at oversætte mellem dem.
Eleverne skal i indskolingen lære begge forståelser af subtraktion, både
som reduktion (tage væk) og som forskel.
Eleverne skal lære sammenhængen mellem addition og subtraktion,
og de skal lære, hvordan det at splitte tal op kan bruges til at finde de tilhørende
minusstykker.
Da 8 = 5 + 3, er 8 – 5 = 3 og 8 – 3 = 5.
I alt arbejde med subtraktion i indskolingen er det naturligt, at eleverne
støtter sig til konkrete materialer. Det kan være udmærket, men hjælp dem
til at opleve fordelene ved andre hjælpemidler som skriftlige notater og
lommeregner.
Mellemtrinnet
På mellemtrinnet skal eleverne lære at bruge en og gerne flere forskellige
regnemetoder til subtraktion af vilkårlige tal. Elevernes brug af regnemetoder
skal baseres på deres talforståelse og regnestrategier fra regning med
små tal.
116 Matematik for alle // Subtraktion

Eleverne skal på mellemtrinnet arbejde både med skriftlig notatregning,
hovedregning, overslagsregning og regning med digitale hjælpemidler.
Det er stadig vigtigt at arbejde med både den mundtlige repræsentation
af subtraktionsstykker (som i regnehistorier) og med den skriftlige symbolrepræsentation
af subtraktionsstykkerne. På mellemtrinnet føjes endnu
en repræsentation til, nemlig den skriftlige tekstopgave. På mellemtrinnet
skal man i højere grad end i indskolingen lægge vægt på, at eleverne lærer
at oversætte mellem repræsentationerne, i særlig grad skal der lægges vægt
på, at eleverne lærer at oversætte en tekstopgave til et regnestykke.
På mellemtrinnet skal eleverne lære at bruge de fire regningsarter
i sammenhæng, for eksempel 240 – 20 · 3 + 200. De skal blive bevidste
om de regler og sammenhænge, som mange af eleverne allerede ubevidst
bruger, nemlig at subtraktion ikke er kommutativ, og at addition og
subtraktion er hinandens omvendte. Vedrørende regningsarternes hierarki
skal eleverne lære, at multiplikation og division udregnes før addition og
subtraktion.
Udskolingen
Ligesom ved addition er det vigtigt ikke at glemme hovedregningen og de
mundtlige regnehistorier i udskolingen.
På dette trin skal eleverne også møde subtraktion af bogstaver, for
eksempel 4x – x. Slet ikke alle elever vil komme til at arbejde med sådanne
udtryk, og det er tilstrækkeligt, hvis de kan anvende dem konkret og
indsætte tal for bogstaverne. Men nogle elever vil kunne regne med bogstaverne
og omforme udtryk med bogstaver til andre udtryk, for eksempel
omforme 4x – x til 3x.
Fagligt
Regneoperationen at trække et tal fra et andet kaldes subtraktion, symbolet –
kaldes minus. 8 – 3 læses “otte minus tre”, og man siger, at “man subtraherer
3 fra 8”, eller “man trækker 3 fra 8”. Det er ikke bredt accepteret at sige
“man minusser 3 fra 8”, men det er dog forståeligt. I hverdagssproget udtrykkes
subtraktion ofte ved en forskel (differens) mellem to tal.
Addition og subtraktion er hinandens omvendte, for eksempel er
100 – 25 + 25 = 100, og x + 3 = 15 kan løses ved at beregne 15 – 3.
Subtraktion er ikke kommutativ, 3 – 2 er forskellig fra 2 – 3.
Subtraktion // Matematik for alle 117

