Visualisierung in der mathematischen Begriffsbildung - PBworks

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Visualisierung in der mathematischen Begriffsbildung - PBworks

Technisch-Naturwissenschaftliche

Fakultät

Visualisierung in der

mathematischen Begriffsbildung

Eingereicht von:

Barbara Kimeswenger

Angefertigt am:

Diplomarbeit

zur Erlangung des akademischen Grades

Magistra der Naturwissenschaften

im Diplomstudium

Lehramt für Mathematik und Bildnerische Erziehung

Institut für Didaktik der Mathematik

Beurteilung:

Univ. Prof. DI Mag. Dr. Markus Hohenwarter

Linz, Juli 2012


EIDESSTATTLICHE ERKLÄRUNG

Ich erkläre an Eides statt, dass ich die vorliegende Diplomarbeit selbstständig und ohne

fremde Hilfe verfasst, andere als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel nicht benutzt bzw.

die wörtlich oder sinngemäß entnommenen Stellen als solche kenntlich gemacht habe.

Die vorliegende Diplomarbeit ist mit dem elektronisch übermittelten Textdokument identisch.

(Ort, Datum) (Unterschrift)


DANKSAGUNG

An dieser Stelle möchte ich all jenen Menschen ein „Dankeschön“ aussprechen, die mich

während meines Studiums tatkräftig unterstützt haben.

Vielen Dank an meine Familie und meinen Partner, die mich auch in schwierigen

Lebenslagen aufgebaut haben. Ich möchte im Speziellen meinen Eltern für ihre emotionale

aber auch finanzielle Unterstützung danken.

Ein besonderer Dank gilt meinem Diplomarbeitsbetreuer, Herrn Prof. Markus Hohenwarter,

der mich beim Verfassen dieser Arbeit sehr kompetent beraten und unterstützt hat. Weiters

habe ich durch ihn die Möglichkeit erhalten, im „Open Educational Resources Lab“ an der

Johannes Kepler Universität mitzuarbeiten. Dadurch konnte ich bei der Materialentwicklung

für die dynamische Mathematiksoftware „GeoGebra“ mitwirken und kostbare Erfahrungen

sammeln.

Zum Schluss möchte ich sowohl meinem Freundeskreis als auch meinen Studienkolleginnen

und –kollegen danken. Erst durch diese wertvollen Menschen wurden die letzten fünf Jahre

eine besondere Zeit in meinem Leben.


KURZFASSUNG

Thema der Diplomarbeit

Visualisierung in der mathematischen Begriffsbildung

Zielsetzung

Wie kann man sich Mathematik vorstellen? In welcher Weise und unter welchen

Bedingungen kann das Verständnis von mathematischen Begriffen bzw. Sachverhalten mit

Hilfe bildlicher Darstellungen gefördert werden?

Durchführung

Die Arbeit beginnt mit der Beschreibung didaktischer Prinzipien, die den Einsatz von

bildlichen Darstellungen im Mathematikunterricht ansprechen bzw. fordern. Welcher Platz

ihnen in schulischen Richtlinien, wie zum Beispiel dem Lehrplan oder den

Bildungsstandards, zugewiesen wird, wird im Anschluss behandelt.

Ausgehend von gestalt- bzw. denkpsycholischen Ansätzen wird im Folgenden eine Definition

für Visualisierung in der Mathematik vorgestellt. Neben der Beschreibung zentraler

Gesichtspunkte mathematischer Begriffe, wie etwa von Definitionen, Eigenschaften,

Beziehungen und Sachverhalten, wird der positive bzw. auch negative Einfluss von

Visualisierungen in der mathematischen Begriffsbildung analysiert. Es kristallisieren sich vor

allem zwei Kernaspekte heraus:

Erstens, dass bildliche Darstellungen nur als Stellvertreter eines mathematischen Begriffs

bzw. Sachverhaltes stehen, egal ob sie auf einer Tafel skizziert, im Schulbuch gezeigt oder

im Geiste vorgestellt werden. Deswegen sollen sie als bewegliche Objekte gesehen werden,

mit denen flexibel umgegangen werden kann.

Zweitens, Schülerinnen und Schüler sollen eine Verbindung zwischen bildlichen und anderen

Darstellungen eines mathematischen Begriffs bzw. Sachverhaltes herstellen können.

Besonders Zusammenhänge zwischen bildlichen und symbolischen Repräsentationen sollen

erkannt werden.

Mit Hilfe von Technologieeinsatz können beide geforderten Aspekte einer effizienten

Visualisierung von mathematischen Begriffen bzw. Sachverhalten unterstützt werden. In

welcher Weise dynamische Geometrie- bzw. Mathematiksoftware zur Begriffsbildung

beitragen kann, wird sowohl anhand theoretischer Ausführungen aber auch an selbst

erstellten Materialien gezeigt.


ABSTRACT

Topic of the diploma thesis

Visualization in the formation of mathematical concepts

Objective of the thesis

How can mathematics be visualized? How and under which conditions can the

understanding of mathematical concepts be supported by images?

Methods

First didactical principles are introduced, addressing the usage of images in mathematics.

Referring to these, educational guidelines are discussed, for instance the curriculum and the

standards of education in Austria.

According to psychological and cognitive theories a definition of visualization in mathematics

is presented. Based on essential principles of a mathematical concept, like definitions,

attributes, relations and issues, the positive and negative influence of visualization in

mathematical concept formation is analysed. Mainly two aspects are highlighted:

Firstly, image-based representations are just a substitute for mathematical concepts, no

matter if they are sketched on the board, shown in text books or just in imagination.

Therefore images should be seen as dynamic objects, which can be handled in a flexible

way.

Secondly, students should have the ability to connect image-based representations of

mathematical concepts to other representations, especially to symbolic ones.

With suitable technology both aspects of efficient visualization of mathematical concepts may

be supported. The usefulness of dynamic geometry or mathematics software concerning

efficient mathematical formulation of concepts is shown in theory and by practical examples.


INHALTSVERZEICHNIS

1 EINLEITUNG ............................................................................................................................ 1

2 DIDAKTISCHE PRINZIPIEN .................................................................................................... 3

2.1 E-I-S-Prinzip nach J.S. Bruner ...................................................................................... 3

2.2 Prinzip der Interaktion der Darstellungsformen .............................................................. 8

2.2.1 Prinzip der Verinnerlichung und Verzahnung der

Darstellungsformen ................................................................................. 8

2.2.2 Rückschaltprinzip .................................................................................... 9

2.3 Operatives Prinzip ....................................................................................................... 10

3 BEZUG ZUM SETTING SCHULE .......................................................................................... 11

3.1 Lehrplan ...................................................................................................................... 11

3.2 Bildungsstandards ....................................................................................................... 12

3.3 Standardisierte schriftliche Reifeprüfung mit Technologieteil ....................................... 15

4 GRUNDLEGENDES ZUM THEMA VISUALISIERUNG IM MATHEMATIKUNTERRICHT ..... 16

4.1 Wahrnehmung ikonischer Darstellungen - Gestaltgesetze .......................................... 16

4.2 Forderung einer „neuen“ Anschaulichkeit unter Berücksichtigung

denkpsychologischer Ansätze ..................................................................................... 18

4.3 Arbeitsdefinition für „Visualisierung“ ............................................................................ 22

5 VISUALISIERUNG IN DER BEGRIFFSBILDUNG ................................................................. 24

5.1 Definitionen ................................................................................................................. 26

5.2 Eigenschaften ............................................................................................................. 27

5.2.1 Prototypen ............................................................................................. 30

5.2.2 Unterrichtsidee zu verschiedenen Prototypen zum Begriff

„Rechteck“ ............................................................................................. 35

5.3 Beziehungen ............................................................................................................... 39

5.4 Sachverhalte ............................................................................................................... 43

5.5 Didaktischer Nutzen ikonischer Darstellungen............................................................. 43


6 BEGRIFFSBILDUNG DURCH TECHNIKUNTERSTÜTZTE VISUALISIERUNGEN ............... 51

6.1 Aufbau und Gestaltung von E-Learning-Materialien .................................................... 52

6.1.1 Aufbau von DGS unterstützten Lernumgebungen ................................. 52

6.1.2 Gestaltprinzipien von E-Learning-Materialien nach Clark und Mayer ..... 53

6.2 Systematische Variation mit Hilfe von DGS und DMS – Operative Begriffsbildung ...... 56

6.2.1 Dynamische Geometriesoftware (DGS) ................................................. 56

6.2.2 Dynamische Mathematiksoftware (DMS) ............................................... 57

6.2.3 Operative Begriffsbildung durch systematische Variation ...................... 58

6.3 Mit DGS erstellte dynamische Visualisierungen .......................................................... 63

6.3.1 Computer als Medium für Prototypen .................................................... 63

6.3.2 Computer als Bereicherung aus semiotischer Sicht ............................... 65

6.3.3 Operieren am Computer als Zwischenschritt zwischen praktischen

und verinnerlichten Handlungen ............................................................ 66

6.3.4 Computer als „kognitives Werkzeug und kognitives Medium“ ................ 69

6.3.5 Haus der Vierecke ................................................................................. 69

6.4 Interaktion der Darstellungsformen mit Hilfe von DMS ................................................ 75

6.4.1 Binomische Formeln .............................................................................. 76

6.4.2 Addition gleichnamiger Brüche .............................................................. 80

6.4.3 Einheitskreis und Graph der Funktionen sin( und cos( .................... 82

6.4.4 Maximaler Flächeninhalt eines Teiches ................................................. 84

6.4.5 Kritik bezüglich der Vielzahl an Darstellungen durch den Computer ...... 87

7 ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK .............................................................................. 89

8 ANHANG ................................................................................................................................ 93

8.1 Links zu dynamischen Arbeitsblättern ......................................................................... 93

8.2 Arbeitsblätter zum Thema „Haus der Vierecke“ ........................................................... 94

ABBILDUNGSVERZEICHNIS ..................................................................................................... 101

TABELLENVERZEICHNIS ......................................................................................................... 104

ABKÜRZUNGSVERZEICHNIS ................................................................................................... 105

LITERATURVERZEICHNIS ........................................................................................................ 106


Einleitung

1 EINLEITUNG

Ist es möglich, sich Mathematik vorzustellen? Können mathematische Begriffe und

Sachverhalte mit Bildern dargestellt werden? In welcher Weise fördern oder behindern sie

das Begriffsverständnis? Wie kann der Einsatz von Technologie das Visualisieren von

mathematischen Begriffen bzw. Sachverhalten unterstützen? Fragen wie diese sind Thema

dieser Diplomarbeit.

Zum einen werden theoretische Ausführungen vorgestellt und zum anderen werden selbst

erstellte Materialien, wie zum Beispiel dynamische Arbeitsblätter, präsentiert.

Die Inhalte zum Thema „Visualisierung in der mathematischen Begriffsbildung“ wurden in

mehrere Kapitel unterteilt:

Abbildung 1: Grafik zum Aufbau der Diplomarbeit "Visualisierung in der mathematischen

Begriffsbildung"

Nach der Einleitung folgen relevante didaktische Prinzipien, auf die sich die nachfolgenden

Ausführungen beziehen. Sie sprechen die Bedeutung von verschiedenen

Darstellungsformen (enaktiv, ikonisch bzw. symbolisch) im Mathematikunterricht an.

Barbara Kimeswenger 1


Einleitung

Im dritten Kapitel wird auf Visualisierung im Setting Schule, im Speziellen auf Richtlinien wie

dem Lehrplan, den Bildungsstandards und auf die standardisierte schriftliche Reifeprüfung

eingegangen.

Das vierte Kapitel klärt Grundlegendes zum Thema Visualisierung im Mathematikunterricht.

Nach der ausführlichen Betrachtung gestalt- aber auch denkpsychologischer Ansätze wird

die in dieser Diplomarbeit verwendete Arbeitsdefinition für „Visualisierung“ vorgestellt.

Das fünfte Kapitel behandelt, in welcher Form Visualisierungen das Verständnis von

mathematischen Begriffen und Sachverhalten beeinflussen.

Unter welchen Bedingungen technikunterstützt Visualisierungen Begriffsbildungsprozesse

begünstigen, soll anschließend im sechsten Kapitel geklärt werden. In welcher Weise

dynamische Geometrie- bzw. Mathematiksoftware von Nutzen sein kann, wird sowohl

anhand theoretischer Ausführungen aber auch an selbst erstellten Materialien gezeigt.

Das siebte und letzte Kapitel soll diese Arbeit über „Visualisierung in der mathematischen

Begriffsbildung“ abrunden und ihre wichtigsten Erkenntnisse zusammenfassen.

Barbara Kimeswenger 2


Didaktische Prinzipien

2 DIDAKTISCHE PRINZIPIEN

„Diejenigen, welche an der Praxis ohne Wissenschaft Gefallen finden, sind wie

Schiffer, die ohne Steuer und Kompaß fahren, sie sind nie sicher, wohin die Fahrt

geht. Die Praxis muß immer auf guter Theorie beruhen.“ (Leonardo da Vinci zit. nach

Wittmann, 2009, S. 34)

Jedes Unterrichtsgeschehen ist komplex und somit können Lehrende schnell die Übersicht

verlieren. Didaktische Prinzipien sollen den Lehrenden Regeln bzw. Gesetze bieten, wie

mathematischer Unterricht gestaltet bzw. beurteilt werden kann (vgl. Weigand & Weth, 2002,

S. 27).

Sie bieten Hilfestellungen, die auf empirischer Forschung, theoretischen Überlegungen und

praktischen Erfahrungen basieren (vgl. Zech, 1996, S. 114f).

Ziel dieser Arbeit ist es, die Rolle der Visualisierung in Begriffsbildungsprozessen im

Mathematikunterricht fundiert darzustellen, und daher sollen besonders relevante didaktische

Prinzipien in die Überlegungen einbezogen werden.

Ausgehend von Theorien Bruners werden das „E-I-S-Prinzip“, das „Prinzip der Interaktion

der Darstellungsformen“, das „Prinzip der Verinnerlichung und der Verzahnung der

Darstellungsformen“, das „Rückschaltprinzip“ und das „Operative Prinzip“ erläutert. In den

Ausführungen wird vor allem die Bedeutung von bildlichen, oder wie wir sie im Folgenden

auch nennen werden, von ikonischen Darstellungen behandelt.

2.1 E-I-S-Prinzip nach J.S. Bruner

Im diesem Abschnitt wird das E-I-S- Prinzip von J.S. Bruner vorgestellt, das auch noch

„Prinzip der Variation der Darstellungs- oder Repräsentationsformen“ genannt wird (vgl.

Grevsmühl, 1995, S. 18).

Bruners Ansätze basieren auf Theorien von Piaget. Im Gegensatz zu Piaget, der die

Denkentwicklung auf zeitlich abgestufte Denkniveaus bezieht, vollzieht sie sich laut ihm in

verschiedenen Darstellungsformen, die ständig miteinander in Verbindung stehen (vgl. Zech,

1996, S. 104).

Laut Bruner (1971, S. 21ff) dominieren in verschiedenen Lebenslagen jeweils andere

Darstellungsformen. In der frühen Kindheit spielen die selbst ausgeführten Handlungen eine

primäre Rolle. Sie ermöglichen es, die Umwelt kennenzulernen und Sachverhalte zu

erfassen. Im Laufe der Entwicklung kommt die Möglichkeit der Darstellung in Bildern hinzu,

losgelöst von reinen Handlungen. Mit der Zeit wird es auch dem Kind möglich, sowohl

Handlung als auch Bild in eine Sprache oder in ein Zeichensystem zu übersetzen.

Barbara Kimeswenger 3


Didaktische Prinzipien

Das E-I-S-Prinzip, das aufgrund der Anfangsbuchstaben benannt worden ist, fasst diese drei

Formen zusammen und fordert, diese ständig im Unterricht zu variieren. Deswegen wird es

auch „Prinzip der Variation der Darstellungs- oder Repräsentationsformen“ genannt (vgl.

Grevsmühl, 1995, S. 17). Es beschreibt die drei Arten, wie man Wissen erschließen bzw.

darstellen kann:

Enaktive Darstellung (handlungsmäßig)

Ikonische Darstellung (bildhaft)

Symbolische Darstellung (vgl. Wittmann, 2009, S. 87)

Laut Bruner (1971, S. 21) wird das „geistige“ Leben von jeder dieser Formen in

verschiedenen Altersstufen geprägt, wobei sich das Denken entwickelt, wenn man immer

besser zwischen den Darstellungsformen wechseln und koordinieren kann. Der intellektuelle

Erwachsene beherrscht dies, so Bruner.

Beispiel „5 + 3 = ?“

Um den Unterschied der Darstellungsformen näher zu bringen, werden die enaktive, die

ikonische bzw. die symbolische Form anhand eines Beispiels beschrieben:

Betrachten wir etwa die Aufgabe „5 + 3 = ?“. Soll dieses Problem gelöst werden, muss es

auch „vergegenwärtigt“, „repräsentiert“ bzw. „dargestellt“ werden (vgl. Aebli, 1985, S. 5).

Enaktive Darstellung

In der enaktiven Darstellungsform könnte eine Schülerin bzw. ein Schüler 5 Perlen abzählen,

auf den Tisch legen und anschließend dieselbe Prozedur mit weiteren 3 Perlen ausführen

(siehe Abbildung 2).

Abbildung 2: Enaktive Darstellungsform der Aufgabe "5+3=?"

Durch Handlung gelangt sie bzw. er zur Lösung. Nach dem Abzählen aller sich am Tisch

befindlichen Perlen kommt die Schülerin bzw. der Schüler zu dem Ergebnis 8 (vgl.

Grevsmühl, 1995, S. 18).

Barbara Kimeswenger 4


Didaktische Prinzipien

Ikonische Darstellung

Bei einer ikonischen Darstellung der Aufgabe „ 5 + 3 = ? “ könnten z.B. die Perlen in

bildlicher Form wie folgt dargestellt werden (vgl. Grevsmühl, 1995, S. 18):

1) 5 schwarze Perlen

2) 3 weiße Perlen

Abbildung 3a und Abbildung 3b: Ikonische Darstellungsform von 5 schwarzen bzw. 3

weißen Perlen (Grevsmühl, 1995, S. 18)

3) Um die Frage, wie viele sie zusammen sind, zu beantworten, muss zwischen der

ersten und zweiten Menge eine Verknüpfung hergestellt werden. Eine Möglichkeit

wäre, die zweite Perlenreihe als Fortsetzung der ersten zu zeichnen. Die Schülerin

bzw. der Schüler erhält die Lösung der Aufgabe, indem sie bzw. er die „bekannte

Operation des vollständigen Auszählens der Elemente“ anwendet (vgl. Grevsmühl,

1995, S. 18).

Abbildung 4: Ikonische Darstellungsform von 5 schwarzen und 3 weißen Perlen

(Grevsmühl, 1995, S. 18)

Die ikonische Darstellungsform besitzt einige Vorteile, verglichen mit der enaktiven, wie zum

Beispiel in Form einer Situationsskizze, so Zech (1996, S. 108). Sie ermöglicht es, eine

Handlung oder einen Text übersichtlich darzustellen und kann somit den Prozess der

Problemlösung erleichtern.

Laut Wittmann (2009, S. 87), der die Theorien Bruners aus der Sicht der Mathematikdidaktik

betrachtet, liegt ein weiterer großer Vorteil und auch Fortschritt der ikonischen Form vor

allem in der Möglichkeit, Alternativen auf einmal zu erfassen, die mit Handlungen nicht

simultan ausführbar sind. Sie ermöglicht eine Darstellung von Handlungsabläufen, wie etwa

Flussdiagramme, Baumdiagramme etc.

Barbara Kimeswenger 5


Didaktische Prinzipien

Abbildung 5: Kombinationsmöglichkeiten

(eigene Abbildung nach Zech, 1996, S.

108)

Abbildung 6: Möglichkeiten, mit zwei

Münzen (Wappen/ Zahl) zu werfen (eigene

Abbildung nach Zech, 1996, S. 108)

Laut Grevsmühl (1995, S. 21ff) können ikonische Darstellungen nach ihrem Abstraktionsgrad

in zwei Ebenen eingeteilt werden:

analogische Ebene – wirklichkeitsnaher Charakter

Wie die Bezeichnung schon verrät, kann anhand einer ikonischen Darstellung

dieser Ebene eine Analogie zu dem, was von der Wirklichkeit abgebildet wird,

hergestellt werden. Dazu zählen zum Beispiel Zeichnungen von physikalischen

Objekten, wie etwa von Personen oder Tieren, oder auch Fotografien.

schematische Ebene – abstrahierter Charakter

Wesentliche Merkmale werden erhalten und betont, während irrelevante

weggelassen werden. Ikonische Darstellungen streben eine Analogie zur

Wirklichkeit in dieser Ebene deutlich weniger an. Als Beispiele können

Darstellungen mit höherem Abstraktionsgrad, verglichen mit der analogischen

Ebene, wie Venndiagramme, Landkarten oder Zahlenstrahldarstellungen,

genannt werden.

Laut Kautschitsch (1987) leisten im Mathematikunterricht vor allem ikonische Darstellungen

mit hohem Abstraktionsgrad in Begriffsbildungsprozessen wichtige Beiträge, welche der

schematischen Ebene zugeordnet werden können. Diese Diplomarbeit bezieht sich

hauptsächlich auf Bilder dieser Rubrik.

Hervorzuheben ist, dass verglichen mit ikonischen Darstellungen, symbolische einen weit

höheren Abstraktionsgrad aufweisen (vgl. Grevsmühl, 1995, S. 21).

Symbolische Darstellung

Die Aufgabe „ 5 + 3 = ? “ kann auch in einer symbolischen Darstellungsform sprachlich, zum

Beispiel mit einer Textaufgabe, mit Zeichen oder mit Pfeil- bzw. Operatorschreibweise

dargestellt werden (vgl. Grevsmühl, 1995, S. 18):

Barbara Kimeswenger 6


Didaktische Prinzipien

Sprachlich als Textaufgabe:

Zeichen

Sophie hat fünf Perlen. Wie viele Perlen hat sie, wenn sie zusätzlich noch drei

weitere geschenkt bekommt?

Abbildung 7: Symbolische Darstellungsform, „5 + 3 = ?“, Zeichen (Grevsmühl,

1995, S. 18)

Pfeil- oder Operatorschreibweise

Abbildung 8: Symbolische Darstellungsform, „5 + 3 = ?“,

Operatorschreibweise (Grevsmühl, 1995, S. 18)

Laut Wittmann (2009, S. 87) kann die symbolische Form als die abstrakteste und zugleich

leistungsfähigste Form beschrieben werden. Sie wird vor allem im Mathematikunterricht

durch die Verwendung von Zeichen charakterisiert. Die mathematische Sprache gilt als sehr

kompakt und leistungsstark, weil sie, wie das Beispiel einer Formel zeigt, mit nur endlich

vielen Zeichen unendlich viele Einzelfälle beschreiben kann. Ein Unterschied zur ikonischen

Form besteht laut Wittmann darin, dass Symbole „nichts“ darstellen und „nur“ etwas

bedeuten. Bilder hingegen stellen etwas dar, das dem Repräsentierten mehr oder weniger

strukturell oder bildlich ähnlich ist.

Abbildung 9: Mondbeispiel (Wittmann, 2009, S. 87)

Wittmann (2009, S. 87f) weist nicht nur auf die Bedeutung eines einzelnen Zeichens bzw.

Symbols hin, sondern auch auf die von Symbolsystemen, im Besonderen auf die Sprache.

Hierzu zählen natürliche, wie zum Beispiel Deutsch, Englisch, Chinesisch, aber auch

zahlreiche künstliche bzw. formale Sprachen. Die Vereinigung von mathematischen

Symbolen kann als formale Sprache aufgefasst werden.

Barbara Kimeswenger 7


Didaktische Prinzipien

2.2 Prinzip der Interaktion der Darstellungsformen

Als besonders wichtig sieht Bruner die wechselseitige Beziehung der Darstellungsformen an.

Im Mathematikunterricht können sich folgende Schemen der möglichen Übergänge zwischen

den Darstellungsformen ergeben, wobei jeder Doppelpfeil (��) für Übergänge in beide

Richtungen (� und �) steht (vgl. Zech, 1996, S. 106):

Abbildung 10: Darstellungsübergänge (Grevsmühl, 1995, S. 17)

Es sollen nach Bruner Übergänge, die in der Abbildung 10 zu sehen sind, zwischen den

Darstellungsformen geschaffen werden. Nicht nur die „Abstraktionen“, die durch die

Pfeilrichtung von oben nach unten dargestellt sind, sondern auch die „Konkretisierungen“,

von unten nach oben, sind zu beachten (vgl. Zech, 1996, S. 107).

Laut Wittmann (2009, S. 91) kann Wissen leichter behalten werden, wenn es in

verschiedenen Darstellungsformen erworben wurde. Wenn einer Schülerin bzw. einem

Schüler die Fähigkeit vermittelt wurde, flexibel zwischen den Ebenen zu wechseln, wird der

Erfolg beim Problemlösen erhöht.

„Enaktivierung“ werden die Übergänge zur Handlung, „Ikonisierung“ zum Bild,

„Verbalisierung“ zur Sprache und „Formalisierung“ zum Zeichen genannt (vgl. Zech, 1996, S.

106). In dieser Diplomarbeit wird vor allem auf das „Ikonisieren“ eingegangen:

„Unter Ikonisierung ist jedes bildhafte (bzw. geometrische) Darstellen oder Vorstellen

zu verstehen, das wesentliche Eigenschaften eines mathematischen Sachverhaltes

zum Ausdruck bringt.“ (Zech, 1996, S. 108)

2.2.1 Prinzip der Verinnerlichung und Verzahnung der Darstellungsformen

Zech (1996, S. 115ff) formuliert zwei weitere didaktische Prinzipien, das „Prinzip der

Verinnerlichung und der Verzahnung der Darstellungsformen“ und das „Rückschaltprinzip“,

die im engen Zusammenhang zum „Prinzip der Interaktion der Darstellungsformen“ zu sehen

sind.

Als gemeinsamer Grundgedanke von Aebli, Bruner und Lopascher lässt sich nach Zech

(1996, S. 116f) das „Verinnerlichungsprinzip“ erkennen. Der Übergang von der konkret-

Barbara Kimeswenger 8


Didaktische Prinzipien

anschaulichen Darstellung, von der konkret-handelnden bzw. zeichnerisch-ikonischen, zu

einer abstrakt-symbolischen Darstellung soll nicht übereilt passieren. Die Lernenden sollen,

wenn sie im Mathematikunterricht mit Abstraktem im Besonderen mit mathematischen

Zeichen konfrontiert werden, stets noch eine konkrete z.B. ikonische Vorstellung im

Hinterkopf haben. Dies führt auch zum „Verzahnungsprinzip“, das besagt, dass die

Verinnerlichungsphasen nicht einzeln zu absolvieren sind, sondern dass die

Darstellungsformen stets miteinander „verzahnt“ werden sollen.

2.2.2 Rückschaltprinzip

Laut Zech (1996, S. 117) liegt die größte Gefahr im Mathematikunterricht darin, dass die

konkret-anschauliche Grundlage zu schnell durchlaufen wird. Wird einer Schülerin bzw.

einem Schüler keine Möglichkeit geboten, eine sprachliche Verknüpfung zwischen abstrakter

und konkreter Darstellung zu schaffen, wird sie bzw. er verständnislos mit den

mathematischen Zeichen umgehen.

