mathe-lmu.de - Mathematisches Institut - LMU

mathematik.uni.muenchen.de

mathe-lmu.de - Mathematisches Institut - LMU

200

150

125

100

50

0

0

Mathe-LMU.de

Doppeltes Abzählen - Seite 8

Money out of nothing? - Seite 28

Nr. 25 – JaNUar 2012

FördervereiN MatheMatik iN WirtschaFt, UNiversität UNd

schULe aN der LUdWig-MaxiMiLiaNs-UNiversität MüNcheN e.v.

0.2

0.4

t

0.6 0.8

T

1

S

T

K


Liebe Leserinnen und Leser,

Sie haben die 25. Ausgabe der ‚mathe-lmu.

de‘ in der Hand. Ich nehme diese Jubiläumsausgabe

als Anlass, allen ehemaligen und gegenwärtigen

Mitgliedern der Redaktion für

ihre Arbeit zu danken.

Die komplette Liste wäre zu lang für diese

Spalte. Deshalb erwähne ich nur einige

Namen, die extrem viel für die Zeitschrift gemacht

haben.

mathe-lmu.de‘ wurde im Wesentlichen von

Herrn Prof. Heinrich Steinlein aufgebaut, und

wir schätzen es sehr, dass er trotz seiner Emeritierung

das aktivste Mitglied des Redaktionsteams

bleibt. Von Anfang an haben Prof.

Helmut Zöschinger und Prof. Volker Eberhardt

die Zeitschrift mitgestaltet. Sie haben,

unter anderem, Artikel und Anzeigen vermittelt

und Korrektur gelesen. Frau Ingrid Schehrer

hat längere Zeit mit der Anzeigenakquisition

die finanzielle Existenz der Zeitschrift

gesichert. Ein besonderer Dank geht an unseren

Graphiker Herrn Gerhard Koehler, der

immer, auch kurz vor der Drucklegung, bereit

ist, noch Änderungen vorzunehmen.

Vitali Wachtel

Zum Titelbild:

Kurse und Charts: Auch wenn sich die Entwicklung

von Aktien nicht vorhersagen lässt,

kann man Optionen bewerten – siehe Seite

28 bis 34. Wir danken der Börse München

für die Hintergrundgraphik des Titels.

Impressum mathe-lmu.de

Herausgeber Förderverein Mathematik

in Wirtschaft, Universität und Schule an der

Ludwig-Maximilians-Universität München e.V.,

Mathematisches Institut, Universität München,

Theresienstr. 39, 80333 München

fmwus@mathematik.uni-muenchen.de

Konto: 1267532, Bankleitzahl 700 500 00,

Bayerische Landesbank

ViSdP Vitali Wachtel, Mathematisches Institut,

Universität München, Theresienstr. 39

80333 München, Tel. 2180-4488

wachtel@mathematik.uni-muenchen.de

Liebes Vereinsmitglied,

mit diesem Heft halten Sie die nunmehr

25. Ausgabe von mathe-lmu.de in Händen;

dieses kleine (und auch nur der Verwendung

des Dezimalsystems geschuldete) Jubiläum

gibt doch Anlass zu einem kurzen Rückblick.

Seit über zwölf Jahren ist ein kleines, aber sehr

engagiertes Redaktionsteam bestrebt, den Leserinnen

und Lesern unserer Vereinszeitschrift

zu jedem Semester eine interessante Ausgabe

präsentieren zu können.

Die „Berichte aus dem Mathematischen Institut

sowie ausführlichen Artikel zu wichtigen

Ereignissen halten Sie über die aktuelle Entwicklung

unseres Departments auf dem Laufenden;

so können Sie sich auch über Veranstaltungen,

meist unter Beteiligung unseres

Fördervereins, informieren. In jedem Heft berichten

unsere Studentinnen und Studenten

über ihre Erfahrungen bei Auslandsaufenthalten

und bei Praktika, und unsere Absolventinnen

und Absolventen geben einen Einblick

in ihren beruflichen Werdegang und erzählen

über die Rolle, die die Mathematik dabei

spielt. Und in jeder Ausgabe findet sich ein

interessanter Artikel zu einem fachmathematischen

Thema sowie unsere Rätselecke mit

stets neuen kniffligen Aufgaben.

So darf ich Ihnen auch bei dieser „Jubiläumsausgabe“

eine anregende Lektüre wünschen!

Ihr Erwin Schörner

Redaktion Katharina Belaga, Ulrich Derenthal,

Bernhard Emmer, Peter Pickl, Daniel Rost,

Erwin Schörner, Heinrich Steinlein,

Vitali Wachtel

Auflage 5000

Layout Gerhard Koehler, München,

kws@kws-koehler.de

Druck Siller Offsetdruck, Künzelsau

Die Redaktion bedankt sich bei den Firmen, die

mit ihren Anzeigen die Herausgabe dieser Zeitung

ermöglichten. Wir bitten die Leser um

freundliche Beachtung der Anzeigen.

3


35

46

26

38

4

100

15

35

43 0

57

57

Berichte aus dem Mathematischen Institut

Studienangebot und Einschreibung

Das bereits zum Wintersemester 2010/11 erheblich

erweiterte Studienangebot des Mathematischen

Instituts mit den Bachelor- und

Masterstudiengängen in Mathematik und

Wirtschaftsmathematik sowie den modularisierten

Lehramtsstudiengängen in allen

Schularten erfreute sich auch im Wintersemester

2011/12 einer ausgesprochen großen

Beliebtheit bei den Studienanfängerinnen

und Studienanfängern.

Das Diagramm über die Neueinschreibungen

in einen mathematischen Studiengang

der LMU München zeigt, dass sich die Zahl

der Immatrikulationen von dem bereits sehr

hohen Niveau des Wintersemesters 2010/11

nochmals um rund 54% auf nunmehr 835

Studierende, die ein Mathematikstudium an

unserem Institut aufgenommen haben, erhöhte.

Auf diese Steigerung, die in dieser

Größenordnung nicht allein auf den doppelten

Abiturjahrgang in Bayern und die Ausset-

900

800

700

600

500

400

300

200

900

800

700

600

500

400

300

200

11 35

100 33

31

64

67

0

85

74

14

54

87 35

31 37

35

100

46

37

32

67 3

102 25

26

32

3 38

125 25

99

1

67

3

15

110

35

43

35

107 46 57

26

57

38

87

3

122

11

33

15 64

35

134 43

85

57

74

57

119

82 77 79

11

87

33

64

149

102

85

102 125 125

87

99

74

167

1

62

14 67

54

134 100

87

Studienanfängerzahlen Studienanfängerzahlen Mathematisches Mathematisches Institut Institut

Studienanfängerzahlen Mathematisches Institut

14

54

1

3

1

67 110

159 100

107

122

3

160 110

107

119

262 87

3

266

122

149

12

14 134

167

119

299

249

224

1

99 82 82 77 77

79 79 62

1 3

2

53

82 79 65

3

134

145

99

zung der Wehrpflicht zurückzuführen ist, hat

sich das Mathematische Institut schon seit

Längerem vorbereitet, so dass auch weiterhin

sehr gute Studienbedingungen gewährleistet

werden können.

Besonders erwähnenswert ist der überwältigende

Ansturm auf den neu konzipierten

und auf die besonderen Anforderungen in

der Finanz- und Versicherungswirtschaft zugeschnittenen

Bachelorstudiengang Wirtschaftsmathematik,

der mit 299 Erstsemestern

nahezu eine Versechsfachung der Immatrikulationen

im Vergleich zu seinem Start

im letzten Jahr verzeichnen konnte. Auch die

beiden zum Wintersemester 2010/11 eingeführten

Masterstudiengänge Mathematik und

Wirtschaftsmathematik legten in der Gunst

der Studierenden deutlich zu.

Zum Wintersemester 2011/12 startet der International

Master Business Mathematics

in Kooperation der LMU München mit den

Universitäten in Evry (Frankreich) und Bo-

145

Internationaler

Masterstudiengang

Internationaler Internationaler

Masterstudiengang

Masterstudiengang

145

Mathematik Mathematik als als

Unterrichtsfach Unterrichtsfach

Lehramt Lehramt an Gymnasien an Gymnasien

Mathematik als

Unterrichtsfach 266 Diplom

266 Diplom

Wirtschaftsmathematik

Wirtschaftsmathematik

Lehramt an Gymnasien

Diplom Diplom Mathematik Mathematik

160 160

Diplom

12 12

134 Wirtschaftsmathematik 14

134

14

159 159

Master Master Wirtschaftsmathematik

Wirtschaftsmathematik

Diplom Mathematik

149

Master Master Mathematik Mathematik

Master Wirtschaftsmathematik

262 262 299 299 Bachelor Bachelor

Wirtschaftsmathematik

249

Wirtschaftsmathematik

249

Master 224 Mathematik

224

Bachelor Bachelor Mathematik Mathematik

167

Bachelor 2 2

1

53

Wirtschaftsmathematik

1 3

53

3

1

82

99

82

99

62 Bachelor 79 Mathematik

79 65 65


logna (Italien). In jedem akademischen Jahr

können bis zu fünf Studierende von jeder

der beteiligten Hochschulen an diesem Programm

teilnehmen, das auch Studienaufenthalte

von einem oder zwei Semestern an

einer oder sogar beiden Partneruniversitäten

vorsieht. Die Absolventinnen und Absolventen

des International Master erwerben, je

nach persönlichem Studienverlauf, die Abschlüsse

von zwei oder sogar allen drei bei

diesem interessanten Studienangebot kooperierenden

Universitäten.

Auch in diesem Jahr wurde wieder ein Brückenkurs

„0. Semester“ Mathematik angeboten;

in den beiden ersten Oktoberwochen

und damit unmittelbar vor Beginn der eigentlichen

Vorlesungszeit des Wintersemesters

2011/12 bereiteten Herr Prof. Stefan Ufer,

Herr Prof. Daniel Rost und Herr Dr. Erwin

Schörner zusammen mit einem engagierten

Team die Erstsemester in den verschiedenen

mathematischen Studiengängen mit interessanten

Fragestellungen, die vormittags

in Vorlesungen und nachmittags in Übungen

und Tutorien behandelt wurden, auf die universitäre

Mathematik vor und erleichterten so

den Teilnehmerinnen und Teilnehmern den

Start ins Mathematikstudium.

Am 5. Oktober 2011 fand erstmals der Lehramtstag

des Münchener Zentrums für Lehrerbildung

statt; diese Informationsveranstaltung

für Studierende unmittelbar vor Beginn

ihres Lehramtsstudiums an der LMU München

wurde auch vom Mathematischen Institut

angeregt und konzeptionell begleitet.

Dabei wurde neben dem Aufbau des erziehungswissenschaftlichen

Studiums und der

Schulpraktika auch die Struktur der beiden

Unterrichtsfächer (Lehramt Realschule oder

Gymnasium) beziehungsweise des Unterrichtsfaches

und der drei Didaktikfächer

(Lehramt Grund- oder Hauptschule) erläutert;

daneben wurden wichtige Hinweise zur

Stundenplangestaltung und zur Belegung von

Lehrveranstaltungen gegeben. Der Lehramtstag

stieß bei den Erstsemestern und auch

den übrigen Beteiligten auf eine derart positive

Resonanz, dass er in unverändertem

Format auch in diesem Jahr stattfinden soll.

Personalien

Zum Wintersemester 2011/12 konnte das Mathematische

Institut weitere drei Berufungsverfahren

erfolgreich zum Abschluss bringen.

Frau Prof. Dr. Hedwig Gasteiger nahm

den Ruf auf die neu geschaffene W2-Professur

für Didaktik der Mathematik (Schwerpunkt

Grundschule) an, die eine zentrale Rolle bei

der Betreuung der jährlich rund 400 Studierenden

des Grundschullehramts im Bereich

der Mathematikdidaktik spielt. Darüber hinaus

wurden Herr Prof. Dr. Max von Renesse (TU

Berlin) auf eine W2-Professur für Stochastik

und Herr Prof. Dr. Gerasim Kokarev (Edinburgh)

auf eine W1-Juniorprofessur für Mathematik

im Rahmen des Elitemasterstudiengangs

„Theoretische und Mathematische Physik“ berufen.

Die drei neuen Kolleginnen und Kollegen

werden auf Seite 6 und 7 vorgestellt.

Veranstaltungen

Auch 2011 fand in der letzten Woche der

bayerischen Sommerferien das überaus erfolgreiche

Probestudium „LMU-Mathe-Sommer“

statt; Herr Prof. Dr. Ulrich Derenthal,

unterstützt von weiteren Professoren und

zahlreichen Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern

des Mathematischen Instituts, bot heuer

unter dem Motto „Kettenbrüche“ interessierten

Oberstufenschülerinnen und Oberstufenschülern

eine Einführung in dieses spannende

Teilgebiet der Zahlentheorie. Viele

Teilnehmerinnen und Teilnehmer nutzten

auch im letzten Jahr die Gelegenheit, sich ein

5


6

authentisches Bild vom Mathematikstudium

an der LMU zu machen.

Am 27. und 28. Oktober 2011 veranstaltete

der Lehrstuhl für Finanzmathematik die

Autumn School 2011 zum Thema „Mathematical

Methods in Finance and Insurance“.

Das Programm umfasste neben den beiden

Vorlesungsreihen „Stochastic simulation: Methods

and applications in finance and insurance

models“ von Herrn Prof. Dr. Hansjörg

Albrecher (Lausanne) und „Affine processes:

Theory & Applications“ von Herrn Prof. Dr.

Josef Teichmann (ETH Zürich) auch den Vortrag

„Exotics in disguise“ von Herrn Dr. Jörg

Kienitz (Deutsche Postbank AG).

Die Fakultät für Mathematik, Informatik und

Statistik veranstaltete am 18. November 2011

ein Festkolloquium aus Anlass der Goldenen

Promotionen von Herrn Prof. Dr. Helmut

Behr, Herrn Prof. Dr. Rudolf Borges, Herrn

Prof. Dr. Otto Forster, Herrn Dr. Friedrich

Gebhardt und Herrn Prof. Dr. Albrecht Pfister.