Subtraktion hænger sammen med division opfattet som måling, hvor
man måler, hvor mange gange et givet tal kan være i et andet tal, man
kan sige, at måling er gentaget subtraktion. For eksempel er 8 : 2 = 4, da
8 – 2 – 2 – 2 – 2 = 0.
I regningsarternes hierarki er addition sammen med subtraktion nederst,
det vil sige alle andre regneoperationer i et regnestykke udregnes før
addition og subtraktion.
Når man trækker et mindre tal fra et større, får man et positivt resultat.
Når man trækker et større tal fra et mindre, får man et negativt resultat. I
hånden udregnes dette, ved at man udregner det modsatte regnestykke og
tilføjer et minus til resultatet.
Den klassiske algoritme, lodret opstilling, anbefales ikke som en regnemetode,
som eleverne skal bruge, da den er ufleksibel, svær at forstå, svær
at huske og umulig at bruge til overslagsregning. Eleverne kan i slutningen
af skoleforløbet have glæde af at blive præsenteret for den klassiske algoritme,
da den er klassisk og illustrerer en smuk optimering af, hvordan man
effektivt kan regne i hånden, hvilket tidligere var vigtigt.
Det gennemgående regneeksempel nedenfor er 904 – 849. Med regnestrategier,
uden at bruge en regnemetode, kan man for eksempel regne
“900 – 850, det er 50, og så havde vi egentlig 4 mere, det er 54, og så trak vi
1 for meget fra, det giver 55.”
Nedenfor gennemgås forskellige regnemetoder med regnestykket, altså
forskellige måder at regne på, hvis ens regnestrategier ikke slår til.
Fylde op
Fylde op kaldes også kassedamemetoden. Som en kassedame før i tiden gav
tilbage, starter man fra det mindste beløb og fylder op, indtil man når det
største beløb.
Regnestykket 904 – 849 kan se således ud med fylde op.
En meget naturlig måde at holde regnskab på i denne metode er at
anvende den tomme tallinje.
849 850
900 904
1
50 4
55
Udregningen går således:
“Fra 849 er det nemt at fylde op til 850, det er 1.
Fra 850 til 900, det er 50.
Fra 900 til 904, det er 4.
118 Matematik for alle // Subtraktion

​
Så lægger vi sammen, det er 1 + 50 + 4 = 55.”
Man kan også anvende denne skrivemåde:
904 – 849 = 55
4 50 1
55
Og med lidt øvelse kan udregningen komme til at se således ud:
904 – 849 = 1 + 50 + 4 = 55
Man fremmer arbejdet med fylde op ved at tale med eleverne om, hvilke tal
det er godt at fylde op til (det er typisk tal i 10-tabellen), og hvilke hop der
kan være nemme.
Som overslagsregning kunne denne metode gå således:
“Regnestykket er tæt på 900 – 850. Fra 850 op til 900 er der 50.”
Fordelene ved metoden er, at den baserer sig på addition, som er den nemmeste
regningsart for de fleste. Man kan tage de enkelte trin så store eller
små, som man kan overskue, og eleverne regner med tal og ikke kun med
cifre.
Lidt ad gangen
I lidt ad gangen splittes tallet til højre op i passende portioner, og man fjerner
lidt ad gangen fra tallet til venstre.
Der holdes regnskab, ved at hver linje repræsenterer hele regnestykket.
Det er vigtigt at sørge for at holde subtrahenden fra minuenden. Det er
centralt, fordi subtraktion ikke er kommutativ. Man kan undervejs strege
de tal ud, som man har brugt.
Regnestykket 904 – 849 kan se således ud
med lidt ad gangen.
904 – 849
904 800 40 5 4
1 00 40 5
Udregningen går således:
“Fra 849 splittes op i 800 og 40 og 5 og 4.
Jeg vælger at splitte 9 op i 5 og 4, da jeg
kan se et 4-tal i 904, som jeg gerne vil af
med.
60
55
5
Fra 904 kan jeg nu relativt nemt fjerne 800 og 4. Så er der 100 tilbage
af venstre tal og 40 og 5 tilbage af højre tal.
Subtraktion // Matematik for alle 119

Så fjerner jeg 40 fra de 100. Og nu er der 60 tilbage af venstre tal
og 5 tilbage af højre tal.
De sidste 5 fjernes, resultatet er 55.”
Og med lidt øvelse kan udregningen komme til at se
således ud:
904 – 849
1 00 45
55
En variant af denne metode er at tænke i, at man fjerner lige meget
fra begge tal, indtil højre tal er væk.
Denne variant kaldes også rullegardinmetoden.
Udregningen går således:
“Først fjernes 800 fra begge tal. Det giver tallene
104 og 49. Så kan man tage 4 væk, det giver 100
og 45. 40 væk fra begge tal giver 60 og 5. Og til
sidst tages 5 væk. Tallet til højre er nu 0, og tallet
til venstre er resultatet: 55.”
904 – 849
104 49
100 45
60 5
55 0
Med lidt øvelse kan denne udregning forkortes ligesom ovenfor.
Som overslagsregning kunne denne metode gå således:
“Regnestykket er tæt på 900 – 850. Vi splitter op og fjerner først
800 fra begge tal, så er det 100 minus 50, det giver 50.”
For de fleste elever kan det være en god introduktion til at bruge denne
metode, at de starter med at splitte tallet til højre op i hundreder, tiere og
enere. Derefter kan de splitte yderligere op, afhængigt af hvad der ser ud til
at virke bedst i forhold til tallet til venstre.
Fordelene ved denne metode er, at eleverne kan fjerne i de mængder
og det tempo, der passer dem bedst selv, og at eleverne som i fylde op regner
med tal og ikke kun med cifre.
En klassisk algoritme: lodret opstilling
I den lodrette opstilling udnytter man i høj grad positionssystemet. Man
trækker et tal fra et andet tal ciffer for ciffer, startende fra højre mod venstre,
og når det ikke går (altså giver et negativt tal), udnytter man, at cifferet
til venstre er ti gange så stort, og tager dette med ind i beregningen.
120 Matematik for alle // Subtraktion

