Die RaumZeit Geometrie des Universums

lsw.uni.heidelberg.de

Die RaumZeit Geometrie des Universums

Die Geometrie

des Universums

Max Camenzind

Senioren Uni

Würzburg @WS2012


Mike Turner 2009


Antike Vorstellung

Wie stellen Sie sich

unser Universum vor?

Wie groß? Wie alt? Struktur?

Einstein 1917

Van Gogh 1889 Das Moderne Universum


Unsere Themen

• Der Blick ins Universum bestimmt das Weltmodell

� Galaxien als Bausteine sichtbaren Universums

� & CMB bestätigen das Kosmologische Prinzip.

• 1915: Ohne Einstein kein modernes Universum

� Gravitation ist Raumkrümmung.

• Wie konstruiere ich ein Universum ?

� expandierende Kosmische Sphären.

• Das Universum ist nicht statisch, expandiert

� Alexander Friedmann 1922, G. Lemaître 1927.

• In jedem expandierenden Universum gilt das

Hubble-Gesetz, jedoch nur für z < 0,1 !


Raum und Zeit bilden eine Einheit

Der Mensch ist ein 4-dimensionales Wesen

(ct,x,y,z) :

Ereignis


Ohne Gravitation

� Welt 4-dimensional und flach

Hermann Minkowski 1908

Abstand zwischen Ereignissen:

(kartesisch oder Kugelkoordinaten)

2

2

2

2

2

2

ds � �c

d�

� �c

dt � dx � dy �

2

2

ds � �c

dt � dr � r d�

� r sin �d�

2

2

2

2

2

2

2

dz

2

2


Kausale Struktur der RaumZeit

In jedem Ereignis

ist ein Lichtkegel

definiert.

Zeitartig

Lichtartig, Null

Raumartig

3-Raum

Beobachtungen

sind nur längs

Lichtkegel

möglich !


Einstein revolutioniert die Physik

1915 zeigt Albert Einstein � Mit Gravitation wird die

Geometrie des Minkowski-Raumes verallgemeinert.

� Allgemeine Relativitätstheorie

(ART) Gravitation ist keine Kraft -

Gravitation ist Raumkrümmung

Albert Einstein


Massen krümmen Raum

Auch die Erde krümmt den Raum

� gemessen mit Gravity Probe B


��

Gravitation � RaumZeit =

Riemann lokal Minkowski

n

ds 2 � �g dx ij

i dx j

i, j� 0

• Ein Riemannscher Raum ist eine Punktmenge, auf der man

messen kann. Einstein: ein Punkt (t,x,y,z) = Ereignis, n=4.

• g ij ist der Metrische Tensor (symm. Tensor 2. Stufe) : 10 Funktionen

für den 4-dimensionalen Raum � n = 4 � S²

• �Vorschrift, den Abstand zwischen zwei Punkten zu berechnen.

• � Aus metrischem Tensor folgen Riemann und Ricci Tensoren .

Der metrische Tensor bestimmt auch die Geodäten (Trajektorien der

frei fallenden Körper) mittels Christoffel-Symbole.


Geometrie der Kugelflächen S²

rd��

Sphäre mit Radius r�

Winkel df�(Rektaszension)�

Großkreise Winkel����

(Deklination)�

r sin(�) df�

Nach Pythagoras:

ds² = r² d�² + r²sin²� df²

ds² = g 11d�² + g 22df²

g 11 = r² , g 22 = r²sin²��


Die Sphäre S² ist eine 2-dimensionale

Riemann-Mannigfaltigkeit – sie kann

durch 2-dimensionale Karten dargestellt.

Winkelsumme im Dreieck > 180 Grad.


Krümmung der RaumZeit 1915

ik �

1

Rgik

� �gik

� �G

c

4

Tik

R ( 8 / )

2

Krümmung Kosmol. Konstante Materie

R ik Ricci Tensor mit Spur R = R m m:

folgt aus Riemann Tensor

Albert Einstein 1915:

Jede Form der Materie erzeugt Krümmung R

(auch Photonen, Felder, Vakuum-Energie?)


Bestätigung im Sonnensystem

• Gravitative Rotverschiebung (30% bei NS).

• Lichtablenkung an Sonne und Jupiter.

• Periheldrehung der Planeten, insbesondere

von Merkur: 43`` pro Jahrhundert.

• Shapiro-Laufzeitverzögerung.