Einen Bericht finden Sie auf Seite 12/13.

Die Reihe „Mathematik am Samstag“, die sich

seit mehr als zehn Jahren an alle Interessierten,

vor allem aber an Schülerinnen und

Schüler der gymnasialen Oberstufe richtet,

wird auch in diesem Frühjahr mit drei interessanten

Vorträgen fortgesetzt; das genaue Programm

steht auf Seite 11.

Die Verabschiedung der Studierenden, die im

vergangenen akademischen Jahr einen Abschluss

in Mathematik oder Wirtschaftsmathematik

erworben haben, erfolgt seit zwei

Jahren in einer eigenen Veranstaltung, um unseren

Ehemaligen einen feierlichen Rahmen

zur Würdigung ihrer akademischen Leistungen

zu bieten. Die Absolventenfeier für den Abschlussjahrgang

2010/11 findet voraussichtlich

im Frühjahr 2012 in Zusammenarbeit mit dem

Förderverein Mathematik statt.

Neu am Institut

Prof. Hedwig Gasteiger

Seit Oktober 2011 ist

Hedwig Gasteiger als

Professorin für Didaktik

der Mathematik –

Schwerpunkt Grundschule

an der LMU

tätig. Sie studierte Lehramt

an Grundschulen mit Unterrichtsfach

Mathematik und wirkte von 1994 bis 2002

als Lehrerin im Landkreis Freising. Anschließend

wechselte sie an das Staatsinstitut für

Schulqualität und Bildungsforschung in München.

Dort war sie als Institutsrektorin für

das Referat Mathematik Grund- und Hauptschule

zuständig. Im Jahr 2007 wechselte

Hedwig Gasteiger an den Lehrstuhl für Didaktik

der Mathematik und Informatik der

LMU, wo sie bis 2010 zunächst als Dozentin

tätig war und ihre Promotion abschloss.

Sie übernahm dann für ein Jahr die Vertretung

des Lehrstuhls Didaktik der Mathematik

und Informatik sowie die Vertretung der Professur

für Didaktik der Mathematik – Schwerpunkt

Grundschule.

Im Fokus des Forschungsinteresses von

Hedwig Gasteiger stehen in erster Linie die

mathematischen Lehr- und Lernpro zesse im

vorschulischen und schuli schen Bereich und

insbesondere die Über gänge zwischen den

verschiedenen Institutionen. Unter anderem

befasst sie sich mit Rechenstrategien von

Grundschulkindern, elementarer mathematischer

Bildung, der Professionalisierung von

Erzieherinnen und Erziehern sowie mit der

Entwicklung und Erfassung mathematischer

Kompetenz.

Die Ausbildung hochqualifizierter Nachwuchswissenschaftlerinnen

und -wissenschaftler

ist ihr ein großes Anliegen, da

gerade im Bereich Grundschule eklatanter

Nachwuchsmangel herrscht.


Neu am Institut

Prof. Gerasim Kokarev

Im Oktober 2011 trat

Gerasim Kokarev eine

Juniorprofessur im Bereich

Geometrie an.

Herr Kokarev studierte

Mathematik und Angewandte

Mathematik

an der Lomonossow-Universität in Moskau.

Danach promovierte er im Juli 2004 an der

Heriot-Watt University (Edinburgh, Großbritannien)

unter der Betreuung von Prof. Dr.

Sergei Kuksin zum Thema „Elements of Qualitative

Theory of Quasilinear Elliptic Partial

Differential Equations for Mappings Valued

in Compact Manifolds“. Nach einer kurzen

Zeit als Postdoktorand an der Heriot-Watt

University erhielt Herr Kokarev ein persönliches

Forschungsstipendium des „Engineering

and Physical Sciences Research Council“ und

wechselte zur Edinburgh University, wo er

dreieinhalb Jahre verbrachte. Dieses Stipendium

ermöglichte zahlreiche wissenschaftliche

Aufenthalte an verschiedenen Universitäten,

u.a. ETH Zürich, Warwick Mathematical

Institute, Ludwig-Maximilians-Universität

München und CMI Marseille.

Nach einem sechsmonatigen Forschungsaufenthalt

im Jahr 2009 bei Prof. Dr. Dieter Kotschick

in München ging er für zwei Jahre mit

einem Marie-Curie-Stipendium an die Universität

Cergy-Pontoise (Frankreich).

Die Forschungsinteressen von Gerasim Kokarev

liegen an der Schnittstelle zwischen Differentialgeometrie

und Analysis. Insbesondere

interessiert er sich für geometrische und

analytische Eigenschaften harmonischer Abbildungen

und für Variationsprobleme in der

Spektralgeometrie. Früher hat er auch über

Modulräume von Lösungen elliptischer partieller

Differentialgleichungen gearbeitet.

Neu am Institut

Prof. Max von Renesse

Max von Renesse ist

seit dem Wintersemester

2011/2012 W2-Professor

für Stochastik am

Mathematischen Institut.

Sein Studium absolvierte

er in Marburg, St.

Petersburg und Bonn, wo er im Jahre 2002 mit

einem Thema aus der Stochastischen Analysis

promovierte. Nach einem Ausflug in die Wirtschaft

im Jahre 2003 als Bankberater für Risiko-Management

erfolgte die Rückkehr an die

Universität mit Stationen in Berlin, New York,

Leipzig und schließlich wieder Berlin. Im Jahre

2010 habilitierte er sich an der TU Berlin.

In seiner Forschung beschäftigt er sich mit dem

Zusammenspiel von Zufall und Geometrie. Als

ein Beispiel stelle man sich eine zufällig umherirrende

Ameise auf einer Autokarosserie

vor. Eine typische Frage ist, welche Eigenschaften

der Autokarosserie man allein aus einer

kurzen Beobachtung der zufälligen Ameisenbewegung

ablesen kann oder wie lange man

typischerweise warten muss, bis die Ameise

„fast alle“ Punkte auf der Karosserie mindestens

einmal besucht hat. Eine wichtige Größe

dabei ist die Krümmung der Oberfläche und

deren Beschreibung durch die Boltzmann-Entropie

als Funktion von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

auf der Oberfläche. Dabei tritt die

Frage auf, wie man Wahrscheinlichkeitsverteilungen

auf der Oberfläche auf möglichst sparsame

Weise umordnen kann (sog. Optimaler

Massentransport). Andere Aspekte seiner

Arbeit behandeln Anwendungen von optimalem

Massentransport im Bereich von Quantenfluiden

sowie schließlich Modelle von zufällig

gestörten physikalischen Prozessen, wie etwa

die Ausbreitung von Wärme in „chaotischen“

Medien oder Zufalls-Effekte beim Entmischen

von Mehrkomponenten-Flüssigkeiten.

7


8

Doppeltes Abzählen

Ulrich Derenthal, Daniel Harrer

1 Überdeckungszahlen & Fibonacci-Folge

Wie viele Möglichkeiten gibt es, ein Brett der

Größe 1 × n mit Steinen vollständig zu bedecken,

die die Größe 1 × 1 und 1 × 2

haben? Um diese und andere kombinatorische

Fragen zu beantworten, werden wir das

Prinzip des doppelten Abzählens kennenlernen.

Viele der hier vorgestellten Beispiele

und zahlreiche weitere sind auch im Buch

[BQ, Kapitel 1 & 5] zu finden.

Die „Einer-Steine“ der Größe 1 × 1 und

„Zweier-Steine“ der Größe 1 × 2 dürfen

sich dabei nicht überschneiden und nicht

über die Grenzen des Bretts hinausragen.

Die Anzahl der Überdeckungsmöglichkeiten

eines „n-Bretts“ der Größe 1 × n bezeichnen

wir mit F(n).

Abbildung 1: 4-Brett, Einer-Stein, Zweier-Stein.

Offenbar kann man für ein 1-Brett nur einen

Einer-Stein verwenden, so dass F(1) = 1.

Weil man ein 2-Brett mit zwei Einer-Steinen

oder einem Zweier-Stein bedecken kann, gilt

F(2) = 2. Abbildung 2 illustriert F(3) = 3.

Abbildung 2: F(3) = 3.

Die Anzahl der Überdeckungen eines n-

Bretts mit beliebigem n ≥ 3 zählen wir nun

auf zwei Arten ab: Einerseits hatten wir diese

Zahl bereits mit F(n) bezeichnet. Andererseits

gehört jede Überdeckung zu genau einer der

folgenden Gruppen: Entweder beginnt sie

mit einem Einer-Stein und setzt sich mit irgendeiner

Überdeckung des verbleibenden

(n – 1)-Bretts fort; hierfür gibt es F(n – 1)

Möglichkeiten. Oder sie beginnt mit einem

Zweier-Stein, so dass weiter ein (n – 2)-Brett

zu überdecken ist, wofür es F(n – 2) Möglichkeiten

gibt. Wir haben für n ≥ 3 die Formel

F(n) = F(n – 1) + F(n – 2)

hergeleitet, so dass wir beginnend mit

F(1) = 1, F(2) = 2 ganz einfach

F(3) = 3, F(4) = 5, F(5) = 8, F(6) = 13,

F(7) = 21, F(8) = 34, …

berechnen können.

Abbildung 3: F(4) = F(3) + F(2).

Die Folge der Überdeckungszahlen stimmt

also im Wesentlichen mit der bekannten

Fibonacci-Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,

34, … überein, bei der nach den Anfangsgliedern

0, 1 jedes Folgenglied ebenfalls

Summe der beiden vorhergehenden ist.

Um zu zeigen, dass

F(m + n) = F(m) • F(n) + F(m – 1) • F(n – 1)

für beliebige m, n gilt, können wir uns ein

(m + n)-Brett aus einem m- und einem n-

Brett zusammengesetzt vorstellen. Kombiniert

man beliebige Überdeckungen der einzelnen

Bretter, erhält man F(m) • F(n) Überdeckungen

des Gesamtbretts, wobei nie ein

Zweier-Stein die Kante zwischen den Einzelbrettern

überdeckt. Die Anzahl der Überdeckungen

mit einem Zweier-Stein an dieser


Stelle ist wegen der Größe der auf beiden

Seiten des Zweier-Steins übrigbleibenden

Teilbretter gerade F(m – 1) • F(n – 1).

Abbildung 4: F(9) = F(5) · F(4) + F(4) • F(3).

Übung 1. Zu beweisen ist, dass

1 + F(2) + F(4) + F(6) + … + F(2n)

= F(2n + 1)

für jede natürliche Zahl n gilt. (Hinweis:

Abzählen nach der Position des letzten

Einer-Steins.)

Übung 2. Warum gilt

1 + F(1) 2 + F(2) 2 + … + F(n – 1) 2 + F(n) 2

Formeln-Heft25

Formeln-Heft25

= F(n) • F(n + 1)

für jede natürliche Zahl n?

rmeln-Heft25

2 Binomialkoeffizienten

( n

Formeln-Heft25-04

Die Anzahl der Möglichkeiten, aus den

Zahlen 1, …, n genau k verschiedene Zahlen

(mit 1 ≤ k ≤ n) ohne Beachtung der Reihenfolge

auszuwählen, bezeichnet man mit dem

Binomialkoeffizienten ( . Als praktisch erweist

es sich, zusätzlich = 1 zu definieren sowie

= 0, falls k < 0 oder k > n.

n

k)

( n

(

0)

n

k)

( n

0)

( n

k)

9

Formeln-Heft25

Übung 3. Warum gilt ( n

n−k)

( n

k) =

n!

k !⋅(n−k )!

( n

(

⋅(

m

k ) =(

n ⋅(

n−k

m−k)

n

n−k)

( n

k) =

n!

k !⋅(n−k )!

( n

(

m) ⋅(

m

k ) =(

n

k) ⋅(

n−k

m−k)

n

0)

(

n!

n

k) =(

n

n−k) ?

left ( binom{n}{k} right weil ) die newline Anzahl newline der Möglichkeiten, left ( binom{n}{0} aus den

right )newline newline Zahlen left ( 1, binom{n}{n-k} …, n zunächst right m und )newline im zweiten

newline left ( binom{n}{k} Schritt right k von )`=`{n!} diesen over m Zahlen {k!`cdot`(n-k)!} auszuwäh-

newline newline left len, ( binom{n}{m} offenbar dieselbe right ist )`cdot`left wie die ( Anzahl der

binom{m}{k} right )`=`left Möglichkeiten, ( binom{n}{k} zunächst right aus )`cdot`left 1, …, n genau ( k

binom{n-k}{m-k} right )newline newline

( n

n−k)

k) =

k !⋅(n−k )!

m)

k)

Formeln-Heft25

D.h.: Warum gibt es unter den Zahlen 1, …, n

genauso viele Möglichkeiten, k Zahlen auszuwählen,

wie es Möglichkeiten gibt, n – k

Zahlen auszuwählen?

Formeln-Heft25

( n

k)

Um eine Formel zur Berechnung voninn

herzuleiten, zählen wir die Anzahl der Möglichkeiten,

l, …, n in beliebiger Reihenfolge (

aufzuschreiben, doppelt ab. Einerseits gibt

es für die erste Zahl n Möglichkeiten, für die

zweite Zahl n – 1 Möglichkeiten, …, für die

vorletzte Zahl zwei Möglichkeiten und für

die letzte Zahl nur eine Möglichkeit, also

insgesamt n • (n – 1) • • • 2 • 1 = n! Möglichkeiten.

Andererseits erhalten wir alle Reihenfolgen

auch, indem wir zunächst k verschiedene

Zahlen ohne Beachtung der Reihenfolge auswählen

( Möglichkeiten) und dann zunächst

diese k Zahlen (k! Möglichkeiten) und

dann die verbleibenden n – k Zahlen ((n – k)!