Når næste ciffer på denne måde inddrages i beregningen, kaldes dette,
at “man veksler en tier” eller at “man låner en tier”.
Da metoden baserer sig på positionerne, er det hensigtsmæssigt med
den lodrette opstilling, hvor man skriver cifre i samme position under hinanden.
Tallene skrives altså, så de står under hinanden og flugter i højre
side, når der er tale om hele tal, og med komma over komma, når der er
tale om decimaltal.
635 – 238 ser således ud udregnet med den lodrette opstilling:
​
10 10
/6 /3 5
−238
397
​
Et ciffer med streg over betyder, at cifferet er blevet én mindre, fordi
der er vekslet én af disse til 10 af den mindre potens. Den vekslede
tier skrives ovenover cifferet til højre for. Den vekslede tier lægges
til øverste ciffer, hvorefter det nederste ciffer nu kan trækkes fra.
Udregningen går således:
“5 minus 8, det kan man ikke. Veksl 10.
15 minus 8 er 7.
2 (som er 3 – 1) minus 3. Det kan man ikke. Veksl 10.
12 minus 3 er 9.
5 (som er 6 – 1) minus 2, det er 3.”
Når man ser på, hvorfor den lodrette opstilling virker, er udregningerne
følgende:
Vi ser først på enerne og venter med at se på resten.
5 – 8 er et negativt tal, så vi må veksle 10.
10 + 5 – 8 = 7.
Første del af resultatet er på plads.
Vi ser derefter på tierne.
(30 – de vekslede 10) – 30 giver et negativt tal, så vi må veksle 100.
100 + (30 – 10) – 30 = 90.
Anden del af resultatet er nu på plads.
Til slut ser vi på hundrederne.
(600 – de vekslede 100) – 200 = 300.
Tredje del af resultatet er nu på plads.
Denne algoritme støtter ikke overslagsregning.
Subtraktion // Matematik for alle 121

Almindelige fejl
Elever, der kun kender reduktionssituationer, kan udvikle en dobbelt tællestrategi,
hvor eleven prøver at tælle ned i talrækken, samtidig med at de
tæller op, hvor langt de er nået i nedtællingen. For eksempel udføres 19 – 5
som “18, det er 1 væk, 17, det er 2 væk, 16, det er 3 væk, 15, det er 4 væk,
14, det er 5 væk”. Den strategi er både besværlig og risikabel, da der let kan
opstå tællefejl i den ene eller den anden retning.
Når elever bruger tallinjen som konkret materiale ved subtraktion,
optræder den samme fejl som ved addition: De tæller streger og ikke mellemrum.
Ved fylde op og lidt ad gangen er de almindeligste fejl, at der ikke splittes
korrekt op. Det kan både være forkert i forhold til 10-talssystemet og
bare forkert.
Eleverne kan også blive forvirrede undervejs og pludselig lægge sammen
i stedet for at trække fra eller trække det forkerte fra det forkerte.
849 850
900 904
1
50 4
45
1 og 4 trækkes fra 50 i stedet for at blive lagt til.
​9 splittes fejlagtigt op i 4 og 4.
904 – 849
904 800 40 4 4
1 00 40 4
60 4
56
​849 splittes fejlagtigt op i 800 og 4 og 9, altså
cifferet 4 og ikke det korrekt tal 40.
904 – 849
904 800 4 9
1 00 9
En af de almindeligste fejl ved subtraktionsudregninger i den lodrette opstilling
er, at eleverne trækker det mindste ciffer fra det største – uanset
hvilket ciffer der står øverst.
9 1
122 Matematik for alle // Subtraktion