Im Mathematikunterricht soll die Lehrerin bzw. der Lehrer stets im Hinterkopf behalten, dass

nicht jede Schülerin, nicht jeder Schüler den Prozess der Verinnerlichung, der Verknüpfung

der verschiedenen Darstellungsformen gleich schnell durchläuft. Oft weist eine Schülerin

bzw. ein Schüler Schwierigkeiten auf der abstrakten Stufe auf. In Bezug auf Bruners E-I-S-

Prinzip muss das „Rückschaltprinzip“ zur Anwendung kommen. Darunter ist zu verstehen,

dass in solchen Fällen auf eine andere Darstellungsform zurückgegangen werden soll (vgl.

Zech, 1996, S. 117f).

Alle diese didaktischen Prinzipien unterstreichen erneut die Wichtigkeit, dass Schülerinnen

und Schüler nicht nur in einer Darstellungsform unterrichtet werden sollen, sondern ständig

eine Variation bzw. Interaktion zwischen ihnen bestehen soll. Das heißt auch, dass die

ikonische Darstellungsform als bedeutendes Element im Mathematikunterricht angesehen

werden muss, und daher wird auf diese in dieser Diplomarbeit näher eingegangen.

Barbara Kimeswenger 9


Didaktische Prinzipien

2.3 Operatives Prinzip

Beim operativen Prinzip, dessen Gründervater Jean Piaget ist, steht das Handeln, d.h. die

enaktive Darstellungsform, im Zentrum (vgl. Aebli, 1985, S. 4f).

„PIAGET führt Denken auf menschliches Handeln zurück: Denken ist verinnerlichtes

oder vorgestelltes Tun. Kennzeichnend für diese verinnerlichten Handlungen oder

wie Piaget sie nennt – ‚Operationen‘ sind ihre Flexibilität oder Beweglichkeit, d.h. sie

sind umkehrbar oder reversibel, zusammensetzbar oder kompositionsfähig sowie

assoziativ, d.h. man kann auf verschiedene Weisen zum Ziel kommen.“ (Weigand &

Weth, 2002, S. 32)

Operatives Prinzip nach Wittmann

Wittmann (2009, S. 77ff.), angeregt von der piagetschen Psychologie, betrachtet das

„operative Prinzip“ aus mathematikdidaktischer Perspektive und betont ebenso, dass für die

Erkenntnisgewinnung und Intelligenzentwicklung Operationen von großer Wichtigkeit sind.

Schülerinnen bzw. Schüler sollen die Möglichkeit erhalten, mit dem Einsatz von Materialien,

zeichnerischen Darstellungen und auch Textmaterialien real und gedanklich zu operieren

und zu forschen. Sie sollen Objekte und das System untersuchen, um auf das Verhalten der

Eigenschaften, Beziehungen und Funktionen der Objekte schließen zu können. Dabei

werden die ausübenden Operationen von der Frage „Was geschieht mit…, wenn?“

angetrieben (vgl. Wittmann, 2009, S. 79).

Diese von Wittmann formulierte Frage wird von Didaktikerinnen und Didaktikern oft als

Grundlage des operativen Prinzips verstanden, so auch von Filler (2011, S. 34).

Barbara Kimeswenger 10


Bezug zum Setting Schule

3 BEZUG ZUM SETTING SCHULE

In den letzen Jahren konnte immer wieder beobachtet werden, dass die Öffentlichkeit

gravierende Veränderungen bzw. Verbesserungen des Schulsystems fordert. Die Tatsache,

dass der „herkömmliche“ Unterricht nicht mehr den zeitgemäßen Ansprüchen genügt, kann

unter anderem durch die Ergebnisse mehrerer internationalen Studien, die im Vergleich die

schlechten Leistungen der österreichischen Schülerinnen und Schüler aufzeigen,

verdeutlicht werden. So schreibt auch Werner Peschek (2011, S. 5) in dem „Praxisbuch für

Mathematik“, dass vor allem die „schlechten“ PISA-Ergebnisse die Bildungsverantwortlichen

in Österreich erneut motivierten, etwas zu verändern. Die so notwendig erscheinenden

Innovationen im Schulwesen lauten „Bildungsstandards“ (vgl. Kapitel 3.2, S. 12).

3.1 Lehrplan

Nun stellt sich die Frage, in welchem Zusammenhang bisherige Richtlinien des

Mathematikunterrichts, im Besonderen der Lehrplan, zu den innovativen Ansätzen der

Bildungsstandards zu sehen sind. Darauf ist nach Peschek (2011, S. 5f) zu antworten, dass

der Lehrplan, der weiterhin in der Unterrichtsgestaltung einzubeziehen ist, beschreibt, was

im Unterricht erarbeitet werden soll. Er steuert, welchen „Input“ die Lehrerinnen und Lehrer

den Lernenden bieten sollen. Die Bildungsstandards, oder auch kurz Standards genannt,

stellen nach Peschek im Gegensatz dazu den Ertrag des Unterrichts, den „Output“, in den

Vordergrund. Das bedeutet, sie zeigen auf, welche Kompetenzen, welche längerfristigen

Fähigkeiten und Fertigkeiten die Schülerinnen und Schüler erworben haben.

Der Lehrplan legt also fest, welche mathematischen Begriffe und Sachverhalte gelehrt

werden müssen. Die Unterrichtsinhalte im Mathematikunterricht setzen sich in der AHS-

Unterstufe aus den Gebieten Arithmetik, elementare Algebra und Geometrie, in der AHS-

Oberstufe aus den Bereichen Zahlen, Algebra, Analysis, Geometrie und Stochastik

zusammen (vgl. BMUKK, 2012a, S. 1; BMUKK, 2012b, S. 1).

Laut der vom BMUKK (2012a, S. 1) veröffentlichten Bildungs- und Lehraufgabe des AHS-

Unterstufen-Lehrplans sollen Schülerinnen und Schüler „in den verschiedenen Bereichen

des Mathematikunterrichts Handlungen und Begriffe nach Möglichkeit mit vielfältigen

Vorstellungen verbinden und somit Mathematik als beziehungsreichen Tätigkeitsbereich

erleben.“ Als hilfreich in der Begriffsbildung erweisen sich hierbei neben den symbolischen

Darstellungen vor allem die ikonischen, worauf im Zuge dieser Diplomarbeit näher

eingegangen werden soll.

Barbara Kimeswenger 11


Bezug zum Setting Schule

3.2 Bildungsstandards

Auf der Homepage des „Bundesinstituts für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung

des österreichischen Schulwesens“, kurz „BIFIE“, wird folgende Beschreibung der

„Bildungsstandards“ gegeben:

„Bildungsstandards sind konkret formulierte Lernergebnisse, die sich aus den

Lehrplänen ableiten lassen. Sie legen jene Kompetenzen fest, die Schüler/innen bis

zum Ende der 4. Schulstufe in Deutsch und Mathematik sowie bis zum Ende der 8.

Schulstufe in Deutsch, Mathematik und Englisch nachhaltig erworben haben sollen.

Dabei handelt es sich um Fähigkeiten, Fertigkeiten und Haltungen, die für die weitere

schulische und berufliche Bildung von zentraler Bedeutung sind.“ (BIFIE, 2012a, Abs.

2)

Die Bildungsstandards fordern, dass Schülerinnen und Schüler vor allem nachhaltige und

längerfristig verfügbare Fähigkeiten und Fertigkeiten, kurz Kompetenzen, erwerben (vgl.

BIFIE, 2012a, Abs.1; Peschek, 2011, S.9).

Dabei spielt vor allem das sogenannte „Kompetenzmodell“ eine große Rolle (siehe

Abbildung 11):

Jede Mathematikaufgabe soll jeweils einer der vier Kategorien der „Handlungsbereiche“, der

vier „Inhaltsbereiche“ und der „drei Komplexitätsbereiche“ zugeordnet werden.

Abbildung 11: Kompetenzmodell, ein Modell mathematischer Kompetenzen (Peschek., 2011,

S. 9)

Handlungsbereiche

Die Handlungsbereiche setzen sich wie folgt zusammen (vgl. Peschek, 2011, S. 10):

H1- „Darstellen, Modellbilden“

H2- „Rechnen, Operieren“

H3- „Interpretieren“

H4- „Argumentieren, Begründen“

Barbara Kimeswenger 12


Bezug zum Setting Schule

Inhaltsbereiche

Es werden vier Inhaltsbereiche unterschieden (vgl. Peschek, 2011, S. 10f):

I1- „Zahlen und Maße“

I2- „Variable, funktionale Abhängigkeiten“

I3- „geometrische Figuren und Körper“

I4- „statistische Darstellungen und Kenngrößen“

Komplexitätsbereiche

Laut BIFIE (2011) soll jede Aufgabe einem Komplexitätsbereich zugeordnet werden (vgl.

Peschek, 2011, S. 11):

K1- „Einsetzen von Grundkenntnissen und –fertigkeiten“

K2- „Herstellen von Verbindungen“

K3- „Einsetzen von Reflexionswissen, Reflektieren“

Anspielung auf das „Prinzip der Interaktion der Darstellungsformen“

Im Kompetenzmodell wird des Öfteren gewissermaßen auf das „Prinzip der Interaktion der

Darstellungsformen“ verwiesen (vgl. Kapitel 2.2, S. 8).

So beinhaltet der Handlungsbereich H1 „Darstellen, Modellbilden“ das Übertragen

gegebener Sachverhalte auf andere mathematische Darstellungs- bzw.

Repräsentationsformen und H3 das „Interpretieren“ von mathematischen Darstellungen,

sodass Fakten, Zusammenhänge und Beziehungen erkannt und gedeutet werden (vgl.

Peschek, 2011, S. 10).

Der Komplexitätsbereich K2 beschreibt ein „Herstellen von Verbindungen“, das durch die

Interaktion verschiedener Darstellungsformen realisiert werden kann. K3-Aufgaben fordern

ein „Einsetzen von Reflexionswissen“ bzw. ein „Reflektieren“. Dieser Komplexitätsbereich

beinhaltet auch das Hinterfragen von Vor- bzw. Nachteilen spezieller Darstellungsformen

(vgl. Peschek, 2011, S.11).

Beispiel „Zahlengerade“

Um das Konzept dieser Zuordnung anhand eines Beispiels nachvollziehen zu können, soll

die Aufgabe „Zahlengerade“ betrachtet werden:

Barbara Kimeswenger 13


Bezug zum Setting Schule

Abbildung 12: Aufgabe „Zahlengerade" (Neureiter, H., Fürst, S., Mürwald, E. & Preis, C.,

2011, S. 15)

Dieses Beispiel (siehe Abbildung 12), entnommen aus dem von BIFIE (2011)

herausgegebenen „Praxisbuch für ‚Mathematik‘ 8. Schulstufe“ mit dem Untertitel

„Bildungsstandards – für höchste Qualität an Österreichs Schulen“, zeigt eine dieser

Aufgaben“, die meines Erachtens auf das „Prinzip der Interaktion der Darstellungsformen“

abzielt. In diesem Beispiel sollen Schülerinnen und Schüler eine Verbindung zwischen

symbolischen und ikonischen (bzw. grafischen) Darstellungen von Bruchzahlen schlagen.

Das „Prinzip der Interaktion der Darstellungsformen“ wird nicht nur bei den

Bildungsstandards gefordert, sondern wird auch des Öfteren im Zusammenhang mit der

standardisierten Reifeprüfung verlangt (vgl. BIFIE, 2012c).

Barbara Kimeswenger 14


Bezug zum Setting Schule

3.3 Standardisierte schriftliche Reifeprüfung mit Technologieteil

Um eine Vergleichbarkeit zwischen österreichischen Schulen zu gewährleisten, wird eine

flächendeckende Reife- und Diplomprüfung verpflichtend eingeführt 1 (vgl. Landesschulrat

Tirol, 2012, S. 1).

Die Entwicklungen in der letzten Zeit zeigen, dass Technologieeinsatz in Zusammenhang mit

Mathematik immer wichtiger wird, worauf das von BIFIE im April 2012 veröffentlichte

Schriftstück „Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik“ des Öfteren

hinweist.

Lauf BIFIE (2012b, S. 23f) wird die standardisierte Reifeprüfung in zwei Abschnitten unterteilt

werden:

Typ-1-Aufgaben – können weitgehend ohne Technologieeinsatz gelöst werden

Typ-2-Aufgaben 2 – verlangen „höherwertige Technologie“, wie etwa DGS, CAS

und TKP

Während Typ-1-Aufgaben auf Grundkompetenzen abzielen, fordern Typ-2-Aufgaben eine

„Vernetzung von Grundkompetenzen“ (vgl. BIFIE, 2012b, S.33).

Erstens verlangt schon der Lehrplan der AHS-Unterstufe, dass Schülerinnen und Schüler ab

der 1. Klasse elektronische Hilfen, wie etwa Taschenrechner und Computer, zur

Beantwortung von Fragestellungen nutzen sollen (vgl. BMUKK, 2012a, S. 4). Zweitens

können bzw. sollen die Typ-2-Aufgaben der standardisierten schriftlichen Reifeprüfung mit

Hilfe eines Technologieeinsatzes gelöst werden (vgl. BIFIE, 2012b, S. 23f).

Es kann zusammengefasst werden, dass seitens der Bildungsverantwortlichen, wie BMUKK

und BIFIE, erkannt wurde, dass heutzutage ein sinnvoller Technologieeinsatz im

Mathematikunterricht großgeschrieben werden muss. Auch ich möchte mich dieser Meinung

anschließen. Wie Technologie gewinnbringend zur Visualisierung in

Begriffsbildungsprozessen genutzt werden kann, wird im Kapitel 6 näher erläutert.

1 ab 2015 in den allgemeinbildenden höheren Schulen (AHS) mit vierjähriger Oberstufe und ab 2016 in den berufsbildenden

höheren Schulen (BHS) bzw. in den AHS mit fünfjähriger Oberstufe (vgl. Landesschulrat Tirol, 2012, S. 1)

2 ab dem Schuljahr 2017/18 (vgl. BIFIE, 2012, S. 24)

Barbara Kimeswenger 15


Grundlegendes zum Thema Visualisierung im Mathematikunterricht

4 GRUNDLEGENDES ZUM THEMA VISUALISIERUNG IM

MATHEMATIKUNTERRICHT

Ein weitverbreiteter Wunsch in der Didaktik ist, Mathematik in welcher Weise auch immer

„einsehbar“ zu machen (vgl. Peters, 1994, S. 77). Angeregt durch dieses Anliegen beschloss

ich, mich in dieser Diplomarbeit mit dem Thema „Visualisierung“ zu beschäftigen.

„Visualization offers a method of seeing the unseen.“ (Zimmermann & Cunningham,

1991, S. 2)

Vorerst soll klargestellt werden, dass sich hinter dem Wort „Visualisierung“ viel mehr verbirgt,

als es auf den ersten Blick vermuten lässt. Dieser Begriff kommt in zahlreichen didaktischen

Diskussionen 3 zur Sprache, wird aber nicht einheitlich verwendet. Darum erscheint es umso

wichtiger, zu klären, was in dieser Diplomarbeit darunter verstanden wird.

4.1 Wahrnehmung ikonischer Darstellungen - Gestaltgesetze

Das Wahrnehmen von Darstellungen, so auch von Bildern (ikonischen Repräsentationen),

wird aus gestaltpsychologischer Sicht von einigen Faktoren beeinflusst. Diese sollen anhand

von Gestaltgesetzen angesprochen werden.

Laut Koerber (2000, S. 38) ist die Unterscheidung zwischen Figur und Grund für

gestaltpsychologische Annahmen hinsichtlich der menschlichen Wahrnehmung grundlegend.

Eine Figur bzw. seine „gute“ Gestalt tritt „prägnant“ auf, wenn sie sich deutlich von ihrem

(Hinter-)Grund abhebt, womit das „Prinzip der Prägnanz“ angesprochen wird, das sich in

zahlreichen Gestaltgesetzen niederschlägt.

Kebeck (1994) beschreibt beispielsweise über 100 Gruppierungs- oder Gestaltgesetze. Auch

Metzger (1975) beschäftigt sich in seinem Buch „Gesetze des Sehens“ sehr ausführlich mit

ihnen.

3 Die sogenannte „Visualisierungsdiskussion“ wurde im deutschsprachigen Bereich besonders von den Beiträgen der

Universität für Bildungswissenschaften in Klagenfurt beeinflusst. Ab dem Anfang der 90-er Jahre wurden im Rahmen mehrerer

Workshops namens „Visualisierung in der Mathematik“ mehrere Schriftenreihen veröffentlicht. Ihre Titel lauten unter anderem

Visualisierung in der Mathematik“ (1982), „Mathematische Anschauung und der Mathematikfilm“ (1983), „Anschauung als

Anregung zum mathematischen Tun“ (1984), „Anschauung und mathematische Modelle“ (1985) und „Medien zur

Veranschaulichung von Mathematik“ (1987). Die in dieser Schriftenreihe veröffentliche Visualisierungsdiskussion umfasst sehr

vielfältige Ansätze zu diesem Thema.

Barbara Kimeswenger 16


Grundlegendes zum Thema Visualisierung im Mathematikunterricht

In Rahmen dieser Diplomarbeit soll aus Platzgründen nur eine Auswahl der „wichtigsten“

Gestaltgesetze mit jeweils einem Beispiel vorgestellt werden:

Gesetz der Nähe

Gesetz der Nähe

Gesetz der Ähnlichkeit

Gesetz der Geschlossenheit

Gesetz der guten Fortsetzung (vgl. Metzger, 1975)

Abbildung 13: Kreis bzw. Strecke aus Punkten, Gesetz der Nähe

Elemente, die nahe zusammenliegen, werden im Gegensatz zu jenen, die weiter

auseinander liegen, als zusammengehörig wahrgenommen (vgl. Metzger, 1975, S. 83f; vgl.

Koerber, 2000, S. 38).

In diesem Sinne wird den Betrachtenden der Abbildung 13 durch die Nähe der Lage der

Punkte klar, dass diese in Form eines Kreises und jene in Form einer Strecke

zusammengehören.

Gesetz der Geschlossenheit

Das „Gesetz der Geschlossenheit“ oder „guten Gestalt“ beschreibt die Tendenz, Figuren als

geschlossene Gestalt wahrzunehmen, d.h. zu vervollständigen, indem zum Beispiel Lücken

ausgefüllt werden (vgl. Koerber, 2000, S. 39).

In der Abbildung 13 wirkt zusätzlich zum „Gesetz der Nähe“ auch das „Gesetz der

Geschlossenheit“, indem die Ansammlung an Punkten als geschlossene Gestalt, d.h. als

Kreis bzw. Strecke, identifiziert wird. Dieses Beispiel zeigt, dass die Wahrnehmung einer

Gestalt oft nicht nur von einem einzigen Gestaltgesetz, sondern von mehreren gleichzeitig

beeinflusst werden kann, worauf Metzger (1975) des Öfteren hinweist.

Gesetz der Ähnlichkeit

Elemente mit gleichen bzw. ähnlichen Eigenschaften werden eher als zusammengehörig

angesehen, verglichen mit solchen, die unterschiedliche Merkmale aufweisen (vgl. Metzger,

1975, S. 88ff; Koerber, 2000, S. 38).

Barbara Kimeswenger 17


Grundlegendes zum Thema Visualisierung im Mathematikunterricht

Hier soll erneut die ikonische Darstellungsform fünf schwarzer und drei weißer Perlen (siehe

Abbildung 4) erwähnt werden. Obwohl alle acht Kreise den gleichen Abstand zu ihren

Nachbarn aufweisen, werden die Elemente mit ähnlichen bzw. gleichen Eigenschaften als

Gruppe angesehen. Daher werden die ersten fünf schwarz ausgefüllten und die letzen drei

weißen Kreise mit schwarzen Umrissen als zusammengehörig wahrgenommen.

Gesetz der guten Fortsetzung

Abbildung 14a bis Abbildung 14d: zwei Strecken, Gesetz der guten Fortsetzung (vgl.

Metzger, 1975, S. 69)

Die Wahrnehmung der Abbildung 14a wird von dem Gesetz der guten Fortsetzung

beeinflusst. D.h. das Gebilde (siehe a) wird zum einen als zweigliedrig, nicht dreigliedrig und

zum anderen nicht als ein Winkel mit einer Strecke (siehe b und c), sondern als zwei

Strecken (siehe d) aufgefasst (Fortsetzung der Richtung) (vgl. Metzger, 1975, S. 69).

4.2 Forderung einer „neuen“ Anschaulichkeit unter

Berücksichtigung denkpsychologischer Ansätze

Der Begriff „Visualisierung“ wurde bis Anfang der 90-er Jahre selten im Zusammenhang mit

Mathematikdidaktik gebraucht. Zuvor wurde vorwiegend über „Anschauung“ bzw.

„Anschaulichkeit“ in den Klassenräumen diskutiert. In den 90-er Jahren wurden diese zwei

Begriffe durch jenen derVisualisierung“ ersetzt, aber wie es bei fast allen terminologischen

Neuerungen der Fall ist, inkludierte dieses neue Wort auch eine Verschiebung des

Gemeinten (vgl. Boeckmann, 1982, S. 13). Mathematikdidaktikerinnen und

Mathematikdidaktiker fordern, so auch Kautschitsch (1994, S. 79), sich von der traditionellen

Bedeutung der „Anschauung“ bzw. „Anschaulichkeit“ zu lösen und sie in neuem Licht zu

betrachten.

Welche neue Bedeutung dieser neue Begriff „Visualisierung“ mit sich brachte, soll im

Folgenden geklärt werden.

Dem traditionellen Begriff der „Anschauung“ wird vorgeworfen, dass seine Hauptfunktion das

reine Präsentieren von (zu) abstrakt wirkenden Sachverhalten ist (vgl. Neubrand, 1987, S.

30). Anschauungen dienen in erster Linie dazu, verbale oder symbolische Formulierungen zu

unterstützen. Durch eine Darbietung von vielen ikonisch repräsentierten Objekten können im

besten Fall durch das Beobachten und Vergleichen äußere Merkmale erkannt werden (vgl.

Barbara Kimeswenger 18


Grundlegendes zum Thema Visualisierung im Mathematikunterricht

Kautschitsch, 1994, S. 79). Diese traditionelle Sichtweise geht von der sehr verbreiteten

Annahme aus, dass gelernt wird, indem präsentierte Informationen übernommen werden.

Alleine durch ihre Darbietung soll „adäquates Wissen“ entwickelt werden. Sie lehnt sich an

den Behaviorismus an (vgl. Kautschitsch, 1994, S. 79; Stangl, 2012b). Im Gegensatz dazu

wird die Forderung nach einer „neuen“ Anschaulichkeit von denkpsychologischen Ansätzen

geprägt, die im Folgenden dargestellt werden sollen. Diese besagen, dass nicht allein

dadurch gelernt wird, dass präsentierte Informationen aufgenommen werden, sondern dass

Lehrinformationen dazu dienen sollen, dass Schülerinnen und Schüler selbst angeregt

werden, adäquates Wissen in eigene Repräsentationsformen zu konstruieren (vgl.

Kautschitsch, 1994, S. 79). Dieser Ansatz wird in der Lernpsychologie als Konstruktivismus

beschrieben (vgl. Stangl, 2012b).

Der Begriff „Repräsentation“ wird in der Psychologie nicht nur für externe, sondern auch für

interne Darstellungen gebraucht (vgl. Koerber, 2000, S. 2):

Interne Repräsentationen: Mentale Modelle in der Begriffsbildung

Nach diesem Ansatz der „neuen“ Anschaulichkeit hat mathematische Begriffsbildung zum

Ziel, den Aufbau angemessener Vorstellungen über Begriffe zu unterstützen. Lernende

sollen zum einen Kenntnisse über ihre Eigenschaften und herrschenden Beziehungen und

zum anderen Fähigkeiten in Verbindung mit den Begriffen entwickeln. Der

Abspeicherungsprozess von Vorstellungen, Wissen, Kenntnissen und Fähigkeiten zu den

jeweiligen Begriffen wird aus kognitionspsychologischer Perspektive als Aufbau „mentaler

Modelle“ beschrieben (vgl. Weigand, 2009, S. 100).

Interne Repräsentationen, Abbilder bzw. Darstellungen werden somit als „mentale Modelle“

bezeichnet, die aber auch von externen beeinflusst werden können. Gleichzeitig können

aber auch externe Darstellungen zur Konstruktion mentaler Modelle beitragen. Kurz

zusammengefasst sind externe und interne Repräsentationen wechselseitig voneinander

abhängig (vgl. Koerber, 2000, S. 2ff). Daher sollen nach Kautschitsch die zur Verfügung

gestellten Materialien für Schülerinnen und Schüler (1994, S. 79f) so gestaltet sein, dass sie

zur Generierung mentaler Vorstellungen bzw. Modelle bestmöglich beitragen können. So

sollen dargebotene ikonische Darstellungen (vgl. Kapitel 2.1 „E-I-S-Prinzip nach J.S. Bruner“,

S. 3) Schülerinnen und Schüler in Begriffsbildungsprozessen zum einen ihr „begriffliches

Wissen“ und zum anderen ihren „Schatz an visuellen Operationen“ aktivieren. Verfügen

Lernende über eine sogenannte „visuelle Kompetenz“, so können Bildelemente im Geiste

beweglich gemacht werden, so Kautschitsch.

„Bildelemente werden identifiziert, transformiert, kontinuierlich vergrößert und

zueinander in Beziehung gesetzt und dies in relativ kurzer Zeit (visuelle Kompetenz)“

(Kautschitsch, 1994, S. 80)

Barbara Kimeswenger 19


Grundlegendes zum Thema Visualisierung im Mathematikunterricht

Dieses Operieren im Geiste soll anhand eines Beispiels, dem Rechteck, festgemacht

werden. So wäre es eine Möglichkeit, die ikonische Darstellung eines Rechtecks im Geiste

beweglich zu machen, indem bei konstant gehaltener Flächengröße Länge und Breite variiert

werden würden. Somit inkludiert das innere Bild des Rechtecks nicht nur ikonische

Komponenten, sondern auch enaktive. Ebenso sollen auch zu einzelnen Bildelementen

mathematische Symbole, im Falle der Fläche des Rechtecks , l für Länge und b für

Breite, zugeordnet werden können (vgl. Kautschitsch, 1994, S. 79f).

Mentale Modelle enthalten somit nicht nur ikonische, sondern auch handlungsbezogene

(enaktive) und symbolische Komponenten, wodurch Eigenschaften und herrschende

Beziehungen eines Begriffs repräsentiert werden (vgl. Weigand, 2009, S. 100). Kautschitsch

(1994, S. 80) nennt diese daher „E-I-S-Bilder“. Mentale Modelle werden besonders durch

ihren flexiblen und dynamischen Charakter gekennzeichnet.

Diese Sichtweise der „neuen“ Anschaulichkeit ist sehr stark am Prinzip des „entdeckenden

Lernens“ bzw. der „operativen Didaktik“ orientiert (vgl. Kautschitsch, 1994, S. 79f).

„Durch diesen engen Zusammenhang zwischen ‚Anschauen‘ und geistiger Tätigkeit

erhebt sich das Anschauen vom bloßen Wahrnehmen ab, Anschauung besitzt eine

unterstützende Funktion beim Aufbau von Wissensstrukturen. Damit sind die durch

die ‚neue‘ Anschauung erreichten Visualisierungen nicht nur Abbildungen empirischer

Sachverhalte (gewonnen durch Vergleichen und Messen), sondern vor allem Bilder

theoretischer Zusammenhänge (gewonnen durch Analyse und Umformen) und

können so genauso als Denkmittel verwendet werden wie sonst Begriffe oder

symbolische Darstellungen.“ (Kautschitsch, 1994, S. 79)

Bewegliches Denken

Roth (2005) beschäftigt sich in seiner Dissertation mit der Thematik, wie eine „Balance

zwischen Anschauung und Entwicklung eines tieferen Verständnis“ geschaffen werden kann

und führt den Begriff „Bewegliches Denken“ ein, welchen er durch drei Kernfähigkeiten

charakterisiert:

das Hineinsehen einer Bewegung in eine Konfiguration als Basis darauf folgender

Argumentationen

das Erfassen und Analysieren der Gesamtkonfiguration

das Erfassen und Beschreiben des Änderungsverhaltens

Laut Roth (2005, S. 30f) hat man die Fähigkeit des „Beweglichen Denkens“ erworben, wenn

man in eine (statische) Gesamtkonfiguration eine reale bzw. vorgestellte Bewegung bzw.