Möglichkeiten) in jeweils beliebiger Reihenfolge

aufschreiben. Wir erhalten

left ( binom{n}{k} right ) newline newl

right )newline newline . left ( binom{n}

newline left ( binom{n}{k} right )`=`{n!

newline newline left ( binom{n}{m} rig

Zusammenhänge binom{m}{k} zwischen right verschiedenen

)`=`left ( binom{n}{k

Binomialkoeffizienten binom{n-k}{m-k} kann man right manchmal )newline newlin

mit Hilfe dieser Formel, aber oft mit doppeltem

Abzählen beweisen.

Es gilt beispielsweise

,

n

0)

( n

n−k)

( n

k) =

n!

k !⋅(n−k )!

( n

Formeln-Heft25

m) ⋅(

m

k ) =(

n

k) ⋅(

n−k

m−k)

( n

k)

( n

0)

( n

n−k)

( n

k) =

n!

k !⋅(n−k )!

( n

(

m) ⋅(

m

k ) =(

n

k) ⋅(

n−k

m−k)

n

k)

( n

0)

( n

n−k)

( n

k) =

n!

k !⋅(n−k )!

( n

(

m) ⋅(

m

k ) =(

n

k) ⋅(

n−k

m−k)

n

k)

( n

0)

( n

n−k)

( n

k) =

n!

k !⋅(n−k )!

⋅(

m ⋅(

n−k

m−k)

( n

m)

k )

=(

n

k)


Formeln-Heft25-02

ormeln-Heft25-02

10

Formeln-Heft25-02

Formeln-Heft25-02

( m+n

k )

( m+n

k )

( m+n

k )

( m

a)

Stück auszuwählen und dann m – k der verbleibenden

n – k Zahlen zu ergänzen.

Übung 4. Der Binomialkoeffizient ( ist die

Summe aller · über a = 0, …, k.

Übung 5. Der Binomialkoeffizient ist

die Anzahl der Möglichkeiten, k nicht zu

unterscheidende Objekte in mit 1, …, n

durchnummerierte Becher zu verteilen.

Diese Zahl stimmt mit der Summe aller

· überein, wobei a alle ganzen

Zahlen von 0 bis (abgerundet) durchläuft.

3 Überdeckungszahlen und

Binomialkoeffizienten

Nicht unbedingt zu erwarten ist, dass sich

die Überdeckungszahlen und damit auch die

Fibonacci-Zahlen durch geschicktes Abzählen

als Summe von Binomialkoeffizienten

ausdrücken lassen.

Dazu left ( zählt binom{m+n}{k} man die Anzahl right ) der newline Überde- newline left ( binom{m}{a}

ckungen right )newline eines n-Bretts newline nach left ( der binom{n}{k-a} Anzahl a right )newline

der

newline

in einer

left

Überdeckung

( binom{m}{0}

vorkommenden

right )newline newline left (

Zweier-Steine ab. Die Anzahl der Einer-Steine

binom{n}{0} right )newline newline left ( binom{n+k-1}{k} right

ist dann n – 2a, so dass das Brett von ins-

)newline newline left ( binom{n+a-1}{a} right )newline newline

left ( binom{n}{k-2`a} right )newline newline {k} over {2}

m+n

k )

( m

a)

( n

k−a)

( m

0)

( n

0)

( n+k−1

k )

( n+a−1

(

a )

n

( k−2 a)

k

2

{m+n}{k} right ) newline newline left ( binom{m}{a}

e newline left ( binom{n}{k-a} right )newline

( binom{m}{0} right )newline newline left (

right )newline newline left ( binom{n+k-1}{k} right

line left ( binom{n+a-1}{a} right )newline newline

{n}{k-2`a} right )newline newline {k} over {2}

m+n

k )

( m

a)

( n

k−a)

( m

0)

( n

0)

( n+k−1

k )

( n+a−1

(

a )

n

( k−2 a)

k

2

om{m+n}{k} right ) newline newline left ( binom{m}{a}

wline newline left ( binom{n}{k-a} right )newline

left ( binom{m}{0} right )newline newline left (

}{0} right )newline newline left ( binom{n+k-1}{k} right

newline left ( binom{n+a-1}{a} right )newline newline

om{n}{k-2`a} right )newline newline {k} over {2}

m+n

k )

( m

a)

( n

k−a)

( m

0)

( n

0)

( n+k−1

k )

( n+a−1

(

a )

n

( k−2 a)

k

2

left ( binom{m+n}{k} right ) newline newline left ( binom{m}{a}

right )newline newline left ( binom{n}{k-a} right )newline

newline left ( binom{m}{0} right )newline newline left (

binom{n}{0} right )newline newline left ( binom{n+k-1}{k} right

)newline newline left ( binom{n+a-1}{a} right )newline newline

left ( binom{n}{k-2`a} right )newline newline {k} over {2}

n

k−a)

( m

0)

( n

0)

( n+k−1

k )

( n+a−1

(

a )

n

( k−2 a)

k

2

ight ) newline newline left ( binom{m}{a}

left ( binom{n}{k-a} right )newline

}{0} right )newline newline left (

line newline left ( binom{n+k-1}{k} right

binom{n+a-1}{a} right )newline newline

right )newline newline {k} over {2}

m+n

k )

( m

a)

( n

k−a)

( m

0)

( n

0)

( n+k−1

k )

( n+a−1

(

a )

n

( k−2 a)

k

2

+n}{k} right ) newline newline left ( binom{m}{a}

newline left ( binom{n}{k-a} right )newline

binom{m}{0} right )newline newline left (

ht )newline newline left ( binom{n+k-1}{k} right

ne left ( binom{n+a-1}{a} right )newline newline

{k-2`a} right )newline newline {k} over {2}

m

a)

( n

k−a)

( m

0)

( n

0)

( n+k−1

k )

( n+a−1

(

a )

n

( k−2 a)

k

2

om{m+n}{k} right ) newline newline left ( binom{m}{a}

wline newline left ( binom{n}{k-a} right )newline

left ( binom{m}{0} right )newline newline left (

}{0} right )newline newline left ( binom{n+k-1}{k} right

newline left ( binom{n+a-1}{a} right )newline newline

om{n}{k-2`a} right )newline newline {k} over {2}

m

a)

( n

k−a)

( m

0)

( n

0)

( n+k−1

k )

( n+a−1

gesamt n – a Steinen bedeckt wird. Eine

solche Überdeckung ist dann durch die beliebige

Wahl der Positionen der a Zweier-

Steine unter den n – a Steinen eindeutig bestimmt,

so dass es genau ( Überdeckungen

mit genau a Zweier-Steinen gibt. Wir erhalten

die Formel

F(n)

a )

,

n

( k−2 a)

k

2

wobei k die Höchstzahl der möglichen

Zweier-Steine, also die abgerundete Hälfte

von n ist.

Übung 6. Seien n und k natürliche Zahlen

mit n > k. Warum stimmt die Summe aller

· F(n – a) über a = 0, …, k mit F(n + k)

überein?

left ( binom{n-a}{a} right )

Literatur

[BQ] A. T. Benjamin, J. J. Quinn: Proofs that Really

Count – The Art of Combinatorial Proof. The Dolciani

Mathematical Expositions 27.

Washington, DC: The Mathematical Association of

America (2003)

n−a

Formeln-Heft25-03

a )

F (n) =( n

0) +(

n−1

1 ) +(

n−2

2 ) +⋅⋅⋅+(

n−k

k )

( k

F (n) =(

a)

n

0) +(

n−1

1 ) +(

n−2

2 ) +⋅⋅⋅+(

n−k

k )

( k

a)

DAAD-Preis 2011 für Mikhail Khotyakov

F(n)`=` left ( binom{n}{0} right )`+`left ( binom{n-1}{1} right

)`+`left ( binom{n-2}{2} right )+`cdot `cdot `cdot`+left (

Der mit 1000 Euro binom{n-k}{k} dotierte DAAD-Preis right )newline für newline lich-interkulturellen newline left ( Engagements. binom{k}{a} Insbeson-

den besten ausländischen right ) newline Studenten, den die dere führte Herr Khotyakov in Proseminaren

Universität München jedes Jahr einmal verlei- mit Prof. Fritsch Lehramtsstudierende an das in

hen kann, ging 2011 an unseren Mathematik- Russland weit verbreitete didaktische Modell

studenten Mikhail Khotyakov in Anerkennung

seiner besonderen akademischen Leistungen

und seines bemerkenswerten gesellschaft-

der „Mathe-Zirkel“ heran, in denen Schülerin-

F(n)`=` left ( binom{n}{0} right )`+`left ( binom{

nen und Schüler spielerisch mit der Mathema-

)`+`left ( binom{n-2}{2} tik vertraut right gemacht )+`cdot werden.

`cdot `cdot


Mathematik

am

Samstag 2012

Samstag, den 11.02.2012, 14.15 – 15.30 Uhr, HS A 027

Dustin Lazarovici

Das mathematische Kontinuum und die

Paradoxien des Zenon

Eines der fantastischsten Dinge an der Mathematik ist, dass

sie uns erlaubt, das Unendliche greifbar zu machen und seine

Wahrheiten zu erforschen. So ist etwa die mathematische Analysis

das Studium des Kontinuums, des unbegrenzt Teilbaren, und damit

unserer Modelle von Raum und Zeit. Und doch erinnern uns die Paradoxien

des Zenon seit zweieinhalb Jahrtausenden daran, dass wir mit

der Unendlichkeit an die Grenzen des Denkbaren und Begreifbaren

stoßen.

Samstag, den 03.03.2012, 14.15 – 15.30 Uhr, HS C 111

Prof. Dr. Werner Bley

Elliptische Kurven und die Fermatsche Vermutung

Vor über 350 Jahren formulierte der französische Mathematiker

Pierre de Fermat die folgende Vermutung,

die heute oft Fermats letzter Satz genannt

wird: Es gibt keine natürlichen Zahlen x, y, z, so

dass für n > 2 die Gleichung x n + y n = z n

gilt. Er glaubte wohl auch, einen

Beweis hierfür zu haben, denn er

vermerkte am Rand seiner Ausgabe

von Diophantos´ Arithmetica: „Ich habe

hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis, doch ist

dieser Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen.“ Mehr wurde darüber

nicht in Fermats Nachlass gefunden, und heute glaubt wohl niemand mehr, dass

Fermats Beweis mathematisch korrekt war. Erst 1994 sollte es dem englischen Mathematiker

Andrew Wiles gelingen, aufbauend auf den Resultaten vieler anderer Mathematiker, Fermats

letzten Satz zu beweisen. Im Vortrag wird kurz auf die Geschichte des Satzes von Fermat eingegangen

und dann die überaus überraschende Beweisstrategie skizziert.

Samstag, den 17.03.2012, 14.15 – 15.30 Uhr, HS C 111

Prof. Dr. Horst Osswald

Ist Zeit kontinuierlich oder diskret?

Es werden „Spiele“ betrachtet, die von Zeit und Zufall abhängig sind. Dabei werden die „Spiele“ mit kontinuierlicher

Zeit mit denen mit diskreter Zeit verglichen. Eine Antwort auf die Frage oben gibt es am

Ende des Vortrags.

Nach allen Vorträgen gibt es Getränke und Gebäck

Mathematisches Institut der LMU München, Theresienstraße 39

11


12

Goldene Promotionen in Mathematik

Im Jahre 2011 hatte das Mathematische Institut

einen guten Grund, eine besondere

Feier zu begehen: Es wurden am 18.11.2011

im Rahmen eines Festkolloquiums fünf goldene

Promotionen verliehen, genauer: Die

Doktorurkunden von fünf Mathematikern, die

im Jahre 1961 an der Ludwig-Maximilians-

Universität den Doktorgrad erworben haben,

wurden erneuert.

Die Jubilare

Mathematik-Dissertationen 1961 an der

Naturwissenschaftlichen Fakultät der

Ludwig-Maximilians-Universität München:

Behr, Helmut

„Über die endliche Erzeugbarkeit

verallgemeinerter Einheitengruppen“

(Doktorvater/Gutachter): Kneser – Richter,

22.2.1961

Emeritus an der Universität Frankfurt

Borges, Rudolf

„Subjektivtrennscharfe Konfidenzbereiche“

(Doktorvater/Gutachter): Richter – Kneser,

22.2.1961

Emeritus an der Universität Frankfurt

Pfister, Albrecht

„Über das Koeffizientenproblem der

beschränkten Funktionen von zwei

Veränderlichen“

(Doktorvater/Gutachter): Stein – Kneser,

22.2.1961

Emeritus an der Universität Mainz

Forster, Otto

„Banachalgebren stetiger Funktionen auf

kompakten Räumen“

(Doktorvater/Gutachter): Stein – Bopp – Möller,

26.7.1961

Emeritus an der LMU München

Dr. Gebhardt, Dr. Borges, Dr. Pfister, Dr. Forster, Dr. Behr

Gebhardt, Friedrich

„Bayeslösungen des Ausreißerproblems“

(Doktorvater/Gutachter): Richter – Bopp –

Güttler, 26.7.1961

Zuletzt tätig in der GMD (Gesellschaft für

Mathematik und Datenverarbeitung) in St.

Augustin

Fieger, Werner

„Über einige Verallgemeinerungen der Riemann-

Stieltjes-Integrale auf Matrixfunktionen“

(Doktorvater/Gutachter): Richter – Bopp –

Britzelmayr, 26.7.1961

Verstorben, zuletzt tätig an der Universität

Karlsruhe

LMU Number Theory Symposium

Wir haben das Festkolloquium in eine hochkarätige

Fachtagung eingebettet:

18.11.2011 Festvortrag, siehe nächste Seite

19.11.2011 Das folgende Programm:

Don Zagier (Max-Planck-Institut für Mathematik,

Bonn und Collège de France, Paris):

The arithmetic of Euler sums

Nikita Semenov (Universität Mainz):

Chow rings of flag varieties

Jörg Brüdern (Universität Göttingen):

Eine senäre kubische Form


Festvortrag

Um dieser Feier einen würdigen Rahmen zu geben, konnten wir den eminenten Mathematiker

Prof. Jean-Pierre Serre aus Paris gewinnen, den Festvortrag zu halten.

