Die RaumZeit Geometrie des Universums
Die Geometrie
des Universums
Max Camenzind
Senioren Uni
Würzburg @WS2012
Mike Turner 2009
Antike Vorstellung
Wie stellen Sie sich
unser Universum vor?
Wie groß? Wie alt? Struktur?
Einstein 1917
Van Gogh 1889 Das Moderne Universum
Unsere Themen
• Der Blick ins Universum bestimmt das Weltmodell
� Galaxien als Bausteine sichtbaren Universums
� & CMB bestätigen das Kosmologische Prinzip.
• 1915: Ohne Einstein kein modernes Universum
� Gravitation ist Raumkrümmung.
• Wie konstruiere ich ein Universum ?
� expandierende Kosmische Sphären.
• Das Universum ist nicht statisch, expandiert
� Alexander Friedmann 1922, G. Lemaître 1927.
• In jedem expandierenden Universum gilt das
Hubble-Gesetz, jedoch nur für z < 0,1 !
Raum und Zeit bilden eine Einheit
Der Mensch ist ein 4-dimensionales Wesen
(ct,x,y,z) :
Ereignis
Ohne Gravitation
� Welt 4-dimensional und flach
Hermann Minkowski 1908
Abstand zwischen Ereignissen:
(kartesisch oder Kugelkoordinaten)
2
2
2
2
2
2
ds � �c
d�
� �c
dt � dx � dy �
2
2
ds � �c
dt � dr � r d�
� r sin �d�
2
2
2
2
2
2
2
dz
2
2
Kausale Struktur der RaumZeit
In jedem Ereignis
ist ein Lichtkegel
definiert.
Zeitartig
Lichtartig, Null
Raumartig
3-Raum
Beobachtungen
sind nur längs
Lichtkegel
möglich !
Einstein revolutioniert die Physik
1915 zeigt Albert Einstein � Mit Gravitation wird die
Geometrie des Minkowski-Raumes verallgemeinert.
� Allgemeine Relativitätstheorie
(ART) Gravitation ist keine Kraft -
Gravitation ist Raumkrümmung
Albert Einstein
Massen krümmen Raum
Auch die Erde krümmt den Raum
� gemessen mit Gravity Probe B
��
Gravitation � RaumZeit =
Riemann lokal Minkowski
n
ds 2 � �g dx ij
i dx j
i, j� 0
• Ein Riemannscher Raum ist eine Punktmenge, auf der man
messen kann. Einstein: ein Punkt (t,x,y,z) = Ereignis, n=4.
• g ij ist der Metrische Tensor (symm. Tensor 2. Stufe) : 10 Funktionen
für den 4-dimensionalen Raum � n = 4 � S²
• �Vorschrift, den Abstand zwischen zwei Punkten zu berechnen.
• � Aus metrischem Tensor folgen Riemann und Ricci Tensoren .
Der metrische Tensor bestimmt auch die Geodäten (Trajektorien der
frei fallenden Körper) mittels Christoffel-Symbole.
Geometrie der Kugelflächen S²
rd��
Sphäre mit Radius r�
Winkel df�(Rektaszension)�
Großkreise Winkel����
(Deklination)�
r sin(�) df�
Nach Pythagoras:
ds² = r² d�² + r²sin²� df²
ds² = g 11d�² + g 22df²
g 11 = r² , g 22 = r²sin²��
Die Sphäre S² ist eine 2-dimensionale
Riemann-Mannigfaltigkeit – sie kann
durch 2-dimensionale Karten dargestellt.
Winkelsumme im Dreieck > 180 Grad.
Krümmung der RaumZeit 1915
ik �
1
Rgik
� �gik
� �G
c
4
Tik
R ( 8 / )
2
Krümmung Kosmol. Konstante Materie
R ik Ricci Tensor mit Spur R = R m m:
folgt aus Riemann Tensor
Albert Einstein 1915:
Jede Form der Materie erzeugt Krümmung R
(auch Photonen, Felder, Vakuum-Energie?)
Bestätigung im Sonnensystem
• Gravitative Rotverschiebung (30% bei NS).
• Lichtablenkung an Sonne und Jupiter.
• Periheldrehung der Planeten, insbesondere
von Merkur: 43`` pro Jahrhundert.
• Shapiro-Laufzeitverzögerung.
• Diese Effekte treten verstärkt auch bei
Binär-Pulsaren auf.