Veränderung „hineinsehen“ kann. Diese soll Grundlage anstehender Argumentationen und

Analysen beim Erforschen und Entdecken mathematischer Zusammenhänge bzw.

Phänomene bieten. Die Auswirkungen dieser Bewegung bzw. Veränderung auf die

Gesamtkonfiguration sollen erschlossen und analysiert werden, wobei stets bewusst für jede

Barbara Kimeswenger 20


Grundlegendes zum Thema Visualisierung im Mathematikunterricht

Fragestellung passende Veränderungen bzw. Invarianten fokussiert werden sollen.

Schlussendlich soll das erfasste Änderungsverhalten beschrieben werden.

Hier eine Aufgabe, die die Fähigkeit des „Beweglichen Denkens“ abverlangt (vgl. Roth, 2005,

235ff):

Abbildung 15: Aufgabe "Bewegliches Denken" (Roth, 2005, S. 271)

Roth (2005, S. 38f) versteht unter Beweglichem Denken nicht ein Nachvollziehen schon

vorhandener Veränderungen, sondern vor allem das „Hineinsehen“ neuer Bewegungen,

wodurch neue Einsichten gewonnen werden können.

Was bedeutet das konkret im Beispiel aus Abbildung 15? Um die Frage beantworten zu

können, muss der Punkt C beweglich vorgestellt werden. Dadurch soll Folgendes erkannt

werden: Je weiter sich der Punkt C entlang der Pfeilrichtung auf dem Kreis bis (kurz vor dem

Punkt A) bewegt, desto größer wird der Winkel .

Durch Technologieeinsatz erzeugte dynamische Visualisierungen, die später noch genau

behandelt werden, wird der Mathematikunterricht besonders bereichert, wenn sie zu einer

bislang schwer im Kopf vorstellbaren Lösung verhelfen (vgl. Danckwerts und Vogel, 2003, S.

21). Durch sie soll die Fähigkeit erlernt werden, auch in statische Bilder eine Bewegung

„hineinzusehen“ bzw. diese zu visualisieren (vgl. Roth, 2005, S. 76).

Laut Roth (2005, S. 84ff) kann die Fähigkeit des Beweglichen Denkens nur langfristig

erfolgreich entwickelt und gelernt werden und sollte daher in allen Schulstufen durchgängig

gefördert werden. Er betont, dass das Verstehen-Lehren bzw. -Lernen eine zentrale Rolle

im Mathematikunterricht einnehmen soll, wobei das Bewegliche Denken wichtige Beiträge

vor allem beim Erarbeiten mathematischer Begriffe und Sachverhalte leisten kann.

Barbara Kimeswenger 21


Grundlegendes zum Thema Visualisierung im Mathematikunterricht

Arbeitskreis „Semiotik, Zeichen und Sprache in der Mathematikdidaktik“

Die Gesellschaft für Didaktik der Mathematik, kurz, GDM (2011, Abs. 2) setzt sich in ihrem

Arbeitskreis „Semiotik, Zeichen und Sprache in der Mathematikdidaktik“ besonders intensiv

mit dem Thema Repräsentationen im Mathematikunterricht auseinander:

„Etwas ‚verstehen‘ bedeutet, es repräsentieren zu können (intern wie extern). So

gesehen vollzieht sich unser gesamtes Denken in Zeichen. Zeichen sind also nicht

nur Gegenstand des Mathematiklernens, sondern sie sind auch Mittel der Erkenntnis-

und Lerntätigkeit.“

Externe Repräsentationen

Da mentale Modelle von außen nicht sichtbar sind, können ihre Strukturen nur mittels

externer Repräsentationen zurückgeführt werden, zum Beispiel indem sie durch Äußerungen

oder angefertigte Zeichnungen den anderen vermittelt werden (vgl. Weigand, 2009, S. 100).

So ergibt sich nach Hefendehl-Hebeker (2010, S. 115) eine Doppelrolle externer

Darstellungen: Einerseits fungieren sie als Informationsträger und andererseits als Medien,

die zwischen der „Gedankenwelt“ und der „materiellen Welt“ vermitteln.

4.3 Arbeitsdefinition für „Visualisierung

Um die Verbindung zum Begriff „Visualisierung“ zu knüpfen, möchte ich eine Definition von

Zimmermann und Cunningham (1991, S. 3) vorstellen:

„Mathematical visualization is the process of forming images (mentally, or with pencil

and paper, or with the aid of technology) and using such images effectively for

mathematical discovery and understanding.“

So kennzeichnet auch Peters (1999, S. 1) Visualisierung als ein Entdecken und Verstehen

der Mathematik durch Bilder. Sie soll keinesfalls mit einer Niveausenkung des

Mathematikunterrichts verwechselt, sondern vielmehr als ein Werkzeug betrachtet werden,

welches er als eine fachdidaktische Art und Weise des Einblick-Gebens und Einsicht-

Nehmens beschreibt.

Mathematik soll nach Peters (1993, S. 107; 1994, S. 77) für Lernende „einsehbar“ sein.

Durch visuelles Denken und Visualisieren können Einblicke in mathematische Inhalte

gewonnen werden. So definiert er Visualisierung „als eine subtile Stufe der Enaktivierung in

der Vorstellung, als die Manipulation von mentalen Bildern, als Nutzung der Imagination, als

Umstrukturierungsheurismus innerhalb eines Problemlöseprozesses oder einer

Beweiskonstruktion.“

Barbara Kimeswenger 22


Grundlegendes zum Thema Visualisierung im Mathematikunterricht

Ähnlich formuliert auch Grevsmühl (1995, S. 24) eine Definition für „Visualisierung“:

„Unter didaktischer Visualisierung verstehen wir die effektive Nutzung des visuellen

Kanals für unterrichtliche Zwecke. Die visuelle Umsetzung von abstrakten

Gedankeninhalten, Ideen, Begriffen und Zusammenhängen gibt gleichzeitig eine

Anleitung zur geistigen Tätigkeit, indem die entsprechenden mathematischen

Operationen durch geeignete Handlungssituationen und -Objekte erkennbar gemacht

werden.“

Die in dieser Diplomarbeit verwendete Arbeitsdefinition für „Visualisierung“ soll jene sein, die

von Zimmermann und Cunningham formuliert und am Anfang dieses Abschnitts vorgestellt

wurde. Sie umfasst meines Erachtens die wichtigsten Aspekte der umfangreichen

Visualisierungsdiskussion. Die Arbeitsdefinition für „Visualisierung“ soll daher einerseits den

handelnden Umgang mit internen ikonischen Darstellungen, mit mentalen Bildern, aber auch

andererseits mit externen inkludieren (siehe Abbildung 16). Dadurch sollen sowohl neue

Entdeckungen, Erkenntnisse als auch neues Verständnis in Begriffsbildungsprozessen

ermöglicht werden.

Abbildung 16: Visualisierung in der Mathematik

Barbara Kimeswenger 23


Visualisierung in der Begriffsbildung

5 VISUALISIERUNG IN DER BEGRIFFSBILDUNG

In diesem Kapitel soll näher darauf eingegangen werden, welchen Beitrag Visualisierung in

Begriffsbildungsprozessen leisten kann.

Mathematische Begriffe fungieren im Unterricht als ein wichtiger Bestandteil beim Lehren

und Lernen von Inhalten, worauf folgendes Zitat von Barzel, Hußmann und Leuders (2005,

S. 208) hinweist:

„Es ist unumstritten, dass das Umgehen mit Begriffen zu einer der Kerntätigkeiten

des Mathematikunterrichts gehört. Wir denken in Begriffen, unsere Sprache besteht

aus Begriffen, wir argumentieren mit Begriffen, wir lösen Probleme mit Begriffen und

vieles mehr“

Erst durch sie kann die Vielzahl mathematischer Phänomene bezeichnet, strukturiert und

überschaut werden (vgl. Zech, 1996, S. 256).

Mathematische Begriffe haben eine ernst zu nehmende Bedeutung beim Lehren und Lernen

von Inhalten und sollen daher in Rahmen dieser Diplomarbeit zum Thema gemacht werden.

Dabei soll vor allem untersucht werden, welche Rolle externe ikonische Darstellungen in

Visualisierungsprozessen spielen können. Welchen Beitrag können sie in der Begriffsbildung

leisten?

Nach Holland (1975) und Wittmann (2007, S. 96ff) lassen sich mathematische Begriffe auf

verschiedene Arten bilden:

Abstraktion – Begriffsbildung durch Beispiele bzw. Gegenbeispiele

Spezifikation – Begriffsbildung ausgehend von bereits gebildeten Begriffen

Operative BegriffsbildungBegriffsbildung durch Handlungen oder

Konstruktionen (vgl. Kapitel 2.3 „Operatives Prinzip“ und Kapitel 6.2

„Systematische Variation mit Hilfe von DGS und DMS – Operative

Begriffsbildung“, S. 10 und S. 56)

Es wird zwischen verschiedenen Typen mathematischer Begriffe unterschieden:

Objekte

Menge von Objekten

Relationen

Abbildungen

Verknüpfungen

Verknüpfungsgebilde (vgl. Vollrath, 2001, S. 1)

Diese Diplomarbeit bezieht sich vor allem auf mathematische Objekte, sodass diese, wenn

nicht anders angeführt, unter „mathematischen Begriffen“ zu verstehen sind.

Barbara Kimeswenger 24


Visualisierung in der Begriffsbildung

Oftmals wird nur auf das zutreffende Gebiet verwiesen, wie zum Beispiel: algebraischer,

geometrischer oder stochastischer Begriff (vgl. Vollrath, 2001, S. 1).

„Zusammengesetzte Begriffe“, wie sie Zech (1996, S. 165f) bezeichnet, werden durch eine

Definition festgelegt, die auf andere zurückgreift. „Einfache Begriffe“ oder auch

„Grundbegriffe“, wie zum Beispiel ein Punkt, werden axiomatisch angenommen. Abhängig

von der axiomatischen Basis wird entschieden, welche Grundbegriffe gewählt werden. So

sind auf den Schulkontext bezogen jene Begriffe einfache, wie etwa der Begriff „Fläche“,

welche keine weitere Erklärung benötigen, da sie in den meisten Fällen aus Alltagsbeispielen

oder eigenen Erfahrungen gewonnen werden konnten.

Repräsentationen in der Begriffsbildung

Der Gründer des Arbeitskreises „Semiotik, Zeichen und Sprache in der Mathematikdidaktik“

Michael Hoffmann (2001, Abs. 1) betont die Wichtigkeit von Darstellungen bzw.

Repräsentationen in der Begriffsbildung:

„Für eine semiotisch ausgerichtete Erkenntnistheorie bedeutet dies, dass die

Möglichkeit von Wissen entscheidend von der Möglichkeit der Darstellung von

Wissen abhängt; alles was verstanden und als begründetes Wissen gewusst werden

soll, muss irgendwie dargestellt oder repräsentiert werden können. Es gibt kein

Wissen ohne Repräsentation.“

Vollrath (1984, S. 215ff) unterscheidet verschiedene Begriffsverständnisstufen, worauf im

Zuge dieser Diplomarbeit noch näher eingegangen wird:

Intuitives Begriffsverständnis

In dieser ersten Verständnisstufe haben Lernende den Begriff als Phänomen

erkannt. Darunter würde fallen, dass sie erste wichtige Beispiele kennen.

Inhaltliches Begriffsverständnis

Lernende erkennen den Begriff als Träger von Eigenschaften und können

auch seine Eigenschaften nennen.

Integriertes Begriffsverständnis

Lernende können einen Begriff in sein „Begriffsnetz“ einordnen und sind sich

über seine Beziehungen (zwischen Eigenschaften bzw. zu anderen Begriffen)

bewusst.

Strukturelles Begriffsverständnis

Lernende können den Begriff als strukturierbares Objekt erfassen und können

mit diesem operieren. Unter dieser Verständnisstufe würde zum Beispiel im

Falle des Begriffs „Funktion“ fallen, bedeutende Verknüpfungen, wie etwa

„f(x)+g(x)“, zu kennen und anwenden zu können (vgl. Roth, 2011, S. 109).

Barbara Kimeswenger 25


Visualisierung in der Begriffsbildung

Verstehen mathematischer Begriffe

Laut Vollrath (2001, S. 2; 1984) wird im Unterricht das Verstehen mathematischer Begriffe

angestrebt. Dabei lässt sich anhand einiger Punkte nachprüfen, ob ein Begriff verstanden

worden ist. Vollrath beschreibt dazu folgende Kriterien:

Lernende …

… wissen die Bezeichnung und können eine Definition des Begriffs nennen

… können unter den Begriff einzuordnende Beispiele anführen und

argumentieren, warum sie unter diesen fallen

… können Begründungen angeben, warum ein gegebenes Objekt nicht dem

Begriff zuzuordnen ist

… wissen charakteristische Eigenschaften des jeweiligen Begriffs

… können den Begriff in sein „Begriffsnetz“ mit den dazugehörigen Ober-, Unter-

und Nachbarbegriffen einordnen

… können den Begriff und seine Eigenschaften bei Problemstellungen anwenden

oder vorliegende Sachverhalte damit beschreiben

Diese Kriterien sprechen folgende relevante Aspekte eines mathematischen Begriffs an,

worauf im Folgenden näher eingegangen werden soll:

Definitionen

Eigenschaften

Beziehungen

Sachverhalte

Die Rolle von ikonischen Darstellungen in Begriffsbildungsprozessen wird auch

angesprochen werden.

5.1 Definitionen

Dieser Abschnitt bezieht sich auf jene mathematischen Begriffe, die eine Definition

verlangen:

„Eine Definition nennt die Begriffsbezeichnung (Definiendum) und die definierende

Eigenschaft (Definiens).“ (Vollrath, 2001, S. 1)

Das Verstehen eines mathematischen Begriffes setzt jedoch viel mehr als eine Definition

voraus. Dieser Umstand soll in einem Beispiel verdeutlicht werden: Barzel, Hußmann und

Leuders (2005, S. 208f) beschreiben eine fiktive Situation, in der eine Mathematiklehrerin

gefragt wird, was eine Parabel sei. Ihre Antwort könnte aus einer der angegebenen

Definitionen bestehen:

Barbara Kimeswenger 26


Visualisierung in der Begriffsbildung

Abbildung 17: Definitionen für „Parabel“ (eigene Abbildung nach Barzel, Hußmann &

Leuders, 2005, S. 208)

Es wird angenommen, sie entscheidet sich für die dritte Definition der oben befindlichen

Abbildung in ihrem Unterricht. Nun stellt sich die Frage, ob der Begriff „Parabel“ ohne nähere

Ergänzungen von den Lernenden „begriffen“ werden würde. Barzel, Hußmann und Leuders

(2005, S. 208f) behaupten, dass niemand aufgrund nur dieser Information verstehen kann,

was eine Parabel wirklich ist. Offenbar reichen Definitionen beim Lehren bzw. Lernen

mathematischer Begriffe alleine nicht aus, um zu verstehen, was hinter diesen steckt.

5.2 Eigenschaften

Um eine Definition begreifen bzw. verstehen zu können, sind die Vorkenntnisse der

lernenden Person ausschlaggebend. So kann eine Definition nur dann gänzlich erfasst

werden, wenn alle darin auftretenden Eigenschaften bereits definiert bzw. erarbeitet wurden

(vgl. Vollrath, 2001, S. 1). So gibt eine „Realdefinition“ den Begriff durch einen umfassenden

Gattungsbegriff und die Nennung eines oder mehrerer artbildender Eigenschaften bzw.

Merkmale an (vgl. Zech, 1996, S. 255f).

Begriff Gattungsbegriff Artbildendes Merkmal

Trapez Viereck Zwei Seiten sind parallel

Rechteck

Viereck

Parallelogramm

Vier rechte Winkel

Ein rechter Winkel

Tabelle 1: Begriff, Gattungsbegriff und artbildendes Merkmal (vgl. Zech, 1996, S. 256)

Barbara Kimeswenger 27


Visualisierung in der Begriffsbildung

Laut Vollrath (1984, S. 215ff) haben Lernende eininhaltliches Begriffsverständnis“

aufgebaut, sobald sie die charakterisierenden Eigenschaften erfasst haben. So soll

anschließend nun nach Vollrath und Roth (2012, S. 235ff) eine sogenannte

„charakterisierende Definition“ formuliert werden. Sie beinhaltet die Eigenschaften des

Begriffs. Laut Vollrath und Roth (2012, S. 237) soll die Lehrperson die Schülerinnen und

Schüler deutlich darauf hinweisen, dass eine Eigenschaft nur als eine definierende in Frage

kommt, wenn sie eindeutig den Begriff charakterisiert und „eine notwendige und

hinreichende Bedingung für den Begriff darstellt“.

„Charakterisierende Definition“ eines Prismas:

„Ein senkrechtes Prisma ist ein Körper, der von 2 zueinander parallelen und

kongruenten Vielecken als Grund- und Deckfläche sowie lauter Rechtecken als

Seitenflächen begrenzt wird.“ (Vollrath & Roth, 2012, S. 236)

Eine genetische Definition eines Begriffs hingegen beschreibt, wie dieser entstanden ist

(vgl. Vollrath & Roth, S. 236). Laut Roth (2005, S. 86) ist Bewegliches Denken eine

Grundvoraussetzung jeder genetischen Definition.

„Genetische Definition“ eines Prismas:

„Ein senkrechtes Prisma ist ein Körper, der entsteht, wenn man ein Vieleck senkrecht

im Raum verschiebt.“ (Vollrath & Roth, 2012, S. 236)

Abbildung 18: "Genetische Definition" eines Prismas (Roth, 2005, S. 86)

Das Bewegliche Denken kann nach Roth (2005, S. 86) einerseits beim Erfassen und

andererseits beim Reproduzieren einer genetischen Definition hilfreich sein:

Das Verschieben des Vielecks wird im Raum vorgestellt.

(Bewegliches Denken als Hilfe beim Erfassen der Definition)

Die Definition wird anhand einer Bilderfolge (siehe Abbildung), einer dynamischen

Visualisierung in Form eines Applets oder eines Gummifadenmodells präsentiert.

(Bewegliches Denken als Hilfe beim Reproduzieren der Definition)

Barbara Kimeswenger 28


Visualisierung in der Begriffsbildung

3D Visualisierungen können mit dem Programm „Google SketchUp“ (2012) und mit der Beta

Version von „Geogebra“ (2012) 5.0 erzeugt werden.

Roth (2005, S. 87) stimmt Danckwerts und Vogel (2003) zu, dass vor allem mit

Technologieunterstützung erzeugte dynamische Visualisierungen das Erfassen einer

genetischen Definition begünstigen und auch den Einstieg in das Bewegliche Denken ebnen

können. Dadurch können auf niedrigem Abstraktionsgrad erste Erfahrungen gemacht und

bewegliches Argumentieren geübt werden.

Bei der Formulierung einer Definition sollen vor allem nach Vollrath und Roth (2012, S. 236)

zwei Dinge beachtet werden:

Lernende sollen den Oberbegriff angeben

Den Schülerinnen und Schülern soll bewusst werden, dass zwar die Aussage,

dass ein Rechteck lauter rechte Winkel hat, wahr ist. Dennoch sollte die Definition

lauten: „Ein Rechteck ist ein Viereck, das lauter rechte Winkel hat.“

Zusätzlich zu dem in der Definition eines mathematischen Begriffes genannten Merkmal

besitzt dieser weitere Eigenschaften, die abhängig vom Kontext bewiesen werden können

(vgl. Vollrath, 2001, S. 1).

Hierbei werden weitere wichtige Aspekte, die Beziehungen, angesprochen, worauf noch

näher eingegangen werden soll. Zuerst soll beleuchtet werden, wovon die Auffälligkeit eines

Merkmals abhängen kann.

Auffälligkeit eines Merkmals

Wie schon erwähnt können Begriffe durch Abstraktion gebildet werden. Durch das Darbieten

und Besprechen von Beispielen und auch Gegenbeispielen sollen die charakteristischen

Merkmale des Begriffs erkannt werden. Wird ein Begriff durch ein besonders einprägsames

Beispiel gelernt, spricht man von paradigmatischem Lernen. Zu beachten ist, dass im

Normalfall ein Objekt mehrere Eigenschaften aufweist und sich daher die Frage stellt,

welches die „bedeutendste“ oder „auffälligste“ sei. Eine Vielzahl von psychologischen

Untersuchungen ergab, dass einige Merkmale dominanter auftreten als andere. Eindeutig

ließ sich feststellen, dass Objekte abhängig von ihrer Umgebung wirken und die Auffälligkeit

der Merkmale beeinflusst. So sind Merkmale wie Farben dominanter als Formen, aber

Formen auffälliger als die Anzahl der Objekte (vgl. Vollrath, 1984, S. 94f).

Vollrath (1978) beschreibt eine von ihm durchgeführte Untersuchung, bei der 110 zufällig

ausgewählte Versuchspersonen aus verschiedenen Schulen und Klassen Unterfrankens

teilnahmen.

Barbara Kimeswenger 29


Visualisierung in der Begriffsbildung

Sie wurden vom Versuchsleiter aufgefordert, vorliegende Objekte nach Ähnlichkeit zu

sortieren. In Abbildung 19a wurden sie aufgrund der Merkmale „rund“ bzw. „eckig“ in zwei

Haufen separiert. Hingegen in Abbildung 19b wurden Dreiecke, Quadrate, Rechtecke,

Trapeze und Kreise jeweils zusammengelegt, somit dominierten die „typischen“ Merkmale

wie „Eckzahl“, „rechtwinkelig“ und auch „verschiedene bzw. gleiche Seitenlängen“. Bei

Versuchen, bei welchen nur Rechtecke sortiert werden sollten (siehe Abbildung 19c), übte

das Merkmal „gleiche Breite“ den größten Einfluss aus, siehe Abbildung 19d. Zu erwähnen

ist, dass das Merkmal „gleiches Seitenverhältnis“ und zwar 1:2, 1:3 bzw. 1:4 sich nicht als

das auffälligste erwies. Um das Augenmerk auf Seitenverhältnisse zu richten, kann mit

verschiedenen Strichstärken wie in Abbildung 19e gearbeitet werden (vgl. Vollrath, 1984, S.

94f).

Abbildung 19a: rund und eckig Abbildung 19b: Dreiecke, Quadrate,

Rechtecke, Trapeze und Kreise

Abbildung 19c: Rechtecke zu sortieren Abbildung 19d: Rechtecke sortiert

Abbildung 19e: Betonung Seitenverhältnis

Abbildung 19a bis Abbildung 19e: Auffälligkeit eines Merkmals (Vollrath, 1984, S. 95ff)

5.2.1 Prototypen

Beim Lehren und Lernen von mathematischen Begriffen und Sachverhalten spielen vor allem

„Prototypen“ eine große Rolle.

Barbara Kimeswenger 30


Visualisierung in der Begriffsbildung

Dörfler (1991) definiert einen „Prototyp“, angelehnt an Lakoff (1987), als einen extern oder

intern repräsentierten typischen Vertreter, also als ein charakteristisches Exemplar einer

Klasse bzw. eines Allgemeinbegriffs.

Abbildung 20: Prototyp eines allgemeinen Parallelogramms

In diesem Sinne soll der in Abbildung 20 dargestellte Prototyp eines Parallelogramms als ein

Vertreter dieses Begriffs stehen. Er soll jedes Parallelogramm, egal welcher Größe, welche

Lage, welcher Orientierung, also den Allgemeinbegriff „Parallelogramm“ repräsentieren.

Vor allem ikonisch dargestellte Prototypen beeinflussen sehr stark, wie ein Begriff kognitiv

repräsentiert wird. Dennoch kann ein Prototyp auch in Form eines Symbols, eines Vorgangs

etc. auftreten (vgl. Dörfler, 1991, S. 65f; Roth, 2005, S. 105).

Hierbei wollen wir uns mit der Frage befassen, welchen Einfluss Prototypen ikonischer Form

auf die Begriffsbildung haben können. Wie Begriffe nach Dörfler (1991, S. 65) in Form von

Prototypen kognitiv verfügbar werden, soll anhand eines Beispiels von Roth (2005, S. 104)

erklärt werden:

Werden Schülerinnen bzw. Schüler nach den Eigenschaften einer ganzrationalen Funktion

dritten Grades befragt, stellen sie sich sehr häufig ein mentales Bild eines Prototypen in

Form eines „typischen“ Funktionsgraphen vor dem „geistigen Auge“ vor.

Abbildung 21: typischer Funktionsgraph (eigene Abbildung nach Roth, 2005, S. 104)

Dieses mentale Bild eines Prototypen erweist sich als sehr nützlich, da dadurch das

Phänomen „ganzrationale Funktion dritten Grades“ ganzheitlich betrachtet bzw. erfasst

werden kann. Ebenso können seine Eigenschaften davon leicht abgelesen werden (vgl.

Roth, 2005, S. 104).

Barbara Kimeswenger 31


Visualisierung in der Begriffsbildung

Untersuchung Hershkowitz

Neben den positiven soll hier auch auf die negativen Auswirkungen von Prototypen in

Begriffsbildungsprozessen hingewiesen werden. Diesbezüglich sei eine von Rina

Hershkowitz (1989) durchgeführte Untersuchung erwähnt, die sich mit der Rolle von

Prototypen in der Begriffsbildung beschäftigt. Sie befasst sich mit einem

Visualisierungsdilemma: Auf der einen Seite kann kein Begriff bildlich vorstellt werden, ohne

ihn anhand eines Vertreters zu visualisieren. Auf der anderen Seite kann die Wahl der

jeweiligen Prototypen das Begriffsverständnis stark einschränken.

Die Versuchspersonen setzten sich sowohl aus Schülerinnen und Schülern der 5, 6, 7 und 8

Schulstufe zweier Schulen als auch aus 142 Volkschullehramtsanwärterinnen bzw. –

anwärtern und 25 ausübenden Volkschullehrerinnen bzw. -lehrern zusammen.

Abbildung 22 zeigt drei rechtwinkelige (e,f, und g) und vier gleichschenkelige Dreiecke (b, c,

e und i) in verschiedenen Orientierungen. Die Aufgabe der Versuchspersonen bestand darin,

diese als solche zu erkennen. In den meisten Fällen wurden die typischen Exemplare

(Prototypen), wie sie sehr häufig in den Schulbüchern dargestellt werden, eines

rechtwinkeligem (siehe e) und eines gleichschenkeligem Dreiecks (siehe b) richtig als

solches erkannt. Im Gegensatz dazu hatten die Schülerinnen, Schüler aber auch die

Lehramtsanwärterinnen, - anwärter und die Lehrerinnen und Lehrer Probleme, andere

Vertreter eines rechtwinkeligem (f und besonders g) oder eines gleichschenkeligem Dreiecks

(c, e und im Speziellen i) zu identifizieren. Nun stellt sich die Frage, wovon die

Versuchspersonen irritiert worden sind. Offensichtlich wurde die Entscheidung, ob es sich

um rechtwinklige bzw. gleichschenkelige Dreiecke handelt, von ihren Orientierungen bzw.

Lagen beeinflusst. Prototypen rechtwinkeliger Dreiecke werden sehr oft so dargestellt, dass

eine Kathete waagrecht liegt. Bei den Zeichnungen f und g wurden sie in beiden Fällen in

einer anderen Lage bzw. Orientierung dargestellt. Dadurch wurden die Versuchspersonen

möglicherweise irritiert. Sie identifizierten offensichtlich fälschlicherweise die Lage bzw.