Diese Effekte treten verstärkt auch bei

Binär-Pulsaren auf.

• Binär-Pulsare zeigen, dass Gravitationswellen

existieren (gibt es in Newtonscher

Physik nicht).


Albert Einstein

Deutsch

Allgemeine

Relativität (1915);

Statisches, geschl.

Universum (1917)

W. de Sitter

Holländer

Vakuum-Energiegefülltes

expand.

Universum

“de Sitter” (1917)

A. Friedmann

Russe

H.P. Robertson

Amerikaner

G. Lemaître

Belgier

Entwicklung eines homogenen,

expandierenden Universums

“Friedmann Modelle”

(1922/1924)

A.G. Walker

Britisch

Allgemeine Herleitung der Metrik eines

isotropen und homogenen Universums in

ART “Robertson-Walker Metrik” (1935-6)

Väter des Modernen Universums

„Ur-Atom“ 1927 / 1931

hat den Big Bang erfunden


Weder Erde noch Sonne

im Zentrum des Universums !

Kosmologisches Prinzip

(Milne 1933)

1. Wir befinden uns an keiner

ausgezeichneten Position des

Universums (� kein Zentrum).

2. Das Universum ist isotrop.

� Erst von 1990 - 2008 nachgewiesen!


Isotropie der Galaxien-

verteilung auf Sphären

1998 – 2007 SDSS DR7

Jeder Punkt

ist eine Galaxie

420 Mpc

600 Mpc


Isotropie der CMB-Strahlung


Isotropie der

Photosphäre

Penzias & Wilson 1965

COBE 1989-1993 (NASA)

BOOMERanG, Maxima 1998

WMAP 2001-2010 (NASA)

Planck 2009-2012 (ESA)

????

2006

1978


COBE 1993 – T-Anisotropien

2006

Temperaturschwankungen DT = 30 µK in der

Hintergrundstrahlung, auf Skalen > 7 Grad,

aufgenommen durch COBE (Mission 1989–1993)


WMAP � Photosphäre isotrop

Auflösung 14´ reicht nicht ; 20´ � 80 Mpc

DT �10

T

�5

Rot: wärmer

Blau: kühler

DT < +-100 micro-Kelvin um = 2,725 Kelvin

X


Konstruktion des Universums

Fortsetzung des antiken Modells !

Jeder Beobachter sieht einen andern Teil

Kuiper-Gürtel

Planeten-Sphären

Fixstern-

Sphären

Galaxien-

Sphären

Photo-

Sphäre


Wir sind

scheinbar

im Zentrum

des

Universums

r = 0

Jede

Kugel-

Schale:

r = const

Dr = 100 Mpc

Kugel-

schalen

expandieren

mit der Zeit

r � a(t) r

Big Bang

Kosmische Sphären

Galaxien-

Sphären

Photosphäre des

Universums

3000 K

2,725 K


= 0

Modernes Universum

Kosmische Sphären

� je tiefer umso jünger

Photosphäre

Universum

� CMB 1965

Strahlungs-Sphäre

381000 a 0

Alter des Universums in Mrd. Jahren

?


Welche Geometrie hat Kosmos?

• Wie sieht der Raum aus ds 2 ?

• Aus Kosmologischen Prinzip

(Isotropie um jeden Punkt)

� räumliche Krümmung

überall konstant.

• � Nur 3 Möglichkeiten:

• 3-Sattel – negative

Krümmung: K < 0

• 3-Sphäre – positive

Krümmung: K > 0

• Flacher E 3 – keine

Krümmung: K = 0


Die Geometrie des Universums

Abstand der Kugelschalen

Kugelschalen mit Radius a(t)r

Räumliche Krümmung {+1,0,-1}

r,�,f sind co-moving Koordinaten (“Labels” für Galaxien).

t: ausgezeichnete kosmische Zeit (gemessen von Atomuhren

im Zentrum von Galaxienhaufen – Virgo, Coma, …).

dx = a(t) dr : Distanzen gestreckt (isotrope Expansion).

a(t) ist eine Funktion der Zeit und r bleibt konstant.

a(t) ist als Skalenfaktor des Universums bekannt und mißt

die universelle Expansionsrate des Universums.

a(t 0) = 1 normiert, wobei t 0 die heutige Zeit (Alter d. Univ.).