• Binär-Pulsare zeigen, dass Gravitationswellen
existieren (gibt es in Newtonscher
Physik nicht).
Albert Einstein
Deutsch
Allgemeine
Relativität (1915);
Statisches, geschl.
Universum (1917)
W. de Sitter
Holländer
Vakuum-Energiegefülltes
expand.
Universum
“de Sitter” (1917)
A. Friedmann
Russe
H.P. Robertson
Amerikaner
G. Lemaître
Belgier
Entwicklung eines homogenen,
expandierenden Universums
“Friedmann Modelle”
(1922/1924)
A.G. Walker
Britisch
Allgemeine Herleitung der Metrik eines
isotropen und homogenen Universums in
ART “Robertson-Walker Metrik” (1935-6)
Väter des Modernen Universums
„Ur-Atom“ 1927 / 1931
hat den Big Bang erfunden
Weder Erde noch Sonne
im Zentrum des Universums !
Kosmologisches Prinzip
(Milne 1933)
1. Wir befinden uns an keiner
ausgezeichneten Position des
Universums (� kein Zentrum).
2. Das Universum ist isotrop.
� Erst von 1990 - 2008 nachgewiesen!
Isotropie der Galaxien-
verteilung auf Sphären
1998 – 2007 SDSS DR7
Jeder Punkt
ist eine Galaxie
420 Mpc
600 Mpc
Isotropie der CMB-Strahlung
Isotropie der
Photosphäre
Penzias & Wilson 1965
COBE 1989-1993 (NASA)
BOOMERanG, Maxima 1998
WMAP 2001-2010 (NASA)
Planck 2009-2012 (ESA)
????
2006
1978
COBE 1993 – T-Anisotropien
2006
Temperaturschwankungen DT = 30 µK in der
Hintergrundstrahlung, auf Skalen > 7 Grad,
aufgenommen durch COBE (Mission 1989–1993)
WMAP � Photosphäre isotrop
Auflösung 14´ reicht nicht ; 20´ � 80 Mpc
DT �10
T
�5
Rot: wärmer
Blau: kühler
DT < +-100 micro-Kelvin um = 2,725 Kelvin
X
Konstruktion des Universums
Fortsetzung des antiken Modells !
Jeder Beobachter sieht einen andern Teil
Kuiper-Gürtel
Planeten-Sphären
Fixstern-
Sphären
Galaxien-
Sphären
Photo-
Sphäre
Wir sind
scheinbar
im Zentrum
des
Universums
r = 0
Jede
Kugel-
Schale:
r = const
Dr = 100 Mpc
Kugel-
schalen
expandieren
mit der Zeit
r � a(t) r
Big Bang
Kosmische Sphären
Galaxien-
Sphären
Photosphäre des
Universums
3000 K
2,725 K
= 0
Modernes Universum
Kosmische Sphären
� je tiefer umso jünger
Photosphäre
Universum
� CMB 1965
Strahlungs-Sphäre
381000 a 0
Alter des Universums in Mrd. Jahren
?
Welche Geometrie hat Kosmos?
• Wie sieht der Raum aus ds 2 ?
• Aus Kosmologischen Prinzip
(Isotropie um jeden Punkt)
� räumliche Krümmung
überall konstant.
• � Nur 3 Möglichkeiten:
• 3-Sattel – negative
Krümmung: K < 0
• 3-Sphäre – positive
Krümmung: K > 0
• Flacher E 3 – keine
Krümmung: K = 0
Die Geometrie des Universums
Abstand der Kugelschalen
Kugelschalen mit Radius a(t)r
Räumliche Krümmung {+1,0,-1}
r,�,f sind co-moving Koordinaten (“Labels” für Galaxien).
t: ausgezeichnete kosmische Zeit (gemessen von Atomuhren
im Zentrum von Galaxienhaufen – Virgo, Coma, …).
dx = a(t) dr : Distanzen gestreckt (isotrope Expansion).
a(t) ist eine Funktion der Zeit und r bleibt konstant.
a(t) ist als Skalenfaktor des Universums bekannt und mißt
die universelle Expansionsrate des Universums.
a(t 0) = 1 normiert, wobei t 0 die heutige Zeit (Alter d. Univ.).