​
​
635
−23 8
403
En anden fejl er, at eleven opfinder den manglende tier og ikke trækker den
fra det næste ciffer, og altså slet ikke veksler.
​
10
6 3 5
−23 8
407 ​
Særlig når man skal veksle hen over nogle nuller, opfinder elever en manglende
tier.
​
10 10
/605
−1 79
436 ​
Den korrekte metode er først at veksle en hundreder og derefter veksle en
tier herfra.
​
1/0 10
/605
−1 79
426 ​
Bemærk stregen over den vekslede tier, som illustrerer, at vi ikke
kunne veksle fra 0-et, men skulle veksle fra en position længere
ude.
Ekstra materialer
I arbejdet med subtraktion kan der anvendes forskellige konkrete materialer:
tyver-perlekæde, kuglerammer, tallinjer, Cuisenairestænger og enkeltelementer
som knapper, perler, sten eller Centicubes.
Når man bruger konkrete materialer til hjælp ved subtraktion, er der forskellige
strategier:
Subtraktion // Matematik for alle 123

• tæl hvert af tallene op i to bunker, sammenlign de to bunker
• find det mindste tal, fyld op ved at tælle til det største tal, find forskellen
• find det største antal, og reducer med det mindste ved at tælle dette
antal fra igen.
Det er vigtigt, at eleverne arbejder med de forskellige strategier, da de passer
til forskellige subtraktionssituationer og lægger grunden for forskellige
regnemetoder.
8-5
Sammenlign
=
Fyld op
“seks, syv, otte – det er tre mere”
Reducer/tag væk
=
I arbejdet med alle strategier er det vigtigt at arbejde med regruppering/opsplitning
af tallene, så det ikke ender i endeløst tælleri. Regruppering/
opsplitning giver gode mentale billeder af bestemte antal og forskelle, som
kan udnyttes i al anden talbehandling.
124 Matematik for alle // Subtraktion

Stikordsregister
Symboler
1. akse .................................................... 206
1. ordenssprog ........................... 22, 52–53
2. akse .................................................... 206
2. ordenssprog ........................................ 22
3. ordenssprog ........................................ 22
10-talssystemet .................................57, 74
25%-fraktil ............................................ 303
50%-fraktil ............................................ 303
75%-fraktil ............................................ 303
A
addition ...........................................99–112
addition af brøker .................................. 85
additionsprincip .................................. 318
afdrag .................................................... 224
afgifter ................................................... 224
afhængig variabel ................................. 206
afrunding ................................................ 78
akse ........................................................ 279
aksonometrisk tegning ....................... 280
aktiviteter .........................37–41, 327–358
algebraiske fliser ...........................192–194
algebraisk ligningsløsning ..........186–188
analytisk tænkning ..........................25–26
andengradsfunktion ....................210–213
andengradsligning .......................191–194
andengradspolynomium ............210–213
andenordenssprog ................................. 22
annuitet ................................................. 226
annuitetslån .......................................... 226
arbejdshukommelse .............................. 28
areal – cirkel ......................................... 252
arealmetoden .............. 130–133, 147–148
areal – parallelogram ..................251–252
areal – rektangel ................................... 250
areal – trapez ........................................ 252
areal – trekant ...................................... 251
associative lov ...............................174–175
automatisere ......................................... 102
B
balancevægt ......................... 186–187, 201
basismultiplikationer ............................ 76
begreber .................................................. 14
begrebsnet ......................................48, 351
bevis ...................................... 239, 268–272
billedplan .............................................. 281
blandet tal ............................................... 85
boksplot ........................................305, 308
bortmønster .......................................... 289
brændpunkt .......................................... 241
brøker ................................................81–90
brøkstreg ................................................. 84
børnehaveklasse ................................... 328
C
CAD ...................................................... 244
centervinkel .......................................... 241
centi ......................................................... 95
centiliter ................................................ 256
centralprojektion ................................. 281
centrum ................................................. 240
cirkel ..............................................240–241
cirkelbue ............................................... 241
cirkeldiagram ...................... 164, 304, 307
cirkelperiferi ......................................... 240
cosinus .................................................. 258
Cuisenairestænger ............................... 112
Stikordsregister // Matematik for alle 367