FLRW Geometrie des Universums

Lemaître Ansatz

Einstein-de-Sitter


Das Friedmann-Universum erklärt

Dieses Friedmann-Modell des expandierenden

Universums erklärt folgendes:

• � 1. wie Photonen im Universum

propagieren � globale Lichtkegelstruktur;

• � 2. die kosmische Rotverschiebung z;

• � 3. das Hubble-Gesetz und seine nichtlineare

Erweiterung für z > 0,1;

• � 4. Distanzen im Universum als Func(z);

• � 5. Winkeldurchmesser als Func(z).

• � 6. Alter des Universums als Func(z).


1. Lichtausbreitung: längs Null-Geodäten

• Wie propagieren Photonen im expandierenden Universum ?

• Betrachte Photon emittiert bei

(r e) längs einer Linie mit konst

Länge und Breite (d��= 0 = df).

Die Trajektorie ist eine

Null-Geodäte (Eigenzeit = 0):

2

2

2

2

2

c d�

� c dt � R ( t)

dr � 0 k = 0

2


Lichtausbreitung unter Expansion

• Bewegungsgleichung eines Photons (a = R):

c

2

dt

2

r(

t)



R


t

0

2

(

t)

dr

cdt

R(

t)

“Comoving distance”

= mitbewegte Distanz

nimmt ab.

2


2. Kosmologische Rotverschiebung


Da rechte Seiten identisch �

X X

Der erste Term hebt sich gegen letzten weg �

Wellenlängen werden durch die Expansion gestreckt !


Kosmische Rotverschiebung

= Expansion des Raumes

Universum war früher kleiner / Lemaître 1927

Zeit

Zei t e

Zeit t 0


Kosmische Sphären

werden durch z nummeriert

Wir sind hier

Rotverschiebung z

Interessant ist es,

Verteilung für z > 1

zu bestimmen !

� Mrd. von Galaxien

Lichtlaufzeit in Mrd. Jahren


Strukturen wachsen

durch Selbstgravitation


Herleitung des Hubble-Gesetzes

Pfeile geben an, um

wieviel die Emis-

sionslinie nach rot

verschoben ist.

Quasar 3C 273

z = (l B – l 0)/l 0

Frage: Rotverschiebung z = 0,158 � welche Distanz D?


=

Hubble-Gesetz

& Bedeutung H 0


Was ist wahr ? Was ist falsch ?

• Falsch: „Hubble hat die Expansion des

Raumes 1929 gefunden.“ � Hubble hat nur die

Rotverschiebungen von Vesto Slipher, die er nicht

mal zitierte, mit seinen Cepheiden-Distanzen von

Galaxien zufällig korreliert! Hubble glaubte nie an

die Expansion des Raumes.

• Wahr: Lemaître hat die Expansion des Raumes

theoretisch 1927 postuliert und daraus den

Ursprung der kosmischen Rotverschiebung von

Galaxien erklärt, sowie das Hubble-Gesetz theoretisch

hergeleitet und empirisch untermauert. �

Das war absolut genial! De Sitter hat dies verpasst

• � Vorschlag: E-ELT als Lemaître-Telescope


Wer war Georges Lemaître ?

*1894 in Belgien / 1920 / 1927 / 1933 / 1951


“Homogeneous Universe of Constant

Mass and Increasing Radius” � k=1

G. Lemaître 1927 / übersetzt in MNRAS 1931

• „According to the theory of relativity, a

homogeneous universe may exist, …;“

• „There is no centre of gravity.“

• „Space is elliptic, i.e. of uniform positive curvature

1/R².“ � Metrik Ansatz: ds² = c²dt² - R²(t)ds² (1)

• „The volume of space has a finite value �²R³.“

• „When a light source is near enough, we have the

approximate formula (� heute: „Hubble-Gesetz“)

(23) cz = (R´/R) r | z + 1 = dt0/dt1 = R0/R1 where r is the distance of the source.“

Obs |

Emission


David L. Block 2012: Hubble-Konstante in der Übersetzung 1931 unterschlagen.


Lemaître 1931: “The Beginning of the World

from the Point of View of Quantum Theory”

• “SIR ARTHUR EDDINGTON

„Uratom“

1 states that,

philosophically, the notion of a beginning of the present

order of Nature is repugnant to him. I would rather be

inclined to think that the present state of quantum theory

suggests a beginning of the world very different from the

present order of Nature. Thermodynamical principles

from the point of view of quantum theory may be stated

as follows: (1) Energy of constant total amount is

distributed in discrete quanta. (2) The number of distinct

quanta is ever increasing. If we go back in the course of

time we must find fewer and fewer quanta, until we find

all the energy of the universe packed in a few or even in

a unique quantum.”


