J. Schäfer Texte zur Fachdidaktik Mathematik (5): Leitidee Zahl: Produktives Üben im Mathematikunterricht November 2005

Produktives Üben im Mathematikunterricht

Einem Kind etwas zu verraten, was es selbst herausfinden könnte, das ist nicht nur schlechtes

Lernen, es ist ein Verbrechen. (Freudenthal 1971, 424, zit. nach Krauthausen 1998, 27).

In der didaktischen Tradition des Mathematikunterrichts konkurrieren seit Beginn des

20. Jahrhunderts zwei unterschiedliche Grundauffassungen des Lehrens und Lernens:

Das traditionelle und kleinschrittige Lehr- und Lernverständnis mit dem Prinzip

der Isolierung von Schwierigkeiten, das auch als passivistische Position bezeichnet

wird und die aktivistische Position eines aktiv-entdeckenden Unterrichts. In

einem solchen Unterricht wird Lernen als aktiver Konstruktionsprozess des Kindes

verstanden. Hierbei wird dem Lernenden ein weitaus größeres Maß an (Eigen-)Aktivität

und Verantwortung für das eigene Lernen zugemutet als beim traditionellen mathematikdidaktischen

Ansatz.

Traditionelles Lehr-/Lernverständnis im Mathematikunterricht

„Der Rechenunterricht kann nur dann zum Erfolg führen, wenn er in kleinen und kleinsten

Schritten vom Einfachen zum Schwierigen hin fortschreitet. (Rechenlehrplan für die Volksschul-Unterstufe

des Landes Nordrhein-Westfalen 1955; zit. nach WITTMANN in MÜLLER &

WITTMANN 1993, 158).

Die traditionelle Mathematikdidaktik favorisiert(e) einseitig und unumstritten das Prinzip

der methodisch gestuften Folge „kleinster und kleinster Schritte“, die unter „Isolierung

der Schwierigkeiten“ „vom Leichten zum Schweren“ und „vom Einfachen zum

Zusammengesetzten“ durchlaufen werden. Zur Begründung hierfür dient die starke

Fachstruktur der Mathematik, für die ein kleinschrittiger hierarchischer Aufbau geradezu

als naturgegeben gilt (vgl. WITTMANN 1995, 13).

Diese Position ist begründet in der Philosophie des Empirismus und der Psychologie

des Reiz-Reaktionslernens, wie es für den Behaviorismus charakteristisch ist. Die

Aneignung von Wissen durch die Lernenden wird erklärt durch eine mechanische

Wirkung äußerer Ursachen. Lernen bedeutet hier ein eher passives Aufnehmen

und Reproduzieren dargebotener Inhalte und Strukturen. Erfolgreiches Lernen

bedeutet einen Zuwachs im Verhaltensrepertoire und ist das Ergebnis von Übung

und Verstärkung bzw. Korrektur. „Der Lernende setzt nur seine Sinne ein, öffnet sozusagen

Augen und Ohren und versucht nachzuahmen, was ihm vorgemacht wird,

bleibt aber ansonsten passiv. Er lässt sich gewissermaßen wie ein Schiff beladen“

(Wittmann 1993, 157).

Übungsformen, die dieser Sichtweise des Lernens entsprechen („graue Päckchen“

und „bunte Hunde“), finden sich in gängigen Schulbüchern zumeist noch in großer

Zahl. Im Klassenverband werden die ersten Aufgaben gemeinsam gelöst, so lange,

bis die Mehrzahl der Schülerinnen und Schüler diese verstanden hat und alleine weiterarbeiten

kann. Die schwächeren Kinder erhalten im Einzelgespräch weitere Hilfen

und Anregungen. Abschließend werden als Hausaufgabe weitere Päckchen aufgegeben,

deren (korrekte!) Lösungen in der kommenden Stunde abgefragt werden. Um

den Kindern die „grauen Päckchen“, die meist aus eintönigen, miteinander strukturell

unverbundenen Aufgabenserien bestehen, zu „versüßen“, werden häufig „spielerische“

Aufgabenformen konstruiert und eingesetzt. Deren anspruchsvollere „kindgemäße“

äußere Gestaltung soll motivierend auf die Kinder wirken. Durch Ausmalen

1

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der Lösungen usw. wird eine „Selbstkontrollmöglichkeit“ suggeriert. Diese besteht

tatsächlich aber lediglich in einer Überprüfung von Ergebnissen (richtig – falsch). Eine

echte Auseinandersetzung mit Fehllösungen findet nicht statt. 1

Paradigmenwechsel: Aktiv-entdeckendes Lernen

„Weg darum mit aller Passivität im Lernen und Denken, mit blind totem Annehmen gegebener

Stoffe des Wissens!