Orientierung eines Dreiecks als eines seiner relevanten Merkmale. Liegt eine Kathete des

Dreiecks nicht horizontal, kann es kein rechtwinkeliges sein, könnte die Fehlvorstellung der

Versuchspersonen sein. Die Zeichnungen f und g, die eigentlich Beispiele für rechtwinkelige

Dreiecke wären, werden als Gegenbeispiele identifiziert. Ähnliches trifft bei der Erkennung

gleichschenkeliger Dreiecke zu. Liegt deren Basis nicht parallel zum Seitenrand, werden sie

weniger häufig als gleichschenkelig identifiziert (vgl. Hershkowitz, 1989, S. 62ff).

Barbara Kimeswenger 32


Visualisierung in der Begriffsbildung

Abbildung 22: Untersuchung Dreiecke (eigene Abbildung nach Hershkowitz, 1989, S. 68)

Laut Roth und Wittmann (2009, S. 124) werden mathematische Begriffe, im Besonderen

Figuren oder Körper, vorwiegend durch ihre „internen Bezüge“, wie zum Beispiel Seiten-,

Winkel-, Diagonalen- oder Symmetrieeigenschaften, charakterisiert. Wird Schülerinnen und

Schülern ein Prototyp eines Begriffs präsentiert, werden hauptsächlich „externe Bezüge“, wie

etwa Parallelität zwischen Seiten und Blattrand, fokussiert. So leiten die Lernenden aus

diesen charakteristische Eigenschaften des Begriffs ab.

Diese Orientierung an den externen Bezügen verleitete vermutlich die Untersuchten, ein

rechtwinkeliges Dreieck nur dann zu erkennen, wenn eine Kathete parallel zum Blattrand

liegt (vgl. Roth & Wittmann, 2009, S. 124).

Um dies anhand der Abbildung 22 von Hershkowitz zu verdeutlichen, habe ich zwei

ausgewählte Zeichnungen gedreht, sodass eine Kathete des Dreiecks in f bzw. die Basis von

e parallel zum Seitenrand liegt. In diesen Lagen bzw. Orientierungen hätten vermutlich die

meisten der Versuchspersonen f als rechtwinkeliges und e als gleichschenkeliges Dreieck

erkannt. Ich gehe aber davon aus, dass manche Schwierigkeiten gehabt hätten, das Dreieck

e in der neuen gedrehten Lage als rechtwinkeliges zu identifizieren.

Abbildung 23: Orientierung an externen Bezügen

Zwei weitere Fälle, in denen Schülerinnen und Schüler aufgrund externer Bezüge in die Irre

geführt werden können, sind nach Roth und Wittmann (2009, S. 124) folgende:

Barbara Kimeswenger 33


Visualisierung in der Begriffsbildung

Wird ein auf der Spitze stehendes Quadrat

präsentiert, wird dieses nicht als solches, sondern

„nur“ als Raute erkannt.

Abbildung 24: Durch eine Orientierung an externen Bezügen wird das Quadrat „nur“ als

Raute erkannt (eigene Abbildung nach Roth & Wittmann, 2009, S. 124)

Auftretende rechte Winkel werden nicht erkannt.

Abbildung 25: Durch eine Orientierung an externen Bezügen werden rechte Winkel nicht

erkannt (eigene Abbildung nach Roth & Wittmann, 2009, S. 124)

Diese Untersuchung Hershkowitzs und die dargestellte Problematik der Irreführung aufgrund

externer Bezüge verdeutlichen, dass es nicht reicht, den Schülerinnen und Schülern

unreflektiert Prototypen anzubieten. Ebenso betont Roth (2005, S. 104f), dass es wichtig ist,

Lernenden zu vermitteln, wie mit ihnen umgegangen werden soll. Dann können Prototypen

im Mathematikunterricht hinsichtlich der Begriffsbildung von großem Nutzen sein. Eine

ordentliche Verständnisgrundlage eines Begriffs kann durch den Einsatz von Prototypen nur

dann aufgebaut werden, wenn diese auch gründlich im Unterricht besprochen bzw.

thematisiert werden.

„Wenn ich von ‚Verständnisgrundlagen‘ spreche, dann meine ich das

Zusammenwirken eines Prototyps (der als Bild, Symbol, Vorgang o. ä. konkretisiert

sein kann) mit dem zugehörigen Erklärungskontext, ohne den […] ein Prototyp nicht

sinnvoll verwendbar ist. Mit Hilfe einer solchen Verständnisgrundlage ist es möglich,

den zu Grunde liegenden Begriff oder das zu Grunde liegende Phänomen zu

erfassen, zusammen mit seinen Eigenschaften zu rekonstruieren und für

mathematisches Arbeiten nutzbar zu machen.“ (Roth, 2005, S. 105)

Abbildung 26: Verständnisgrundlage nach Roth (2005, S. 105)

Barbara Kimeswenger 34


Visualisierung in der Begriffsbildung

Laut Roth (2005, S. 105) besteht die Aufgabe jedes erfolgreichen Mathematikunterrichts

darin, Verständnisgrundlagen aufzubauen. Mit anderen Worten ausgedrückt, müssen in

Prozessen des Erarbeitens von mathematischen Begriffen und Sachverhalten Prototypen

angeboten werden, wobei ihre Bedeutungen bzw. Interpretationen behandelt werden

müssen („Erklärungskontext“). So soll im Mathematikunterricht thematisiert werden, welche

Veränderungen am Prototyp durchgeführt werden können, sodass er noch immer ein

Vertreter seines Begriffs bleibt. Schülerinnen und Schülern muss kommuniziert werden,

durch welche charakterisierenden Eigenschaften ein Prototyp eines Begriffs als solcher

ausgezeichnet wird.

„Zum Durchführen geeigneter Transformationen an und mit gegenständlichen bzw.

vorgestellten Prototypen sind die Fähigkeiten des Beweglichen Denkens notwendig.“

(Roth, 2005, S. 105)

5.2.2 Unterrichtsidee zu verschiedenen Prototypen zum Begriff „Rechteck“

Prototypen nehmen eine wichtige Rolle in Begriffsbildungsprozessen ein, wie die

vorhergegangenen Ausführungen verdeutlicht haben. Lernenden sollte vermittelt werden,

welche Bedeutung Prototypen haben. Sie stehen nur für einen jeweiligen Vertreter eines

Begriffs und tragen daher zum einen kennzeichnende Merkmale, zum anderen aber auch

irrelevante Eigenschaften in sich. Lernende sollen, wenn sie beispielsweise einen ikonischen

Prototyp präsentiert bekommen, ihre Fähigkeit des „Beweglichen Denkens“ anwenden.

Gedanklich sollen sie den Vertreter des Begriffs in seinen irrelevanten Eigenschaften

variieren und seine relevanten invariant halten. Genauso können diese Transformationen an

externen Repräsentationen, wie zum Beispiel auf einer Skizze im Schulheft, durchgeführt

werden. Besonders wichtig scheint, dass Prototypen Stoff für Diskussionen im Klassenraum

bieten sollen. Ausgehend von diesen Überlegungen entsteht eine Unterrichtsidee zum

Begriff „Rechteck“. Schülerinnen und Schülern soll klar werden, dass ein Prototyp,

unabhängig von seiner Größe, Lage, Seitenlänge bzw. –breite, Orientierung oder Lage, ein

Vertreter des Allgemeinbegriffs „Rechteck“ ist.

Rahmenbedingungen

Schülerinnen und Schüler sollen bereits den Begriff Rechteck kennen, im Besonderen

charakterisierende Merkmale und mindestens eine seiner Definitionen.

Diese Unterrichtsidee lässt sich bereits in der ersten Klasse Unterstufe realisieren. So fordert

auch der Lehrplan der AHS in dieser Klasse, dass Skizzen von Rechtecken angefertigt

werden sollen und seine Eigenschaften erkannt und beschrieben werden sollen (vgl.

BMUKK, 2012a, S. 5).

Barbara Kimeswenger 35


Visualisierung in der Begriffsbildung

Schülerinnen und Schüler sollen sich in dieser Unterrichtsidee mit verschiedenen Vertretern

des Begriffs „Rechteck“, aber auch mit Gegenbeispielen zum Begriff Rechteck beschäftigen,

welches der von Vollrath und Roth formulierten Phase der „Sicherung“ zuzuordnen ist (vgl.

Kapitel 5.3 „Beziehungen“, S. 39). Ebenso sollen auch Spezialfälle eines Rechtecks, wie

zum Beispiel ein Quadrat, bei dem alle Seiten gleich lang sind, besprochen werden.

Aufgabenstellung

Schreibe eine Definition eines Rechtecks nieder!

Skizziere zehn verschiedene Rechtecke!

Diskussion der Ergebnisse in der Klasse

So können Schülerinnen und Schüler eine der folgenden gängigen Definitionen eines

Rechtecks nennen, indem der Begriff „Rechteck“ auf einen Oberbegriff zurückgeführt wird.

Deutlich ist zu vermerken, dass es nicht nur eine einzige Definition, sondern mehrere

zulässige gibt (vgl. Weigand, 2009, S. 112):

Oberbegriff Viereck: (Weigand, 2012, S. 112)

„Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln.“ 4

„Ein Rechteck ist ein Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten gleich lang sind und

das einen rechten Winkel hat.“

Oberbegriff Parallelogramm: (Weigand, 2012, S. 112)

„Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel.“

„Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit gleich langen Diagonalen.“

Vermutlich würden die meisten Schülerinnen und Schüler der ersten Klasse Unterstufe die

erste Definition nennen („Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln.“)! Das

Besprechen anderer Definitionen, die sich zum Beispiel auch auf andere Oberbegriffe

beziehen, kann zur Verfestigung des Begriffes „Rechteck“ in seine Begriffshierarchie

beitragen, womit sich die Unterrichtsidee „Haus der Vierecke“ im Kapitel 6.3.5 näher

beschäftigt.

Die zweite Aufgabenstellung verlangt, zehn verschiedene Rechtecke zu skizzieren. Diese

sollen nach der Besprechung der Definitionen im Anschluss behandelt werden. Die

Lehrperson soll die Schülerinnen und Schüler anregen, ein Rechteck zu visualisieren. Es soll

4 Eigentlich würde es reichen, die Definition folgendermaßen zu formulieren: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten

Winkeln. Genanntes würde genügen, da automatisch der vierte auch 90° sein muss, wenn angegeben ist, dass drei Winkel

rechte sind (Winkelsumme jedes Vierecks beträgt 360°) (vgl. Weigand, 2012, S. 112).

Barbara Kimeswenger 36


Visualisierung in der Begriffsbildung

im Kopf vorgestellt und „beweglich“ gemacht werden. Welche Gestalt hat es, wenn seine

Größe, Breite, Lage bzw. Orientierung etc. variiert werden?

Um dieses Bewegliche Denken im Kopf mit Computereinsatz vorzubereiten, könnten die

Schülerinnen und Schülern mit einer DGS erzeugten dynamischen Visualisierung eines

Rechtecks experimentieren (vgl. Kapitel 6 „Begriffsbildung durch technikunterstützte

Visualisierungen“, S. 51).

In einer anschließenden Diskussion sollen möglichst viele verschiedene Vertreter

(Prototypen) des Begriffs „Rechteck“ 5 , die sich in Größe, Seitenlänge, Seitenbreite, Lage und

Orientierung unterscheiden, behandelt werden:

Größe:

Länge und Breite:

Lage und Orientierung:

Abbildung 27: Prototypen zum Begriff "Rechteck", die sich in Größe, Seitenlänge,

Seitenbreite, Lage und Orientierung unterscheiden

5 In allen Rechteckabbildungen könnten die rechten Winkel als solche gekennzeichnet werden, um diese als relevante

Eigenschaften des Begriffs hervorzuheben. Ebenso gängig ist das Einzeichnen der Diagonalen.

Barbara Kimeswenger 37


Visualisierung in der Begriffsbildung

Laut Zech (1996, S. 260ff) sollen den Schülerinnen und Schülern in

Begriffsbildungsprozessen viele Beispiele des Begriffs dargeboten werden, die sich

voneinander deutlich unterscheiden. Dadurch soll eine sogenannte „Untergeneralisierung“,

d.h. eine „unerwünschte Begriffsverengung“ vermieden werden. Schülerinnen und Schüler

sollen nicht Gefahr laufen, Beispiele als Gegenbeispiele zu identifizieren.

Um einer „Untergeneralisierung“ entgegen zu wirken, werden in einer Diskussion hinsichtlich

dieser Unterrichtsidee verschiedene Prototypen des Begriffs „Rechteck“, die sich in Größen,

Längen, Breiten, Lagen und Orientierung unterscheiden, besprochen.

Ebenso schlägt Zech (1996, S. 260ff) vor, um eine „Untergeneralisierung“ zu vermeiden, in

Begriffsbildungsprozessen besonders Sonder- und Extremfälle zu besprechen.

Hierzu soll das Quadrat erwähnt werden, das den Spezialfall eines Rechtecks darstellt, bei

dem alle Seiten gleich lang sind:

Spezialfall Quadrat:

Abbildung 28: Prototypen des Spezialfalls eines „Rechtecks“, bei dem alle Seitenlängen

gleich lang sind (Quadrat)

Nach Zech (1996, S. 261) soll nicht nur eine „Untergeneralisierung“ verhindert werden,

sondern auch eine „Übergeneralisierung“, d.h. eine „unerwünschte Begriffsausweitung“. So

sollen Gegenbeispiele nicht als Beispiele eines Begriffs eingeordnet werden.

Gegenbeispiele:

Abbildung 29: Prototypen für Gegenbeispiele zum Begriff "Rechteck"

Etwa können von der Lehrperson Gegenbeispiele eines Rechtecks an der Tafel gezeichnet

werden (siehe Abbildung 29). Schülerinnen und Schüler sollen argumentieren, warum

dargestellte Figuren keine Vertreter des Begriffs „Rechteck“ sind.

Zum einen sollen Lernenden viele Beispiele angeboten werden, die sich in irrelevanten

Merkmalen unterscheiden, so argumentieren auch Tennyson und Park. Zum anderen sollen

Barbara Kimeswenger 38


Visualisierung in der Begriffsbildung

zahlreiche Gegenbeispiele angeführt werden, denen jeweils mindestens eine andere

relevante Eigenschaft fehlt (vgl. Zech, 1996, S. 261).

Zusammenfassend sollen Schülerinnen und Schüler begreifen, dass jeder dargebotene

ikonische Prototyp nur für einen Vertreter eines Begriffs bzw. Sachverhaltes steht (siehe

Abbildung 30). Sie sollen diesen nicht als starres, unveränderbares Objekt betrachten,

sondern flexibel und beweglich mit ihm umgehen können.

Abbildung 30: Flexibler, beweglicher Umgang mit ikonischen Darstellungen

Diese Unterrichtsidee fordert die ersten vier von Vollrath formulierten Kriterien, die festlegen,

ob ein Begriff verstanden worden ist (vgl. „Verstehen mathematischer Begriffe“ im Kapitel 5

Visualisierung in der Begriffsbildung“).

Wie diese Unterrichtsidee schon vermuten lässt, spielen in mathematischen Begriffen nicht

nur ihre Eigenschaften eine Rolle, sondern auch Beziehungen, welche im nächsten Abschnitt

besprochen werden.

5.3 Beziehungen

Laut Dörfler (1984, S. 44ff) existiert ein Begriff nur aufgrund seiner Beziehungen zu seiner

Umgebung, und er bezeichnet diesen Umstand als den „relationalen Charakter von

Begriffen“.

„Mathematische Begriffe stehen nicht für Gegenstände sondern für Beziehungen

(zwischen Gegenständen).“ (Dörfler, 1984, S. 52)

Barbara Kimeswenger 39


Visualisierung in der Begriffsbildung

So muss laut Dörfler (1984, S. 53) zum Beispiel ein Kreis auf seine Beziehungen untersucht

werden, wie etwa dass alle Punkte auf dem Kreis zum Mittelpunkt denselben Abstand

besitzen. Eine Tätigkeit, wie der relationale Charakter eines Kreises sichtbar gemacht

werden kann, wäre, diesen mit Hilfe eines Fadens und Bleistifts zu konstruieren. Dabei tritt

die gezeichnete Kreislinie mit Hilfe einer Visualisierung zu Tage.

Kautschitsch (1987, S. 40) betont ebenso die Wichtigkeit, Beziehungen mathematischer

Begriffe kenntlich zu machen. So sollen im Unterricht ikonische Darstellungen eines Begriffs

bzw. Bilder verwendet werden, die als „materielles Äquivalent von konstruktiv hergestellten

Beziehungen“ fungieren.

So behauptet Dörfler (1984, S. 51ff), dass Denkfehler wie „ein Quadrat ist kein Rechteck“

nicht auftreten können, wenn Schülerinnen und Schüler den Begriff „Rechteck“ durch

geeignete Handlungen und ihr Beiziehungsgefüge erforschen konnten.

Abbildung 31: Parallelogramm

Eigenschaften eines

Parallelogramms:

Gegenüberüberliegende

Seiten sind parallel.

Gegenüberliegende Seiten

sind gleich lang.

So spielen erstens die Beziehungen zwischen den

Eigenschaften eines Begriffs und zweitens zu

anderen Begriffen eine wichtige Rolle. Dies soll

anhand einer Tabelle in einem Beispiel verdeutlicht

werden (vgl. Weigand, 2009, S. 109):

Beziehungen zwischen

Eigenschaften:

Gegenüberliegende Seiten

sind parallel, also sind sie

auch gleich lang.

Gegenüberliegende Winkel

sind gleich groß, also

ergänzen sich benachbarte

Winkel zu 180°.

… … …

Beziehungen zu anderen

Begriffen:

Sind in einem

Parallelogramm alle Seiten

gleich lang, dann ist es eine

Raute.

Sind in einem

Parallelogramm benachbarte

Winkel gleich groß, so

müssen alle Winkel 90° sein.

Das Parallelogramm ist dann

ein Rechteck.

Tabelle 2: Eigenschaften eines Parallelogramms, Beziehungen zwischen Eigenschaften und

Beziehungen zu anderen Begriffen (vgl. Weigand, 2009, S. 109)

Barbara Kimeswenger 40


Visualisierung in der Begriffsbildung

Laut Vollrath und Roth (2012, S. 228) können vier Phasen des Lehrens von zentralen

Begriffen unterschieden werden:

Einstieg

Erarbeitung

Sicherung

Vertiefung

Durch den „Einstieg“ sollen die Lernenden motiviert werden. Sie werden an einen Begriff

herangeführt, indem sie in der Regel mit einer Problemstellung konfrontiert werden. Ziel ist

es, eine erste Vorstellung über ihn zu gewinnen. So können Lernende in dieser ersten Phase

möglicherweise mit seiner Bezeichnung, seinen Merkmalen, ersten Beispielen oder

Darstellungen schon in Berührung kommen.

In der Phase der „Erarbeitung“ stehen die Lösung des Problems, die Festigung des

Begriffs und somit das Herausarbeiten des Inhalts und Umfangs des Begriffs im

Vordergrund.

Die Phase der „Sicherung“ soll das Festhalten der gewonnenen Ergebnisse ermöglichen.

So können auch Beispiele bzw. Gegenbeispiele durchgenommen werden, um verschiedene

Begriffe voneinander abzugrenzen.

In der Phase der „Vertiefung“ sollen die Lernenden den Begriff analysieren und

Zusammenhänge erfassen. Spezialfälle, im Besonderen auch Grenzfälle, werden behandelt.

Vor allem die letzten zwei Phasen sollen laut Vollrath und Roth (2012, S. 228) zur

„Verankerung des Begriffs in der kognitiven Struktur“ beitragen.

Hierbei soll zum Verständnis noch das sogenannte „Begriffsnetz“ vorgestellt werden.

Begriffsnetz

Jeder Begriff kann in ein sogenanntes „Begriffsnetz“ eingeordnet werden, das die

Beziehungen zueinander beschreibt, und somit ergeben sich die Unterscheidungen Unter-,

Ober- und Nachbarbegriff (vgl. Vollrath, 2001, S. 1).

Wie am Beispiel Begriff „Rechteck“ dargestellt, ist das Quadrat ein Extremfall (Unterbegriff)

eines Rechtecks, beide sind aber „Vierecke“ (Oberbegriff).

Diese von Roth (2005, S. 93) dargebotene Abbildung soll einen systematischen Überblick

über die in der Schule auftretenden Viereckgrundformen geben und wird als „Haus der

Vierecke“ bezeichnet (vgl. Kapitel 6.3.5 „Haus der Vierecke“, S. 69):

Barbara Kimeswenger 41


Visualisierung in der Begriffsbildung

Abbildung 32: Haus der Vierecke (Roth, 2005, S. 93)

Laut Weigand und Weth (2002, S. 29) wird aus kognitionspsychologischer Sicht heutzutage

angenommen, dass das Gedächtnis mit einem Netzwerk von Begriffen und Beziehungen zu

vergleichen ist, in dem Wissen gespeichert werden kann. Dieser Hintergrund fordert das

„Prinzip vom Lernen in Zusammenhängen“ oder auch das „Integrationsprinzip“. Begriffe, so

auch mathematische, sollen in Lernprozessen nicht als isolierte Wissenselemente

angesehen werden, sondern mit ihren Zusammenhängen als Teil eines „Begriffsnetzes“. So

sollen Lernende Begriffshierarchien durchschauen, die die Beziehungen zwischen Begriffen,

im Besonderen zwischen Begriffen aus unterschiedlichen Teilgebieten, wiedergeben. So

wird neues Wissen gewonnen, indem ein neuer Begriff in das schon vorhandene Begriffsnetz

eingeordnet wird. Eine gelungene Erweiterung setzt ein gesichertes Grundlagenwissen

voraus, indem alte mit neuen Inhalten in Beziehung gesetzt werden sollen. Dieses

Entwickeln von Beziehungen bzw. Verknüpfungen wird „kumulatives Lernen“ genannt, das

global gesehen, das heißt im gesamten Mathematiklehrgang, von großer Bedeutung ist.

Lokal betrachtet kann das „Prinzip der Vorstrukturierung der Lernhilfen“ die Entwicklung der

Beziehungen bzw. Verknüpfungen fördern, indem neue Begriffe durch Hinweise in die

vorhandene kognitive Struktur eingegliedert werden können.

Kann ein Begriff von Lernenden in ein „Begriffsnetz“ eingeordnet werden und sind sie sich

auch über seine Beziehungen zwischen Eigenschaften bzw. zu anderen Begriffen bewusst,

so verfügen die Lernende nach Vollrath (1984, S. 215ff) über einintegriertes

Begriffsverständnis“.

Barbara Kimeswenger 42


Visualisierung in der Begriffsbildung

5.4 Sachverhalte

Um einen Begriff verstehen zu können, muss er „erkundet“ werden. Das bedeutet, Lernende

sollen erstens einen Überblick über den Inhalt und Umfang erhalten und zweitens ihn in das

zugehörige Begriffsnetz einordnen können. Dieses Erkunden bzw. Erforschen des Begriffs

bringt uns zu mathematischen Sachverhalten. Darunter werden begründbare Aussagen

gezählt, die als „Regeln“, „Gesetze“ oder „Sätze“ bezeichnet werden (vgl. Vollrath & Roth,

2012, S. 236ff).

Worum es sich dabei genau handelt, soll in folgender Grafik veranschaulicht werden:

Abbildung 33: Sachverhalte im Mathematikunterricht (Roth, 2011, S. 122)

Kurz zusammengefasst können mathematische Begriffe nicht isoliert betrachtet und müssen

immer im engen Zusammenhang zu relevanten Sachverhalten gesehen werden.

Mathematische Sätze, Gesetze und Regeln ermöglichen erst, so Zech (1996, S. 267), eine

Verknüpfung bzw. Vernetzung verschiedener Begriffe herzustellen. Ein Begriffserwerb muss

als ein Prozess gesehen werden, der nie abgeschlossen ist. Er wird stets durch das

Kennenlernen neuer Begriffe, Definitionen, Sätze und Probleme weitergeführt.

5.5 Didaktischer Nutzen ikonischer Darstellungen

In den vorherigen Abschnitten wurde versucht, einen Überblick über mathematische Begriffe

bzw. Sachverhalte zu geben. Dabei wurde teilweise schon auf den Einfluss der

Visualisierung eingegangen.

Externe und interne Repräsentationen sind in der Begriffsbildung voneinander abhängig, wie

auch schon im Kapitel 4 „Grundlegendes zum Thema Visualisierung im

Mathematikunterricht“ besprochen wurde. Insbesondere soll hier die genannte Definition der

Visualisierung“ von Zimmermann und Cunningham (1991, S. 3) herangezogen werden:

Barbara Kimeswenger 43


Visualisierung in der Begriffsbildung

„Mathematical visualization is the process of forming images (mentally, or with pencil

and paper, or with the aid of technology) and using such images effectively for

mathematical discovery and understanding.“

Es lässt sich aus dem Kapitel 4 „Grundlegendes zum Thema Visualisierung im

Mathematikunterricht“ zusammenfassen, dass ein beweglicher Umgang mit Bildern, der zum

einen mit internen (mentalen) Bildern, aber auch zum anderen mit externen ikonischen

Darstellungen realisiert werden kann, der zu mathematischen Entdeckungen, Erkenntnis und

Verständnis führt, als Visualisierung bezeichnet werden kann.

Um Licht in diese theoretischen Argumentationen zu bringen, soll der didaktische Nutzen des

beweglichen Umgangs mit Bildern (ikonischen Darstellungen) in der Begriffsbildung im

Folgenden anhand eines Beispiels erläutert werden.

Gleichschenkelige Dreiecke mit mindestens einem 45°-Innenwinkel

Dieses Beispiel stammt aus der Dissertation zum Thema „Bewegliches Denken“ von Jürgen

Roth (2005, S. 75):

„Problem: Man bestimme alle gleichschenkeligen Dreiecke mit mindestens einem

45°-Innenwinkel, wenn eine Dreieckseite fest vorgegeben ist.“

Begriffe werden oft im Zusammenhang mit Problemen gebildet. So soll es auch hier der Fall

sein. In dieser Problemstellung wird gefordert, dass Lernende eine Definition sowie

Merkmale des Begriffs „gleichschenkeliges Dreieck“ kennen und anwenden können. Dieses

Problem kann, um es in eine von Vollrath und Roth (2012, S. 228) beschriebene Phase des

Lehrens von Begriffen einzuordnen, in der Phase der „Vertiefung“ eingesetzt werden. Es wird

gefordert, alle Spezialfälle gleichschenkeliger Dreiecke mit mindestens einem 45°-

Innenwinkel und mit einer fest vorgegebenen Seite aufzufinden.

Laut Peters (1987, S. 28; 1999, S. 2ff) sollen Visualisierungen, die durch ikonische

Darstellungen angeregt wurden, Bezugspunkte für mathematische Argumentationen bieten.

Visualisierungen sollen als ein allgemeines Lernziel des Mathematikunterrichts angesehen

werden, das sich vom illustrierenden veranschaulichenden Charakter abgrenzt.

Visualisierungen sollen die Grundlage für Analysen, Vermutungen, Begründungen und

Schlussfolgerungen bilden. Durch Visualisierungen können inhaltliche mathematische

Strukturen und Beziehungen aufgezeigt und neue Einsichten erschlossen werden. Dies soll

anhand dieses Beispiels gezeigt werden:

Beim Lösen dieses Problems könnte ein möglicher Gedankengang nach Roth (2005, S. 75f)

folgendermaßen aussehen: Als erstes könnte eine Strecke [AB], als fest vorgegebene Seite

des Dreiecks vorgestellt werden. Nun stellt sich die Frage, wo sich der Eckpunkt C

befinden muss, sodass gleichschenkelige Dreiecke entstehen, die mindestens einen 45°-

Barbara Kimeswenger 44


Visualisierung in der Begriffsbildung

Innenwinkel besitzen. Daher soll dieser frei beweglich in der euklidischen Ebene vorgestellt

werden (vgl. Abbildung 34).