Georges Lemaître am CalTech

erklärt im Januar 1933 AE den Big Bang

• Als der lange Vortrag seines Gegenübers endete, erhob

sich der Mann mit dem struppigen Haar und dem grauen

Anzug (Albert Einstein) feierlich und klatschte in die

Hände. "Das ist die wundervollste und

befriedigendste Erklärung der Entstehung der Welt,

die ich je gehört habe", sagte er zu seinem

Gegenüber. Schwer zu sagen, was erstaunlicher war:

dass der Applaudierende kein geringerer war als Albert

Einstein. Oder, dass der berühmte Physiker einem Mann

gratulierte, der einen Priesterkragen trug. Der Belgier

erhielt dieses Kompliment von niemand Geringerem als

Albert Einstein. Es war der Beginn einer Wissenschaftsrevolution.

Das Universum entstand im Bruchteil

einer Sekunde aus einem winzigen „Uratom“.


Hubble-Gesetz mit Supernovae

Calán/Tololo Daten

1989 - 1995

• H 0 ist die “Hubble

Konstante”,

• � H 0 = 63 +/- 10

km/s/Mpc


Hubble-Gesetz ist global falsch

Camenzind 2011


Lichtkegel im statischen Universum

Zeitartige Weltlinie

Raumartige

Weltlinie


Lichtkegel in der Gödel RaumZeit


Die Hubble-Sphäre R H = c/H(t)

Einstein-de-Sitter a(t) ~ t 2/3 � R H = 3ct/2

Mit der Zeit ist ein immer

größerer Bereich überblickbar

Unsere Weltlinie

Rückwärts-

Lichtkegel

„birnenförmig“

wächst mit der Zeit

Das ganze

Universum

Heute


Lichtkegel ist

birnenförmig


Beobachtbares

Universum

füllt den Lichtkegel


Materieverteilung im Rückwärtslichtkegel

Quasar Sphäre

Computer Simulation

Äquatorebene d = 0

BOSS Survey

Rotverschiebung z

Rückblickzeit in Mrd. Jahren

Strukturen werden

immer jünger,

je weiter entfernt.


HS wird entleert


LCDM Hubble-Sphäre R H = c/H(t)

Die Hubble-Sphäre c/H(t) ~ const ist

der kosmische Horizont in LCDM

� Bereich jenseits nie beobachtbar

Rückwärts-

Lichtkegel

Zeit in Mrd. Jahren Unsere Weltlinie

Distanz in Mrd. LJ

Nie beobachtbar � Horizont

Heute


LCDM Ereignishorizont

& Teilchenhorizont

Beobachter

� Der Rückwärts-Lichtkegel ist birnenförmig (light cone).

� Teilchenhorizont (particle horizon) markiert die max. Distanz,

die Photonen von t=0 bis zu einer Zeit t zurücklegen können.

� Ereignishorizont (event horizon): Wieviel vom Universum kann

ich überblicken, wenn ich unendlich lange warte?

� Alle Galaxien werden aus dem Ereignishorizont entschwinden!


Beobachtbares Universum endlich

Unser Platz

Q�

Rotverschiebung z


Big Bang

t = 0:

Rand des

Universums

.

. .

.

.

.

.

Photosphäre

Universum

2,725 K

380.000 LJ

.

Temperatur

nimmt zu

T � 10 32 K

. .

. . .

.

.

Strahlungssphäre:

Photon-dominiertes

neutrales Plasma

1 e - auf 2 Mrd. Phot

.

.


… löst Olbers Paradoxon

Warum ist der Nachthimmel dunkel?

� Nur 100 Mrd. Galaxien sichtbar!


Fazit: Expansion

• � in jedem expandierenden Universum

tritt die kosmische Rotverschiebung auf

� 1+z = 1/a � Maß für die Expansion;

• � Wellenlängen werden durch die

Expansion gestreckt: l Beob = l em(1+z);

• � kosmische Rotverschiebung ist kein

Dopplereffekt (Lemaître 1927);

• � in jedem expandierenden Universum

ist Hubble-Relation cz = H 0d erfüllt, z

Weitere Magazine dieses Users
Ähnliche Magazine