Nicht das Wissen kräftigt, sondern das Verstehen; nicht die Ansammlung im Gedächtnis,

sondern das Verarbeiten mit dem Verstande; nicht das Aufspeichern der Massen, sondern

das Assimilieren; nicht das Betrachten, sondern das Suchen; nicht das Glauben, sondern

das Prüfen; nicht das [Kennen]Lernen, sondern das Üben; nicht das Vorkauen, sondern das

Zergliedern; nicht das Nehmen, sondern das Machen.“ (A. DIESTERWEG, 1836).

Erste Forderungen nach einem Mathematikunterricht, in dem nicht mehr Wert auf

das „Beibringen und Darbieten“ des „Stoffs“, sondern auf ein aktives und entdeckendes

Lernen und auf das genetische Prinzip gelegt wird, wurden bereits zum

Ende des 19. Jahrhunderts und besonders in den Anfängen des 20. Jahrhunderts

laut und führten zu einem Paradigmenwechsel in der mathematischen Unterrichtspraxis.

Dieser konnte sich allerdings (noch) nicht gegen die traditionelle Auffassung

von Lernen durchsetzen. Die Philosophie dieser aktivistischen Position des Lernens

beruht auf den Schriften von Leibnitz und Kant und der Kognitionspsychologie,

insbesondere der genetischen Psychologie von Jean Piaget. „Diese Position

interpretiert die Entstehung des Wissens im Lernenden als dessen aktive Konstruktion,

d. h. als Resultat einer Wechselwirkung zwischen „innen“ und „außen“. (...)

In dieser Sichtweise muss sich der Lernende also den jeweiligen Unterrichtsgegenstand

aktiv erarbeiten. Der Lernstoff wird ihm nicht durch seine Sinne von außen zugeführt.“

(Wittmann 1993, 157).

Forderungen aus dieser Zeit hören sich auch zu Beginn des dritten Jahrtausends

verblüffend aktuell an:

„Beibringen, darbieten, vermitteln sind (...) Begriffe der Unterrichtskunst vergangener

Tage und haben für die Gegenwart geringen Wert; denn der pädagogische Blick unserer

Zeit ist nicht mehr stofflich eingestellt. Wohl soll der Schüler auch künftig Kenntnisse und

Fertigkeiten gewinnen – wir hoffen sogar noch mehr als früher – aber wir wollen sie ihm

nicht beibringen, sondern er soll sie sich erwerben. Damit wechselt auch des Lehrers Aufgabe

auf allen Gebieten. Statt Stoff darzubieten, wird er künftig die Fähigkeiten des Schülers

zu entwickeln haben. Das ist etwas völlig anderes, besonders für die Gestaltung des Rechenunterrichts.

Denn durch die anders geartete Formulierung der Frage nach dem Lehrverfahren

werden dem Lehrer zwei Hilfsmittel aus der Hand genommen, die den meisten bisher

als unentbehrlich erschienen und als kennzeichnende Merkmale höchster Lehrkunst: Das

Darbieten und das Entwickeln. Sie gibt ihm aber dafür zwei andere in die Hand, die zunächst

unscheinbar, in ihrer Wirkung jedoch ungleich mächtiger sind: die Veranlassung der

Gelegenheit und die Anregung zu eigener Entwicklung.

Und das Tun des Schülers ist nicht mehr auf Empfangen eingestellt, sondern auf Erarbeiten.

Nicht Leitung und Rezeptivität, sondern Organisation und Aktivität ist es, was das

Lehrverfahren der Zukunft kennzeichnet.“ (KÜHNEL 1954, 70, zit. nach WITTMANN 1995, 11).