Abbildung 34: frei beweglicher Eckpunkt C (Roth, 2005, S. 76)

Um es in den Worten von Hefendehl-Hebeker (2010, S. 115) auszudrücken, fungiert diese

Skizze als „materielle Fixierung“ der eigenen Gedanken.

Um diesen dargestellten statischen Prototyp eines Dreiecks brauchbar einsetzen zu können,

soll der Eckpunkt C beweglich 6 vorgestellt werden. So sind sowohl die Seitenlängen von [AC]

und [BC], also auch die Winkelgrößen des Dreiecks von der Lage des Eckpunkts C abhängig

(vgl. Roth, 2005, S. 76).

Laut Roth (2005, S. 76) besteht die Problemstellung im Grunde aus zwei Forderungen, die

nacheinander berücksichtigt werden sollen:

1) gleichschenkeliges Dreieck

2) mindestens ein 45° Innenwinkel

Vorerst soll der Forderung (1) nachgegangen und überlegt werden, wo sich der Eckpunkt C

befinden muss, sodass das entstehende Dreieck gleichschenkelig ist. Mit dem Wissen, dass

eine Streckensymmetrale „einer Strecke die Ortslinie aller Punkte ist, die von den

Endpunkten gleich weit entfernt sind“, ergibt sich, dass gleichschenkelige Dreiecke

entstehen, wenn sich C auf der Streckensymmetrale befindet.

Hierbei wurden aber nur die Dreiecke erfasst, deren Schenkel [AC] und [BC] gleichlang sind.

Welche anderen können noch gefunden werden? Hierbei wird die Fähigkeit abverlangt, zum

einen die „Gesamtkonfiguration“ Dreieck als Ganzes zu erfassen und zum anderen nur

spezielle „Teilaspekte“ anvisieren zu können (vgl. Roth, 2005, S. 76).

6 So werden in den Ausführungen nur die Bewegungen von C in der durch [AB] und der Ausgangslage von C gegebenen (siehe

Abbildung 34) Halbachse näher beschrieben. Würde sich C auf [AB] bewegen, so würde das Dreieck zu einer Strecke

entarten. Würde sich jedoch der Eckpunkt C in der anderen Halbebene bewegen, so würden trotzdem keine wesentlich

neuen Dreiecke erzeugt werden, sondern nur solche, die symmetrisch bezüglich der Achse [AB] sind (vgl. Roth, 2005, S. 76).

Barbara Kimeswenger 45


Visualisierung in der Begriffsbildung

Auch Kautschitsch (1987, S. 45) betont, dass es ein großer Vorteil von ikonischen

Darstellungen gegenüber den enaktiven und symbolischen ist, dass sie als Ganzes erfasst

werden können, aber es trotzdem erlauben, jedes Einzelteil zu fokussieren. So können sehr

schnell und einfach Beziehungen gefunden und Zusammenhänge erkannt werden.

Nun sollen auch in dieser Problemstellung nach Roth (2005, S. 76) die Gesamtkonfiguration

Dreieck als Ganzes gesehen werden und gleichzeitig Einflüsse einzelner Teilaspekte

festgestellt werden. So sollen nicht nur die Fälle berücksichtigt werden, die sich mit der

Beziehung zwischen den Streckenlängen [AC] und [BC] beschäftigen. Ebenso soll beachtet

werden, wie sich [AC] bzw. [BC] zu der festen Strecke [AB] verhalten, wenn sich der

Eckpunkt C bewegt. Als erstes soll die Frage gestellt werden, wie C bewegt werden muss,

damit die Länge der Strecke [AC] gleichgroß wie die Länge der Strecke [AB] ist. Wird eine

Bewegung des Eckpunktes C verfolgt, die einen konstanten Abstand, so groß wie die Länge

der fixen Strecke [AB] zu dem Punkt A hält, wird ein Kreis erzeugt. Sein Radius

beträgt . So ergibt sich, dass der Eckpunkt C auf der beschriebenen Kreislinie liegen

muss, wenn ein gleichschenkeliges Dreieck erzeugt werden soll, wobei die Schenkel [AB]

und [AC] gleichgroß sein sollen. So werden aufgrund analoger Argumentationen die

gleichschenkeligen Dreiecke, bei welchen die Länge der Seite [AB] gleich der Länge der

Seite [BC] sein soll, durch den Kreis festgelegt. Zusammenfassend lauten die

Lagen, die unter unserer Forderung (1) C einnehmen darf, wie folgt:

35 skizziert.

. Diese Kurven, worauf sich C bewegt, wurden mittels feiner Linien in der Abbildung

Abbildung 35: Kurven, auf denen sich C bewegen muss, sodass gleichschenkelige Dreiecke

gebildet werden (Roth, 2005, S. 77)

Nun soll nach Roth (2005, S. 77) die Forderung (2), welche mindestens einen 45°

Innenwinkel des Dreiecks verlangt, ins Auge gefasst werden. So sollen alle drei Fälle

im Einzelnen betrachtet werden, wobei der „Basiswinkelsatz für gleichschenkelige Dreiecke“

und der „Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck“ angewendet wird:

Barbara Kimeswenger 46


Visualisierung in der Begriffsbildung

Erster Fall: mit

Wenn , dann auch und somit

Wenn , dann

Zweiter Fall: mit

Wenn , dann

Wenn , dann und somit

Dritter Fall: mit

Wenn , dann auch und somit

Wenn , dann

Dazugehörige Abbildungen:

Erster Fall:

Zweiter Fall:

Barbara Kimeswenger 47


Visualisierung in der Begriffsbildung

Dritter Fall:

Abbildung 36: Fälle des gleichschenkeligen Dreiecks

Alle Fälle in einer Skizze:

Abbildung 37: Alle Fälle des gleichschenkeligen Dreiecks mit mindestens einem 45°-Winkel

Das Problem könnte natürlich auch gelöst werden, indem man zuerst der Forderung (2)

nachgehen würde (vgl. Roth, 2005, S. 78).

Zusammenfassend lässt sich anhand dieses Beispiels sehr schön verdeutlichen, dass

externe und interne Repräsentationen in Begriffsbildungsprozessen voneinander abhängig

sind, wie auch schon im Kapitel 4 „Grundlegendes zum Thema Visualisierung im

Mathematikunterricht“ dargestellt wurde.

Ebenso zeigt dieses Beispiel, wie durch Visualisierung das Problem gelöst werden konnte.

Alle Argumentationen, die zur Lösung des Problems führen, fruchten aus den Überlegungen,

die durch den flexiblen und beweglichen Umgang mit Bildern ermöglicht werden. Das

Beispiel verdeutlicht sehr schön, wie externe und interne ikonische Repräsentationen bei

einer Problemlösung zusammenspielen können.

So werden vielfältige Potentiale einer Visualisierung, angeregt durch den beweglichen

Umgang mit ikonischen Darstellungen, anhand dieses Beispiels gezeigt:

Barbara Kimeswenger 48


Visualisierung in der Begriffsbildung

„Materielle Fixierung der Gedanken“

Um das Problem zu lösen, muss gedanklich mit einem Prototyp eines gleichschenkeligen

Dreiecks frei operiert werden. Dazu werden Skizzen angefertigt.

Diese ikonischen Darstellungen können nach Hefendehl-Hebeker (2010, S. 115) als

„materielle Fixierung der Gedanken“ mit folgenden Vorteilen bezeichnet werden:

Sie bündeln die Aufmerksamkeit

Fördern die Konzentration

Helfen beim Nachdenken

Unterstützen die Kommunikation

Auch Kautschitsch (1987, S. 45) betont ebenso wie Hefendehl-Hebeker den didaktischen

Nutzen externer ikonischer Darstellungen, wie etwa den einer Zeichnung, da sie

„Gedankenexperimente“ ankurbeln und auch fixieren können. Durch sie wird einerseits das

Handeln mit Vorstellungsbildern angeregt und andererseits dieses dokumentiert.

„Darstellungen sind daher Medien mathematischen Denkens im doppelten Sinne:

Medien als Träger von Informationen und Medien als Vermittler zwischen der

Gedankenwelt und der materiellen Welt.“ (Hefendehl-Hebeker, 2010, S. 115)

Visualisierungen als Analyse- und Argumentationsmittel

Peters (1987, S. 28; 1999, S. 2ff) und Kautschitsch (1987, S. 37ff) beschreiben

Visualisierungen als brauchbares Analyse- und Argumentationsmittel. Die Visualisierungen,

angeregt einerseits durch interne, andererseits durch externe Bilder, wurden zu

Bezugspunkten für die mathematischen Argumentationen. Ebenso sollen sie Grundlagen für

Analysen, Vermutungen, Begründungen und Schlussfolgerungen darstellen. Durch

Visualisierungen können inhaltliche mathematische Strukturen und Beziehungen aufgezeigt

und neue Einsichten erschlossen werden.

Ikonische Darstellungen als Ganzes erfassen

Es erweist sich bei diesem Beispiel von Nutzen, dass die verwendeten ikonischen

Darstellungen als Ganzes erfasst werden können. Dadurch ergibt sich laut Kautschitsch

(1987, S. 45) ein großer Vorteil. So können sehr schnell und einfach Beziehungen gefunden

und Zusammenhänge erkannt werden.

Was bedeutet das bei dem genannten Beispiel? Durch das „Hineinsehen“ der Bewegungen

des Punktes C in die ikonische Darstellung wird schnell klar, wie die Längen der Seiten als

auch die Größen der Winkel von seiner Lage abhängig sind.

Barbara Kimeswenger 49


Visualisierung in der Begriffsbildung

Kernaspekte einer effizienten Visualisierung mathematischer Begriffe bzw.

Sachverhalte

Ausgehend von vorherigen Überlegungen möchte ich zwei eigene Kernaspekte formulieren,

die meines Erachtens eine effiziente Visualisierung mathematischer Begriffe bzw.

Sachverhalte fordern (siehe Abbildung 38).

Abbildung 38: Kernaspekte einer effizienten Visualisierung mathematischer Begriffe und

Sachverhalte

Zum einen soll verstanden werden, dass ikonische Prototypen, extern oder intern, als ein

Vertreter eines Begriffs bzw. eines Sachverhaltes stehen. Mit ihnen muss flexibel und

beweglich umgegangen werden, was im Beispiel „Gleichschenkelige Dreiecke mit

mindestens einem 45°-Innenwinkel“ umfassend beschrieben wurde. Zum anderen sollen

ikonische Repräsentationen mit anderen Darstellungsformen in Verbindung gebracht

werden, worauf im Folgenden noch näher eingegangen werden soll.

Barbara Kimeswenger 50


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

6 BEGRIFFSBILDUNG DURCH

TECHNIKUNTERSTÜTZTE VISUALISIERUNGEN

Es soll erneut die schon bekannte Definition (vgl. Kapitel 4.3, S. 22) von Zimmermann und

Cunningham (1991, S. 3) einer mathematischen Visualisierung betrachtet werden:

„Mathematical visualization is the process of forming images (mentally, or with pencil

and paper, or with the aid of technology) and using such images effectively for

mathematical discovery and understanding.“

Diese Definition einer mathematischen Visualisierung spricht ebenso die Möglichkeit an, mit

Hilfe von Technologie zu visualisieren, worauf im folgenden Kapitel näher eingegangen

werden soll.

Abhängig von den zur Verfügung stehenden technischen Möglichkeiten wurde des Öfteren

im Laufe der Geschichte versucht, Bilder, vor allem auch bewegte, in

Begriffsbildungsprozesse von Schülerinnen und Schülern einzubeziehen. Kautschitsch

(1985) plädierte beispielsweise für das Medium Videofilm, das er als geeignetes Mittel zur

Visualisierung in Begriffsbildungsprozessen ansah. Roth (2005, S. 115) betont, dass jedoch

sein großer Nachteil ist, dass es nur beschränkt „entdeckendes Lernen und das Beschreiten

eigener Lernwege“ ermöglicht. So lassen fertig erstellte Videofilme beim Abspielen nur

Eingriffe, wie etwa Vorwärtsspulen, Rückwärtsspulen, schneller und langsamer Laufenlassen

des Bandes, zu.

Heute gewinnt der Einsatz von Computerwerkzeugen (CW) immer mehr an Bedeutung,

worunter dynamische Geometriesoftware (DGS), Tabellenkalkulationsprogramme (TKP) und

Computeralgebra Systeme (CAS) fallen. Des Weiteren soll dynamische Mathematiksoftware

(DMS) erwähnt werden, die in einer einzigen Software sowohl TKP, DGS als auch CAS

inkludiert und sich immer größerer Beliebtheit bei Schülerinnen und Schülern erfreut. Als

Beispiel hierfür soll die kostenlose Unterrichtssoftware GeoGebra genannt werden (vgl.

Vollrath & Roth, 2012, S. 162; Hohenwarter, 2006a, S. 1).

Auch seitens des BMUKK (2012b, S. 3) veröffentlichten Lehrplans der AHS-Oberstufe wird

Technologieeinsatz in den Klassenzimmern gefordert:

„Mathematiknahe Technologien wie Computeralgebra-Systeme, dynamische

Geometrie-Software oder Tabellenkalkulationsprogramme sind im heutigen

Mathematikunterricht unverzichtbar. Sachgerechtes und sinnvolles Nutzen der

Programme durch geplantes Vorgehen ist sicherzustellen. Die minimale Realisierung

besteht im Kennenlernen derartiger Technologien, das über exemplarische Einblicke

hinausgeht und zumindest gelegentlich eine wesentliche Rolle beim Erarbeiten und

Anwenden von Inhalten spielt. Bei der maximalen Realisierung ist der sinnvolle

Einsatz derartiger Technologien ein ständiger und integraler Bestandteil des

Unterrichts.“

Barbara Kimeswenger 51


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

Zusätzlich zu dem sehr eindeutig formulierten Lehrplanausschnitt wird die Forderung von

den Bildungsverantwortlichen BMUKK und BIFIE nach Technologie in österreichischen

Klassenzimmern im Kapitel 3.3 „Standardisierte schriftliche Reifeprüfung mit Technologieteil“

dargelegt.

6.1 Aufbau und Gestaltung von E-Learning-Materialien

Der Einsatz neuer Technologien bringt nicht per se didaktische Vorteile mit sich (vgl.

Hohenwarter, 2006a, S. 9; Roth, 2005, S. 119ff). Die Frage stellt sich, wie Lernumgebungen

aufgebaut bzw. gestaltet sein sollen, sodass sie den Aufbau eigener interner

Repräsentationen bzw. mentaler Vorstellungen bestmöglich unterstützen.

6.1.1 Aufbau von DGS unterstützten Lernumgebungen

Roth (2005, S. 121f) unterscheidet hinsichtlich des Aufbaues angemessener DGS

unterstützter Lernumgebungen drei „Strukturierungs- bzw. Fokussierungshilfe“-Stufen,

wodurch Lernende zum Analysieren und Argumentieren angeregt werden sollen:

Vollständige Konfiguration

Den Lernenden werden Fokussierungshilfen durch Farbgebung, Linienstärken,

Angaben von Messwerten, etc. geboten. Oftmals können Konfigurationen nur

eingeschränkt verändert werden und / oder Möglichkeiten des Ein- bzw.

Ausblendens spezieller Elemente bestehen.

Variierbare (Teil-) Konfiguration

Nur beschränkte Fokussierungshilfen kommen zur Anwendung. Lernende können

bzw. müssen die (Teil-) Konfiguration ergänzen bzw. verändern.

Leere und unstrukturierte DGS-Datei

Um Begriffe, ihre Eigenschaften und Zusammenhänge zu erarbeiten, eignen sich nach Roth

(2005, S. 121ff) sowohl vollständige Konfigurationen, variierbare (Teil-) Konfigurationen als

auch leere, unstrukturierte DGS-Dateien. Dennoch sollen im Entwicklungsprozess des

sogenannten „Beweglichen Denkens“ nach und nach die Strukturierungs- bzw.

Fokussierungshilfen verringert werden. Das Ziel sollte sein, dass Lernende selbst

Konfigurationen mit DGS erstellen, analysieren, damit argumentieren und im Kopf

ablaufendes Bewegliches Denken kontrollieren können. Bis dieser wünschenswerte

Endzustand erreicht wird, müssen den Schülerinnen und Schülern von ihrer Lehrperson

nach Roth zuvor geeignete auf DGS basierte Lernumgebungen mit passenden

Strukturierungs- bzw. Fokussierungshilfen geboten werden.

Barbara Kimeswenger 52


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

Leere und unstrukturierte DGS-Dateien hingegen können nur dann erfolgreich im Unterricht

eingesetzt werden, wenn Lernende bzw. Lehrende über Kenntnisse über die Bedienung des

Programms, wie etwa den Gebrauch der Werkzeuge, verfügen. Vorgefertigte Materialien

fordern im Gegensatz dazu weniger fundiertes Wissen über die Bedienung des Programms

selbst (vgl. Preiner, 2008).

Wie vorgefertigte E-Learning-Materialien, wie etwa dynamische Arbeitsblätter, hinsichtlich

ihrer ikonischen und symbolischen Elemente gestaltet werden sollen, wird im folgenden

Abschnitt geklärt.

6.1.2 Gestaltprinzipien von E-Learning-Materialien nach Clark und Mayer

Clark und Mayer (2002) beschäftigen sich in dem Buch „e-learning and the Science of

Instruction“ sehr intensiv damit, wie E-Learning-Materialien im Generellen gestaltet werden

sollen. Die Gefahr liegt oft darin, dass das Kurzzeitgedächtnis, das nur über eine

eingeschränkte Kapazität verfügt und für das aktive Verarbeiten von neuen Informationen

zuständig ist, überfordert wird. Dazu formulieren Clark und Mayer einige Gestaltprinzipien,

von denen zwei ausgewählte im Rahmen dieser Diplomarbeit vorgestellt werden, die sich mit

dem Zusammenspiel von ikonischen und symbolischen Darstellungen in E-Learning-

Materialien beschäftigen:

Multimedia Prinzip

Multimedia Prinzip

Kontiguitätsprinzip

Das Gestaltprinzip von E-Learning-Materialien namens „Multimedia Prinzip“ nach Clark und

Mayer (2002, S. 51) lautet „use words and graphics rather than words alone“. E-Learning-

Materialien sollen nicht nur gesprochene oder geschriebene Texte, sondern auch geeignete

erklärende Bilder enthalten. Darunter verstehen sie ikonische Darstellungen in

verschiedenster Form wie etwa statische Bilder (Illustrationen, Zeichnungen, Diagramme

oder Fotos), aber auch dynamische Darstellungen (Animationen oder Videos).

Dieses Multimedia Prinzip spricht das „Prinzip der Interaktion der Darstellungsformen“ an

(vgl. Kapitel 2.2, S. 8). So schreiben auch Clark und Mayer (2002, S. 54ff), dass das

Darbieten von Informationen in symbolischer aber auch ikonischer Form den Aufbau

mentaler Modelle in beiden Darstellungsformen fördern und eine Verbindung zueinander

herstellen soll, wodurch intensiver gelernt wird. Wichtig ist jedoch, dass die Bilder nicht nur

zur Dekoration verwendet werden. Tragen sie nicht zum Erklären bei, dann unterstützen

diese keineswegs das Verstehen des Textes und sollten daher weggelassen werden.

Barbara Kimeswenger 53


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

Eine von vielen Studien, die entsprechend dem Multimedia Prinzip belegen, dass besser mit

der Kombination geeigneter Bilder und Texte als nur mit Texten alleine gelernt wird, wurde

von Moreno und Mayer (1999) durchgeführt. Sie entwickelten ein interaktives

mathematisches Computerspiel, das das Addieren und Subtrahieren von ganzen Zahlen

lehren sollte. Während eine Gruppe Schülerinnen und Schüler mit Drill- und

Practiceprogrammen Problemstellungen bearbeiteten, beschäftigten sich Schülerinnen und

Schüler einer zweiten Gruppe mit denselben Aufgabestellungen, wobei zusätzlich jedes

Problem mit einem auf einem Zahlenstrahl hüpfenden Häschen repräsentiert wurde. So

wurde beispielsweise die Problemstellung 2 – (– 3) visualisiert, indem zuerst ein Häschen bei

dem Wert 2 auf dem Zahlenstrahl startete. Dann drehte es sich um, sodass es nach links

zeigte, und hüpfte anschließend drei Schritte rückwärts nach rechts auf den Wert 5 des

Zahlenstrahls. Die Untersuchung ergab, dass diejenigen Schülerinnen und Schüler besser

das Addieren und Subtrahieren von ganzen Zahlen lernten, denen sowohl die symbolische

also auch die ikonische Darstellung der Problemstellungen angeboten wurde, verglichen mit

jenen, denen nur die symbolische dargeboten wurde.

E-Learning-Materialien für den Bereich Mathematik können beispielsweise in Form von

dynamischen Arbeitsblättern mit GeoGebra erstellt werden. Laut dem Entwickler Markus

Hohenwarter (2006b, S. 110) zielt die Gestaltung dieser Software auf das Multimedia Prinzip

nach Clark und Mayer ab:

„GeoGebra berücksichtigt das Multimedia Prinzip auf mehreren Ebenen. Zunächst

einmal bietet die Software selbst die parallele Darstellung mathematischer Objekte

durch Abbildung und Text in Geometrie- und Algebrafenster. Weiters verbinden mit

GeoGebra erstellte dynamische Arbeitsblätter interaktive dynamische Abbildungen

mit beschreibenden Texten und Übungsaufgaben.“

Auf die Interaktion verschiedenster Darstellungsformen in der dynamischen

Mathematiksoftware GeoGebra wird erneut im Zuge dieser Arbeit eingegangen (vgl. Kapitel

6.2.2., S. 57).

Kontiguitätsprinzip

Das zweite Gestaltprinzip nach Clark und Mayer (2002, S. 67), das hier ebenfalls vorgestellt

werden soll, wird „Kontiguitätsprinzip“ genannt und besagt „place corresponding words and

graphics near each other“.

Clark und Mayer (2002, S. 77) begründen dieses Prinzip aus psychologischer Sicht. Sind

zusammengehörige Texte und Bilder nicht nahe platziert, müssen Lesende diese ständig

mental zusammenfügen. Dadurch wird das Gedächtnis unnötig strapaziert, womit eine

Überforderung, ein „cognitive overload“, riskiert wird.

Barbara Kimeswenger 54


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

In welcher Weise GeoGebra zusammengehörige Texte und Bilder nahe zusammen platziert

und somit das Kontiguitätsprinzip berücksichtigt, beschreibt Hohenwarter (2006b, S. 110) wie

folgt:

„Das Kontiguitätsprinzip wurde in GeoGebra folgendermaßen umgesetzt: beim

Bewegen der Maus über ein Objekt wird seine Definition in einem erscheinenden

Textfeld (Tooltip) angezeigt. Beschriftungen wandern beim Ziehen eines Objekts im

Geometriefenster gemeinsam mit den Objekten und können neben dem Namen auch

den Wert eines Objekts (z.B. Länge einer Strecke, Gleichung einer Geraden)

dynamisch anzeigen. Der Text eines Objekts im Algebrafenster und seine graphische

Darstellung im Geometriefenster stimmen farblich überein, damit deutlich sichtbar

wird, welche Darstellungen zusammen gehören.“

Abbildung 39 zeigt ein Beispiel, wie in GeoGebra in einer mathematischen Konstruktion

dazugehörige dynamische Texte integriert werden können. Mit Hilfe des Zugmodus können

die Punkte A, B und C verschoben werden. Gleichzeitig werden die davon abhängigen Texte

angeglichen, weswegen sie auch als „dynamische Texte“ bezeichnet werden (vgl.

Hohenwarter, 2006b, S. 111).

Abbildung 39: Integrierte dynamische Texte hinsichtlich des Kontiguitätsprinzips

(Hohenwarter, 2006b, S. 111)

Bei der Gestaltung eigener Materialien wurde, um das Kontiguitätsprinzip zu berücksichtigen,

darauf geachtet, Texte bzw. symbolische Darstellungen, so auch dynamische, zu ihren

zugehörigen ikonischen Elementen möglichst nahe zu platzieren.

Ein oft begangener Fehler bei der Gestaltung von E-Learning-Materialien ist, Webseiten mit

zu vielen Inhalten füllen zu wollen, sodass gescrollt werden muss, um zusammengehörige

Bilder und Texte gleichzeitig sehen zu können (vgl. Clark und Mayer, 2002, S. 67ff). Es

wurde ebenso bei allen selbst erstellen dynamischen Arbeitsblättern in dieser Diplomarbeit

darauf geachtet, dass der gesamte Inhalt ohne Scrollvorgang betrachtet werden kann.

Barbara Kimeswenger 55


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

6.2 Systematische Variation mit Hilfe von DGS und DMS –

Operative Begriffsbildung

Wie schon in dieser Arbeit des Öfteren geschildert, wird die Meinung vertreten, dass ein

sinnvoller Umgang mit ikonischen Darstellungen vor allem dann gegeben ist, wenn sie nicht

als starre Objekte angesehen werden, sondern mit ihnen flexibel und beweglich

umgegangen wird. Die Forderung nach Beweglichem Denken bzw. veränderbaren Bildern

kann meines Erachtens sehr überzeugend mit Hilfe von Technologie umgesetzt werden. Mit

dem Einsatz vom Computer können Darstellungen vielfältig variiert und Verbindungen zu

anderen aufgebaut werden. Hierzu soll besonders auf dynamische Geometrie- und

dynamische Mathematiksoftware eingegangen werden:

6.2.1 Dynamische Geometriesoftware (DGS)

Nach Roth (2005, S. 12f) kann der Einsatz von dynamischer Geometriesoftware (DGS)

besonders das entdeckende Lernen unterstützen. Dadurch können sehr einfach

Visualisierungen realisiert und auch dynamisch verändert werden. Obwohl dynamische

Geometriesoftware mittlerweile Einzug in den Klassenräumen findet, kritisiert Gawlick (2005,

S. 242), dass sich die Anwendungen größtenteils auf bloßes Illustrieren bzw. Verifizieren

beschränken. Er betont jedoch, dass das Potential von dynamischer Geometriessoftware

nur voll und ganz ausgeschöpft wird, wenn sie auch als Werkzeug zur Erkenntnisgewinnung

benutzt wird.

Dynamische Geometriesoftware (DGS) wird vor allem durch ihren Zugmodus

gekennzeichnet, womit freie Punkte mit der Maus gesteuert bzw. verändert und davon

abhängige Objekte angeglichen werden können. Daraus ergeben sich einige Möglichkeiten

bzw. Vorteile für Lernende:

Schnelle Betrachtung vieler verschiedener Fälle

Schnelle und einfache Überprüfbarkeit von Vermutungen

Gezieltes Darstellen von Spezialfällen oder Gegenbeispielen

Entdecken von Invarianten bzw. Veränderungen (vgl. Elschenbroich, 2005a, S.

77)

Durch den Einsatz des Zugmodus können sogenannte dynamische Visualisierungen

erstellt werden. Sie unterscheiden sich grundlegend von einem einzelnen, statischen Bild,

das einen beliebigen, aber festen Sachverhalt darstellt (vgl. Danckwerts & Vogel, 2003, S.