Fabien Morel, Jean-Pierre Serre

Jean-Pierre Serre

Jean-Pierre Serre (geb. 1926 in Bages/Frankreich)

ist einer der führenden Mathematiker

des 20. Jahrhunderts und Wegbereiter der

modernen Algebraischen Geometrie, Zahlentheorie

und Topologie.

Promoviert 1951 in Paris bei Henri Cartan,

erhält Serre die Fields-Medaille 1954 im Alter

von knapp 28 Jahren wegen der Resultate

seiner Dissertation zur Berechnung der Homotopiegruppen

von Sphären, die er mittels

der von Jean Leray eingeführten Spektralsequenzen

zur Bestimmung von Kohomologiegruppen

von Garben erzielte, und auch

wegen seiner Anwendungen der Garbentheorie

in der Theorie der komplexen Funktionen

in mehreren Veränderlichen und in

der Algebraischen Geometrie, welche diese

beiden Gebiete auf ein neues Fundament

stellten. Er ist bis heute der jüngste Empfänger

der Fields-Medaille. Er war Mitglied

der Bourbaki-Gruppe und hat eine Reihe

sehr bekannter und einflussreicher Bücher

geschrieben.

Der Einfluss von Serre in mehreren mathematischen

Gebieten ist enorm. Um das für das

Gebiet der Algebraischen Geometrie zu belegen,

sei auf die Briefe zwischen Grothendieck

und Serre (‚Grothendieck-Serre-Cor-

respondence‘,veröffentlicht 2004

von der American

Mathematical Society

gemeinsam

mit der Société

Mathématique de

France) verwiesen,

in denen nachzulesen

ist, welch starken

Einfluss Serre

auf die Entwicklung

der modernen Algebraischen Geometrie

hatte und wie hoch Serres Beiträge und

Anregungen von Alexander Grothendieck

eingeschätzt werden. Zum Beispiel kommt

im Laufe des Jahres 1958 von Serre der Vorschlag,

sogenannte „isotriviale“ Prinzipalfaserbündel

auf algebraischen Varietäten zu studieren.

Dieser Ansatz wurde von Grothendieck

aufgenommen und ausgeweitet zur Einführung

der étalen Topologie und der étalen

Kohomologie. Mit diesen neuen Methoden

konnte Deligne schließlich die Weil-Vermutungen

über die Zeta-Funktion einer projektiven

Varietät über einem endlichen Körper

beweisen.

Serre leistete auch einen wichtigen Beitrag in

der Beweiskette, die von Gerhard Frey über

Ken Ribet bis Andrew Wiles zum Beweis der

Fermat-Vermutung führte.

2003 wird Serre der erste Empfänger des

Abel Preises mit folgendem Zitat:

For playing a key role in shaping the modern

form of many parts of mathematics, including

topology, algebraic geometry and number

theory.

Der Titel seines Festvortrags am 18.11.2011:

Variation with p of the number of solutions

mod p of a system of polynomial equations.

Fabien Morel, Martin Schottenloher

13


14

25 Ausgaben MATHE-LMU.DE – und weiter so

Schlimmer hätte es kaum kommen können:

Nochmals waren die Anfängerzahlen an unserem

Institut um 27% eingebrochen auf

nur noch insgesamt 97 im Wintersemester

1999/2000, davon gerade mal 28 in den Diplomstudiengängen.

Es war klar geworden:

Auch das attraktivste Studienangebot bleibt

ohne ausreichende Resonanz, wenn es nicht

offensiv publik gemacht wird. Und so entstanden

im Studienjahr 1999/2000 gleich mehrere

Projekte der Öffentlichkeitsarbeit: Mathematik

am Samstag, der Tag der Mathematik

(den es seit ein paar Jahren an unserem Institut

nicht mehr gibt), das Probestudium sowie

die Zeitschrift MATHE-LMU.DE.

Letztere war schon im Sommer davor als Initiative

des neugegründeten „Fördervereins Mathematik

in Wirtschaft, Universität und Schule

mathe-lmu.de

Nr. 1 März 2000

Förderverein Mathematik in Wirtschaft, Universität und

Schule an der Ludwig-Maximilians-Universität München e.V.

Von Orangen und Würsten -

Keplers Vermutung (Seite 14)

1

an der Ludwig-Maximilians-Universität München

e.V.“ angeregt worden. Nachdem die

organisatorischen Fragen zu Finanzierung,

Layout und Druck geklärt waren, lag die erste

Ausgabe Anfang März 2000 vor.

Wir hatten uns vorgenommen, einen sehr inhomogenen

Leserkreis anzusprechen: Schülerinnen

und Schüler sowie Lehrkräfte an Gymnasien,

Studierende, Institutsangehörige, Fördervereinsmitglieder,

Mathematiker im Beruf

und noch möglichst viele weitere Interessierte.

Wir hoffen, dass wir dieser fast unlösbaren

Aufgabe einigermaßen gerecht wurden.

Schon bald hatten wir einen festen Katalog

von regelmäßigen Themen: Neuigkeiten

vom Förderverein, Berichte aus dem Mathematischen

Institut, ein mathematischer, meist

anwendungsorientierter Artikel, Schilderungen

von Karrieren unserer Absolventen und

eine Rätselecke. Später kamen noch Berichte

über Auslandssemester und Berufspraktika

hinzu, mit denen wir die Studierenden anregen

wollen, über den Tellerrand des universitären

Studienalltags zu blicken.

Sicher ist manches nur teilweise gelungen, auf

anderes sind wir aber stolz. So konnten wir

in unregelmäßigen Abständen über sehr untypische

und originelle Karrieren berichten

und damit den Gegenbeweis zum Klischee

des introvertierten, weltfremden Mathematikers

antreten: Mathematikerinnen und Mathematiker

sind universell einsetzbar, auch als

Bio-Bauer, Astronautin, Gastwirt, Architekt,

Theologin oder Klimatologin.

Besonders gefreut hat uns, dass wir immer

wieder hochkarätige Autoren für unsere mathematischen

Artikel gewinnen konnten und

diese Reihe sich zu einem Glanzpunkt der

Zeitschrift entwickelte.

Hervorzuheben sind einige Konstanten, die

uns vom ersten Heft an sehr geholfen haben,


nämlich die sehr gute Zusammenarbeit im

Redaktionsteam, die großartige professionelle

Unterstützung durch unseren Layouter

Gerhard Koehler und die Druckerei Siller

sowie die organisatorische und finanzielle

Rückendeckung durch den Förderverein.

Auch wenn wir uns immer bemüht haben,

die Kosten von ca. 3500 bis 4000 Euro

pro Ausgabe durch Anzeigen zu finanzieren,

waren wir gelegentlich auch auf die Rücklagen

des Vereins angewiesen.

Neben diesen Konstanten hoffen wir aber

auf viel Dynamik in der Entwicklung unserer

Zeitschrift. Neue Mitglieder haben dem Team

immer wieder gut getan; auch diejenigen, die

inzwischen Farbprofil: Generisches wieder ausgeschieden CMYK-Druckerprofil sind – zu

Komposit Standardbildschirm

nennen sind Karsten Alpers, Katharina Schüller,

Ingrid Schehrer und Helmut Zöschinger –,

Anzeige

J:\Akzidenz\Siller Offsetdruck\Annoncen\Ab 2012\93 x 125 mm, Farbe Druckverfahren.cdr

1

haben Bleibendes beigetragen und unterstützen

zum Teil unsere Arbeit weiterhin.

Das Redaktionsteam könnte derzeit Verstärkung

sehr gut vertragen. Insbesondere

müsste sich das Team nicht wie derzeit fast

ausschließlich aus Institutsangehörigen zusammensetzen.

Speziell richtet sich mein

Appell an Studierende sowie Fördervereinsmitglieder.

Es würden interessante Aufgaben

warten, und eine zeitliche Überforderung

bräuchte niemand befürchten.

Vor allem auch dank der vielen Autoren, die

uns tolle Beiträge geliefert haben, haben wir

es geschafft, ohne Unterbrechung 25 Semester

lang jeweils ein Heft herauszugeben –

und wir sind noch keineswegs müde geworden.

Viele Ideen für zukünftige Hefte warten

schon. Lassen Sie sich überraschen!

Heiner Steinlein

15


16

Festkolloquium für

Prof. Dr. Friedrich Kasch

Prof. Dr. Friedrich

Kasch, Ordinarius

am Mathematischen

Institut von 1963

bis zu seiner

Emeritierung 1987

und Konrektor der

LMU von 1969

bis 1972, wurde

am 3. Juni 2011

anlässlich seines

90. Geburtstages

mit einem

Festkolloquium

geehrt.

Frau und Herr Professor Kasch

Festkolloquium

Otto Forster, Rudolf Rentschler, Peter Schuster,

Lidia Angeleri Hügel, Wolfgang Zimmermann

Prof. Oberst (Innsbruck) beim Festvortrag

Frau Girgis (ehemalige Lehrstuhlsekretärin)


LUDWIG-

MAXIMILIANS-

UNIVERSITÄT

MÜNCHEN

ÜBERFLIEGER GESUCHT!

ossenen W-Seminararbeiten noch tun könnt:

Beteiligt euch mit euren Arbeiten an

einem besonderen Wettbewerb!

Dr. Hans Riegel-Fachpreise

für Mathematik, Biologie, Chemie, Physik und Geographie

Teilnahmeberechtigt sind alle Schülerinnen und Schüler der 12. Jahrgangsstufe

der Gymnasien in München und Umland (S-Bahn-Bereich).

Teilnahmebedingungen sowie das Formblatt

»Bewerbung für die Dr. Hans Riegel-Fachpreise« findet ihr unter:

www.physik.uni-muenchen.de/DrHansRiegelFachpreis


18

Vom Forscher zum Lehrer

Wann begann meine Karriere? Nach Aussage

meiner Mutter bereits mit dreieinhalb Jahren.

Nämlich dann, als sie plötzlich 10 Minuten

nichts von ihrem Sohn hörte, was praktisch

sonst nie vorkam. Was war passiert? Ich hatte

eine Taschenlampe zerlegt und konnte mir

nicht erklären, wie sie funktionierte. Dass da

eine Lampe leuchtete, obwohl keinerlei Feuer

oder Gas drinnen war. Das mit dem Gas

wusste ich schon, wir hatten nämlich einen

Gasherd. Bei dem hatte ich mal den Brenner

gelockert oder schief eingehängt. Das hätte

beinahe einen schönen Küchenbrand verursacht.

Daraufhin erhielt ich striktes Gasherdzerlegeverbot.

Am Abend musste mir dann

mein Vater die Funktionsweise der Taschenlampe

erklären. Er war schließlich „Lichtelmacher“

(Elektromeister).

Einblicke in die Grundlagen der Mechanik

bekam ich durch mein erstes Fahrrad. Aufpumpen,

flicken, Bremsen einstellen oder

sonstige Reparaturen.

Mit 10 Jahren bekam ich zu Weihnachten

eine elektrische Eisenbahn. Daraufhin wurde

unser Wohnzimmer zu meinem Kinder- bzw.

Experimentierzimmer. Der Zug fuhr vorwärts,

rückwärts, langsam, schnell. Wie das wohl

funktioniert? Dann muss man halt die Lok

zerlegen. Was kam zum Vorschein? Ein Elektromotor

mit einem Magneten und vielen

Kupferdrähten und einem Kollektor und

einem Schneckengetriebe und etlichen Zahnrädern

und mehreren Kontakten und … und.

Den Trafo sollte man eigentlich nicht zerlegen,

weil das mit dem Strom doch gefährlich

sein sollte. Aber es war gar nicht so gefährlich

– es ist zumindest nichts passiert. So

erwarb ich mir meine ersten Einblicke in die

Elektrizitätslehre.

Wir hatten eine städtische Leihbibliothek und

aus der konnte man sich neben den 78 Karl-

May-Bänden auch sehr interessante kleine

Broschüren wie „Wie baue ich ein Detektorgerät“

oder „Einfache Grundlagen der Elektronik“

ausleihen. Darüber wusste ich doch

noch gar nichts. Also baute ich einen Detektor

mit Diode, selbstgewickelter Spule und

einem Drehkondensator. Man brauchte dazu

natürlich noch eine Hochantenne. Aber Draht

und zwei Bäume hatten wir ja zu Hause. Also

alles kein Problem. Man musste den Draht

dann nur noch durch den Fensterstock in

der Küche legen (bohren!), durch die Küche,

den Gang und schließlich in das Wohnzimmer

führen, das ich immer noch in Beschlag

hatte. – Meine Eltern waren sehr geduldig!

Dafür nachträglich vielen Dank!

In dieser Zeit erwarb ich bereits Einblicke in

die Elektronik. Ich baute nämlich zunächst

Röhrenempfänger und dann bereits Transistorverstärker.

Transistoren waren was ganz

Neues, leider auch teuer. Nur zum Vergleich:

Circa 12 Jahre später hatten wir an der TU

immer noch einen Röhrenrechner, die gute

alte Perm.

Das Abitur hatte ich mit geringem Aufwand

und gutem Erfolg in einer Versuchsklasse mit

den 20 Besten des Jahrgangs gemacht.

Bereits da stand für mich fest, Physik zu studieren

und in die Forschung zu gehen.

Zuvor musste ich aber noch meinen Wehrdienst

bei den Pionieren ableisten. Der

Umgang mit Sprengstoff, Brücken zu bauen

und Minen zu verlegen hat mich nicht viel

weiter gebracht. Dass ich dort aber Leute

kennenlernte, die ich sonst nie kennengelernt

hätte, diesen Umgang war ich bis dahin

nicht gewöhnt. Das habe ich als sehr positive

Erfahrung empfunden.