1 Zu weiteren Nachteilen der traditionellen Übungsformen vgl. WITTMANN in WITTMANN & MÜLLER 1993, 161

f.

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Merkmale des aktiv-entdeckenden Lernens und des produktiven Übens

Das Lernen findet in größeren Sinnzusammenhängen statt. Die Aufgabenstellungen

sind herausfordernd, lebensnah und für die Kinder relevant. Dadurch wird bei

den Schülerinnen und Schülern Neugierde und Interesse geweckt. Eine Motivation

aus der Sache heraus entsteht.

Die Aufgaben sind so gestaltet, dass sie von jedem Kind auf seinem Leistungsniveau

erfolgreich bearbeitet und gelöst werden können (natürliche Differenzierung).

Sie regen die Kinder zum Beobachten, Erkunden, Probieren, Fragen, Erzeugen, Herstellen

und Finden von Zusammenhängen, Optimieren, Verwerfen und – vor allem –

zum Denken an. Dabei genießt jedes Kind große Freiheit. Um zum Ziel zu kommen,

kann es in seinem eigenen Lernrhythmus und Lerntempo seinen individuellen Lösungsweg

verfolgen. So wird das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten gestärkt und

die Kinder lernen gleichzeitig, Verantwortung für die Organisation ihres eigenen

Lernens zu übernehmen.

Durch die starke persönliche Beteiligung jedes Kindes am Lernprozess und durch die

An- und Verknüpfung mit bereits vorhandenem Wissen wird Verständnis aufgebaut.

Dadurch werden die erlernten Inhalte langfristig im Gedächtnis verankert. Lernen

wird als ständiges Dazulernen und Weiterlernen verstanden (Spiralprinzip).

Eine Selbstkontrolle der eigenen Arbeit ist aus der Sache heraus möglich. Die Aufgaben

sind so gestaltet, dass die Kinder ihre Fehler (und deren Ursachen) selbst und

in Auseinandersetzung mit ergiebigen Arbeitsmitteln erkennen und beheben können.

Außerdem leisten produktive Übungsformen durch das Vernetzen von Zusammenhängen

und durch das Durchführen von Transferleistungen beim Lösen der Aufgaben

einen Beitrag zum beweglichen mathematischen Denken und damit auch zur

Denkerziehung und Allgemeinbildung.

Produktive Übungsformen 2

repräsentieren zentrale Ziele, Inhalte und Prinzipien des Mathematikunterrichts

und sind mit anderen Unterrichtseinheiten vielfältig verknüpfbar;

bieten reiche Möglichkeiten für mathematische Aktivitäten von Schülerinnen und

Schülern;

sind didaktisch flexibel und können leicht an die speziellen Gegebenheiten einer

bestimmten Klasse angepasst werden;

integrieren mathematische, psychologische und pädagogische Aspekte des Lehren

und Lernens in einer ganzheitlichen Weise;

enthalten einen hohen Anteil gleichartiger Aufgaben, die den Übungseffekt gewährleisten;

2 nach SELTER auch „Substanzielle Übungsformen“ genannt.

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basieren auf mathematisch reichhaltigen Kontexten (mit oder ohne Wirklichkeitsbezug),

die es erlauben, allgemeine Lernziele zu verfolgen;

bieten unterschiedliche Problemstellungen mit verschiedenen Schwierigkeitsgraden,

die im Idealfall – auf dem jeweiligen Niveau – im ersten Schuljahr wie auch

in der Lehrerausbildung eingesetzt werden können und als Herausforderungen erlebt

werden;

Sind innerhalb eines Problemkontextes offen genug, um Bearbeitungen einzelner

Kinder auf unterschiedlichen Niveaus im Sinne einer natürlichen Differenzierung

zu ermöglichen.

„Produktive Aufgabensysteme bilden eine Beziehungsstruktur für zusammengehörige Aufgaben.

Sie ermöglichen eine produktive Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten.

Üben wird damit auch als Aneignung neuen Wissens und nicht bloß als Festigung

schon gelernten Wissens verstanden.“ (STEINBRING 1997).

