Vorlesung Ringe und Moduln Dirk Kussin - Institut für Mathematik ...

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Vorlesung Ringe und Moduln Dirk Kussin - Institut für Mathematik ...

1.1.1. Ringe.

KAPITEL 1

Grundlagen

1.1. Definition und Beispiele von Ringen

1.1.1. Unter einem Ring verstehen wir immer einen assoziativen Ring

(d. h. + und · sind assoziativ) mit Einselement. Ein Ring ist eine Menge

R mit zwei Verknüpfungen + : R × R −→ R (“Addition”) und · : R ×

R −→ R (“Multiplikation”), wobei (R, +) eine abelsche Gruppe ist und

(R, ·) eine Halbgruppe mit Einselement 1R (man sagt auch: Monoid). Ferner

sind Addition und Multiplikation durch die Distributivgesetzte miteinander

verbunden:

r · (s + t) = r · s + r · t, (r + s) · t = r · t + s · t für alle r, s, t ∈ R.

Hierbei hat man schon die Konvention verwendet, dass · stärker als + bindet,

um Klammern zu sparen. Eine weitere Konvention ist, dass man häufig auch

rs statt r · s schreibt. Ein Ring R heißt kommutativ, falls rs = sr gilt für

alle r, s ∈ R.

Bemerkung 1.1.2 (Monoide). Wie bereits oben angedeutet, ist für einen

Ring R die multiplikative Struktur (R, ·) eine Halbgruppe mit Einselement.

Eine Halbgruppe G mit neutralem Element e (häufig auch Einselement

genannt), nennt man auch Monoid. Halbgruppe bedeutet, dass man eine

Verknüpfung · : G × G −→ G, (g, h) ↦→ g · h = gh hat, die assoziativ ist.

Sind G und H Monoide, so ist eine Abbildung f : G −→ H ein Monoidhomomorphismus,

falls f(gg ′ ) = f(g)f(g ′ ) für alle g, g ′ ∈ G gilt und

f(eG) = eH gilt.

1.1.3. Beispiele für Ringe sind aus den ersten Semestern schon viele bekannt:

• Körper. Also insbesondere Q, R, C, endliche Körper, C(T), Körpererweiterungen

von Q wie Q( √ 3) etc. Körper sind Beispiele für kommutative

Ringe.

• Verzichtet man bei Körpern auf die Kommutativität (der Multiplikation),

so hat man Schiefkörper (auch: Divisionsalgebren). Als

Beispiel hat man den Schiefkörper der Hamiltonschen Quaternionen

H.

• Viele Ringe tauchen als Endomorphismenringe auf: Ist V ein K-

Vektorraum (über dem Körper K); so ist R = EndK(V ) ein Ring;

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