cylinder ................................................. 242
D
data ........................................................ 299
deci .......................................................... 95
deciliter ................................................. 256
decimaltal .........................................71–80
decimaltalsleg ....................................... 341
dele ................................................141–156
deskriptiv statistik .......................299–309
deskriptorer ..................................301–303
det usagte ......................................349–350
diagonal ................................................ 236
diameter ................................................ 240
didaktisk kontrakt ...........................40–41
differens ................................................ 117
diskriminant ......................................... 191
distributive lov ..................................... 175
dividende .............................................. 144
division .........................................141–156
division med brøk ............................86–87
divisor ................................................... 144
dobbelt op ............................................. 135
drejning .........................................288–289
dyskalkuli ................................................ 27
E
efter en forøgelse .................................. 115
efter en reduktion ................................ 100
eksplicit formel .................................... 290
eksponent ............................................... 93
eksponentialfunktion .......................... 213
eksponentiel vækst ......................213–214
ekstern evaluering ................................. 47
elevreaktioner ............................ 29, 31–32
ellipse .................................................... 241
enhedscirkel ......................................... 258
enkeltelementer ..............................54, 111
ensvinklede trekanter .......................... 236
en-til-en-observationstest .................... 49
evaluering .........................................46–50
F
faglige begreber ...................................... 23
faktorer .................................................. 126
Fibonacci-talfølge ................................ 291
figurrækker ...................................291–294
firkant ............................................239–240
flad ......................................................... 235
fladedækkende mønstre ...................... 289
flytning ..........................................288–289
forkorte brøk .......................................... 85
forlænge brøk ......................................... 85
formativ evaluering .........................46–47
former ...........................................231–244
forskel ............................................117, 174
forskel efterspørges .............................. 114
forskel givet .......................................... 114
forstørrelsesfaktor ................................ 236
fortjeneste ............................................. 221
forøgelse ................................................ 100
frekvens .........................................300–301
frisemønstre ......................................... 289
frontplan ............................................... 281
funktion ........................................203–218
funktionsforskrift ................................ 207
fylde op .........................................118–119
fællesnævner .......................................... 85
færdigheder ............................................ 15
føle former ............................................ 349
førfaglige begreber ................................. 22
førstegradsligning ........................183–189
førsteordenssprog .................................. 22
G
gaffelfunktion ....................................... 223
gange .............................................125–140
gange med 9 ......................................... 136
gange med 11 ....................................... 136
gange parenteser sammen ..........175–177
368 Matematik for alle // Stikordsregister

gennemsnit ...................................301–302
gentaget addition .........................126, 135
geometri – former .......................231–244
geometri – mål .............................245–264
geometriske mønstre ...................289–290
giga .......................................................... 95
grader .................................................... 257
graf ......................................................... 207
grafisk ligningsløsning ......188–189, 194,
197
grafisk repræsentation .303–305, 307–308
grublere ................................................... 39
grundflade ............................................ 242
grundlinje ............................................. 238
grundtal .................................................. 93
grupperede observationer ..........305–309
græshoppetænkning .......................25–26
gunstige udfald .................................... 316
gæt antal ................................................ 353
gæt mål ..........................................353–354
gæt og prøv efter ................. 151, 184–185
gøre omvendt ...............................187–188
H
halvering ............................................... 151
halvåbent interval ................................ 306
hektar .................................................... 256
hele tal ..................................................... 65
histogram ......................................307–308
Hjernevask ............................................ 357
hjælpemiddelkompetence .................... 14
hjælpemidler .......................................... 34
holistisk tænkning ...........................25–26
horisontlinje ......................................... 281
hosliggende katete ............................... 258
hovedforsvindingspunkt ..................... 281
hovedregningsstrategier .............336–341
hovedstol ............................................... 224
hukommelsesstrategier ....................... 102
hulbrikker ............................................. 112
hverdagens matematik .............................9
hverdagsviden ........................................ 27
hvor mange og hvad ............................ 354
hyperbel ................................................ 215
hypotenuse ........................................... 237
hyppighed .....................................300–301
hældningskoefficient ........................... 209
hældningstal ......................................... 209
hændelse ............................................... 316
hæve minusparentes .............................. 68
højde – firkant ...................................... 240
højde – trekant ..................................... 237
højtpræsterende ...............................31–34
I
ikkegrupperede observationer ...299–305
improvisationsteater ....................346–347
individets dannelse ................................ 17
individets nytte ...................................... 17
indre billeder ....................................25–26
indskreven cirkel ................................. 239
indtægt .................................................. 221
intern evaluering ................................... 47
interval .................................................. 305
intervalhyppighed ............................... 306
irrationale tal ........................... 74, 96, 249
isometrisk tegning ............................... 280
J
jævnt fordelt ......................................... 324
K
kant ........................................................ 236
kardinaltal .........................................51, 56
kasse ...................................................... 242
kassedamemetoden .....................118–119
katete ..................................................... 237
kegle ...................................................... 242
kilo ........................................................... 95
klassetest ................................................. 49
Stikordsregister // Matematik for alle 369