Als ich nach 18 Monaten entlassen wurde,

konnte ich nicht im Wintersemester mit Mathematik

anfangen. Es lief bereits das zweite


Semester. Deshalb hörte ich ein paar Experimentalphysikvorlesungen

und absolvierte

gleich das erste Physikpraktikum. Im Herbst

ging es dann mit Analysis 1, Linearer Algebra

1 und dem zweiten Physikpraktikum weiter.

Es war die turbulente Zeit der 68-er. Als ich

im 3. Semester dann Theoretische Mechanik

und im 4. Semester Quantenmechanik

hörte, konnte ich mit meinen dem 2. bzw. im

3. Semester entsprechenden mathematischen

Kenntnissen nicht verstehen, wie man z.B.

ohne die Lösung der Schrödinger-Gleichung

zu kennen auf ein derart komplexes System

kommt. Da ich immer schon alles ganz genau

wissen wollte, habe ich zu dem Zeitpunkt beschlossen,

erst mal Mathematik zu studieren.

Physik wurde also Nebenfach.

Als praxisorientierter Mensch habe ich mich

dann der Angewandten Mathematik verschrieben.

Mein Diplom habe ich bei Herrn

Prof. Hämmerlin gemacht. Ich habe viele

Nächte im neuen Mathematischen Institut

verbracht. Oft sind die Aufträge, die ich am

Leibniz-Rechenzentrum gerechnet habe, am

anderen Tag wegen Systemabstürzen leider

nicht mehr greifbar gewesen. Für die 100 kB

Rechenspeicher brauchte ich eine Sondergenehmigung

des Fachbereichs. Für heutige Arbeitsspeicher

von 4 bis 8 GB in einem normalen

PC erscheint das unvorstellbar. Durch

meine Diplomarbeit wurde ich einigermaßen

mit der Programmierung in Algol 60 vertraut.

Wichtig für meine späteren Entscheidungen

war Folgendes:

Aus einer Laune heraus meldete ich mich mit

einem Freund zur Hochschul-Fußball-Meisterschaft

der Fachschaften an. Wir waren aber

nur zu zweit. Also brauchten wir noch eine

Mannschaft. Wir hängten ein Plakat im Dreierinstitut

aus, und prompt meldeten sich

ungefähr 15 Kommilitonen. Bereits in der

nächsten Woche nahmen wir das Training

auf. Dabei stellte sich heraus, dass die meisten

wesentlich besser spielten als ich. Daraufhin

wurde ich Ersatzspieler, stieg dafür aber

gleich in die Führungsriege auf. Als Organisator

für alles Mögliche, Termine, freie Plätze,

Feste, Bierfässer, Grillpartys usw. Das Besondere

an der ganzen Sache war aber, dass

wir auf Anhieb die Hochschulmeisterschaft

gewannen – und im nächsten Jahr gleich

wieder. Dann hat sich die Gruppe wieder

aufgelöst.

Eine zweite spontane Entscheidung mit dem

gleichen Freund sollte sich auch auf meine

„Karriere“ auswirken. In diesem Fall meldete

er mich einfach zu einem Sichtungslehrgang

für Hilfsskilehrer bei der Skischule von

Sport-Scheck an. Wir fuhren nicht schlecht

Ski, hatten aber vom Lehrplan und der zu

demonstrierenden Technik keine Ahnung.

Wir wurden gerade noch genommen und zu

Hilfsskilehrern für kleine Kinder ausgebildet.

Im gleichen Winter hatten wir bereits drei

Zwergerlkurse. Weihnachten, sonntags und in

den Osterferien. Es hat sehr viel Freude gemacht.

Im nächsten Jahr haben wir dann mühelos

die Ausbildung für normale Hilfsskilehrer

gemacht. Jetzt kannten wir ja die Kriterien

für die Beurteilung. Ich hatte dann 12- bis

14-Jährige. Und Jahr für Jahr wurden die Teilnehmer

älter und besser. Ich leitete bereits

nach einem Jahr Jugendferienlager. Es musste

für bis zu 100 Teilnehmer alles organisiert

werden. Kurseinteilung, Zimmereinteilung,

Busse für verschiedene Skigebiete, Liftkarten,

Essenstermine für die einzelnen Kurse, die

Abendgestaltung und schließlich die Abrechnung

für alle Schüler. Weil alles gut klappte,

habe ich dann in den Pfingst- und Sommerferien

Jugendlager für Reiter und Tennisspieler

geleitet. Damit konnte ich mir meine Ur-

19


20

laube finanzieren. Nach einigen Jahren habe

ich dann als Novum Skisafari für Jugendliche

eingeführt. Die waren dann schon 17 und

älter. Sie durften auch alleine Ski fahren,

konnten sich aber auch einem Skilehrer oder

einer Skilehrerin anschließen. Das hat gut eingeschlagen

und mein Haus war mit 90 Teilnehmern

immer ausgebucht.

Als ich 1976 endlich mein Mathe-Diplom

hatte, hätte ich bei Texas Instruments

in einem sehr interessanten Job anfangen

können. Zu dieser Zeit kamen gerade die

ersten Chips auf den Markt. Und es hat mich

natürlich aus physikalischer Sicht sehr interessiert.

Ich wäre für die technischen Fragen

bei der Vermarktung zuständig gewesen.

Dazu hätte ich natürlich in ganz Europa und

den Staaten herumreisen müssen. Weil ich in

dem gleichen Jahr aber geheiratet habe, empfand

ich das Herumreisen nicht gerade förderlich

für meine Ehe. Also lehnte ich ab.

Was sollte ich also tun? Versicherung und

Bank sagten mir auch nicht zu. Also: Die

Schule! Und Referendariat! Genau ab diesem

Jahr verlangte das Kultusministerium für das

Nebenfach, also Physik, das Staatsexamen.

Das Mathe-Diplom wurde anerkannt. Weil

ich keine Lust hatte, noch einmal ein Jahr für

das Staatsexamen in Physik zu opfern, bewarb

ich mich bei drei Privatschulen. Alle hätten

mich genommen. Ich habe mich dann für das

Gymnasium Dr. Fl. Überreiter entschieden.

Es war eine glückliche Wahl. Chef, Schulleitung

und Kollegen waren sehr nett und kollegial.

Ich unterrichtete gleich von Anfang an

Vollzeit in Mathematik und Physik. Meine Jugendlagererfahrung

kam mir sehr zugute. Im

nächsten Jahr hatte ich das Angebot, an der

Bundeswehrhochschule die Übungen zu Mathematik

für Elektrotechnik einmal wöchentlich

zu halten. Das kam meiner Neigung zu

Physik entgegen. Schon hatte ich zwei Jobs.

Nach drei Jahren wechselte ich dann zum

Fachbereich Informatik, wo ich weitere drei

Jahre blieb.

In der Schule führte ich bereits 1979 Computerkurse

ein. Wir kauften acht „Sharp

800“ PCs. Sie hatten einen Z80 Prozessor,

ein Bandlaufwerk oder Minidiskettenlaufwerk

mit 64 kB. Es musste immer Basic geladen

werden. Der Andrang in das Wahlfach

„Grundlagen in Basic“ war groß. Natürlich

gab es auch fertige Spiele. Und ich habe mich

eingesetzt, dass die Schüler auch in der Mittagspause

oder nach dem Unterricht in den

Informatikraum kommen konnten. Das war

ungewöhnlich, weil sonst alle Klassenzimmer

entweder beaufsichtigt oder verschlossen

werden mussten. Es ist nie etwas weggekommen

oder mutwillig beschädigt worden.

Bereits nach zwei Jahren bot ich die Kurse

nur noch getrennt für Buben und Mädchen

an. Ich musste nämlich feststellen, dass die

Mädchen trotz besserer Vorbereitung und

höherem Ehrgeiz oft nicht zum Zuge kamen.

Diese Erkenntnis wurde dann 10 Jahre später

vom Kultusministerium als der Weisheit letzter

Schluss verkündet.

1982 kam meine Tochter zur Welt. Das hatte

zur Folge, dass die Zweizimmerwohnung, die

ich im Hause meiner Großeltern bewohnte,

zu klein wurde. Diese Wohnung hatte ich

schon 1975, also am Ende meiner Studienzeit,

renoviert: Parkettböden gelegt, Küche

und Bad gefliest, alle elektrischen Leitungen

erneuert usw. Mit dieser handwerklichen Erfahrung

begann ich das Dachgeschoß auszubauen.

Es mussten alle Sanitär- und Elektroinstallationen

durchgeführt werden. Wände,

Decken und Fenster gab es natürlich auch

nicht. Das habe ich dann nebenbei zu meinen

beiden Jobs alles alleine erledigt. Ich war sehr


stolz auf das Ergebnis.

1983 beendete ich meine Tätigkeit an der

Bundeswehrhochschule. Ein Kollege, der

auch an der Fachhochschule tätig war, kehrte

in seine Heimat nach Niedersachsen zurück.

So übernahm ich seine Stelle als Lehrbeauftragter

im Fachbereich Betriebswirtschaft

an der Fachhochschule München. Ich hatte

wieder zwei Jobs. Das Unterrichten der Studenten

machte mir mehr Spaß, als das Abhalten

der Übungen. Ich konnte frei über

Stoff und Vorgehensweise entscheiden. Ich

musste mich nur mit meinen Kollegen abstimmen.

Die Studenten waren natürlich viel

aufmerksamer und ehrgeiziger als meine

Schüler. Trotzdem finde ich die Lehrtätigkeit

am Gymnasium abwechslungsreicher und

persönlicher als an der Uni. Die Lehrtätigkeit

an der FH habe ich bis 2009 beibehalten.

Zwischenzeitlich bin ich in den Fachbereich

Tourismus gewechselt, der sich vom Fachbereich

Betriebswirtschaftslehre abgespalten

hat. Dort war ich der einzige Mathematiker.

Leider musste ich in den letzten Jahren

feststellen, hauptsächlich seit Einführung des

Bachelors, dass die Studenten immer weniger

Kenntnisse aus der Schule mitbrachten,

vor allem, wenn sie aus anderen Bundesländern

kamen. Dieses fehlende Wissen konnte

mit der verminderten Wochenstundenzahl

von zunächst 6 Stunden auf 4 Stunden und

zu guter Letzt auf 2 Stunden nicht annährend

ausgeglichen werden. Das Prinzip „Möglichst

viele Absolventen, egal wie gut", wollte

ich nicht mittragen. Deshalb habe ich 2009

meine Lehrtätigkeit beendet.

Doch zurück zum Gymnasium. Herr Dr. Überreiter

ist verstorben und nach drei Jahren

unter der Leitung seiner Frau wurde die

Schule 1990 von Herrn Dr. Borries, dem Eigentümer

des Obermenzinger Gymnasiums

übernommen. Das war für mich der richtige

Augenblick, die Schule zu wechseln. Ich

bewarb mich bei den „Englischen Fräuleins“

in München Nymphenburg und wurde sofort

mit offenen Armen empfangen. Es war ein

Maria-Ward-Gymnasium Nymphenburg

(Englische Fräulein)

reines Mädchengymnasium. Das Unterrichten

kostete nur ein Viertel der Nerven und

mein Schulweg ist von einer Stunde auf 10

Minuten geschrumpft. Ich hatte mir zwar

vorgenommen, nur meinen Unterricht und

sonst wenig Extras zu machen, aber meine

Erfahrung wurde sofort genutzt, als wir einen

neuen Computerraum einrichten ließen. Der

neue Raum wurde mit 16 PCs, 386er, No-

Computerraum mit Aktiv-Board

21


22

Computerraum

vellserver und Koaxverkabelung ausgestattet.

Ich war damals wahrscheinlich in der bestausgestatteten

Schule Münchens. So wurde

ich Systembetreuer. Im nächsten Jahr verließ

uns der Kollege, der den Stundenplan immer

machte. Da wurde ich Stundenplanmacher.

Im ersten Jahr habe ich noch mit dem Kollegen

aus der Realschule den Stundenplan für

die beiden Schulen mit Papierkärtchen gesteckt.

Im nächsten Jahr hatten wir dann bereits

ein Computerprogramm. Die Vorgaben

für gemeinsame Räume, wie Musiksäle, Turnsäle,

Fachräume für Bio, Chemie, die Wünsche

der LehrerInnen, die gekoppelten Stunden

für Religion und Sprachen waren aber so

vielfältig, dass das Programm nie alle Stunden

verplanen konnte. Die Vorgaben wurden

alle Jahre mehr, das Programm glücklicherweise

auch immer besser. Aber jedes Jahr

hätte ich schwören mögen, dass wir es dieses

Mal nicht hinkriegen. Ich erhielt zwei Wochenstunden

Ermäßigung. Aber viel höher

schätzte ich die Anerkennung der Kollegen

Chateau de Chillon bei Montreux

ein, die ihren Stundenplan zu würdigen wussten.

Als die Schulverwaltung auch auf EDV

umgestellt wurde, habe ich dann auch noch

in der Schulverwaltung gearbeitet. Ich habe

Statistiken für das Kultusministerium und das

Statistische Landesamt erstellt und den Sekretärinnen

mit den neuen Verwaltungspro-

Physikübung

grammen für Lehrer- und Schülerverwaltung

beigestanden.

1989 habe ich in Seefeld am Pilsensee ein

Haus gekauft, weil wir aufs Land ziehen wollten.

Es hatte einen schönen großen Garten,

war aber in einem sehr einfachen und veralteten

Zustand. Deshalb habe ich es in den

nächsten 5 Jahren entkernt, auf- und umgebaut.

Als es 1995 einigermaßen fertig war,

wollten weder meine Frau noch meine Tochter

aufs Land. Alle guten Bekannten lebten in

Moosach. So blieben wir in der Stadt, wo die

U- oder S-Bahn jederzeit zur Verfügung steht.