Beispiele für produktive Übungsformen:

• Anna-Zahlen

• Figurierte Zahlen (z. B. Rechteck- und Quadratzahlen, Dreieckszahlen usw.)

• Geometrische Aufgabenstellungen

• Magische Quadrate, Zauberdreiecke usw.

• Minustürme

• Päckchen mit Pfiff

• Rechendreiecke

• Zahlenketten; Triff die 50

• Zahlenmauern, Mal-Plus-Häuser, Einmaleinssterne usw.

Die veränderte Rolle der Lehrperson

Mit dem Paradigmenwechsel in der Mathematikdidaktik verändert sich auch die Rolle

der Lehrerinnen und Lehrer bei der Planung und Gestaltung von Unterricht. Dies betrifft

vor allem die Entwicklung folgender Fähigkeiten zum Anregen von entdeckendem

und problemorientiertem Lernen:

· herausfordernde Problemsituationen finden;

· die Wege der Kinder ernst nehmen und verstehen, um sie produktiv für das Kind

und die Entwicklung fachspezifischer Konventionen nutzen zu können;

· das Verstehen mathematischer Konventionen intendieren und nicht das Übernehmen;

· die Lernprozesse des einzelnen Kindes durch geeignete Hilfsmittel und Arbeitsmaterialien

unterstützen, nicht aber den Lernweg vorgeben;

· Kommunikation als ein gemeinsames Nachdenken über mathematische Fragestellungen

im Unterricht fördern;

· soziales Miteinander statt Einzelarbeit als Kontrollinstanz initiieren.

... und was sagen die neuen Bildungspläne dazu?

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„Die Einsicht, dass ein Ergebnis richtig ist, das Verständnis der Logik des Verfahrens, mit

dem es erzielt wurde, gibt den Schülern das Gefühl, dass sie tatsächlich eine Fähigkeit und

ein Können besitzen – und das schafft viel mehr Zuversicht und Leistungswillen als alle externe

Verstärkung.“ (ERNST VON GLASERSFELD 1998, 291).

Die Position des aktiv-entdeckenden Lernens ist in den neuen Bildungsplänen der

Grund- und Hauptschule fest verankert. In den Leitgedanken zum Kompetenzerwerb

im Fach Mathematik heißt es zum Beispiel:

„Neben (der) Anwendungsorientierung ist es Aufgabe des Mathematikunterrichts in der

Grundschule, den Kindern Chancen zu geben, auf ihrem Niveau mathematische Strukturen

und Zusammenhänge auch kontextfrei zu entdecken, diese zu untersuchen und zu nutzen.

Diese Strukturorientierung soll den Kindern den Zugang zum ‚Geist der Mathematik’ öffnen,

indem sie Zahlbeziehungen und Regelhaftes erkennen, formulieren und für flexibles Rechnen

nutzen.“

Als „Ziel und Profil des Mathematikunterrichts“ wird in den neuen Bildungsplänen

explizit gefordert, die

„kreative Denk-, Lern- und Arbeitshaltung der Schülerinnen und Schüler aufzubauen und zu

pflegen“ (Bildungsplan Grundschule 2004, 54 f.).

„Entdeckendes Lernen ist Unterrichtsprinzip in allen Schuljahren und weckt Neugierde. Entdeckendes

Lernen fordert und fördert Lehrerinnen und Lehrer und Schülerinnen und Schüler.“

(a.a.O., 55)

Zum Üben und Vertiefen stellt der Bildungsplan folgendes fest:

„Üben und Vertiefen zielt auf unterschiedliche Absichten und unterstützt unterschiedlichen

Kompetenzerwerb. Formales Üben, zum Beispiel das Trainieren der Algorithmen der schriftlichen

Rechenverfahren, führt zu Rechensicherheit und ist unverzichtbar. Produktives Üben

zielt über Reproduktionsleistungen hinaus und will anleiten, Ergebnisse strategisch und geschickt,

zum Beispiel unter Nutzung von Rechenvorteilen, zu finden und diese dann auch zu

überprüfen. Erst wenn Vorstellungen und Erkenntnisse entwickelt sind, können Fertigkeiten

stabilisiert und automatisiert werden.“ (a.a.O., 57).