klassificere .............................................. 53
koefficient ............................................. 195
kombination ......................................... 320
kombinatorik ........................................ 316
kombinatorisk sandsynlighed ............ 316
kommatal ................................................ 71
kommunikationskompetence .............. 13
kommutativ ......................... 104, 130, 174
kommutative lov .................................. 174
kongruent ............................................. 236
konkav ................................................... 240
konkrete materialer ............................... 35
konstruktion ......................................... 241
konveks ................................................. 240
konventioner ........................................ 169
koordinatsystem .................................. 206
korde ..................................................... 240
korttidshukommelse ............................. 28
kritisk stillingtagen .............................. 309
krum ...................................................... 235
krystallografisk mønster ..................... 290
kube ....................................................... 242
kubikrod ................................................. 95
kugle ...................................................... 242
kugleramme ...................................59, 112
kurvediagram ....................................... 305
kvadrat .................................................. 239
kvadratrod .............................................. 95
kvadratsætninger .........................176–177
kvartilsæt .............................................. 303
kvotient ................................................. 144
L
lang division .................................149–150
langtidshukommelse ............................. 28
lidt ad gangen .....106–107, 119–120, 148
ligebenet trekant .................................. 237
ligedannede .......................................... 236
ligedeling ......................................145–147
ligefrem proportional .......................... 210
ligesidet trekant .................................... 237
lige store koefficienter .................195–197
ligninger ........................................179–202
ligningssystem ...................................... 183
lineal ...................................................... 262
lineær funktion ............................208–210
linjestykke ............................................. 238
liter ........................................................ 256
lodret opstilling – addition .........107–109
lodret opstilling – multiplikation .............
133–134
lodret opstilling – subtraktion ...120–121
logbog ...................................................... 48
logiske forbindelsesord ......................... 23
lommeregner .......................................... 36
LOVPORT ............................... 44–46, 329
lukket interval ...................................... 305
længde ................................................... 249
længdemål ............................................ 235
læs selv matematik ............................... 343
lån ..................................................224–227
M
magisk opfattelse af regneoperationer .....
127–128
maksimum ............................................ 302
mangel ................................................... 115
matematikkens sprog ..................346–352
matematikteater ................................... 348
matematikvanskeligheder ...............26–31
matematisk bevis ................................. 266
matematisk løft ...................................... 33
matematisk sætning ............................ 266
median – statistik ........................302–303
median – trekant ................................. 239
mega ........................................................ 95
middeltal .............................. 301–302, 306
middelværdi .................................301–302
midtnormal .......................................... 238
milli ......................................................... 95
370 Matematik for alle // Stikordsregister

milliliter ................................................ 256
mindsteværdi ....................................... 302
minimum .............................................. 302
minus .............................................113–124
modellering ....................................39, 330
modelleringskompetence ..................... 11
modstående katete ............................... 259
moms ..................................................... 224
Multi Math ........................................... 356
multiplikation ..............................125–140
multiplikation med brøk ...................... 86
multiplikation som areal ..................... 126
multiplikation som forhold ................ 127
multiplikation som rate ...................... 126
multiplikationsprincip ........................ 318
mængdetal .............................................. 56
mønster .........................................285–296
mål .................................................245–264
målebånd .............................................. 262
målerlarvetænkning ........................25–26
målestoksforhold .........................278–279
måletal ..................................................... 56
N
nabovinkler .......................................... 235
naturlige mål ................................246–247
naturlige tal ......................................51–62
nedre kvartil ......................................... 303
negative tal ........................................63–70
neurologiske vanskeligheder ................ 28
n fakultet ............................................... 319
Nim ........................................................ 358
n-kant ............................................236–237
normalfordeling ................................... 298
n’te rod .................................................... 95
nul ............................................................ 56
numre ...................................................... 56
nævner .................................................... 84
nøgletal .........................................301–303
O
observationer ....................................... 299
observer .................................................. 49
omdrejningspunkt ............................... 288
omkreds – cirkel .................................. 249
omkreds – rektangel ............................ 249
omskreven cirkel .................................. 238
omsætning ....................................255–257
omvendt proportionalitet ...........214–215
opdeling ................................................ 114
opfyldning ............................................ 114
opløse i faktorer ...........................135–136
opsplitning ............................................ 124
opstilling af ligning ......................197–199
optrævling ............................................ 185
ordenstal ................................................. 56
ordinaltal ................................................ 56
ordindsætning ...................................... 346
ordnet med tilbagelægning ........322–326
ordnet uden tilbagelægning .......320–321
ordning ...........................................65, 319
overfladeareal – cylinder .................... 252
overfladeareal – kegle .......................... 253
overfladeareal – kugle ......................... 253
P
parabel ................................................... 212
parallel ................................................... 235
parallelforskydning ............................. 289
parallelogram ....................................... 240
parallelprojektion ................................ 279
parenteser ............................................. 172
parentessætninger .......................176–177
passer ..................................................... 243
periferivinkel ........................................ 241
perlekæde ................................ 59, 62, 112
permutation .......................................... 321
perspektivtegning ........................281–282
pi ............................................................ 249
Stikordsregister // Matematik for alle 371