21). Elschenbroich (2005a, S. 77) beschreibt dynamische Visualisierungen als

kontinuierliche Bildfolgen, welche mit einem DGS erstellt wurden und interaktiv variiert

werden können. Starre Einzelbilder zeigen einen einzelnen prototypischen „Schnappschuss“

in einer bestimmten Lage. Im Vergleich dazu können dynamische Visualisierungen von

Barbara Kimeswenger 56


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

Lernenden beliebig verändert werden, sodass mathematische Begriffe und Sachverhalte

allgemeiner, nicht auf einen speziellen Fall fixiert, erarbeitet werden können.

Dynamisches Arbeiten kann in DGS nicht nur mittels des Zugmodus, sondern auch durch die

Verwendung von Schiebereglern unterstützt werden. Durch ihren Einsatz können

Veränderungen von Parametern gesteuert werden, die sich z.B. auf geometrische

Konfigurationen auswirken (vgl. Elschenbroich, 2005b, S. 142).

6.2.2 Dynamische Mathematiksoftware (DMS)

Dynamische Mathematiksoftware (DMS) inkludiert in einem Paket sowohl TKP, DGS als

auch CAS und scheint daher optimal, um Verbindungen zwischen verschiedenen

Repräsentationen zu schaffen.

Zusammenspiel verschiedener Darstellungsformen mit GeoGebra

Durch den Einsatz von dynamischer Mathematiksoftware kann die Möglichkeit geboten

werden, dass verschiedene Darstellungsformen eines mathematischen Objekts miteinander

interaktiv agieren und dynamisch verbunden sind. Besonders GeoGebra unterstützt nach

Vollrath und Roth (2012, S. 169) das „Prinzip der Interaktion der Darstellungsformen“ auf

eine sehr gelungene Art und Weise, welches auch der Entwickler Hohenwarter (2006b, S.

18) als Kernidee dieses Softwarepakets nennt.

Abbildung 40: Interaktion der Darstellungsformen mit Hilfe von GeoGebra (Hohenwarter,

2006b, S. 24)

Hohenwarter (2006b, S. 24f) beschreibt dieses Zusammenspiel der verschiedenen

Darstellungsformen (siehe Abbildung 40): Zum einen wird von GeoGebra ein Algebrafenster

Barbara Kimeswenger 57


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

zur Verfügung gestellt, das Koordinaten, Gleichungen und auch Zahlenwerte anzeigen kann

und durch seine symbolische Darstellungsform charakterisiert wird. Zum anderen bietet ein

ikonisch repräsentiertes Geometrie-und Grafikfenster der Software die Konstruktion der

jeweiligen Objekte an. Diese beiden Darstellungen sind miteinander gekoppelt, d.h.

dynamisch verbunden, siehe Abbildung 40. Sobald in dem Geometrie- und Grafikfenster

beispielsweise ein Kreis konstruiert wird, wird die zugehörige Gleichung im Algebrafenster

gleichzeitig angezeigt. Mit der Maus oder auch Tastatur können Lernende aktiv

mathematische Objekte erzeugen und auch beeinflussen, welches die enaktive

Darstellungsform abdeckt. Somit unterstützt GeoGebra alle drei Darstellungsformen des E-I-

S-Prinzips.

„Die beiden Darstellungsformen geben dem Lerner einerseits direkte Rückmeldungen

über das von ihm erstellte Modell. Andererseits kann er das Modell auch über beide

Repräsentationsarten beeinflussen: ikonisch mit der Maus und symbolisch über die

Tastatur. Diese Möglichkeit der Manipulation des Modells über zwei unterschiedliche

Darstellungsarten zeichnet GeoGebra aus und unterscheidet es von klassischen

dynamischen Geometrieprogrammen und Computeralgebra Systemen. In einem

Computeralgebra System ist die Manipulation des Modells nur über die symbolische

Darstellung möglich, in einem dynamischen Geometrieprogramm nur über die

ikonische.“ (vgl. Hohenwarter, 2006b, S. 25)

Die aktuelle Version, GeoGebra 4, beinhaltet noch mehr Fenster bzw. Ansichten: Zusätzlich

zur Algebra- und Grafik- wird ebenso eine Tabellenansicht zur Verfügung gestellt (vgl.

Hohenwarter & Hohenwarter, 2012, S. 144ff).

6.2.3 Operative Begriffsbildung durch systematische Variation

Laut Vollrath und Roth (2012, S. 239) spielt in der Begriffsbildung vor allem „systematische

Variation“ eine wichtige Rolle.

„Beim Sammeln von Erfahrung, beim Darbieten von Objekten, beim Entdecken von

Merkmalen, beim Erarbeiten von Definitionen und natürlich bei der kritischen

Reflexion eines Begriffs spielt die systematische Variation eine entscheidende Rolle“

(Vollrath & Roth, 2012, S. 239)

Hierbei wird, wie die Bezeichnung schon verrät jeweils ein Aspekt variiert, wie etwa ein

Parameter, eine Eigenschaft, die Darstellungsform oder die Definition zum Beispiel. Durch

den Zugmodus oder den Einsatz von Schiebereglern können in DGS erstellte dynamischen

Visualisierungen gezielt Änderungen realisiert werden. Durch diese Computerwerkzeuge

können Einflussgrößen, z.B. Längen, Winkelgrößen, Zahlenwerte, einfach verändert werden.

Besonders Schieberegler eignen sich auch dazu, Variationsmöglichkeiten bewusst

einzuschränken. Dadurch, dass sie DGS, TKP und CAS in einer Software enthält,

ermöglicht der Einsatz von DMS eine Variation und Interaktion von verschiedenen

Darstellungsformen (E-I-S).

Barbara Kimeswenger 58


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

Wie der Einsatz von DGS und DMS systematische Variation in Begriffsbildungsprozessen

unterstützen kann, soll mit folgender Grafik zusammenfasst werden:

Abbildung 41: Grafik zur systematischen Variation mit Hilfe von DGS und DMS

In der „Systematischen Variation“ sollen nach Vollrath und Roth (2012, S. 239) folgende

Punkte beachtet werden:

Lernende sollen sich bewusst werden, welche Änderung erzwungen wurde.

(Z.B. welcher Parameter oder welche Eigenschaft wurde variiert)

Diese resultierenden Änderungen sollen beachtet und ausführlich reflektiert

werden.

Lernende sollen Invarianten erkennen und analysieren.

Grenzfälle bzw. Extremfälle sollen bewusst erzeugt und untersucht werden.

Die gewonnen Ergebnisse sollen gesichert werden.

Barbara Kimeswenger 59


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

Operative Begriffsbildung mit Hilfe von DGS und DMS

Roth (2005, S. 100) unterstreicht sein Anliegen, sich im Mathematikunterricht um das

Verständnis mathematischer Inhalte zu bemühen. Dazu gehört, dass mathematische Begriffe

und Sachverhalte nicht unreflektiert hingenommen werden, sondern zu hinterfragen und zu

untersuchen sind. Dabei spricht er auch das operative Prinzip mit der der Kernfrage „Was

geschieht, wenn …?“ an, die leitgebend für die Herangehensweise beim Arbeiten mit DGS

sein kann. Vor allem das Argumentieren hinblickend auf wahrnehmbare Veränderungen soll

zum Verständnis beitragen und „Bewegliches Denken“ fördern.

„Verändern, dies sei hier noch einmal betont, ist kein Selbstzweck, sondern es geht

mir um die reflektierte Auseinandersetzung mit Veränderungen und ihren

Konsequenzen.“ (Roth, 2005, S. 100)

Schülerinnen und Schülern fällt es des Öfteren schwer, mit Änderungsverhalten

umzugehen, und sogar manche Maturandinnen und Maturanden haben Schwierigkeiten,

Argumentationen davon ableiten zu können, so Roth (2005, S. 107ff). Er begründet diese

Umstände durch den sehr späten Einbezug dieser Thematik im Mathematikunterricht, häufig

sogar erst in der Oberstufe im Zusammenhang mit Differentialrechnung und

Extremwertproblemen. Im Sinne des Spiralprinzips und der Berücksichtigung der

Entwicklung von Verständnisgrundlagen sollen aber Änderungsverhalten eher angesprochen

werden.

Roth (2005, S. 110) rät, besonders am Anfang der Beschäftigung mit Änderungsverhalten

DGS zu gebrauchen, womit dynamische Visualisierungen erstellt werden können.

Veränderungen und Bewegungen können damit von den Lernenden selbst gesteuert und

erforscht werden.

Der Großteil der mit DGS selbst erstellten dynamischen Arbeitsblätter in dieser Diplomarbeit

orientiert sich an der operativen Frage „Was geschieht, wenn…?“.

„Was geschieht, wenn …?“-Fragen im Sinne des operativen Prinzips könnten beim

Entdecken der Invarianten mit Hilfe einer dynamischen Visualisierung in Falle des

Umkreismittelpunktes (siehe

Abbildung 42) wie folgt lauten: Was geschieht mit dem Umkreismittelpunkt, wenn das

Dreieck spitzwinkelig, stumpfwinkelig bzw. rechtwinkelig ist?

In dem in

Abbildung 42 dargestelltem Dreieck können seine Eckpunkte durch den Zugmodus beliebig

verändert werden. So sollen Schülerinnen und Schüler nach Hohenwarter (2006a, S. 6)

folgendes erkennen:„die Eigenschaft, dass der Umkreismittelpunkt innerhalb bzw. außerhalb

Barbara Kimeswenger 60


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

des Dreiecks liegt, ist für spitzwinkelige bzw. stumpfwinkelige Dreiecke invariant. Im

Grenzfall des rechtwinkeligen Dreiecks liegt der Umkreismittelpunkt auf der Hypotenuse.“

Abbildung 42: Umkreismittelpunkt (vgl. Hohenwarter, 2006a, S. 4)

Auch nach Hohenwarter (2006b, S. 28f) können Computerwerkzeuge, wie etwa die

dynamische Mathematiksoftware GeoGebra, wertvolle Beiträge hinsichtlich einer

Unterrichtsgestaltung zur Umsetzung des operativen Prinzips leisten:

„Das auf der genetischen Erkenntnistheorie von Piaget basierende operative Prinzip

stellt enaktives Lernen in den Vordergrund. Wissenserwerb erfolgt primär nicht durch

Zuschauen oder Nachahmen, sondern durch vielfältiges Operieren mit Objekten.

Neue Technologien wie GeoGebra bieten neue Möglichkeiten eines ikonischen und

symbolischen Umgangs mit graphischen Darstellungen, geometrischen

Konstruktionen und mathematischen Symbolen. Insbesondere kann so

Fragestellungen der Art Was passiert . . .wenn . . . ? durch experimentelles Arbeiten

nachgegangen und das Ausbilden von Begriffsvorstellungen gefördert werden.“

Vergleich der operativen Begriffsbildung mit der Begriffsbildung durch Beispiele und

Gegenbeispiele

Roth und Wittmann (2009, S. 125f) vergleichen zwei Arten der Begriffsbildung von

Figurenbegriffen hinsichtlich Abstraktions- und Verallgemeinerungsprozessen, (welche auch

schon im Kapitel 5 „Visualisierung in der Begriffsbildung“ nach Holland angeführt wurden):

„Lernen durch Beispiele und Gegenbeispiele“

„Operative Begriffsbildung

Beim „Lernen durch Beispiele und Gegenbeispiele“ steht nach Roth und Wittmann (2009, S.

125f) das Beobachten im Vordergrund. Wesentliche Merkmale eines Begriffs werden durch

die Betrachtung von vorgelegten Prototypen gewonnen (vgl. Abbildung 43).

Barbara Kimeswenger 61


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

Abbildung 43: Lernen der Begriffe "Rechteck" und "Quadrat" durch Beispiele (vgl. Roth &

Wittmann, 2009, S. 125)

Durch das Vergleichen und Beschreiben werden nach Roth und Wittmann (2009, S. 125f)

Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Beispiele bzw. Gegenbeispiele erschlossen. So

werden die Begriffe vorwiegend mit der bildlichen Vorstellung der Prototypen in

Zusammenhang gebracht. Durch diese Art der Begriffsbildung, werden oft „innere Bezüge“

des Begriffs in den Hintergrund gedrängt und die „äußeren“ von den Schülerinnen und

Schülern fokussiert (vgl. Kapitel 5.2.1 „Prototypen“, S. 30).

Die „operative Begriffsbildung“ zeichnet sich dadurch aus, dass Begriffe durch ausgeführte

Handlungen gelernt werden. Dies wird nach Roth und Wittmann (2009, S. 125f) als

leistungsfähiger, verglichen mit dem „Lernen durch Beispiele und Gegenbeispiele“,

beschrieben. Ein Grund dafür ist, dass der Fokus stärker auf innere Bezüge gelegt wird und

Begriffe dadurch besser in ihre Begriffshierarchien bzw. Begriffsnetze eingeordnet werden

können. Nach Roth und Wittmann (2009, S. 126) treten bei der „operativen Begriffsbildung

seltener Denkfehler wie „Es ist kein Rechteck, sondern ein Quadrat“ auf.

Ebenso plädiert Kautschitsch (1988, S. 198) dafür, im Mathematikunterricht Begriffe durch

Abstraktions- bzw. Verallgemeinerungsprozesse ausgehend von Handlungen, also

„operative Begriffe“, zu bilden. Auch Dörfler (1984, S. 53), der vorschlägt, den Begriff Kreis

zu erforschen, indem dieser mit Hilfe eines Fadens und Bleistifts konstruiert wird, wobei der

gezeichnete Kreisumfang als Visualisierungsmittel dient, spricht durch diese

Vorgehensweise ebenso eine „operative Begriffsbildung“ an.

Roth und Wittmann (2009, S. 125f) wollen jedoch auf keinen Fall vorschlagen, auf

Begriffsbildung durch das Darbieten von Beispielen und Gegenbeispielen vollkommen zu

verzichten. Viel mehr weisen sie darauf hin, die beiden genannten unterschiedlichen Arten

der Begriffsbildung ergänzend einzusetzen.

Barbara Kimeswenger 62


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

6.3 Mit DGS erstellte dynamische Visualisierungen

Im vorherigen Abschnitt wurde die Chance für den Unterricht beschrieben, wie durch den

Einsatz von DGS ikonische Darstellungen variiert und somit Begriffe und Sachverhalte

erforscht und operativ gebildet werden können. Im Folgenden sollen dem Computer

Eigenschaften zugeordnet werden, die hinsichtlich der mathematischen Begriffsbildung

relevant erscheinen:

Computer als Medium für Prototypen

Computer als Bereicherung aus semiotischer Sicht

Operieren am Computer als Zwischenschritt zwischen praktischen und

verinnerlichten Handlungen

Computer als „kognitives Werkzeug und kognitives Medium“

Schlussendlich soll eine Unterrichtsidee zum Thema „Haus der Vierecke“ beschrieben

werden, die einige mit DGS erstellte dynamische Arbeitsblätter enthält.

6.3.1 Computer als Medium für Prototypen

Wie schon im Unterabschnitt 5.2.1 beschrieben, spielen Prototypen in der Begriffsbildung

eine wichtige Rolle, worauf sich viele kognitive Prozesse beziehen. Dörfler (1991) betont,

dass durch sie Eigenschaften eines Begriffs abgelesen und andere durch Operieren,

Manipulieren und Transformieren mit ihnen erschlossen werden können. So soll ein Prototyp

als ein Vertreter des jeweiligen Begriffs bzw. der jeweiligen Klasse angesehen werden.

Durch Operieren, Manipulieren und Transformieren an einem Prototyp soll das Prototypische

klar werden.

Eine im Unterabschnitt 5.2.1 beschriebene Untersuchung von Hershkowitz zeigt, dass

Schülerinnen und Schüler und sogar Lehrerinnen und Lehrer Schwierigkeiten haben,

Prototypen geometrischer Figuren zu erkennen, die sich von den gängigen Lagen oder

Orientierungen aus Schulbüchern etc. unterscheiden. Des weiteren wurde erläutert, dass

mathematische Begriffe, im Besonderen Figuren oder Körper, vorwiegend durch ihre

internen Bezüge“, wie zum Beispiel Seiten-, Winkel-, Diagonalen- oder

Symmetrieeigenschaften, charakterisiert werden. Wird Schülerinnen und Schülern eine

prototypische Darstellung (siehe Abbildung 24) eines Begriffs präsentiert, werden

hauptsächlich „externe Bezüge“, wie etwa Parallelität zwischen Seiten und Blattrand,

fokussiert und so passiert es, dass ein auf der Spitze stehendes Quadrat nicht als solches,

sondern „nur“ als Raute identifiziert wird.

Fehlvorstellungen durch die Orientierung an externen Bezügen können durch den operativen

Umgang mit DGS erstellten dynamischen Visualisierungen (siehe Abbildung 44) vermieden

werden. Sie erlaubt es, Schülerinnen und Schülern die blau markierten Eckpunkte A und B

Barbara Kimeswenger 63


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

mittels des Zugmodus frei zu verändern. Somit können Lage, Größe und Orientierung des

Quadrats beliebig variiert werden. Charakterisierende Merkmale können erforscht und von

jenen, wie Elschenbroich (2005a, S. 77) hervorhebt, die sich durch den zufälligen

Schnappschuss eines Prototypen ergeben, leichter unterschieden werden.

Abbildung 44: Experimentieren an einem Quadrat

Elschenbroich (2005a, S. 78) betont die Vorteile dynamischer Visualisierungen gegenüber

starren Einzelbildern und die Wichtigkeit, mit DGS in den Klassen zu arbeiten:

„Lernende verfügen […] in der Regel noch nicht über die Fähigkeit, im Besonderen

das Allgemeine und anhand einer einzelnen Zeichnung im Kopf eine Zugfigur zu

sehen, sie müssen dies durch entsprechende eigene Erfahrungen erst aufbauen.“

Dörfler (1991, S. 68) streicht ebenso hervor, dass durch dieses Operieren, Manipulieren und

Transformieren am Prototyp erkannt werden soll, welche Eigenschaften in allen Lagen oder

Veränderungen invariant bleiben und daher für den Begriff charakteristisch sind.

So sollen, um sich auf Abbildung 44, die drei Screenshots der dynamischen Visualisierung

darstellt, zu beziehen, durch die Veränderungen des dynamischen Prototypen eines

Quadrats seine invarianten Eigenschaften erkannt werden, wie etwa, dass seine vier Seiten

des Vierecks gleich lang sind und seine Innenwinkel 90° betragen.

Dörfler (1991, S. 68) begründet die Tatsache, dass bisher das Operieren an

gegenständlichen Prototypen eher vernachlässig wurde, damit dass bislang kein geeignetes

Medium dafür zur Verfügung stand. Erst durch den Computer können sehr einfach vielfältige

ikonische (aber auch symbolische) Darstellungen von Prototypen erzeugt werden, womit

operativ umgegangen werden kann, die ohne seine Hilfe nur mit sehr großem Aufwand mit

„materiellen Mitteln“ realisiert werden könnten. So nennt Dörfler den Computer als

„Medium für das operative und effektive Umgehen mit gegenständlichen Prototypen“,

der als „Vermittler zwischen Subjekt und Gegenstand“ dient. Durch vom Computer erstellte

Prototypen kann das Denken in Prototypen erleichtert und gefördert werden. Meines

Erachtens können die Gedanken Dörflers, die er 1991 formulierte, auch in das 21.

Jahrhundert übertragen werden. Gerade durch Computerwerkzeuge wie DGS oder DMS

wird dieser operative Umgang mit gegenständlichen Prototypen durch den Einsatz von

Zugmodus und Schiebereglern unterstützt.

Barbara Kimeswenger 64


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

6.3.2 Computer als Bereicherung aus semiotischer Sicht

In der Semiotik wird nach Dörfler (2006) vor allem die Bedeutung von Inskriptionen, d.h. von

externen ikonischen oder symbolischen Darstellungen als Mittel der Erkenntnisgewinnung

betont. Diese werden oft unter dem Begriff „Diagramm“ subsumiert, der sich eindeutig von

seinem umgangssprachlichen Gebrauch, der sich nur auf geometrische oder bildhaft figurale

Grafiken bezieht, unterscheidet.

Werden durch das Experimentieren mit diesen erstellten Darstellungen neue Erkenntnisse

erschlossen, indem Beobachtungen in allgemeinen Begriffen formuliert werden, wird dies als

„Diagrammatisches Schließen“ bezeichnet. Dieser Begriff stammt von dem

Naturwissenschaftler und Philosophen Peirce, 1893 – 1914, der „Diagrammatisches

Schließen“ als die wichtigste mathematische Erkenntnistätigkeit ansah (vgl. Hefendehl-

Hebeker, 2010, S. 118).

Diese Diagramme können ikonische oder symbolische Repräsentationen sein und sie folgen

in irgendeiner Weise einem Regelsystem. Sie können auf Papier oder zum Beispiel mit dem

Computer erstellt werden. Diagramme sollen als Forschungsobjekte angesehen werden.

Sie eignen sich zum Experimentieren und anschließende Beobachtungen, sollen auf ihre

Gültigkeit überprüft und danach gesichert werden. Diese Vorgänge werden nach Perice als

das „Diagrammatische Denken“ bezeichnet (vgl. Dörfler, 2006).

Wichtig aus Dörflers (2006) Sicht ist, dass der gängigen Meinung der breiten Bevölkerung

entgegengewirkt wird, die besagt, „Mathematik = abstrakt = schwierig“ und daher alles

andere als sinnlich wahrnehmbar, sichtbar, angreifbar, vorzeigbar, kommunizierbar oder

vermittelbar. Diagramme bzw. externe Darstellungen ermöglichen bedeutende Zugänge:

Durch sie kann Mathematik wahrnehmbar, sichtbar, angreifbar, vorzeigbar, kommunizierbar

und vermittelbar werden.

„Diagramme sind also ein ‚Ersatz‘ für die abstrakten Objekte. Und mathematische

Tätigkeit wird zu einer sinnlich-empirischen und nicht bloß mentalen, nämlich mit den

Inskriptionen als Diagrammen“ (Dörfler, 2006, S. 211)

Die skizzierte semiotische Sichtweise ist dem operativen Prinzip sehr ähnlich, wie auch

Dörfler (2006, S. 213) und Hefendehl-Hebeker (2010, S. 117) schreiben.

Laut Hefendehl-Hebeker (2010, S. 118f) werden aus semiotischer Perspektive die neuen

Möglichkeiten des Computers besonders geschätzt, die das Darstellen und Experimentieren

in der Mathematik auf eine vielfältigeWeise gestatten. Computerwerkzeuge wie TKP, DGS,

aber auch interaktive Arbeitsblätter, Simulationssoftware etc. gelten als besondere

Bereicherungen im Mathematikunterricht. Der Computer unterstützt das „diagrammatische

Schließen“ in mannigfaltiger Art und Weise, indem zum einen unzählige Chancen zum

Experimentieren geschaffen werden. Zum Beispiel können geometrische Konstruktionen

beliebig variiert oder unzählige Daten in Wertetabellen erzeugt werden. Zum anderen

Barbara Kimeswenger 65


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

können durch den Computer den Lernenden mehrere Darstellungen gleichzeitig aufgezeigt

werden, die einen Erkenntnisgewinn aus semiotischer Perspektive fördern können.

6.3.3 Operieren am Computer als Zwischenschritt zwischen praktischen und

verinnerlichten Handlungen

Handlungen, die üblicherweise an realen Objekten oder in der Vorstellung vor dem geistigen

Auge stattfinden, können jetzt am Bildschirm realisiert werden, so Elschenbroich (2005a, S.

77). Dadurch kann der Aufbau eigener innerer Bilder bzw. Visualisierungen besser und

konkreter gefördert werden.

So kann dieses Operieren am Computer als Zwischenschritt zwischen den praktischen, aber

oft sehr eingeschränkten, und den verinnerlichten, vor dem geistigen Auge stattfindenden,

Handlungen betrachtet werden (vgl. Elschenbroich, 2005a, S. 77; Barzel, Hußmann &

Leuders, 2005, S. 211f).

Beispiel Flächeninhalt Trapez

Das folgende Beispiel soll zeigen, wie durch das Operieren mit dynamischen

Visualisierungen, durch den flexiblen und beweglichen Umgang mit der Fläche des Trapezes

seine Flächeninhaltsformel erschlossen werden kann. Es kann unter

http://idmthemen.pbworks.com/Visualisierung aufgerufen werden.

Rahmenbedingungen

Dieses dynamische Arbeitsblatt soll in der 2. Klasse oder 3. Klasse Unterstufe in der

Erarbeitungsphase eines Trapezes bzw. seiner Flächeninhaltsformel zum Einsatz kommen.

Der von BMUKK (2012a, S. 6) veröffentlichte Lehrplan fordert in der 2. Klasse, dass

Schülerinnen und Schüler „Flächeninhalte von Figuren berechnen können, die sich durch

das Zerlegen oder Ergänzen auf Rechtecke zurückführen lassen“. In der 3. Klasse

Unterstufe wird vorgeschrieben, dass Formeln für Flächeninhalte von Vierecken behandelt

werden sollen (vgl. BMUKK, 2012a, S. 7).

Barbara Kimeswenger 66


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

Abbildung 45: Dynamisches Arbeitsblatt zum Flächeninhalt eines Trapezes

Die dynamische Visualisierung auf dem Arbeitsblatt (siehe Abbildung 45) wurde mit

GeoGebra erstellt und zeigt ein Trapez. Sowohl die Längen der parallelen Seiten a und c als

auch die Höhe h können mit Hilfe von Schiebereglern variiert werden (siehe Abbildung 46a).

Somit kann der zu sehende Prototyp eines Trapezes vielfältig manipuliert und transformiert

werden. Unterhalb des Applets stehen Aufgabenstellungen für Schülerinnen und Schüler.

Abbildung 46a: Verschiedene Trapeze

Durch den Schieberegler „Drehe das Trapez“ kann, wie seine Bezeichnung schon verrät,

eine Kopie des zu sehenden Trapezes bewegt und bis zu 180° gedreht werden (siehe

Abbildung 46b).

Abbildung 46b: Trapez drehen

Barbara Kimeswenger 67


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

Nach einer 180°-Drehung ergeben die beiden Trapeze zusammen ein Parallelogramm (siehe

Abbildung 46c). Ebenso erscheint ein weiterer Schieberegler namens „Verschiebe das

Dreieck“, womit ein Teil des ersten Trapezes nach rechts geschoben werden kann.

Abbildung 46c: Das Dreieck, einen Teil des ersten Trapezes, verschieben

Abbildung 46a bis Abbildung 46c: Flächeninhaltsformel Trapez

Durch die Steuerung der dynamischen Visualisierung mittels Schiebereglern, wodurch die

Figuren verändert und bewegt werden können, kann hergeleitet werden, dass die

Flächeninhaltsformel eines beliebigen Trapezes wie folgt lautet:

Dieses „Operieren am Computer als Zwischenschritt zwischen praktischen und

verinnerlichten Handlungen“ hat vor allem folgendes Ziel: Schülerinnen und Schüler sollen

ähnliche eigene bewegliche innere Bilder bzw. Visualisierungen zur Flächeninhaltsformel

eines Trapezes aufbauen, wodurch diese begreifbar gemacht werden.

Barbara Kimeswenger 68


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

Diese sollen immer abgerufen werden können, wenn sie mit der Formel (symbolische

Darstellungsform) eines Trapezes konfrontiert werden (vgl. Kapitel 2.2.1 „Prinzip der

Verinnerlichung und Verzahnung der Darstellungsformen“, S. 8).

6.3.4 Computer als „kognitives Werkzeug und kognitives Medium“

Schon Dörfler (1991) bezeichnet den Computer als „kognitives Werkzeug“ bzw. „kognitives

Medium“. Seiner Meinung nach kann sich Kognition nicht nur im Kopf sondern auch am

Computer abspielen, dem eine wesentliche Funktion beim Denken übertragen werden kann.