Die Erdgeschoßwohnung, die ich eigentlich

für mich selber gebaut habe, wollte ich zunächst

als Ferienwohnung halten, musste sie

dann aber vermieten, weil der damalige Zinssatz

auf 12% p.a. gestiegen war. Jetzt könnte

man vermuten, dass ich bedauert habe, so

viel Zeit, Geld und Mühe in das Haus gesteckt

zu haben. Genau das Gegenteil ist der

Fall. Ich bin sehr froh, fast allein das ganze

Haus gebaut zu haben. Es hat nicht nur den

sichtbaren Erfolg gebracht, sondern in der

heutigen Zeit auch eine gute Altersabsicherung.

2006 ging ich in Altersteilzeit und

2009 in Rente. Also vorzeitig! Früher hatte

ich mir nie Gedanken über meine Rente gemacht.

Heute muss ich feststellen, dass sie

nie und nimmer zum gewohnten Leben rei-


chen würde. Dank meiner Mieteinnahmen

kann ich den Lebensstandard halten. An

dieser Stelle möchte ich allen Jüngeren den

Rat geben, wenn möglich frühzeitig für das

Alter vorzusorgen.

Als ich 2006 in die Freistellungsphase kam,

wurde die Klosterschule der Englischen Fräulein

von der Erzdiözese München und Freising

übernommen. Es standen plötzlich

Mittel für die Modernisierung zur Verfügung.

Mit einem Helfer installierte ich in allen Klassenzimmern

jeweils einen PC mit Beamer

und einer Stereoanlage. Die Computerräume

wurden erweitert und völlig neu konzipiert.

Die Netzkabel in den Gängen für den Internetanschluss

hat eine Firma verlegt. Die

Kabel in den Zimmern habe ich selber verlegt.

Dabei war bemerkenswert, dass es mir

gelang, die Patchkabel ohne großen Aufwand

an den Tischen und der Wand so zu verlegen,

dass keine Kabel auf dem Boden lagen.

Das System wurde dann vom Möbelhersteller

übernommen. Normalerweise wurde immer

ein Fußbodenkanal gelegt. Eine Stolperfalle.

In neuen Schulen gibt es Bodenkanäle. Ich

habe alle Räume der Schule vernetzt. Damit

waren wir wieder die bestausgestattete multimediale

Schule Münchens.

Bei der nächsten Verbesserung war ich nur

noch als Entscheidungsträger beteiligt. Seit

2010 haben wir sogar in jeder Klasse statt

der alten Tafeln für Kreide moderne Aktiv-

Boards. Man schreibt mit einem elektrisch geladenen

Stift auf eine weiße Tafel. Die Schrift

erzeugt ein Beamer an der entsprechenden

Stelle. Damit können alle Anschriebe gespeichert,

gedruckt, geschönt oder wiederverwendet

werden. Auch vorgefertigte Artikel

können eingebunden werden. Die Schreibschrift

kann in Druckschrift umgewandelt

und so für alle gut lesbar gemacht werden.

Ein großer Fortschritt, vor allem für die hinteren

Reihen. Das sollte in der Uni auch eingeführt

werden.

Seitdem ich Rentner bin, habe ich am Haus

immer viel zu tun. Hagelschäden, verstopfte

Rohre, Neubauten von Außenanlagen usw.

Ein Haus ist eine Arbeitsbeschaffungsanlage

und: Arbeit hält fit, wie Sport.

Mein Mathematikstudium hat mir fast alle

Türen geöffnet. Es war immer die Grundvoraussetzung

für fast alles. Gefragt waren

aber Organisationstalent, Zuverlässigkeit und

Ausdauer. In meiner „Karriere“ möchte ich

meiner Frau danken, die mich in all den verschiedenen

Tätigkeiten voll unterstützt hat.

Wenn ich die Wahl hätte, würde ich alles

wieder so machen, wie ich es gemacht habe.

Meine Tochter hat übrigens auch Mathematik

studiert, Skikurse gegeben und sich dann

mit Diplom auch für das Lehramt entschieden.

Ich wünsche ihr und allen möglichen

Nachahmern genau so viel Freude und Resonanz,

wie ich sie selber habe erfahren dürfen.

Werner Voll

23


24

Detlef-Fest

Wir möchten über die Tagung „Physics, Mathematics

and Philosophy of Nature“ berichten,

die vom 28. – 30. Juni 2011 am Mathematischen

Institut einen großen internationalen

als auch intellektuellen Austausch

bewirkte.

Die Tagung fand zu Ehren des 60. Geburtstages

von Professor Detlef Dürr statt, der

seit 1989 am Mathematischen Institut mit

großem Einsatz daran arbeitet, seinen zahlreichen

Studenten einen Weg in die Wissenschaft

zu ebnen.

Wer Professor Dürr normalerweise nur als engagierten

Lehrer kennt, der seine Vorlesungen

wie zu früheren Zeiten noch frei aus

dem Kopf hält und dabei zur Kreide greift,

der konnte auf dieser Tagung des Professors

größte Leidenschaft neben seiner Liebe

zur Mathematik und Physik erleben, nämlich

die Musik.

So gestaltete sich die Tagung als ein vielseitiges

Ereignis, bei denen Professor Dürr unter

vielen anderen nationalen und internationalen

Freunden seinen Mentor Joel Lebowitz

begrüßen durfte sowie auch seine besten

Freunde und Arbeitskollegen Shelly Goldstein,

Tim Maudlin und Nino Zhanghi.

Nino Zhanghi und Shelly Goldstein

Die Thematik der Vorträge war vielfältig und

wurden von teils weltweit anerkannten, be-

rühmtenWissenschaftlerngehalten, so dass sich

im Tagungsraum

neben den zahlreicheneingeladenen

Gästen auch

sehr viele Studenten

einfanden.

Die Vorträge behandelten

die ver- Detlef Dürr und Joel Lebowitz

schiedenstenBereiche der Mathematik, Physik als auch Philosophie,

wobei als besonderer Höhepunkt

der Vortrag zum Thema Menschenrechte von

Joel Lebowitz hervorzuheben ist, sowie auch

der Vortrag zum Thema „Detlef Dürr: Lehrer

und Privat“, von seinen ehemaligen Doktoranden

Martin Kolb und Tilo Moser verfasst.

Diese bauten Bilder aus der Vergangenheit

und Gegenwart ein und erlaubten den Zuhörern

damit, sich neben dem Professor im

gelben Gummiboot wiederzufinden, ihn als

Grillchef in Aktion zu sehen oder mit ihm zusammen

zu musizieren.

Die Pausen zwischen den Vortragsblöcken

wurden für lebhafte Diskussionen genutzt

– meist über die Frage, wie man die Quantenphysik

auf ein stabiles Fundament stellen

kann. Da diese Frage trotz ihrer enormen Bedeutung

in der kanonischen Ausbildung zu

kurz kommt, horchten vor allem die jungen

Hörer mit großer Faszination zu und bekamen

die Möglichkeit Fragen zu stellen.

Ein Wechsel von Vorträgen und Diskussionen

zu einem festlichen Zusammenfinden

fand dann am Abend des 29. im Georgianum

statt.

Hier gab es eine ganze Reihe von künstlerischen

und humorvollen Darbietungen – ein

Klavierkonzert von dem ehemaligen Dokto-


anden Prof. Gernot Bauer, ein selbstverfasstes

Gedicht von Prof. Joel Lebowitz, „Das Geschenk

der Wahrheit“, ein Buch mit selbstgeschriebenen

Geschichten von ehemaligen

und jetzigen Studenten, einen selbstgedrehten

Kurzfilm von dem ehemaligen Doktoranden

Prof. Stefan Teufel und schließlich

ein Konzert mit Professor Dürr an seiner Gitarre

und seinen selbstgeschriebenen Lie-

Anzeige

Architektur Bauliteratur BWL Chemie

Datenverarbeitung Elektrotechnik

Geowissenschaften Informatik

Management Maschinenbau

Mathematik Physik Sprachen VWL

dern (begleitet von seiner Tochter und zwei

Freunden).

Nach einem Spiel der Emotionen ging es zu

einem gemütlichen, von einem Chefkoch zubereiteten

Abendessen über – ein Gaumenschmaus,

den sich keiner hat nehmen lassen

und bei dem der Service von Professor Dürr's

Studenten übernommen wurde.

Selten hinterlässt eine Tagung so starke, prägende

Eindrücke, wie sie die Teilnehmer mit

zu sich nachhause nehmen konnten.

Der Dank hierfür gilt allen Engagierten und

Mitwirkenden!

Wir wünschen Professor Dürr, dass seine

Liebe zur Lehre und Forschung niemals aufhört

und er so noch vielen kommenden Studentengenerationen

als Vorbild dienen kann.

Anna Dürr, Dirk Deckert, Peter Pickl,

Herbert Spohn, Stefan Teufel

Fachbuchhandlung + Medienservice KARL RAU

Sortiment Service

Unabhängige, qualifizierte Beratung

Beschaffung von Medien aller Art:

- Bücher, Zeitschriften, Loseblattwerke,

CD-ROM, Online-Datenbanken etc.

- Neue und antiquarische Titel aus

dem Inland und Ausland

Speziell für Organisationen:

Unser Service “Alles aus einer Hand”

KARL RAU e.K.

Theresienstraße 100, 80333 München

Tel. 089 3090 568 40 info@karl-rau.de

Fax 089 3090 568 49 www.karl-rau.de

Heute vor 18:00 bestellen, morgen ab 8:00 abholen! *

* Gilt in der Regel für Bücher, die Sie von Montag bis Freitag vor 18:00 Uhr bestellen. Am Samstag bestellen

Sie bitte vor 12:00 Uhr. Dann können Sie die Bücher in der Regel schon am Montag ab 8:00 Uhr abholen :-)

25


26

Rätselecke

Blätter

Auf dem Tisch sind ein paar gleiche rechteckige Papierblätter

ausgelegt, so dass das oberste Blatt mehr als die

Hälfte der Fläche jedes anderen Papierblattes bedeckt.

Ist es bei einer solchen Anordnung stets möglich, eine

Stecknadel senkrecht so zu stecken, dass sie gleichzeitig alle

Blätter durchbohrt?

Pyramide

Schneide ein Quadrat in 4 Teile, so dass man aus ihnen eine Pyramide,

deren Basis ein Dreieck ist, formen kann, wobei die Seitenkanten verschiedene

Längen haben sollen.

Montage

10 Arbeiter sollen 50 Produkte fertigen. Jedes Produkt muss zunächst

lackiert und anschließend montiert werden. Die Lackierzeit beträgt

10 Minuten, die Montierzeit 20 Minuten. Nach der Lackierung muss das

Produkt 5 Minuten trocknen. Wie müssen die Arbeiter in Lackierer und Montagearbeiter

für die gesamte Zeit der Fertigung eingeteilt werden, damit die Arbeit in möglichst kurzer

Zeit erledigt wird?

Quader

Aus 6 gleichen Quadraten lässt sich leicht die Mantelfläche eines Würfels zusammenkleben.

Ist es möglich, aus fünf gleichen Rechtecken die Mantelfläche eines Quaders zu formen?

Ergänzung zur Lösung der dritten Aufgabe von Heft 23

In der Druckausgabe von Heft 24 fehlen leider die Lösungen (1,2;7,2) und (1,2;9,1) sowie die

abhängig von der Position des Gitters auf dem DIN A4-Blatt eventuell noch mögliche Lösung

(1,2;14,4). In der Online-Ausgabe des Heftes war dieser Fehler schon korrigiert worden.


Lösungen zu den Rätseln von Ausgabe 24

Rechteck

Auf den benachbarten Seiten eines Rechtecks hat man jeweils einen beliebigen Punkt ausgewählt

und mit den jeweils gegenüberliegenden Ecken des Rechtecks verbunden. In welchem Verhältnis

steht die dunkelgrau gefärbte Fläche zu der hellgrau gefärbten Fläche?

Wir bezeichnen mit den Buchstaben D bzw. G bzw.

H bzw. W die Flächeninhalte der dunkelgrauen

bzw. gestreiften bzw. hellgrauen bzw. weißen Flächen.

Da die aus den weißen und dunkelgrauen

bzw. gestreiften und dunkelgrauen Flächen zusammensetzten

Dreiecke jeweils gerade den halben

Flächeninhalt des Rechtecks haben, gilt

D + W = G + H = D + G = H + W.

Subtrahiert man davon G oder W, so erhält man insbesondere D = H.

Würfel

Ist es möglich, einen 1×1×1 Würfel mit einem Papierstreifen

1×12 in zwei Schichten zu bekleben, ohne

den Streifen zu durchschneiden?

Die Skizze zeigt eine Lösung mit den

eingezeichneten schrägen Knicklinien.

Drei Lampen

Die Schalter für drei (im Moment ausgeschalteten) Lampen in einem Dachgeschoßzimmer befinden sich im Keller.

Versuchen Sie festzustellen, zu welcher Lampe welcher Schalter gehört! Dabei ist es nicht erlaubt, mehr als einmal

in den Keller runterzusteigen.

Beim Kellerbesuch wird ein beliebiger Lichtschalter 5 bis 10 Minuten lang eingeschaltet und

dann ausgeschaltet. Der nächste beliebige Lichtschalter wird eingeschaltet, und den dritten

Lichtschalter lässt man ausgeschaltet. Oben im Dachgeschoßzimmer lässt sich nachprüfen,

welche Lampe noch warm ist und dementsprechend zu welchem (zuerst eingeschalteten)

Lichtschalter gehört. Eine weitere Lampe brennt noch und gehört zum zweiten verwendeten

Lichtschalter. Die dritte Lampe ist aus und gehört zum letzten, unbenützten Lichtschalter.

Ein Birkenhain

In einem kleinen Birkenhain wachsen sieben Birken. Wählt

man beliebige drei Birken, so stellt man fest, dass der Abstand

zwischen mindestens zwei von ihnen genau 5 Meter

beträgt. Wie ist das möglich?