plantegning ...................................279–280
plus ..................................................99–112
pluspar .................................................. 102
polyeder ........................................241–242
polygon .........................................236–237
polynomium ......................................... 210
portefølje ................................................. 47
positionssystem ...................................... 57
positive tal .............................................. 65
potenser ............................................91–98
potensopløftning .............................93–95
primtal ..................................................... 56
prisme ................................................... 242
problembehandling ............................. 329
problembehandlingskompetence ........ 11
procent ..........................................157–168
procentelastik ....................................... 167
procentpoint ......................................... 158
procentuel vækst ..........................213–214
produkt ................................................. 126
projektarbejde ........................................ 39
promille ................................................. 160
proportional ......................................... 210
pyramide ............................................... 242
Pythagoras’ sætning ....................265–274
Q
quiz og byt ....................................351–358
R
rabat ....................................................... 221
radianer ................................................. 257
radius ..................................................... 240
rationale tal .......................................55, 84
reduktion – ligningsløsning .......190–191
reduktion – tekstopgave ..................... 114
reelle tal ................................................... 56
regnehistorie ........................................ 103
regnehuller .......................................27, 31
regnemetoder ....................................... 103
regneregler ....................................169–178
regnestrategier .................... 101, 336–341
regning med sandsynligheder ....323–325
regningsarternes hierarki ................... 173
regression .............................................. 211
regruppere ............................................ 101
regruppering ........................................ 124
regulær polyeder .................................. 241
regulær polygon ................................... 236
rektangel ............................................... 239
rekursiv formel ..................................... 290
renter .............................................224–227
renters rente ......................................... 225
rentesregning ....................................... 213
repræsentationskompetence ................ 13
rest ......................................................... 144
retfærdig ............................................... 325
ret vinkel ............................................... 257
retvinklet trekant ................................. 237
rombe .................................................... 240
roset ....................................................... 290
rotation .........................................288–289
rumfang – cylinder .............................. 254
rumfang – kasse ................................... 254
rumfang – kegle ................................... 254
rumfang – kugle ...........................254–255
rumfang – prisme ................................ 254
rumfang – pyramide ........................... 254
rumlige figurer .............................241–242
ræsonnementskompetence .................. 12
rødder ....................................... 91–98, 212
S
samfundets dannelse ............................. 18
samfundets nytte ................................... 17
sammenligning .................................... 100
sammenlægning .................................. 100
sammensat rente .................................. 226
sandsynlighed ..............................313–326
selvevaluering ......................................... 48
372 Matematik for alle // Stikordsregister