Die im Bildungsplan für die Grundschule formulierten Leitgedanken werden für die

Hauptschule entsprechend weitergeführt:

„Der Mathematikunterricht bietet Gelegenheit für Umwege, für Ideenaustausch, für spielerischen

Umgang mit Mathematik und legt Wert auf eigenverantwortliches Handeln. In diesem

Unterricht haben die Schülerinnen und Schüler Gelegenheit offene mathematische Problemstellungen

kooperativ zu bearbeiten, miteinander zu kommunizieren und gemeinsam nach

Lösungen zu suchen. Verstandene Mathematik ist wichtiger als die Beherrschung großer

Stoffmengen.“ (Bildungsplan Hauptschule 2004, 74).

„Das Üben hat große Bedeutung für einen am Verstehen orientierten Unterricht, der zum eigenverantwortlichen

und selbstständigen Handeln der Schülerinnen und Schüler befähigen

will. Übungen sollen den kreativen Umgang mit dem Erlernten ermöglichen. Sie sind dann

besonders erfolgreich, wenn sie das Verstehen fördern, Einblicke in erfolgreiche Lösungsstrategien

ermöglichen und Anlässe zum Weiterlernen bieten. Denksport und Knobelaufgaben

tragen zur Weiterentwicklung der Kreativität bei, fördern die Einsicht in mathematisches

Denken und können Freude an der Mathematik wecken.“ (a.a.O., 75).

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J. Schäfer Texte zur Fachdidaktik Mathematik (5): Leitidee Zahl: Produktives Üben im Mathematikunterricht November 2005

Damit erfahren die Vorstellung von mathematischem Lernen und die intendierten

Zielsetzungen eine Erweiterung und Akzentverschiebung. Im Vordergrund steht

nicht mehr die Ergebnisorientierung, sondern vielmehr die Prozessorientierung,

indem im Lerngeschehen dem Prozess der Aneignung stärkere Beachtung geschenkt

und mehr Raum gegeben wird.

Das bedeutet für die Zielsetzungen der Unterrichtspraxis,

• dass Kinder eigene Wege gehen müssen, um Mathematik verstehen zu können.

• dass Differenzierung in eben diesen unterschiedlichen Wegen begründet liegt und

in der individuellen Unterstützung der Wege des Kindes und nicht in einer

Stufung eines Aufgabenangebots von leicht-mittel-schwer.

• dass Fehler verstanden und genutzt werden, um die Wege der Kinder zu verstehen.

• dass Üben integraler Bestandteil des Lernprozesses ist und sich nicht mehr

definiert über die möglichst schnelle Abrufbarkeit von Automatismen.

• dass soziales Lernen verstanden wird als Notwendigkeit, um in der Interaktion

und Kooperation mit anderen Wege zu finden, zu verwerfen, zu optimieren...

• dass Kommunikation im Sinne von Argumentieren und Diskutieren stattfindet

und nicht als Wechselspiel von Lehrerfragen und Schülerantworten.

Angesichts dieser Zielsetzungen ist die Mathematik nicht mehr Selbstzweck, sondern

wird als Werkzeug verstanden, das zur Problemlösung benötigt wird und auf

diesem Wege zur Orientierung, zum Verständnis und zur Bewältigung der Lebenswirklichkeit

beiträgt.

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J. Schäfer Texte zur Fachdidaktik Mathematik (5): Leitidee Zahl: Produktives Üben im Mathematikunterricht November 2005

Beispiel:

Worum geht es?

Die inneren Felder („Mittelzahlen“, Feld oben, Feld unten links/unten rechts) eines

Rechendreiecks werden mit Plättchen belegt oder mit Symbolen beschriftet.

Jeder Dreiecksseite ist ein äußeres Feld („Randzahl“ bzw. „Ergebnisfeld“) zugeordnet,

das ebenfalls mit Plättchen belegt oder mit Symbolen beschriftet wird.

Rechenregel: In jedem Ergebnisfeld steht die Summe der angrenzenden Dreiecksfelder.