Die erste Graphik zeigt eine Lösung (auf ebener

Fläche). Da in der Aufgabenstellung dreidimensionale

Lösungen nicht ausgeschlossen sind,

gibt es noch weitere Lösungen „in hügeligem

Gelände“: Das zweite Bild skizziert eine solche

Lösung mit zwei in einem Punkt verbundenen

regulären Tetraedern, in deren Eckpunkten die

Birken wachsen.

27


28

Money out of nothing? –

Prinzipien und Grundlagen

der Finanzmathematik

Francesca BIAGINI, Daniel ROST

Die Finanzmathematik hat als jüngste

mathematische Disziplin in den letzten

15 Jahren einen gewaltigen Aufschwung

erlebt. Eine ihrer wichtigsten Aufgaben ist

die Bewertung von Derivaten. Dabei lassen

sich, am Beispiel einer Call-Option, schon

in einem ganz einfachen Marktmodell die

Kernpunkte und Prinzipien dieser Theorie

gut veranschaulichen. Der folgende Beitrag

ist die Ausarbeitung eines Vortrags, den die

Autorin auf der Münchener GDM-Tagung

2010 gehalten hat. Er zeigt auch auf,

wie finanzmathematische Konzepte ohne

Probleme in den Schulunterricht integriert

werden können.

Ein verlockendes Angebot . . .

Wir betrachten die Aktie der Linde AG

und gehen von einem heutigen (August

2011) Kursstand von 125 Euro aus. Ihr

Bankberater bietet Ihnen dazu, zu einem

gewissen, sofort zu entrichtenden Preis,

folgendes ” Geschäft“ an:

Wenn der Kurs ST der Aktie der Linde

AG zum Zeitpunkt T = August 2012

größer als K = 96 (Euro) ist, bekommen

Sie von ihm die Differenz zu K ausgezahlt;

wenn er kleiner ist, bekommen Sie

nichts.

In der Finanzmathematik nennt man ein

solches Geschäft eine Call-Option auf

die Aktie der Linde AG (in diesem Zusammenhang

auch Underlying genannt) mit

Strike K = 96 und Fälligkeitszeitpunkt

T = August 2012.

Die Call-Option liefert dann die Auszahlung

C := max{ST − K, 0} =(ST − K) + .

Was man an Auszahlung bekommt, hängt

also vom zukünftigen, heute noch ungewissen

Kursstand der Aktie in einem Jahr

ab. Das folgende Bild zeigt zwei mögliche

Kursverläufe, ausgehend von einem heutigen

Kursstand von S0 = 125 Euro.

200

150

125

100

50

0

0

125

120

100

80

60

40

20

0.2

0

0 0.2

ST >K:

0.4

t

ST ≤ K:

0.4

t

0.6 0.8

0.6

0.8

T

1

T

1

S

T

K

K

S

T

Im oberen Schaubild landet der Kurs in T

oberhalb von K, Sie erhalten also die Auszahlung

C = ST − K>0. Im unteren Fall

ist ST


Euro bezahlen möchte, lässt sich dies mit

dem Kauf obiger Call-Option bewerkstelligen.

Denn unabhängig vom Kursstand zum

Zeitpunkt T kostet die Aktie dann maximal

96 Euro, indem man sie entweder direkt

am Markt erwirbt (im Fall ST ≤ K)

oder den anfallenden Differenzbetrag (im

Fall ST > K) durch die Auszahlung der

Option abdeckt.

Die entscheidende Frage ist nun: Wieviel

ist eine solche Option heute wert? Welchen

Preis darf der Bankberater als Verkäufer

dafür verlangen, bzw. welchen Preis sind

Sie als Käufer bereit, dafür zu bezahlen?

. . . und ein fairer Preis?

Wird die Option am Markt gehandelt

(wie die Aktie auch), so wird der Preis

der Option auch durch den Markt, d.h.

durch die Nachfrage bestimmt. Reißt man

dem Verkäufer die Optionsscheine aus den

Händen, wird der Preis steigen; bleibt er auf

ihnen sitzen, wird der Preis sinken. Das Erstaunliche

ist nun, dass sich für diesen sich

dann einstellenden ” fairen“ Preis der Option

ein einfaches Prinzip finden und sogar

eine Formel angeben lässt.

Zunächst scheint es einsichtig, dass der

Preis der Option von den Vorstellungen

abhängt, die man vom zukünftigen Kursverlauf

hat. Unserer erste Aufgabe wird es

also sein – und hier kommt die Stochastik

ins Spiel – ein Modell aufzustellen, das den

zufälligen Kursverlauf des Underlyings gut

erfasst.

Charakteristisch für die mathematische

Herangehensweise ist nun, dass man

zunächst ein ganz einfaches Aktienkursmodell

betrachtet, auch wenn dieses die

für einen Aktienchart typische ” Zitterbewegung“

nur sehr rudimentär erfasst.

Das Binomialmodell

Unsere sehr vereinfachenden Modellannah-

men für den Kurs des Underlyings und das

Marktgeschehen sind:

(1) Ein Börsenhandel ist nur zu 3 Zeitpunkten

t =0 (heute, August 2011)

t =1 (Dezember 2011)

t =2 (April 2012)

möglich; T (= August 2012) wird

gleich 3 gesetzt.

(2) In diesen drei Zeitpunkten können wir

– die Aktie des Underlyings (auch

Anteile davon) zum aktuellen

Kurs kaufen oder verkaufen

(auch sog. Leerverkäufe möglich)

– Geld auf ein zinsloses Bankkonto

einzahlen bzw. von dort abheben

(auch zinslose Überziehung erlaubt).

(3) Die Aktie steht in t =0bei 125 (Euro)

und kann sich pro Zeitschritt nur

– mit einer Wahrscheinlichkeit von

p = 3

4 um 20% nach oben

oder

– mit einer Wahrscheinlichkeit von

1 − p = 1

4 um 20% nach unten

entwickeln.

Die Wahl von p = 3

4 für eine Bewegung

nach oben spiegelt dabei unsere positive

Markterwartung wider.

Dieses Binomialmodell lässt sich als Binomialbaum

wie folgt aufzeichnen:

29


30

Man sieht, dass der Aktienkurs

von 125 (in

t =0) bis zu 216 steigen

oder auch auf 64

fallen kann. Insgesamt

sind in T = 3 genau

4 Kursstände möglich;

ganz rechts ist zu diesen

Endkursständen die jeweilige

Auszahlung der

Option notiert. Für

S3 = 216 ist C = 120

S3 = 144 ist C = 48

S3 = 96 ist C =0

S3 = 64 ist C =0.

St+1 = (1 ± 0, 2) · St

p =3/4

1-p =1/4

125

p

1-p

150

100

p

1-p

p

1-p

180

120

80

p

1-p

p

1-p

p

1-p

216

144

96


⎪⎬

⎪⎭


S3 − K

←− K=96

Der zu diesem Baum gehörige Grundraum

Ω besteht aus den 8 Pfaden, die (von oben

nach unten) mit ω1,...,ω8 bezeichnet seien.

Für die zugehörige Wahrscheinlichkeit

P auf Ω sind die Elementarwahrscheinlichkeiten

dann die Pfadwahrscheinlichkeiten,

also z.B. P ({ω1}) =p3 u.s.w.

Es liegt nun nahe, in diesem Modell als

Preis der Option die mittlere Auszahlung“,


also den Erwartungswert von C zu verwenden.

Dazu berechnen wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung

von S3, die sich aus obigem

Binomialbaum wie folgt ergibt:

� �

3

P [S3 = 216] = p

3

3 = 27

64

� �

3

P [S3 = 144] = p

2

2 (1 − p) = 27

64

� �

3

P [S3 = 96] = p(1 − p)

1

2 = 9

64

� �

3

P [S3 = 64] = (1 − p)

0

3 = 1

64

Der Erwartungswert von C unter P ist dann


EP (S3 − K) +�

= 120 · 27

0 1 2

64

3

✲ Zeit

Es wäre jedoch nicht ratsam, in diesem

Modell für die Option 70,87 (Euro) zu

bezahlen, denn man kann, wie wir im Folgenden

sehen werden, durch geschicktes

Handeln mit einem weitaus geringeren

Einsatz dieselbe Auszahlung erreichen, wie

sie die Option liefert. Der faire Preis der

Option ist damit nicht der Erwartungswert

der Auszahlung der Option, 70,87 Euro ist

als Preis zu hoch.

Strategie und Vermögensprozess

Bis jetzt haben wir zwar ein Modell für den

Aktienkurs aufgestellt, jedoch noch nicht

die Möglichkeit realisiert, mit der Aktie

Handel zu betreiben. Dazu definieren wir

für t =0, 1, 2

xt = Anzahl der Aktien, die zum

Zeitpunkt t gekauft werden;

diese werden bis t +1gehalten

yt = Betrag auf dem Bankkonto

Es bedeutet also z.B. (x0,y0) =(

27

+ 48 · = 70, 875.

64 64 6

5 , −150),

dass wir zum Zeitpunkt t =0die Menge

von 6

5 Aktien kaufen und uns (dafür) 150

Euro von der Bank leihen, die wir natürlich

in t = 1 wieder zurückzahlen müssen.

(xt,yt) dürfen vom Pfad abhängen, d.h.

0


wir können in S1 = 150 anders handeln

als in S1 = 100; allerdings dürfen wir in t

für die Festlegung von (xt,yt) immer nur

auf die Information zurückgreifen, die wir

zu diesem Zeitpunkt besitzen. Dies ist automatisch

gegeben, wenn z.B. x1 die Form

hat x1 = a1 ·1 {S1=150} +a2 ·1 {S1=100} mit

a1,a2 beliebige reelle Zahlen; für y1 analog.

Zur durch x = (x0,x1,x2) und y =

(y0,y1,y2) definierten Strategie ist ein

Vermögensprozess Vt, t=0, 1, 2, 3,

erklärt:

t =0

Startvermögen (Startkosten)

V0 = x0S0 + y0

t =1,...,T − 1

Zwischenvermögen

Vt = xt−1St + yt−1 = xtSt + yt

t = T

Endvermögen

VT = xT −1ST + yT −1

Die Gleichung xt−1St + yt−1 = xtSt + yt

für t = 1,...,T − 1 beschreibt eine

Bedingung an die Strategie, nämlich

selbstfinanzierend zu sein. Dies bedeutet,

dass sich das Vermögen ohne

Zu- und Abflüsse entwickelt: Alles, was

wir in t besitzen, wird wieder investiert

und wir schießen von außen kein Kapital zu.

Pricing durch Hedging:

No Arbitrage

Die Idee zur Auffindung eines ” fairen“ Optionspreises

π C ist nun:

• Suche eine selbstfinanzierende Strategie

(x, y), die als Endvermögen V3 genau

die Auszahlung der Option hat

(sog. Hedge-Strategie für C), also

V3 = C = (S3 − K) + .

Aus dem Vermögensprozess dieser Strategie

leiten wir dann den Optionspreis ab.

Die Bestimmung der Hedge-Strategie

geschieht durch Rückwärtsinduktion

mittels Lösen von linearen 2 × 2 Gleichungssystemen.

Dazu betrachten den Binomialbaum und

stellen uns die Frage:

Welchen Wert (a, b) muss unsere Strategie

(x, y) im Knoten S = 180 haben, damit

wir in t =3genau das Vermögen V3 = 120

(im Fall, dass der Kurs steigt) und V3 = 48

(im Fall, dass der Kurs sinkt) erzielen?

Für ω = ω1,ω2 (das sind die beiden Pfade,

die über den Knoten S2 = 180 laufen) ist

also a = x2(ω) und b = y2(ω), und es muss

gelten

d.h.

aS3(ω1)+b = C(ω1)

aS3(ω2)+b = C(ω2)

a 216 + b = 120

a 144 + b = 48

Damit ist a =1und b = −96, d.h. wir

müssen im Knoten S2 = 180 genau eine

Aktie kaufen und uns 96 Euro von der

Bank leihen. Da die Aktie in diesem Knoten

180 Euro kostet, benötigen wir dort ein

Vermögen von

V2(ω) =1· 180 − 96 · 1 = 84 (Euro)

Analog verfährt man mit den 5 restlichen

Knoten: Zunächst liefern die linearen Gleichungssysteme

a 144 + b = 48 und a 96 + b = 0

a 96 + b = 0 a 64 + b = 0

31


32

jeweils den Wert (a, b) der Strategie in den

Knoten S2 = 120 und S2 = 80, nämlich

(a, b) = (1, −96) bzw. (a, b) = (0, 0), und

damit

und

V2(ω) =1· 120 − 96 · 1 = 24

V2(ω) =0· 80 + 0 · 1 = 0

das in diesen Knoten (ω = ω3,...,ω6 bzw.

ω = ω7,ω8) benötigte Vermögen. Von dort

rechnet man durch den Ansatz

a 180 + b = 84 und a 120 + b = 24

a 120 + b = 24 a 80 + b = 0

auf x1 und V1 und schließlich auf x0 und

V0 zurück. Trägt man diese Ergebnisse in

den Binomialbaum ein, so ergibt sich:

Die oben konstruierte

Strategie ist

durch Zahlenpaare

unter den Knoten

gegeben; die Zahlen

darüber kennzeichnen

den zugehörigen

Vermögensprozess. Sie

ist nach Konstruktion

selbstfinanzierend und

eine Hedge-Strategie

für C, denn es gilt

V3 = C (die Zahlen

über den Kursständen

S3 entsprechen genau

der jeweiligen Auszahlung

der Option).

33

125

( 21 , −72)

25

Man kann also bei einem Startkapital von

33 Euro mit obiger Strategie (in t = 0

müsste man dann sich noch 72 Euro von

der Bank leihen um damit den 21

25 –Teil der

Aktie kaufen zu können, u.s.w.) dieselbe

Auszahlung erreichen wie die Option. Damit

muss V0 = 33 (Euro) der gesuchte faire

Preis π C der Option sein, also

π C = V0 = 33 Euro,

ansonsten gäbe es im Markt die Möglichkeit

eines risikofreien Gewinns:

(a) Zahlen Sie für die Option mehr als

33 Euro, so sichert Ihr Bankberater

die Option mit obiger Strategie (x, y)

ab; dazu benötigt er ein Startkapital

von nur 33 Euro, die Differenz, 0 <

π C − 33 Euro, streicht er als risikofreien

Gewinn ein.