simulering ............................................. 325
sinus ...................................................... 258
skat .................................................222–224
skema .................................................... 318
skitsetegning ......................................... 280
skyggeleg .......................................354–355
skærmleg .......................................348–349
snorlinge ............................................... 112
spejling .................................................. 288
spejlingsakse ......................................... 288
spejlvende tal .......................................... 58
spids vinkel ........................................... 257
spidsvinklet trekant ............................. 237
spil ..................................43, 325, 356–358
split efter 10-talssystemet ...........105–106
splitte op ............................................... 101
stabeldiagram ....................................... 304
stambrøk ................................................. 85
startskud ................................................. 42
statistik ..........................................297–312
statistiske deskriptorer ................301–303
statistisk sandsynlighed ..... 316, 322–323
stigningstal ........................................... 209
stikprøver ......................................319–322
store tals lov .......................................... 322
strategier ...........................................16, 30
stump vinkel ......................................... 257
stumpvinklet trekant ........................... 237
stykkevis lineær funktion ................... 223
størsteværdi .......................................... 302
subitize .................................................... 54
subitizing ................................................ 28
subtraktion ...................................113–124
subtraktion af brøker ............................ 86
sum ........................................................ 104
sumkurve .............................................. 308
summativ evaluering .......................46–47
summeret frekvens .............................. 300
summeret hyppighed .......................... 300
symboler ................................................. 23
symbol- og formalismekompetence .... 13
symmetri ............................................... 286
synsretning ........................................... 281
særlige behov ....................................26–34
sætning ..........................................265–266
søjlediagram .................................303, 307
T
tabel ...................................... 207, 299–300
tabelperlekæde ..................................... 140
talblindhed ............................................. 27
talfliser .................................................... 60
talfølger .........................................290–291
talhus ....................................................... 75
talkort ...................................................... 61
tallinje ................................54, 59, 80, 112
tal med enheder ..................................... 51
talord ....................................................... 58
tal som antal ........................................... 51
tal som navngivning .............................. 51
tal som ordenstal ................................... 51
taltavle .............................................59, 112
taltromle ................................................. 60
tangens .................................................. 258
tangent .................................................. 240
tankegangskompetence ...................10–11
tapetmønster ................................289–290
tegning ..........................................275–284
tegninger ................................................. 23
teknisk tegning ..................................... 279
tekstopgaver ............................ 24, 38, 342
tekstopgaver – addition ................99–100
tekstopgaver – division ...............141–142
tekstopgaver – multiplikation ....126–127
tekstopgaver – subtraktion .........114–115
teoretisk sandsynlighed ..............316–317
tera ........................................................... 95
termin .................................................... 224
terning ................................................... 242
tessellation ............................................ 290
Stikordsregister // Matematik for alle 373

tidsmål .................................................. 257
tidsmåling ............................................... 56
tier-venner ............................................ 102
todimensional ...................................... 235
to ligninger med to ubekendte ...194–197
tommestok ............................................ 262
tomme tallinje .................60–61, 112, 338
toppunkt ............................................... 212
topvinkel ............................................... 235
tovtrækning .......................................... 338
trapez ..................................................... 240
trappediagram ...................................... 304
tredimensional ..................................... 235
tredjeordenssprog .................................. 22
trekant ...........................................237–239
trigonometriske funktioner ........258–260
triptæller ................................................. 61
træningsopgaver .................................... 38
tyngdepunkt ......................................... 239
typeinterval ..................................306–307
typetal .................................................... 302
tælle baglæns .......................................... 55
tælle i hop ............................................... 55
tællematerialer ....................................... 58
tæller ....................................................... 84
tælleremse ............................................... 53
tælle smart .............................................. 52
tællestrategier ...............................101–102
tælletal ..................................................... 56
tælletræ .........................................317–318
tælle videre ............................................. 55
tønde land ............................................. 256
U
uafhængig variabel .............................. 206
ubekendt ............................................... 183
udfald .................................................... 316
udfaldsrum ........................................... 316
udfoldning ............................................ 282
udgift ..................................................... 221
uendelig mange decimaler ................... 74
ulighed ..........................................189–190
undersøgelser .......................... 42–43, 334
universitetsmatematik ..............................9
uordnet med tilbagelægning ......321–322
usynligt ler ....................................347–348
uægte brøk .............................................. 85
V
valuta .............................................221–222
valutakurs ............................................. 221
variabel ..........................................182, 207
variationsbredde .................................. 302
videnskabelig notation .......................... 98
vinkelben .............................................. 235
vinkelhalveringslinje ...................238–239
vinkelmål ............................. 235, 257–260
vinkelmåler ........................................... 263
vinkelsum ............................................. 239
vægtmål ................................................ 257
værksted .................................................. 40
værktøjer ................................................. 34
X
x-akse .................................................... 206
Y
y-akse .................................................... 206
ydelse ..................................................... 224
Z
Z ............................................................... 65
Æ
ægte brøk ................................................ 85
Ø
økonomi ........................................219–230
øvre kvartil ........................................... 303
374 Matematik for alle // Stikordsregister

Å
åbent interval ....................................... 306
åbne opgaver ...................41–42, 331–335
Stikordsregister // Matematik for alle 375