FLRW Geometrie des Universums
Lemaître Ansatz
Einstein-de-Sitter
Das Friedmann-Universum erklärt
• Dieses Friedmann-Modell des expandierenden
Universums erklärt folgendes:
• � 1. wie Photonen im Universum
propagieren � globale Lichtkegelstruktur;
• � 2. die kosmische Rotverschiebung z;
• � 3. das Hubble-Gesetz und seine nichtlineare
Erweiterung für z > 0,1;
• � 4. Distanzen im Universum als Func(z);
• � 5. Winkeldurchmesser als Func(z).
• � 6. Alter des Universums als Func(z).
1. Lichtausbreitung: längs Null-Geodäten
• Wie propagieren Photonen im expandierenden Universum ?
• Betrachte Photon emittiert bei
(r e) längs einer Linie mit konst
Länge und Breite (d��= 0 = df).
• Die Trajektorie ist eine
Null-Geodäte (Eigenzeit = 0):
2
2
2
2
2
c d�
� c dt � R ( t)
dr � 0 k = 0
2
Lichtausbreitung unter Expansion
• Bewegungsgleichung eines Photons (a = R):
c
2
dt
2
r(
t)
�
�
R
�
t
0
2
(
t)
dr
cdt
R(
t)
“Comoving distance”
= mitbewegte Distanz
nimmt ab.
2
2. Kosmologische Rotverschiebung
Da rechte Seiten identisch �
X X
Der erste Term hebt sich gegen letzten weg �
Wellenlängen werden durch die Expansion gestreckt !
Kosmische Rotverschiebung
= Expansion des Raumes
Universum war früher kleiner / Lemaître 1927
Zeit
Zei t e
Zeit t 0
Kosmische Sphären
werden durch z nummeriert
Wir sind hier
Rotverschiebung z
Interessant ist es,
Verteilung für z > 1
zu bestimmen !
� Mrd. von Galaxien
Lichtlaufzeit in Mrd. Jahren
Strukturen wachsen
durch Selbstgravitation
Herleitung des Hubble-Gesetzes
Pfeile geben an, um
wieviel die Emis-
sionslinie nach rot
verschoben ist.
Quasar 3C 273
z = (l B – l 0)/l 0
Frage: Rotverschiebung z = 0,158 � welche Distanz D?
=
Hubble-Gesetz
& Bedeutung H 0
Was ist wahr ? Was ist falsch ?
• Falsch: „Hubble hat die Expansion des
Raumes 1929 gefunden.“ � Hubble hat nur die
Rotverschiebungen von Vesto Slipher, die er nicht
mal zitierte, mit seinen Cepheiden-Distanzen von
Galaxien zufällig korreliert! Hubble glaubte nie an
die Expansion des Raumes.
• Wahr: Lemaître hat die Expansion des Raumes
theoretisch 1927 postuliert und daraus den
Ursprung der kosmischen Rotverschiebung von
Galaxien erklärt, sowie das Hubble-Gesetz theoretisch
hergeleitet und empirisch untermauert. �
Das war absolut genial! De Sitter hat dies verpasst
• � Vorschlag: E-ELT als Lemaître-Telescope
Wer war Georges Lemaître ?
*1894 in Belgien / 1920 / 1927 / 1933 / 1951
“Homogeneous Universe of Constant
Mass and Increasing Radius” � k=1
G. Lemaître 1927 / übersetzt in MNRAS 1931
• „According to the theory of relativity, a
homogeneous universe may exist, …;“
• „There is no centre of gravity.“
• „Space is elliptic, i.e. of uniform positive curvature
1/R².“ � Metrik Ansatz: ds² = c²dt² - R²(t)ds² (1)
• „The volume of space has a finite value �²R³.“
• „When a light source is near enough, we have the
approximate formula (� heute: „Hubble-Gesetz“)
(23) cz = (R´/R) r | z + 1 = dt0/dt1 = R0/R1 where r is the distance of the source.“
Obs |
Emission
David L. Block 2012: Hubble-Konstante in der Übersetzung 1931 unterschlagen.
Lemaître 1931: “The Beginning of the World
from the Point of View of Quantum Theory”
• “SIR ARTHUR EDDINGTON
„Uratom“
1 states that,
philosophically, the notion of a beginning of the present
order of Nature is repugnant to him. I would rather be
inclined to think that the present state of quantum theory
suggests a beginning of the world very different from the
present order of Nature. Thermodynamical principles
from the point of view of quantum theory may be stated
as follows: (1) Energy of constant total amount is
distributed in discrete quanta. (2) The number of distinct
quanta is ever increasing. If we go back in the course of
time we must find fewer and fewer quanta, until we find
all the energy of the universe packed in a few or even in
a unique quantum.”