(b) Zahlen Sie für die Option weniger als

33 Euro, so handeln Sie mit der Strategie

(−x, −y) und verschaffen sich

so selbst einen risikofreien Gewinn von

0 < 33 − π C Euro.

54

150

(1, −96)

12

100

( 3 , −48)

5

84

180

(1, −96)

24

120

(1, −96)

0

80

(0, 0)

120

216

48

144

0 1 2 3

0

96

0

64


Eine Möglichkeit (Strategie), einen

risikofreien Gewinn zu erzielen, nennt

man Arbitrage. In einem effektiven

Finanzmarkt darf es keine Arbitrage geben,

der Markt ist arbitragefrei ( ” you can’t

make money out of nothing“, ” there is no

free lunch“). Das Prinzip ” No Arbitrage“


estimmt dann den Preis der Option, der

” faire“ Preis ist also ein arbitragefreier

Preis und beträgt in unserem Modell

genau 33 Euro.

Pricing mit dem Martingalmaß

Im letzten Abschnitt wurde der arbitragefreie

Preis der Option als Startkapital V0 einer

Hedge-Strategie rekursiv ermittelt. Es

ist aber auch eine direkte Berechnung von

V0 (und auch Vt) möglich: Dazu betrachten

wir zunächst im Binomialbaum aus vorigem

Abschnitt den Knoten S2 = 180 und

die von ihm ausgehenden Bewegungen der

Aktie sowie des Vermögensprozesses

84

180

120

216

48

144

Man erkennt folgenden Zusammenhang:

Die beiden Gleichungen

und

q · 216 + (1 − q) · 144 = 180

q · 120 + (1 − q) · 48 = 84

haben dieselbe Lösung, nämlich q = 1

2 .

Dasselbe stellen wir auch für alle anderen

Knoten fest; z.B. haben bei

und

54

150

84

180

24

120

q · 180 + (1 − q) · 120 = 150

q · 84 + (1 − q) · 24 = 54

wiederum dieselbe Lösung q = 1

2 .

Damit ist eine Wahrscheinlichkeit Q auf Ω

definiert:

Q({ω}) =

für die insbesondere gilt


1

�3 ,ω∈ Ω,

2

EQ(S3) = S0 und EQ(C) = V0.

In der Tat ist


(S3 − K) +�

EQ

= 120 ·


1

�3 + 48 · 3 ·

2


1

�3 2

= 33.

Damit ist der Optionspreis π C = V0 in

der Tat der Erwartungswert der Auszahlung

C = (S3 − K) + , allerdings bzgl. Q und

nicht bzgl. der ursprünglichen Wahrscheinlichkeit

P .

Q heißt das zu P äquivalente Martingalmaß,

manchmal auch risikoneutrales

Maß, weil sich unter Q der Aktienkurs

als ein ” faires Spiel“ entwickelt: Der Kursstand

von heute ist der unter Q erwartete

Kursstand von morgen.

Zusammenfassung

Wir fassen nun unsere Erkenntnisse über

Optionspricing in einem effizienten Finanzmarkt

zusammen.

• Der ” faire“ Optionspreis basiert auf

dem ” No Arbitrage“ Prinzip und hängt

nicht von der Wahrscheinlichkeit P

ab, die die Bewegung des Aktienkurses

steuert.

• Die Arbitragefreiheit des Marktes ist

äquivalent zur Existenz eines risikoneutralen

Maßes Q (dies ist die Aussage

des berühmten 1. Fundamentaltheorems

der Finanzmathematik).

• Der arbitragefreie Preis der Option ist

der Erwartungswert der Auszahlung

33


34

unter Q, bzw. das benötigte Startvermögen

einer Hedge-Strategie für

die Auszahlung, falls man eine solche

konstruieren kann.

Schlussbemerkung

Die finanzmathematische Modellierung hat

sich in den letzten Jahren rasant entwickelt;

statt des Black-Scholes-Modells betrachtet

man etwa stochastische Volatilitätsmodelle,

bei denen σ nicht nur

von der Zeit, sondern auch vom Zufall

abhängen darf. Eine weitere Verallgemeinerung

sind sogenannte Jump-Diffusion-

Modelle, die Kurssprünge in die Modellbildung

mit einbeziehen.

Anzeige

Mediengestaltung · Medienproduktion

Wir konzipieren und gestalten auf der Basis Ihrer

Vorgaben sowie einer exakten Problemanalyse.

Nicht allein nach den Regeln der Ästhetik,

sondern vor allem nach den Erfordernissen des

Marktes, um mit überraschenden Lösungen Ihrer

Werbebotschaft die optimale Publikumswirkung

zu sichern.

Print · Neue Medien · Bewegtbildproduktion

KWS Koehler Werbe Service GmbH

Dreisesselbergstraße 44 · 81549 München

Tel (089) 68 20 93 · kws@kws-koehler.de

www.kws-koehler.de

Für die Schule bleibt das Binomialmodell,

das von den Zuhörern, wie die Verfasser

aus Vorträgen vor Schülern berichten

können, auch gut verstanden wird, der

beste Einstieg in die Finanzmathematik.

Literatur

Irle, A. (1998). Finanzmathematik, Teubner

Studienbücher Mathematik.

Jarrow, R., Turnbull, S. (2000). Derivative

Securities, 2. Auflage, South-Western

College Publishing.

Ross, S.M. (1999). An Introduction to

Mathematical Finance (Options and other

topics), Cambridge University Press.

AnwenDerkOmmenTAre

PrOjekT-PArTner

C. Hausmann

HocH scH u l e KMU Zentrum Hochschule Liechtenstein

liecHtenstein

KMU-Zentrums der Hochschule Liechtenstein

(Projektleitung)

FL-9490 Vaduz; Fürst-Franz-Josef-Strasse

„Mit Hilfe der SAETO-Tools konnten wir mit nur einem halben Jahr

Tel.: +423-265 12 67

Vorbereitungszeit die Committed to Excellence-Anerkennung der

Mail: ado.vogt@kmu-zentrum.li

EFQM für unser Institut erreichen. Das nächste Ziel ist die Anwendung

der SAETO-Tools auf der gesamten Hochschulebene und damit

Donau Universität Krems

verbunden die Committed to Excellence-Anerkennung der Gesamtor-

Department für Weiterbildungsforschung und

ganisation.“

Bildungsmanagement

A-3500 Krems, Dr. Karl-Dorrek-Strasse 30

Tel.: +43 2732 - 893 22 65

Daniela Mäder

Mail: thomas.pfeffer@donau-uni.ac.at

Pädagogische Hochschule Zürich

„Der Nutzen des Self-Assessments sowie der verschiedenen Befra-

Technische Universität Dortmund

Sozialforschungsstelle Dortmund

gungen liegt darin, rasch zu aussagefähigen Resultaten zu gelangen.

D-44339 Dortmund; Evinger Platz 17

Die Befragung ist schnell aufgesetzt und verteilt, die Antworten kön-

Tel.: +49 231-85 96 236

nen mit dem ersten Knopfdruck eingelesen und dem zweiten ausge-

Mail: franz@sfs-dortmund.de

wertet werden. Mit dem Self-Assessment werden Stärken verdeutlicht

und Entwicklungspotenziale aufgezeigt. Auf dieser Basis können Ent-

MIK SLOVENIJA d.o.o.

wicklungsmaßnahmen ohne großen Aufwand formuliert und somit die

SI-1000 Ljubljana; Peričeva 23

Hochschulentwicklung unterstützt werden.“

Tel.: +386 1-236 36 33

Mail: rafko.medved@mik.si

Daniel Osterwalder

Gewerblich-Industrielle Berufsschule Bern (gibb)

ASSOziierTe PArTner

„Wir konnten im Rahmen der Selbstbewertung und im Verbesse-

consys ag consys ag

rungsprozess drei verschiedene Instrumente von GOA nutzen. Die

Consulting & Systems CH-9243 Jonschwil / Wil; Wildbergstrasse 13

nach einer ersten Einarbeitungszeit einfach zu bedienenden Instru-

Tel.: +41 71 9201707

mente überzeugten einerseits durch die implementierten Funktiona-

Mail: thomann@consys-ag.ch

litäten, andererseits auch durch die Varianz ihres Einsatzes (Onlinebefragung,

Interviewfragebogen, Auswertung der erfassten Daten).

IBK Management Solutions GmbH

Schließlich kam uns die große Anpassungsfähigkeit von GOA eben-

D-65187 Wiesbaden; Unterriethstrasse 37

falls sehr zu pass.“

Tel.: +49 611 5100417

Mail: cad@ibk.eu

Sabine Wolfsteiner

Pädagogische Hochschule Zürich

WIFI OÖ Unternehmerakademie

CH-8090 Zürich, Hirschengraben 28

„GOA/SAETO wird als Basis-Werkzeug für unsere Befragungen her-

Tel.: +41 43 3055418;

ErfolgrEichE

Qualitäts-

Entwicklung

durch

sElbstbEwErtung

vOn BiLDungS- unD TrAiningSOrgAniSATiOnen


Kluge Köpfe gesucht!

(Wirtschafts-) Mathematiker/-innen im Bereich der betrieblichen

Altersversorgung (Actuarial Services)

Aon Hewitt ist weltweit als eine

der führenden Unternehmensberatungen

im Bereich Human

Resources tätig. In Deutschland

beraten wir als Sachverständige

für betriebliche Altersversorgung

unsere Mandanten bereits seit

1936.

Seit 1989 sind wir darüber hinaus

auch als HR-Beratung im deutschen

Markt aktiv und inzwischen

mit etwa 400 Mitarbeitern an unseren

Standorten in Berlin, Frankfurt

am Main, Hamburg, Mülheim

an der Ruhr, München, Stuttgart

und Wiesbaden vertreten.

Als Teil des international agierenden

Aon-Konzerns verfügen wir

über ein Netzwerk von 60.000

Mitarbeitern in mehr als

120 Ländern.

Aon Hewitt GmbH

Human Resources

Uta Kaußler

Radlkoferstr. 2

81373 München

089 889 87 132

E-Mail:

karriere.de@aonhewitt.com

www.aonhewitt.de

35

Ihr Kompetenzbereich

• Nach einer umfassenden Einarbeitung werden Sie selbstständig und

eigenverantwortlich als Gutachter/-in und Berater/-in im Bereich der

betrieb lichen Altersversorgung (bAV) tätig.

• Sie führen für unsere Mandanten versicherungsmathematische Bewer -

tungen von Pensionszusagen durch und erstellen versicherungsmathe -

matische Gutachten nach nationalen und internationalen Bilanzierungs -

standards.

• Sie beraten und begleiten unsere Mandanten in allen Fragen rund um die

betriebliche Altersversorgung.

• Bei juristischen Spezialthemen zur betrieblichen Altersversorgung

arbeiten Sie eng mit unserer internen Rechtsabteilung zusammen.

• In Ihrer Position stehen Sie von Anfang an – Ihrem Verantwortungs -

bereich entsprechend – im kontinuierlichen Austausch mit unseren

Mandanten.

Ihr Profil

• Wir erwarten ein erfolgreich abgeschlossenes Studium der (Wirtschafts-)

Mathematik und Interesse an juristischen Themen.

• Sie haben Freude an der EDV-technischen Umsetzung mathematischer

Sachverhalte.

• Sie haben Spaß an der Teamarbeit und sehr gute Kommunikations -

fähigkeiten.

• Über sehr gute Deutschkenntnisse hinaus verfügen Sie als Mitarbeiter/-in

eines weltweit agierenden Unternehmens über gute Englischkenntnisse.

Unser Angebot

• Wir bieten Ihnen eine umfassende Einarbeitung in einem hoch engagierten

Team. In unseren mandantenorientierten Teams werden Sie Ihre

Kenntnisse und Fähigkeiten konsequent erweitern.

• Freuen Sie sich auf spannende Weiterbildungsmöglichkeiten wie z. B.

zum/zur Aktuar/-in DAV und IVS-geprüften Sachverständigen sowie ein

leistungsgerechtes Einkommen.

Wenn Sie Interesse an dieser anspruchsvollen Tätigkeit mit Perspektive

haben, senden Sie uns bitte Ihre aussagekräftigen und vollständigen

Bewerbungsunterlagen per E-Mail unter Angabe Ihrer Gehaltsvorstellung,

Ihres möglichen Eintrittstermins und Ihres gewünschten Standorts.

Fragen Sie gerne auch nach Praktikumsangeboten.


36

Wie könnten Sie Ihrem Studium wahre Größe verleihen?

Indem Sie über Dinge nachdenken, über die noch keiner nachgedacht hat

Wenn Sie eine Abschlussarbeit über das höchste Gebäude der Erde schreiben

Mit einem Praktikum über Naturgefahren in touristischen Ballungszentren

Durch eine Diskussion mit Ärzten, Ingenieuren und Seismologen

Mit drei der vier genannten Punkte

Haben Sie Lust, mit uns Projekte von globaler Tragweite zu bewegen?

Als einer der führenden Rückversicherer der Welt durchleuchten wir

Risiken aller Art und sichern sie ab. Ob Großbauprojekte, Klimawandel

oder Raumfahrt: Absolvieren Sie Ihre ersten Schritte ins Berufsleben in

vielfältigen Themenfeldern, die die Menschheit heute und in Zukunft

bewegen. Profitieren Sie vom Wissen und Netzwerk unserer Mitarbeiter

und legen Sie bereits während des Studiums den Grundstein für eine

erfolgreiche berufliche Zukunft.

Wie Sie sich schon als Student bei Munich Re einbringen können,

erfahren Sie unter munichre.com/karriere

Weitere Magazine dieses Users
Ähnliche Magazine