Schülerinnen und Schüler stoßen beim mentalen Operieren oft, zum Beispiel bei

Lösungsprozessen bei komplexen Aufgabestellungen, an ihre Grenzen. So besteht durch

den Computer die Möglichkeit, das Vorstellungsvermögen zu einem gewissen Grad an ihn

auszulagern, so wie es auch bei anderen physikalischen Modellen gemacht wird. So bleibt

laut Dörfler die Kognition nicht nur mental, sondern wird durch das „kognitive Werkzeug“

Computer erweitert.

Auch nach dem Lehrplan der AHS-Unterstufe sollte den Schülerinnen und Schülern schon

ab der 1. Klasse die Möglichkeit gegeben werden, „ihr Vorstellungsvermögen auch

computerunterstützt zu schulen“ (BMUKK, 2012a, S. 4).

So wie auch schon Dörfler (1991, S. 69) bezeichnet Roth (2005, S. 129ff) den Computer als

„Denkwerkzeug“. So können komplexe Problemstellungen, die im Kopf nur sehr schwer

vorstellbar sind, durch dynamische Visualisierungen dargestellt werden. Dadurch, dass

durch den Rechner einiges abgenommen wird, folgt eine Entlastung des Gedächtnisses. So

müssen beispielsweise Gesamtkonfigurationen nicht ständig mental präsent sein, sondern

werden durch den Computer zur Verfügung gestellt. Durch geeignete Fokussierungshilfen

(vgl. Kapitel 6.1.1 „Aufbau von DGS unterstützten Lernumgebungen“, S. 52) können sich

Schülerinnen und Schüler durch die Entlastung des kognitiven Bereichs auf wesentliche

Aspekte konzentrieren. Somit können sie sich hinsichtlich des Beweglichen Denkens auf das

Interpretieren, Analysieren und Argumentieren konzentrieren.

6.3.5 Haus der Vierecke

Wie der Einsatz von DGS von Nutzen sein kann, soll im Beispiel „Haus der Vierecke“

beschrieben werden. Es soll zeigen, welche Beiträge dynamische Visualisierungen zum

Aufbau eines integrierten Begriffsverständnisses (vgl. Kapitel 5.3 „Beziehungen“, S. 39)

Barbara Kimeswenger 69


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

leisten können. Wie können Beziehungen erkannt und Zusammenhänge hergestellt werden?

Wie kann ein Begriffsnetz zum Begriff Viereck 7 aufgebaut werden, das auftretende

Hierarchien klärt und als „Haus der Vierecke“ bezeichnet wird? Ebenso soll durch den

Einsatz folgender Materialien das Definieren jeweiliger Viereckstypen durch die Spezifikation

eines schon erlernten Oberbegriffs erleichtert werden.

Als Anstoß dienten die Dissertation „Bewegliches Denken“ (vgl. Roth, 2005), das Buch

„Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe“ (vgl. Vollrath & Roth, 2012)

bzw. die dynamischen Arbeitsblätter unter http://www.juergen-

roth.de/dynageo/vierecke/viereck_begriffshierarchie.html (vgl. Roth, 2009c).

Rahmenbedingungen

Folgende Unterrichtsidee ist für die 2. Klasse angedacht worden. Der Lehrplan bezüglich

dieser Klasse inkludiert das Untersuchen von Vierecken, das Feststellen ihrer wesentlichen

Eigenschaften, das Skizzieren und das Konstruieren ihrer Figuren (vgl. BMUKK, 2012a, S.6).

Da diese Unterrichtsidee dazu beitragen soll, dass Schülerinnen und Schüler die

Zusammenhänge zwischen den Viereckstypen erkennen bzw. analysieren können, soll sie in

die von Vollrath und Roth formulierten Phase der Vertiefung eingeordnet werden (vgl. Kapitel

5.3 „Beziehungen“, S. 39).

Als Vorwissen sollen Schülerinnen und Schüler über verschiedene Viereckstypen, im

Besonderen über das „Drachenviereck“, das „Parallelogramm“, das „Quadrat“, die „Raute“,

das „Rechteck“ und das „Trapez“, Bescheid wissen (vgl. Roth, 2009c).

Dynamisches Arbeitsblatt „Haus der Vierecke“

Als Grundlage dient das dynamische Arbeitsblatt „Haus der Vierecke“ (vgl. Abbildung 48). Es

kann unter http://idmthemen.pbworks.com/Visualisierung aufgerufen werden.

Mittels der Schieberegler 1 bis 6 können Änderungen am Viereck erzwungen werden. (Zieht

man einen Schieberegler ganz nach rechts, erscheint der nächste Viereckstyp).

Zusätzlich zum Variieren der dynamischen Visualisierung eines Vierecks sollen Schülerinnen

und Schüler Fragen beantworten, die sich besonders auf Änderungsverhalten von Winkeln,

Seitenlängen bzw. Lagen von Eckpunkten beziehen.

7 Hierbei wird stets Bezug auf ein konvexes Viereck genommen.

Barbara Kimeswenger 70


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

„Wichtig dabei ist insbesondere, dass man sich anschließend Rechenschaft über die

Art der Variation und die sich daraus ergebenden Veränderungen und Invarianten der

Konfiguration geben kann. Andernfalls ist die Variation für die Begriffsbildung

wertlos!“ (Vollrath & Roth, 2012, S. 239)

Um die Fragen „elegant“ mit geeigneten Bezeichnungen beantworten zu können, erscheint

es hilfreich, die vereinbarte Beschriftung der Winkeln, Eckpunkten und Seiten eines Vierecks

zu wiederholen:

Abbildung 47: Beschriftung eines Vierecks

Nachdem die Beschriftung eines Vierecks aufgefrischt wurde, sollen die Schülerinnen und

Schüler folgendes dynamisches Arbeitsblatt bearbeiten:

Abbildung 48: Dynamisches Arbeitsblatt zum Haus der Vierecke (vgl. Roth, 2009c)

Barbara Kimeswenger 71


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

Die Übergänge zu den verschiedenen Viereckstypen sollen in folgenden Screenshots

gezeigt werden:

Abbildung 49a: Übergang vom „allgemeinen“ Viereck zum Trapez

Abbildung 49b: Übergang vom „allgemeinen“ Trapez zum Parallelogramm

Abbildung 49c: Übergang vom „allgemeinen“ Parallelogramm zum Rechteck

Abbildung 49d: Übergang vom „allgemeinen“ Rechteck zum Quadrat

Abbildung 49e: Übergang vom Quadrat zur „allgemeinen“ Raute

Abbildung 49f: Übergang von der Raute zum „allgemeinen“ Drachenviereck

Abbildung 49a bis Abbildung 49f: Übergänge der Viereckstypen (vgl. Roth, 2005, S. 90)

Barbara Kimeswenger 72


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

Durch das Arbeiten mit dem dynamischen Arbeitsblatt (Abbildung 48) und das Beantworten

der Fragen sollen Schülerinnen und Schüler die Hierarchie der Viereckstypen, wie in

Abbildung 50 dargestellt, erkennen und zugehörige Definitionen niederschreiben.

Abbildung 50: Haus der Vierecke (vgl. Roth, 2005, S. 93)

Dieses Haus der Vierecke kann von unten nach oben gelesen werden. Zum Beispiel: Jedes

Quadrat ist eine Raute, ein Drachenviereck bzw. ein Viereck. Gleichzeitig gilt auch, dass

Barbara Kimeswenger 73


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

jedes Quadrat ein Rechteck, ein Parallelogramm bzw. ein Trapez ist. Aber es stimmt

beispielsweise nicht, dass jedes Rechteck ein Quadrat ist.

In welcher Weise Begriffshierarchien verstanden werden können, soll exemplarisch

beschrieben werden (siehe Abbildung 49b bis Abbildung 49d): Die charakteristische

Eigenschaft eines Trapezes ist, dass es mindestens zwei parallel zueinander liegende Seiten

hat. Indem man den Schieberegler „2“ betätigt, geht die ikonische Darstellung des Trapezes

in die eines Parallelogramms über (siehe Abbildung 49b). Schülerinnen und Schüler sollen

erkennen, welche Eigenschaften des Ausgangsvierecks gleich bleiben. Hierbei soll

verstanden werden, dass ein Parallelogramm ebenso zwei parallel zueinander liegende

Seiten hat. Das bedeutet, jedes Parallelogramm ist auch ein Trapez. Nach der Betätigung

des Schiebereglers „3“ geht die ikonische Darstellung des Parallelogramms in die eines

Rechtecks über (siehe Abbildung 49c). Erneut trifft beim Rechteck zu, dass es zumindest

zwei parallel zueinander liegende Seiten hat. Somit ist auch jedes Rechteck ein Trapez.

Solche Überlegungen sollen dazu führen, dass Schülerinnen und Schüler erkennen, wie die

Begriffshierarchien mit seinen Ober-, Unter- und Nachbarbegriffen zum Begriff „Viereck“

aussehen.

Zusätzlich zu den sich auf dem dynamischen Arbeitsblatt befindenden Fragen sollen

Schülerinnen und Schüler anschließend auch drei weitere Arbeitsblätter durcharbeiten (siehe

im Anhang im Kapitel 8.2 „Arbeitsblätter zum Thema ‚Haus der Vierecke‘).

Barbara Kimeswenger 74


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

6.4 Interaktion der Darstellungsformen mit Hilfe von DMS

Um ein umfassendes Begriffsverständnis aufbauen zu können, raten Weigand und Weth

(2002, S. 36f), Begriffseigenschaften in verschiedenen Darstellungsformen den Lernenden

anzubieten, damit Bezüge zueinander hergestellt werden können. Hierbei wird erneut das

„Prinzip der Interaktion der Darstellungsformen“ angesprochen (vgl. Kapitel 2.2, S. 8).

Besonders mit Hilfe von Technologie, im Speziellen mit dem Computer, können auf einen

„Kopfdruck“ verschiedene Darstellungsformen eines mathematischen Objekts erzeugt

werden. Weiters können Lernende einfach zwischen ihnen wechseln oder auch gleichzeitig

mehrere Repräsentationen auf dem Bildschirm erzeugen.

Wie schon im Kapitel 6.2 „Systematische Variation mit Hilfe von DGS und DMS – Operative

Begriffsbildung“ besprochen, eignet sich vor allem dynamische Mathematiksoftware (DMS)

gut, um Verbindungen zwischen verschiedenen Darstellungsformen herzustellen. Wie das

konkret an Beispielen aussehen kann, wird im Folgenden besprochen (siehe Abbildung 51).

Es werden zwei Beispiele zum Thema „Binomische Formeln“ und „Addition gleichnamiger

Brüche“ vorgestellt. Sie zeigen, wie eine Verbindung über eine operative Herangehensweise

zwischen symbolischen und ikonischen Repräsentationen geschaffen werden kann. Im

Anschluss werden zwei weitere Beispiele beschrieben. Sie behandeln die Themen

„Einheitskreis und Graph der Funktionen sin(x) und cos(x)“ und „Maximaler Flächeninhalt

eines Teiches“. Diese zwei Beispiele stellen jeweils durch operatives Arbeiten eine

Interaktion zwischen zwei verschiedenen ikonischen Darstellungen her.

Abbildung 51: Grafik zur Interaktion verschiedener Darstellungen in diesem Kapitel

Barbara Kimeswenger 75


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

6.4.1 Binomische Formeln

In der Unterstufe spielt der Umgang mit Termen, Gleichungen, Formeln, etc. eine wichtige

Rolle. Erfahrungen mit Nachhilfeschülerinnen und – schüler zeigen, dass manche

fälschlicherweise glauben, dass gilt.

Aus meiner Sicht erscheint es hilfreich, binomische Formeln (Plusformel, Minusformel und

Plusminusformel) mit ikonischen bzw. geometrischen Darstellungen für positive reelle

Zahlenwerte zu verbinden (vgl. Kapitel 2.2 „Prinzip der Interaktion der Darstellungsformen“,

S. 8). Somit können Schülerinnen und Schüler Formeln, die oft nur auswendig gelernt

werden, „begreifen“ und dazu eine bildliche Darstellung im Hinterkopf behalten (vgl. Kapitel

2.2.1 „Prinzip der Verinnerlichung und Verzahnung der Darstellungsformen“, S. 8).

Rahmenbedingungen

Vor allem das Distributivgesetz soll den Schülerinnen und Schülern bekannt sein. Die

binomische Formel soll in der 7. Schulstufe eingeführt werden. Der Lehrplan der AHS

Unterstufe (BMUKK, 2012a, S. 7) verlangt in der dritten Klasse, dass Formeln nicht nur

durch Rechenregeln begründet werden sollen, sondern auch graphische Darstellungen beim

Arbeiten mit Variablen genutzt werden sollen, worauf folgende dynamische Visualisierungen

abzielen.

Plusformel

Laut Roth (2011, S. 126) lässt sich der Sachverhalt „erste binomische Formel“ wie folgt

erarbeiten: Als Einstieg schlägt er folgende Problemstellung vor:

„Die Seitenlänge a eines Quadrates wird um b vergrößert. Wie ändert sich der

Flächeninhalt des Quadrates?“

In der Phase der Erarbeitung sollte nach dem Ausmultiplizieren und Zusammenfassen der

zwei ab-Terme die Formel erarbeitet werden (vgl. Roth, 2011, S.

126):

Abbildung 52: Erarbeitung der ersten binomischen Formel (Roth, 2011, S. 126)

Zum einen lässt sich die erste binomische Formel durch die Anwendung des

Distributivgesetzes erarbeiten. Zum anderen kann sie mit folgender ikonischer Darstellung in

Barbara Kimeswenger 76


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

Verbindung gebracht werden. Folgendes dynamische Arbeitsblatt kann unter

http://idmthemen.pbworks.com/Visualisierung aufgerufen werden:

Abbildung 53: Binomische Formel, Plusformel (vgl. Hohenwarter & Hohenwarter 2012, S.69)

Schülerinnen und Schüler können die Lage und die Seitenlängen a und b des Quadrats

verändern (siehe Abbildung 54). Automatisch werden die davon abhängigen Werte der

dynamischen Texte angeglichen, wodurch eine Verbindung zwischen ikonischer und

symbolischer Darstellung der ersten binomischen Formel hergestellt werden kann.

Abbildung 54: Verschiedene Lagen und Werte der Seitenlängen des Quadrats

In der Phase der Sicherung sollte die erste binomische Formel (Plusformel)

„gesichert“ werden. So können auch andere Aufgaben wie zum

Beispiel oder behandelt werden (vgl. Roth, 2011, S. 126).

Auch im Praxisbuch (BIFIE, 2011) zu den Bildungsstandards werden einige Beispiele

angeführt, die eine Verbindung zwischen Term- und ikonischen Darstellungen herstellen.

Barbara Kimeswenger 77


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

Ähnliche Visualisierungen zur Minusformel oder Plusminusformel

zeigt Roth (2009a; 2009b) in Form von weiteren dynamischen Arbeitsblättern.

Formel (a+b)³

In Rahmen dieser Diplomarbeit soll im Folgenden noch näher auf die Visualisierung von

eingegangen werden. Auch dieses dynamische Arbeitsblatt

kann unter http://idmthemen.pbworks.com/Visualisierung gefunden werden.

Abbildung 55: Erweiterung mit (a+b)³ (vgl. Bina, 2011, S. 30)

Durch das Betätigen der Schieberegler wird Schritt für Schritt, vergleichbar mit dem

Zusammensetzen von Bauklötzen, die Formel visualisiert:

Barbara Kimeswenger 78


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

Barbara Kimeswenger 79


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

Abbildung 56: Visualisierung von (a+b)³ Schritt für Schritt (vgl. Bina, 2011, S. 30)

Nach der Bearbeitung dieses dynamischen Arbeitsblatts wäre das Ziel, dass Schülerinnen

und Schüler in der Lage sind, ohne jegliche Technologieunterstützung (a+b)³ auf einem Blatt

Papier und auch mental zu visualisieren.

6.4.2 Addition gleichnamiger Brüche

Dynamische Materialien, erstellt mit DGS oder DMS, werden des Öfteren auch in interaktive

Lernobjekte eingebettet und werden als „dynamische interaktive Übungen“ bezeichnet. Das

Besondere an ihnen ist, dass Lernende eine Rückmeldung erhalten, wie gut sie eine

konkrete Aufgabenstellung bearbeitet haben (vgl. Hohenwarter, 2006, S. 5).

Eine Vielzahl solcher Übungen stellt Andreas Meier (2012a) unter der Internetadresse

http://www.realmath.de/ zur Verfügung.

In Abbildung 57 ist ein Screenshot einer solchen dynamischen interaktiven Übung zu sehen.

Sie wurde von Andreas Meier (2012b) erstellt und kann unter

http://www.realmath.de/Neues/Klasse6/addition/gleichnamiger.html aufgerufen werden.

Abbildung 57: Interaktive, dynamische Übung, Addition gleichnamiger Brüche (Meier, 2012b)

Barbara Kimeswenger 80


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

In seiner Dissertation beschreibt Meier (2009, S. 96ff) diese Übung, wobei er deutlich auf die

Theorien Bruners hinweist (vgl. Kapitel 2, S. 3). Entsprechend der werkzeugorientierten

Leitlinie „Adäquat visualisieren“ bezieht er sich vor allem auf das didaktische Prinzip der

„Interaktion der verschiedenen Darstellungsformen“. Zum einen zeigt die dynamische

interaktive Übung eine ikonische und zum anderen eine symbolische Repräsentation zweier

gleichnamiger Brüche (vgl. Abbildung 57).

Lernende werden aufgefordert, die Lösung von in die freien Felder zu tippen. Sie

können die ikonische Darstellung in Form eines Kreissegmentes des zweiten Bruchs in blau

über die erste in rot schieben, wie die Anweisung der Übung verrät (vgl. Abbildung 58).

Abbildung 58: Verschieben der blauen ikonischen Darstellung des rechten Bruchs (Meier,

2012b)

Die Beantwortung der Aufgabe soll in symbolischer Form geschehen und wird ebenso

durch den zweiten Tipp in der Anweisung erleichtert: „Zähle so dann alle farbigen Teile.

Beachte, dass die violetten Teile beim Addieren doppelt gezählt werden müssen.“

Diese Übung zeigt sehr schön, wie die drei Darstellungsformen in Zusammenhang gebracht

werden können:

Enaktiv: Steuerung der Maus, Verschiebung des zweiten Bruchs über den ersten

Ikonisch: Darstellung der Brüche in Kreissektoren

Symbolisch: Bruchdarstellungen oberhalb und unterhalb der Kreissektoren

Auf ihre Eingabe können Lernende durch das Klicken auf „Ergebnis prüfen“ eine

Rückmeldung erhalten. Es erscheint sofort, ob die Aufgabenstellung richtig oder falsch

gelöst wurde:

Barbara Kimeswenger 81


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

Abbildung 59: Rückmeldung der Addition gleichnamiger Brüche (Meier, 2012b)

Durch das Klicken auf „Aufgaben stellen“ können beliebig viele weitere Übungen zur

Addition gleichnamiger Brüche geübt werden.

Hohenwarter (2006a, S 6) fordert, dass solche Übungen in verschiedenster Weise im

Unterricht eingebracht werden sollen. Der Einsatz dynamischer und interaktiver Materialien

fördert stets die aktive Teilnahme von Schülerinnen und Schülern, egal ob sie in

Partnerarbeiten im Computerraum, als Element eines Stationenbetriebs oder als Hausübung

zur Anwendung kommen.

6.4.3 Einheitskreis und Graph der Funktionen sin( und cos(

Meine eigenen Erfahrungen mit Nachhilfeschülerinnen und – schülern zeigen, dass viele den

Zusammenhang zwischen Einheitskreis und Graphen der Funktionen und

nicht verstanden haben. Eine Interaktion zwischen diesen zwei verschiedenen ikonischen

Darstellungen soll folgendes dynamisches Arbeitsblatt (siehe Abbildung 60) gewährleisten.

Erneut soll diese Verbindung ausgehend von Handlungen geschaffen werden. Das folgende

dynamische Arbeitsblatt kann unter http://idmthemen.pbworks.com/Visualisierung gefunden

werden.

Rahmenbedingungen

Laut Lehrplan der Oberstufe sollen die trigonometrischen Funktionen und in

der 5. Klasse behandelt werden (vgl. BMUKK, 2012b, S. 3). Als Vorwissen sollten und

Barbara Kimeswenger 82


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

am Einheitskreis bekannt sein. Ihre Darstellungen als Graphen können ausgehend

von ihrem Vorwissen hergeleitet und mit der Darstellung am Einheitskreis in Verbindung

gebracht werden.

Abbildung 60: Dynamisches Arbeitsblatt, und

Wie schon erwähnt werden die zwei Darstellungen, Einheitskreis und Graph, der Funktionen

und durch Handlungen, also operativ, zusammengeführt. Indem der grüne

Schieberegler (zwischen 0° und 1080°) bewegt wird, wird der vom jeweiligen Winkel

abhängige Abschnitt bzw. am Einheitskreis dargestellt. Zum anderen

entstehen die Graphen der Funktionen (siehe Abbildung 61).

Abbildung 61: und , Veränderung des Schiebereglers

Barbara Kimeswenger 83


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

Zur Farbgebung des dynamischen Arbeitsblattes ist anzumerken, dass Blau für Elemente

von bzw. Rot für jene von gewählt wurde. Gemäß dem „Gesetz der

Ähnlichkeit“ (vgl. Kapitel 4.1 „Wahrnehmung ikonischer Darstellungen - Gestaltgesetze“, S.

16) sollen die Elemente mit gleicher Farbe inhaltlich zusammengefasst werden. Auch bei

anderen dynamischen Arbeitsblättern wurde die Farbgebung der einzelnen Elemente gezielt

eingesetzt.

Zusätzlich zur Verbindung zwischen zwei ikonischen Darstellungen der Funktionen soll eine

weitere zur symbolischen Darstellungsform von und hergestellt werden.

Schülerinnen und Schüler können mit Hilfe der Kontrollkästen entscheiden, ob die

Darstellungen von und am Einheitskreis und am Graphen eingeblendet

werden sollen.

Eine weitere Fragestellung zu einem mathematischen Sachverhalt, der mit Hilfe des

dynamischen Arbeitsblattes auf den Grund gegangen werden kann, könnte wie folgt lauten:

Begründe anhand des Einheitskreises, warum gilt. Dieser Sachverhalt

kann sehr einfach mit Hilfe des Satzes von Pythagoras erklärt werden, wodurch eine

Verbindung zu diesem sehr zentralen Satz in der Unterstufe hergestellt wird.

6.4.4 Maximaler Flächeninhalt eines Teiches

Im folgenden Abschnitt soll der sogenannte „Graph-als-Bild-Fehler“ thematisiert werden,

welcher vorher durch eine Comicdarstellung auf humorvolle Weise einführt werden soll.

Abbildung 62: Graph-als Bild-Fehler „Bergunfall“ (Leuders & Naccarella, 2011, S. 20)

Ein Graph-als-Bild-Fehler liegt vor, wenn Lernende Funktionsgraphen bildlich-gegenständlich

und nicht abstrakt lesen (vgl. Vogel & Wittmann, 2010, S. 1).

Aufgabe:

Du möchtest einen möglichst großen rechteckigen Teich in deinem Garten

bauen. Damit deine kleine Schwester nicht ins Wasser fällt, musst du ihn

einzäunen. Wie musst du die Länge bzw. Breite des Teiches wählen, wenn du

Barbara Kimeswenger 84


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

nur 10 m Zaun zur Verfügung hast und größtmöglichen Flächeninhalt erreichen

willst?

Ein Graph, der den Flächeninhalt des Teichs in Abhängigkeit der Länge a mit

beschreibt, könnte wie folgt aussehen:

Abbildung 63: Graph zum Flächeninhalt eines Teichs

Laut Vogel und Wittmann (2010, S. 1) interpretieren Schülerinnen und Schüler des Öfteren

solche Graphen falsch und denken, dass sie die Form des Teiches zeigen. Aussagen, wie

der Teich wäre nicht rechteckig, sondern auf dem einen Ende rund, zeigen Graph-als-Bild-

Fehler. Schülerinnen und Schülern, die sich nur auf die bildlich- gegenständliche Form des

Graphen fixieren, missglückt das Erkennen des Abstrakten des Graphen, und sie benötigen

weitere Hilfestellungen.

Rahmenbedingungen

Folgende dynamische Arbeitsblätter sollen als Einführung für Optimierungsprobleme bzw. für

den Themenbereich Differentialrechnung dienen. Laut dem vom BMUKK (2012b, S. 5)

veröffentlichten Lehrplan der Oberstufe sollen die Differentialrechnung und

Extremwertaufgaben in der 7. Klasse AHS behandelt werden.

Die Verbindung zwischen dem Graphen des Flächeninhalts des Teiches und der bildlich-

gegenständlichen Form des Teiches soll mit folgendem dynamischen Arbeitsblatt hergestellt

werden (siehe http://idmthemen.pbworks.com/Visualisierung).

Barbara Kimeswenger 85


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

Abbildung 64: Erstes dynamisches Arbeitsblatt zum Thema maximaler Flächeninhalt eines

Teiches

Durch das Variieren mit Hilfe des Schiebereglers der Seitenlänge a des Teiches wird zum

einen der davon abhängige Flächeninhalt als Rechteck und zum anderen als Graph, der

durch eine Spur entsteht, dargestellt. Abbildung 65 zeigt den Fall, bei dem die Form des

Teiches einem Quadrat gleicht. Die Seitenlängen betragen hierbei 2.5m. Der Flächeninhalt

ist mit 6.25m² maximal.

Abbildung 65: Maximaler Flächeninhalt des Teiches mit a=2.5

Um eine Verbindung zur Differentialrechnung herzustellen soll das dynamische Arbeitsblatt

in folgender Abbildung durchgenommen werden (siehe

http://idmthemen.pbworks.com/Visualisierung). Es beinhaltet zusätzlich die Tangente des

Graphen A(a) im Punkt a und das zugehörige Steigungsdreieck.

Barbara Kimeswenger 86


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

Abbildung 66: Zweites dynamisches Arbeitsblatt zum Thema maximaler Flächeninhalt eines

Teiches

Das Arbeitsblatt in Abbildung 66 setzt die Funktion A(a) mit der Steigung im Punkt a mit Hilfe

des Steigungsdreiecks in Verbindung. Die Fragen zielen darauf ab, dass Schülerinnen und

Schüler erkennen, dass der Flächeninhalt des Rechtecks (Teiches) bei jenem Wert von a

maximal ist, bei welchen die Steigung der Funktion A(a) 0 ist. Damit sollen sie zu einer

zentralen Idee von Optimierungsaufgaben in der Differentialrechnung herangeführt werden.

Danach könnte das Thema Differentialrechnung mit einer Besprechung des Differenzen- und

anschließend des Differentialquotienten fortgesetzt werden.

6.4.5 Kritik bezüglich der Vielzahl an Darstellungen durch den Computer

Laut Barzel, Hußmann und Leuders (2005, S. 39f) verleitet die Vielzahl der

technologieunterstützten Beispiele zur Unübersichtlichkeit im Mathematikunterricht. Dabei

sollte nicht nur auf die Quantität, sondern besonders auf die Qualität geachtet werden.

Ebenso warnen sie vor dem oberflächlichen Wahrnehmen von Bildern im

Mathematikunterricht, das durch die medialen Überflutungen der heutigen Zeit gefördert

wird. Visualisierungen sollen stets als Werkzeug des Denkens Lernender betrachtet und

genutzt werden.

