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Ableitungsregeln als PDF - Die Seite von Volker Behrens

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1. <strong>Die</strong> Konstante Funktion.<br />

Ausgangsfunktion f(x) = c<br />

1. Ableitung f‘(x) = 0<br />

<strong>Ableitungsregeln</strong><br />

Anmerkung: <strong>Die</strong> konstante Funktion hat <strong>als</strong> erste Ableitung immer 0,<br />

da sie nirgends eine Steigung aufweist.<br />

2. <strong>Die</strong> Lineare Funktion<br />

Ausgangsfunktion f(x) = mx + c<br />

1. Ableitung f‘(x) = m<br />

Anmerkung: Nur der Faktor bleibt erhalten, da ja nur er das Maß für<br />

die Steigung der Funktion ist. x und die Konstante c fallen raus.<br />

3. <strong>Die</strong> Potenzfunktion ohne Faktor vor der Funktion<br />

Ausgangsfunktion f(x) = x n<br />

1. Ableitung f‘(x) = n ⋅ x n-1<br />

Anmerkung: Der Exponent wandert vor das x und wird selbst um<br />

eins verringert.<br />

Allgemein gilt : f‘(x) = n ⋅ x n-1<br />

©VB 2003


4. <strong>Die</strong> Potenzfunktion mit Faktor vor der<br />

Funktion<br />

Ausgangsfunktion f(x) = a ⋅ x n<br />

1. Ableitung f‘(x) = a ⋅n ⋅ x n-1<br />

Anmerkung: Der Exponent wandert wieder vor das x und wird<br />

dort mit a multipliziert. Der Exponent selbst wird wieder um<br />

eins verringert. Da der Faktor vor der Ausgangsfunktion die<br />

Steigung mitbestimmt, bleibt er in der Ableitung erhalten.<br />

5. <strong>Die</strong> ganzrationale Funktion<br />

Ausgangsfunktion f(x) = a ⋅ x n + b ⋅ x m + c ⋅ x<br />

1. Ableitung f‘(x) = an ⋅ x n-1 + bm ⋅ x m-1 + c<br />

Anmerkung: <strong>Die</strong> ganzrationale Funktion wird Gliedweise wie<br />

die normale Potenzfunktion abgeleitet. Das heißt in jedem Glied<br />

wird der Exponent wieder mit dem Faktor vor dem x<br />

multipliziert. Der Exponent wird dann wieder um eins<br />

vermindert.<br />

6. <strong>Die</strong> Sinusfunktion<br />

Ausgangsfunktion f(x) = sin (x)<br />

1. Ableitung f‘(x) = cos (x)<br />

2. Ableitung f(x) = - sin (x)<br />

Anmerkung: <strong>Die</strong> Ableitung der Sinusfunktion ist einfach um<br />

+90° ( Pi/2) phasenverschoben. Das bedeutet aus Sinus wird<br />

Kosinus. Verschiebt man noch weiter zur 2. Ableitung wird<br />

daraus der negative Sinus.<br />

©VB 2003


7. <strong>Die</strong> Wurzelfunktion<br />

Ausgangsfunktion f(x) = √x<br />

1. Ableitung f‘(x) = 1<br />

2 ⋅√x<br />

Anmerkung: <strong>Die</strong> Ableitung der Wurzelfunktion kann man am<br />

einfachsten erklären, wenn man die Wurzel <strong>als</strong> Potenz mit<br />

einem Bruch im Exponenten betrachtet.<br />

f (x) = √x = x ½<br />

Nun gilt die allgemeine Regel für Potenzen. <strong>Die</strong> Potenz<br />

kommt vor das x und wird um 1 verringert.<br />

f‘ (x) = ½ ⋅ x -½<br />

Jetzt ist der Exponent negativ und kann zur 2 in den Nenner wenn das Vorzeichen positiv wird.<br />

f‘ (x) = 1<br />

2 ⋅ x ½<br />

Zuletzt macht man aus der Potenz im Nenner wieder die Wurzel und hat damit die endgültige Ableitung.<br />

8. <strong>Die</strong> Funktion 1/x<br />

Ausgangsfunktion f(x) = 1/x<br />

1. Ableitung f‘(x) = - 1/x²<br />

f<br />

1<br />

'(<br />

x)<br />

=<br />

2×<br />

Anmerkung: Da der Ausdruck 1/x auch in Potenzschreibweise<br />

dargestellt werden kann, ist er auch mit der Potenzregel<br />

differenzierbar.<br />

x<br />

−1<br />

1 −1<br />

=<br />

x<br />

x<br />

x<br />

−2<br />

x<br />

f ( x)<br />

= ⇒ f '(<br />

x)<br />

= −1×<br />

x -2 kommt jetzt wieder in den Nenner!<br />

1<br />

1<br />

f '( x)<br />

= −1×<br />

⇒ f '(<br />

x)<br />

= −<br />

2<br />

2<br />

x<br />

x<br />

©VB 2003<br />

Über die Kehrwertregel kommt man zum gleichen Ergebnis. Man kann sie auch leicht anwenden, wenn in der<br />

Ausgangsfunktion x in höherer Potenz im Nenner steht.<br />

<strong>Die</strong> Regel besagt: y=1/v dann ist y‘=-v‘/v²<br />

Beispiel: f (x) = 1 / x³ dann ist v‘= 3x² und v² = (x³)² = x 6<br />

2<br />

x 3<br />

'( x)<br />

3 ×<br />

=<br />

− ⇒ f '(<br />

x)<br />

= −<br />

f 6<br />

4<br />

x<br />

x


9. <strong>Die</strong> Ableitung eines Faktors vor einer Funktion<br />

Ausgangsfunktion y = a ⋅ f(x)<br />

1. Ableitung y = a ⋅ f‘ (x)<br />

Anmerkung: Der Faktor vor einer Funktion bleibt auch in der<br />

Ableitung unverändert erhalten.<br />

Beispiel: y = 5 ⋅ sin (x) y‘ = 5 ⋅ cos (x)<br />

Da der Faktor hier nur die Amplitude der Sinusfunktion ist,<br />

bleibt er auch in der Ableitung unverändert erhalten. Das gilt<br />

für alle Funktionen vor denen ein Faktor steht.<br />

10. <strong>Die</strong> Ableitung der Summe mehrerer Funktionen<br />

Ausgangsfunktion y = a ⋅ f(x) + b ⋅ g(x) + c ⋅ h(x)<br />

1. Ableitung y‘ = a ⋅ f‘(x) + b ⋅ g‘(x) + c ⋅ h‘(x)<br />

©VB 2003<br />

Anmerkung: <strong>Die</strong> Faktoren vor den Einzelfunktionen bleiben wieder erhalten, die Einzelfunktionen selbst werden<br />

Gliedweise abgeleitet.<br />

Beispiel: f(x) = 3 ⋅ sin(x) + 2 ⋅ √x + 0,5 x²<br />

f‘(x) = 3 ⋅ cos(x) + 2 ⋅ 1/(2⋅√x) + 0,5 ⋅ 2x<br />

f‘(x) = 3 ⋅ cos(x) + √x + x

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