Georges Lemaître am CalTech
erklärt im Januar 1933 AE den Big Bang
• Als der lange Vortrag seines Gegenübers endete, erhob
sich der Mann mit dem struppigen Haar und dem grauen
Anzug (Albert Einstein) feierlich und klatschte in die
Hände. "Das ist die wundervollste und
befriedigendste Erklärung der Entstehung der Welt,
die ich je gehört habe", sagte er zu seinem
Gegenüber. Schwer zu sagen, was erstaunlicher war:
dass der Applaudierende kein geringerer war als Albert
Einstein. Oder, dass der berühmte Physiker einem Mann
gratulierte, der einen Priesterkragen trug. Der Belgier
erhielt dieses Kompliment von niemand Geringerem als
Albert Einstein. Es war der Beginn einer Wissenschaftsrevolution.
Das Universum entstand im Bruchteil
einer Sekunde aus einem winzigen „Uratom“.
Hubble-Gesetz mit Supernovae
Calán/Tololo Daten
1989 - 1995
• H 0 ist die “Hubble
Konstante”,
• � H 0 = 63 +/- 10
km/s/Mpc
Hubble-Gesetz ist global falsch
Camenzind 2011
Lichtkegel im statischen Universum
Zeitartige Weltlinie
Raumartige
Weltlinie
Lichtkegel in der Gödel RaumZeit
Die Hubble-Sphäre R H = c/H(t)
Einstein-de-Sitter a(t) ~ t 2/3 � R H = 3ct/2
Mit der Zeit ist ein immer
größerer Bereich überblickbar
Unsere Weltlinie
Rückwärts-
Lichtkegel
„birnenförmig“
wächst mit der Zeit
Das ganze
Universum
Heute
Lichtkegel ist
birnenförmig
Beobachtbares
Universum
füllt den Lichtkegel
Materieverteilung im Rückwärtslichtkegel
Quasar Sphäre
Computer Simulation
Äquatorebene d = 0
BOSS Survey
Rotverschiebung z
Rückblickzeit in Mrd. Jahren
Strukturen werden
immer jünger,
je weiter entfernt.
HS wird entleert
LCDM Hubble-Sphäre R H = c/H(t)
Die Hubble-Sphäre c/H(t) ~ const ist
der kosmische Horizont in LCDM
� Bereich jenseits nie beobachtbar
Rückwärts-
Lichtkegel
Zeit in Mrd. Jahren Unsere Weltlinie
Distanz in Mrd. LJ
Nie beobachtbar � Horizont
Heute
LCDM Ereignishorizont
& Teilchenhorizont
Beobachter
� Der Rückwärts-Lichtkegel ist birnenförmig (light cone).
� Teilchenhorizont (particle horizon) markiert die max. Distanz,
die Photonen von t=0 bis zu einer Zeit t zurücklegen können.
� Ereignishorizont (event horizon): Wieviel vom Universum kann
ich überblicken, wenn ich unendlich lange warte?
� Alle Galaxien werden aus dem Ereignishorizont entschwinden!
Beobachtbares Universum endlich
Unser Platz
Q�
Rotverschiebung z
Big Bang
t = 0:
Rand des
Universums
.
. .
.
.
.
.
Photosphäre
Universum
2,725 K
380.000 LJ
.
Temperatur
nimmt zu
T � 10 32 K
. .
. . .
.
.
Strahlungssphäre:
Photon-dominiertes
neutrales Plasma
1 e - auf 2 Mrd. Phot
.
.
… löst Olbers Paradoxon
Warum ist der Nachthimmel dunkel?
� Nur 100 Mrd. Galaxien sichtbar!
Fazit: Expansion
• � in jedem expandierenden Universum
tritt die kosmische Rotverschiebung auf
� 1+z = 1/a � Maß für die Expansion;
• � Wellenlängen werden durch die
Expansion gestreckt: l Beob = l em(1+z);
• � kosmische Rotverschiebung ist kein
Dopplereffekt (Lemaître 1927);
• � in jedem expandierenden Universum
ist Hubble-Relation cz = H 0d erfüllt, z
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