Was soll geübt werden?

Rechendreiecke können vom ersten Schuljahr an zum spielerischen Umgang mit

arithmetischen Mustern (vgl. dazu besonders die Aufgabenstellung 6) sowie zur Übung

des Einspluseins bzw. des Addierens und Subtrahierens und zur Förderung

allgemeiner Lernziele wie Mathematisieren, Entdecken, Argumentieren und

Darstellen eingesetzt werden.

Wie kann man vorgehen?

Möglichkeiten der Aufgabenstellungen bei Rechendreiecken (mit steigendem

Schwierigkeitsgrad):

1.

2.

8

5

3

3

7

7

Vorgegeben sind die drei inneren Felder.

Die Ergebnisfelder lassen sich durch Addieren

errechnen.

Vorgegeben sind zwei innere Felder und

ein Ergebnisfeld. Durch Addieren und Subtrahieren

(auch durch Ergänzen) lassen sich

die Ergebnisse der leeren Felder finden. Die

Reihenfolge der zu errechnenden Felder ist

teilweise festgelegt.

5

7

7

10

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J. Schäfer Texte zur Fachdidaktik Mathematik (5): Leitidee Zahl: Produktives Üben im Mathematikunterricht November 2005

3.

4.

5.

6.

8

8

8

3

12

7

10

10

10

Wie könnte es weitergehen?

Rechendreiecke können auch in den folgenden Schuljahren und in der Sekundarstufe

1 jeweils im erweiterten Zahlenraum sowie in komplexeren Zahlbereichen (ganze

Zahlen, rationale Zahlen) als Übungsform zum Addieren und Subtrahieren bzw. Ergänzen

eingesetzt werden.

Weiterführende Literatur:

Ein inneres Feld und die beiden angrenzenden Ergebnisfelder

sind gegeben. Durch Addieren und Subtrahieren

(auch durch Ergänzen) lassen sich die Ergebnisse

der leeren Felder finden. Die Reihenfolge des

Rechnens ist zum Teil festgelegt.

Ein inneres Feld und zwei beliebige Ergebnisfelder sind

gegeben. Durch Addieren und Subtrahieren (auch durch

Ergänzen) lassen sich die Ergebnisse der leeren Felder

finden. Die Reihenfolge des Rechnens ist festgelegt.

Alle Ergebnisfelder sind gegeben, die inneren Felder sind

leer. Lösungen lassen sich nur durch systematisches Probieren

finden. Dadurch wird mechanisches Vorgehen vermieden.

Die Kinder sollen Beziehungen erkennen und nutzen

lernen. Probieren und Experimentieren (auch mit Material!)

sind ausdrücklich erwünscht, denn dadurch erkennen

die Kinder häufig erst gewisse Strukturen und gelangen zu

tieferen Einsichten. Die Vielzahl und Verschiedenheit der

Kommentare der Kinder ist überaus fruchtbar für die Reflexion.

„Denke dir eigene Rechendreiecke aus.“

„In den inneren Feldern sollen nur gerade/ungerade Zahlen

stehen“.

„Die Randzahlen sollen alle gerade/ungerade sein.“

„Die inneren Zahlen/die Randzahlen sollen immer um eins

vergrößert/verkleinert werden.“ usw.

Baum, M./Wielpütz, H. (Hrsg.) (2003). Mathematik in der Grundschule. Ein Arbeitsbuch. Seelze: Kallmeyer.

Müller, G. N./Wittmann, E. C. (Hrsg.) (1995). Mit Kindern rechnen. Frankfurt am Main: Arbeitskreis

Grundschule.

Müller, G. N./Steinbring, H./Wittmann, E. Ch. (Hrsg.) (2004). Arithmetik als Prozess. Seelze: Kallmeyer.

Müller, G. N. /Wittmann, E. Ch. (1993). Handbuch produktiver Rechenübungen. Band 1: Vom Einspluseins

zum Einmaleins. Band 2: Vom halbschriftlichen zum schriftlichen Rechnen. Stuttgart, Düsseldorf,

Berlin, Leipzig: Klett.

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