Ebenso kritisch bezüglich des Computereinsatzes im Mathematikunterricht zeigt sich der

Arbeitskreis „Semiotik, Zeichen und Sprache“ innerhalb der GDM (2011, Abs. 2) mit

folgendem Zitat, das auf der Hauptseite seiner Homepage zu finden ist:

„Das Problem des Verhältnisses von Darstellung und dargestelltem Sachverhalt wird

verschärft durch die Einführung des Computers im Mathematikunterricht. Durch die

Barbara Kimeswenger 87


Begriffsbildung durch technikunterstützte Visualisierungen

Vielfalt nun möglicher Darstellungen und den schnellen Wechsel zwischen ihnen

sowie durch die Möglichkeit des 'Experimentierens' mit Darstellungen wird die

Einsicht in den Zusammenhang verschiedener Repräsentationen und ihr Bezug auf

mathematische Sachverhalte zunehmend problematischer.“

Diese Aussage wirft sämtliche Ansichten aus semiotischer Perspektive durcheinander, so

Peschek (2003, S. 204). Bisher wurden den Möglichkeiten der vielfältigen Darstellungen und

ihren Interaktionen größte Bedeutung zugeschrieben und ständig betont, dass dadurch neue

Erkenntnisse und Einsichten in der Begriffsbildung erworben werden können. Nun soll

gerade der Computer, der einen schnellen Wechsel zwischen den Darstellungen ermöglicht,

deswegen kritisiert werden.

Peschek (2003, S. 205) stimmt der Aussage Hoffmanns und Seegers nicht zu, aber äußert

Bedenken gegenüber Situationen, beschrieben bei Weigand, in welchen Lernende in 30

Minuten am Computer über 50 verschiedene Darstellungen erzeugen.

„Bei einem derartigen Darstellungsaktionismus bleibt wohl kaum noch Raum für

Interpretationen, Reflexionen, für Einsicht in Zusammenhänge und für Bezüge

zwischen Sachverhalt und Repräsentation oder zwischen Repräsentationen.“

(Peschek, 2003, S. 205)

Dieses Zitat fordert aus meiner Sicht, dass bei der Bereitstellung von Technologie und somit

verschiedenster Darstellungsformen das tiefe Eintauchen in die mathematischen Inhalten

nicht vernachlässigt werden darf. Lehrpersonen sollen Schülerinnen und Schülern

Lernumgebungen schaffen, die nicht nur unreflektierte Vielfalt bieten, sondern genügend Zeit

für die Ausarbeitung der Zusammenhänge zwischen den Darstellungen einräumen.

Aufgabenstellungen, die das Interpretieren, Reflektieren, Einsichtnehmen fördern, sollen

den Lernenden natürlich auch mit Computerunterstützung angeboten werden.

Barbara Kimeswenger 88


Zusammenfassung und Ausblick

7 ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK

Die zentrale Fragestellung dieser Diplomarbeit war folgende: In welcher Weise können

externe oder interne ikonische (bildliche) Darstellungen das Verständnis von

mathematischen Begriffen oder Sachverhalten fördern? Ebenso sollte thematisiert werden,

unter welchen Bedingungen sie Begriffsbildungsprozesse beschränken bzw. behindern.

Nach der Einleitung wurden im zweiten Kapitel didaktische Prinzipien betrachtet, die den

Einsatz von bildlichen Darstellungen im Mathematikunterricht ansprechen bzw. fordern. Nach

Bruner lässt sich Wissen auf drei Arten, nämlich enaktiv, ikonisch und symbolisch,

erschließen bzw. repräsentieren. Laut dem didaktischen E-I-S-Prinzip sollen alle drei

Darstellungsformen ständig im Mathematikunterricht variiert und nach dem „Prinzip der

Interaktion der Darstellungsformen“ zueinander in Verbindung gebracht werden. Beim

operativen Prinzip, dessen geistiger Vater Jean Piaget ist, wird das Handeln, d.h. die

enaktive Darstellungsform, ins Zentrum gestellt.

Nach der Betrachtung relevanter didaktischer Prinzipien wurden im dritten Kapitel

schulbezogene Richtlinien, wie der Lehrplan, die Bildungsstandards und die standardisierte

schriftliche Reifeprüfung, thematisiert.

Anschließend wurde im vierten Kapitel Grundlegendes zum Thema Visualisierung im

Mathematikunterricht behandelt. Hierbei wurden einige Gestaltgesetze beschrieben, die das

Wahrnehmen von Darstellungen, im Besonderen von ikonischen, beeinflussen können.

Bezugnehmend auf denkpsychologische Ansätze wurden im Anschluss Begriffe wie externe

bzw. interne Repräsentationen, Aufbau mentaler Modelle und Bewegliches Denken geklärt.

Ausgehend von diesen Ausführungen wurde die in dieser Diplomarbeit verwendete

Arbeitsdefinition für „Visualisierung“ dargestellt, die von Zimmermann und Cunningham

formuliert wurde. Sie besagt: „Mathematical visualization is the process of forming images

(mentally, or with pencil and paper, or with the aid of technology) and using such images

effectively for mathematical discovery and understanding.“

Im fünften Kapitel wurde Begriffsbildung im Allgemeinen und wie sie durch Visualisierungen

beeinflusst werden kann, betrachtet. Hierbei wurden Definitionen, Eigenschaften,

Beziehungen und Sachverhalte als die relevanten Gesichtspunkte eines mathematischen

Begriffs näher beschrieben. Darauf bezugnehmend wurden Vorteile und Nachteile von

Visualisierungen in Begriffsbildungsprozessen erläutert. Es kristallisierten sich vor allem zwei

Kernaspekte heraus, unter welchen Bedingungen ikonische Darstellungen zur effizienten

Visualisierung von mathematischen Begriffen und Sachverhalten beitragen können:

Zum einen werden Lernende in Begriffsbildungsprozessen von ikonisch repräsentierten

Prototypen, die einen Allgemeinbegriff oder einen allgemeinen Sachverhalt darstellen sollen,

Barbara Kimeswenger 89


Zusammenfassung und Ausblick

beeinflusst. Eine Untersuchung von Hershkowitz zeigte, dass sich Lernende sehr stark an

externen Bezügen einer ikonischen Darstellung eines Begriffs bzw. Sachverhaltes

orientieren, wie etwa an der Parallelität zwischen einer Dreiecksseite und dem Blattrand.

Relevanter sind meistens aber interne Bezüge, wie zum Beispiel Seiten-, Winkel-,

Diagonalen- oder Symmetrieeigenschaften. So zeigen Versuchspersonen nach Hershkowitz

Schwierigkeiten, ein gleichschenkeliges Dreieck auch als solches zu erkennen, wenn sich

ihre Basis nicht parallel zum unteren Blattrand befindet. Fakt ist, dass es egal sein soll, in

welcher Lage bzw. Orientierung dieses dargestellt wird. Schülerinnen und Schüler sollen

immer ein gleichschenkeliges Dreieck auch als solches erkennen, unabhängig von der Wahl

des Prototypen.

Daher lautet meine erste Forderung für effiziente Visualisierung mathematischer Begriffe und

Sachverhalte, dass mit ikonischen Darstellungen flexibel und beweglich umgegangen

werden soll. Das bedeutet, Schülerinnen und Schüler sollen bildlich dargestellte Prototypen

nicht als starre Objekte ansehen, die unveränderbar sind, sondern als flexible Objekte, die im

Kopf, auf dem Papier oder am Computer beweglich gemacht werden können.

Meine zweite Forderung für effiziente Visualisierung mathematischer Begriffe und

Sachverhalte besagt, dass eine Verbindung zwischen ikonischen und anderen

Darstellungsformen hinsichtlich des „Prinzips der Interaktion der Darstellungsformen“

hergestellt werden soll.

Im sechsten Kapitel wurde die Frage thematisiert, welche Vorteile in Bezug auf die

beschriebenen Forderungen technikunterstützte Visualisierungen in

Begriffsbildungsprozessen haben können. Vorerst wurde beleuchtet, wie der Aufbau bzw. die

Gestaltung von E-Learning-Materialien aussehen kann bzw. soll. Anschließend wurde

behandelt, welche Vorteile technikunterstützte Visualisierungen verglichen mit statischen

ikonischen Darstellungen haben, die beispielsweise auf Tafeln skizziert oder in Schulbüchern

gezeigt werden. Ein großes Plus des Computereinsatzes ist, dass per Knopfdruck

verschiedene Darstellungen eines mathematischen Begriffs bzw. Sachverhaltes erzeugt

werden können. Es können Aspekte, wie etwa ein Parameter, eine Eigenschaft oder die

Darstellungsform eines mathematischen Begriffs bzw. Sachverhaltes Schritt für Schritt

variiert werden. Durch eine handlungsorientierte Herangehensweise können mittels

systematischer Variation operative Begriffe gebildet werden. Was bedeutet das konkret beim

Einsatz von dynamischer Geometrie- bzw. Mathematiksoftware? Zum einen ermöglichen

besonders dynamische Visualisierungen, erstellt mit DGS, mit Hilfe des Zugmodus und des

Einsatzes von Schiebereglern mathematische Begriffe oder Sachverhalte nicht auf einen

einzigen prototypischen Schnappschuss beschränken zu müssen, sondern diese in

vielfältiger Weise systematisch erforschen zu können. Durch das Experimentieren mit

variierbaren ikonischen Darstellungen können Invarianten und anschließend

charakteristische Eigenschaften und vor allem Beziehungen erkannt werden. Somit kann

Barbara Kimeswenger 90


Zusammenfassung und Ausblick

nicht nur ein intuitives oder inhaltliches, sondern vor allem auch ein integriertes

Begriffsverständnis gefördert werden. Dies wurde anhand einiger selbst erstellter Materialien

zum Thema „Haus der Vierecke“ beschrieben. Durch das Arbeiten mit dynamischen

Visualisierungen soll ein Aufbau von Begriffshierarchien zum Begriff „Viereck“ gefördert

werden.

Welche Vorteile bzw. welcher Nutzen Technologieeinsatz hat, wurde anhand einiger Punkte

zusammengefasst: Dörfler nennt den „Computer als Medium von Prototypen“, da durch ihn

gegenständliche Prototypen eines Begriffs erzeugt werden, die transformiert, manipuliert

werden können und mit denen operativ geforscht werden kann. Des Weiteren wird der

Computer auch durch seine Möglichkeiten des Experimentierens und Forschens mit

Darstellungen als Bereicherung aus semiotischer Sicht gesehen. Ziel des Arbeitens mit

dynamischen Visualisierungen sollte sein, dass schlussendlich dieser bewegliche und

flexible Umgang mit ikonischen Darstellungen von mathematischen Begriffen bzw.

Sachverhalten auch in die Vorstellung übertragen werden kann. Dabei kann der Computer

als ein Zwischenschritt zwischen praktischen und verinnerlichten Handlungen fungieren.

Dörfler und Roth gehen sogar so weit zu sagen, dass die Kognition auf die Technologie

erweitert werden kann. Der Computer wird somit zu einem kognitiven Werkzeug bzw. zu

einem kognitiven Medium.

Zum anderen sollte neben dem vorteilhaften Einsatz des Computerwerkzeugs DGS auch

dynamische Mathematiksoftware besprochen werden. Als Beispiel wurde GeoGebra des

Öfteren erwähnt. Dynamische Mathematiksoftware enthält zusätzlich zur dynamischen

Geometriesoftware sowohl ein Tabellenkalkulationsprogramm als auch ein Computeralgebra

System in einer Software. Obendrein sind in GeoGebra alle genannten Computerwerkzeuge

dynamisch miteinander verbunden. Dadurch kann eine Interaktion verschiedener

Darstellungsformen in vielfältiger Weise unterstützt werden, wodurch der zweiten

formulierten Forderung für effiziente Visualisierung von mathematischen Begriffen bzw.

Sachverhalten nachgegangen werden kann. Wie ein Zusammenhang einerseits zwischen

ikonischen und symbolischen und andererseits zwischen zwei unterschiedlichen ikonischen

Darstellungen von mathematischen Begriffen bzw. Sachverhalten konkret an Beispielen

hergestellt werden kann, wurde anhand einiger selbst erstellter dynamischer Arbeitsblätter

beschrieben.

Diese Diplomarbeit soll die Bedeutung und den Einfluss von Visualisierung in

mathematischen Begriffsbildungsprozessen in zwei verschiedenen Weisen darstellen.

Einerseits soll sie den Leserinnen und Lesern fundierte theoretische Ausführungen bieten.

Andererseits wurden die entwickelten Ansätze mittels konkreter Materialien umgesetzt. Sie

sollen erneut unterstreichen, in welcher Form meines Erachtens eine effiziente

Visualisierung mathematischer Begriffe bzw. Sachverhalte ermöglicht werden kann. Darüber

Barbara Kimeswenger 91


Zusammenfassung und Ausblick

hinausgehend können bzw. sollen die ausgearbeiteten Beispiele für Leserinnen und Leser

Anstöße für eigene Materialien für den Mathematikunterricht bieten.

Barbara Kimeswenger 92


Anhang

8 ANHANG

Im Anhang sollen die Inhalte dieser Diplomarbeit zum Thema „Visualisierung in der

mathematischen Begriffsbildung“ auf zwei Weisen ergänzt werden: Einerseits sollen die

Links zu den dynamischen Arbeitsblättern, die in der Arbeit vorgestellt und im Detail

besprochen wurden, übersichtlich präsentiert werden. Andererseits sollen ergänzende

Arbeitsblätter zum Thema „Haus der Vierecke“ angeboten werden (vgl. Kapitel 6.3.5, S. 69).

Dieser Anhang soll Lehrerinnen und Lehrer motivieren, ähnliche Beispiele in den eigenen

Unterricht einzubeziehen.

8.1 Links zu dynamischen Arbeitsblättern

Die Links zu folgenden dynamischen Arbeitsblättern können unter

http://idmthemen.pbworks.com/Visualisierung aufgerufen werden:

Beispiel Flächeninhalt Trapez

(vgl. Kapitel 6.3.3, S. 66)

Haus der Vierecke

(vgl. Kapitel 6.3.5, S. 69)

Binomische Formeln

(vgl. Kapitel 6.4.1, S. 76)

o (a+b)²

o (a+b)³

Addition gleichnamiger Brüche

(vgl. Kapitel 6.4.2, S. 80)

Einheitskreis und Graph der Funktionen und

(vgl. Kapitel 6.4.3, S. 82)

Maximaler Flächeninhalt eines Teiches

(vgl. Kapitel 6.4.4, S. 84)

o Arbeitsblatt 1

o Arbeitsblatt 2

Barbara Kimeswenger 93


Anhang

8.2 Arbeitsblätter zum Thema „Haus der Vierecke“

Ergänzende Arbeitsblätter mit zugehörigen Lösungen zum Thema „Haus der Vierecke“ sind

folgende (vgl. Kapitel 6.3.5, S. 69):

Arbeitsblatt zu den Eigenschaften verschiedener Viereckstypen

Lösung zum Arbeitsblatt zu den Eigenschaften verschiedener Viereckstypen

Wahr oder falsch? Fragen zur Hierarchie der Viereckstypen

Wahr oder falsch? Die Lösung zu den Fragen zur Hierarchie der Viereckstypen

Arbeitsblatt zur Begriffshierarchie verschiedener Viereckstypen

Lösung zum Arbeitsblatt zur Begriffshierarchie verschiedener Viereckstypen

Barbara Kimeswenger 94


ARBEITSBLATT ZU DEN EIGENSCHAFTEN VERSCHIEDENER VIERECKSTYPEN

Aufgabe 1: Ordne die kennzeichnenden Eigenschaften den Viereckstypen zu:

Eine Diagonale ist eine

Symmetrieachse.

gleich lange Seiten

Die Seiten sind gleich lang. Ein Winkel ist ein rechter

Winkel.

mindestens zwei parallel zueinander liegende Seiten

Aufgabe 2: Kreuze die grauen Felder des jeweiligen Viereckstyps an, wenn die angebende Eigenschaft auch für diesen zutrifft!

Viereckstyp (kennzeichnende) Eigenschaften

Trapez

Drachenviereck

Parallelogramm

Rechteck

Raute

Quadrat

Viereck

Trapez

Drachenviereck

Arbeitsblatt zu den Eigenschaften verschiedener Viereckstypen (vgl. Köller, 2007, Abs. 1)

Parallelogramm

Rechteck

Alle Winkel sind rechte.

Gegenüberliegende Seiten

sind parallel.

Raute

Quadrat


LÖSUNG ZUM ARBEITSBLATT ZU DEN EIGENSCHAFTEN VERSCHIEDENER VIERECKSTYPEN

Aufgabe 1: Ordne die kennzeichnenden Eigenschaften den Viereckstypen zu:

Eine Diagonale ist eine

Symmetrieachse.

gleich lange Seiten

Die Seiten sind gleich lang. Ein Winkel ist ein rechter

Winkel.

mindestens zwei parallel zueinander liegende Seiten

Aufgabe 2: Kreuze die grauen Felder des jeweiligen Viereckstyps an, wenn die angebende Eigenschaft auch für diesen zutrifft!

Viereckstyp (kennzeichnende) Eigenschaften

Trapez

Drachenviereck

Parallelogramm

Rechteck

Raute

Quadrat

mindestens zwei parallel

zueinander liegende Seiten

Eine Diagonale ist eine

Symmetrieachse.

Gegenüberliegende Seiten sind

parallel.

Alle Winkel sind rechte.

gleich lange Seiten

Die Seiten sind gleich lang. Ein

Winkel ist ein rechter Winkel.

Viereck

Trapez

Drachenviereck

Lösung zum Arbeitsblatt zu den Eigenschaften verschiedener Viereckstypen (vgl. Köller, 2007, Abs. 1)

Parallelogramm

Rechteck

Alle Winkel sind rechte.

Gegenüberliegende Seiten

sind parallel.

Raute

Quadrat

x x x x x

x x x

x x x x

x x

x x

x


Nach der Bearbeitung dieses Arbeitsblattes kann die Tabelle wie folgt gelesen werden.

Hierzu soll nur ein kleiner Ausschnitt betrachtet werden: Die Aufgabe 2 besagt „Kreuze die

grauen Felder des jeweiligen Viereckstyps an, wenn die angebende Eigenschaft auch für

diesen zutrifft!“. Die kennzeichnende Eigenschaft eines Trapezes „mindestens zwei parallel

zueinander liegende Seiten“ trifft auch bei jedem Parallelogramm, jedem Rechteck, jeder

Raute und jedem Quadrat zu. Das bedeutet Folgendes: Jedes Parallelogramm, jedes

Rechteck, jede Raute und jedes Quadrat ist auch ein Trapez. Somit ist ein Trapez ein

Oberbegriff dieser genannten Viereckstypen.


Wahr oder falsch? Kreuze jeweils an, ob die Behauptung wahr oder falsch ist!

Behauptung WAHR FALSCH

Jedes Viereck ist ein Trapez.

Jedes Trapez ist ein Viereck.

Jedes Quadrat ist eine Raute.

Jede Raute ist ein Quadrat.

Jedes Rechteck ist ein Trapez.

Jedes Drachenviereck ist ein Quadrat.

Jedes Quadrat ist ein Drachenviereck.

Jedes Parallelogramm ist ein Viereck.

Jede Raute ist ein Parallelogramm.

Wahr oder falsch? Fragen zur Hierarchie der Viereckstypen

Wahr oder falsch? Kreuze jeweils an, ob die Behauptung wahr oder falsch ist!

Behauptung WAHR FALSCH

Jedes Viereck ist ein Trapez.

Jedes Trapez ist ein Viereck. x

Jedes Quadrat ist eine Raute. x

Jede Raute ist ein Quadrat. x

Jedes Rechteck ist ein Trapez. x

Jedes Drachenviereck ist ein Quadrat. x

Jedes Quadrat ist ein Drachenviereck. x

Jedes Parallelogramm ist ein Viereck. x

Jede Raute ist ein Parallelogramm. x

Wahr oder falsch? Die Lösung zu den Fragen zur Hierarchie der Viereckstypen

x


ARBEITSBLATT zur Begriffshierarchie verschiedener Viereckstypen

Aufgabenstellung:

Kläre die Ober- und Unterbegriffe der Viereckstypen „Drachenviereck“, „Parallelogramm“,

„Raute“, „Rechteck“, „Quadrat“ „Trapez“ und „Viereck“!

In den weißen Feldern soll jeweils eine zugehörige Skizze des jeweiligen Viereckstyps

angefertigt und darunter die

Bezeichnung geschrieben

werden!

Zum Beispiel:

Dieses Arbeitsblatt zeigt,

dass der Begriff „Viereck“

ein Oberbegriff des Begriffs

„Trapez“ ist. D.h. Jedes

Trapez ist ein Viereck!

Aber aufgepasst: Nicht

jedes Viereck ist ein

Trapez!

Tipp:

Beachte deine Ergebnisse

der vorherigen

Arbeitsblätter!

Arbeitsblatt zur

Begriffshierarchie

verschiedener

Viereckstypen


Lösung zum Arbeitsblatt zur Begriffshierarchie verschiedener Viereckstypen (vgl. Roth, 2005,

S. 93)


ABBILDUNGSVERZEICHNIS

Abbildung 1: Grafik zum Aufbau der Diplomarbeit "Visualisierung in der mathematischen

Begriffsbildung" .................................................................................................. 1

Abbildung 2: Enaktive Darstellungsform der Aufgabe "5+3=?" ................................................. 4

Abbildung 3a und Abbildung 3b: Ikonische Darstellungsform von 5 schwarzen bzw. 3 weißen

Perlen (Grevsmühl, 1995, S. 18) ........................................................................ 5

Abbildung 4: Ikonische Darstellungsform von 5 schwarzen und 3 weißen Perlen (Grevsmühl,

1995, S. 18) ....................................................................................................... 5

Abbildung 5: Kombinationsmöglichkeiten (eigene Abbildung nach Zech, 1996, S. 108) ........... 6

Abbildung 6: Möglichkeiten, mit zwei Münzen (Wappen/ Zahl) zu werfen (eigene Abbildung

nach Zech, 1996, S. 108) ................................................................................... 6

Abbildung 7: Symbolische Darstellungsform, „5 + 3 = ?“, Zeichen (Grevsmühl, 1995, S. 18).... 7

Abbildung 8: Symbolische Darstellungsform, „5 + 3 = ?“, Operatorschreibweise (Grevsmühl,

1995, S. 18) ....................................................................................................... 7

Abbildung 9: Mondbeispiel (Wittmann, 2009, S. 87) ................................................................. 7

Abbildung 10: Darstellungsübergänge (Grevsmühl, 1995, S. 17) ............................................. 8

Abbildung 11: Kompetenzmodell, ein Modell mathematischer Kompetenzen (Peschek., 2011,

S. 9) ................................................................................................................... 12

Abbildung 12: Aufgabe „Zahlengerade" (Neureiter, H., Fürst, S., Mürwald, E. & Preis, C.,

2011, S. 15) ....................................................................................................... 14

Abbildung 13: Kreis bzw. Strecke aus Punkten, Gesetz der Nähe ............................................ 17

Abbildung 14a bis Abbildung 14d: zwei Strecken, Gesetz der guten Fortsetzung (vgl.

Metzger, 1975, S. 69) ........................................................................................ 18

Abbildung 15: Aufgabe "Bewegliches Denken" (Roth, 2005, S. 271) ........................................ 21

Abbildung 16: Visualisierung in der Mathematik ....................................................................... 23

Abbildung 17: Definitionen für „Parabel“ (eigene Abbildung nach Barzel, Hußmann &

Leuders, 2005, S. 208) ...................................................................................... 27

Abbildung 18: "Genetische Definition" eines Prismas (Roth, 2005, S. 86) ................................ 28

Abbildung 19a bis Abbildung 19e: Auffälligkeit eines Merkmals (Vollrath, 1984, S. 95ff) .......... 30

Abbildung 20: Prototyp eines allgemeinen Parallelogramms .................................................... 31

Abbildung 21: typischer Funktionsgraph (eigene Abbildung nach Roth, 2005, S. 104) ............. 31

Abbildung 22: Untersuchung Dreiecke (eigene Abbildung nach Hershkowitz, 1989, S. 68) ...... 33

Abbildung 23: Orientierung an externen Bezügen .................................................................... 33

Abbildung 24: Durch eine Orientierung an externen Bezügen wird das Quadrat „nur“ als

Raute erkannt (eigene Abbildung nach Roth & Wittmann, 2009, S. 124) .......... 34

Abbildung 25: Durch eine Orientierung an externen Bezügen werden rechte Winkel nicht

erkannt (eigene Abbildung nach Roth & Wittmann, 2009, S. 124) ...................... 34

Barbara Kimeswenger 101


Abbildung 26: Verständnisgrundlage nach Roth (2005, S. 105) ................................................ 34

Abbildung 27: Prototypen zum Begriff "Rechteck", die sich in Größe, Seitenlänge,

Seitenbreite, Lage und Orientierung unterscheiden ........................................... 37

Abbildung 28: Prototypen des Spezialfalls eines „Rechtecks“, bei dem alle Seitenlängen

gleich lang sind (Quadrat) .................................................................................. 38

Abbildung 29: Prototypen für Gegenbeispiele zum Begriff "Rechteck" ...................................... 38

Abbildung 30: Flexibler, beweglicher Umgang mit ikonischen Darstellungen ............................ 39

Abbildung 31: Parallelogramm .................................................................................................. 40

Abbildung 32: Haus der Vierecke (Roth, 2005, S. 93) .............................................................. 42

Abbildung 33: Sachverhalte im Mathematikunterricht (Roth, 2011, S. 122) .............................. 43

Abbildung 34: frei beweglicher Eckpunkt C (Roth, 2005, S. 76) ................................................ 45

Abbildung 35: Kurven, auf denen sich C bewegen muss, sodass gleichschenkelige Dreiecke

gebildet werden (Roth, 2005, S. 77) ................................................................... 46

Abbildung 36: Fälle des gleichschenkeligen Dreiecks .............................................................. 48

Abbildung 37: Alle Fälle des gleichschenkeligen Dreiecks mit mindestens einem 45°-Winkel .. 48

Abbildung 38: Kernaspekte einer effizienten Visualisierung mathematischer Begriffe und

Sachverhalte ...................................................................................................... 50

Abbildung 39: Integrierte dynamische Texte hinsichtlich des Kontiguitätsprinzips

(Hohenwarter, 2006b, S. 111) ............................................................................ 55

Abbildung 40: Interaktion der Darstellungsformen mit Hilfe von GeoGebra (Hohenwarter,

2006b, S. 24) ..................................................................................................... 57

Abbildung 41: Grafik zur systematischen Variation mit Hilfe von DGS und DMS ...................... 59

Abbildung 42: Umkreismittelpunkt (vgl. Hohenwarter, 2006a, S. 4) .......................................... 61

Abbildung 43: Lernen der Begriffe "Rechteck" und "Quadrat" durch Beispiele (vgl. Roth &

Wittmann, 2009, S. 125) .................................................................................... 62

Abbildung 44: Experimentieren an einem Quadrat ................................................................... 64

Abbildung 45: Dynamisches Arbeitsblatt zum Flächeninhalt eines Trapezes ............................ 67

Abbildung 46a bis Abbildung 46c: Flächeninhaltsformel Trapez ............................................... 68

Abbildung 47: Beschriftung eines Vierecks ............................................................................... 71

Abbildung 48: Dynamisches Arbeitsblatt zum Haus der Vierecke (vgl. Roth, 2009c) ................ 71

Abbildung 49a bis Abbildung 49f: Übergänge der Viereckstypen (vgl. Roth, 2005, S. 90) ........ 72

Abbildung 50: Haus der Vierecke (vgl. Roth, 2005, S. 93) ........................................................ 73

Abbildung 53: Grafik zur Interaktion verschiedener Darstellungen in diesem Kapitel ................ 75

Abbildung 54: Erarbeitung der ersten binomischen Formel (Roth, 2011, S. 126) ...................... 76

Abbildung 55: Binomische Formel, Plusformel (vgl. Hohenwarter & Hohenwarter 2012, S.69) . 77

Abbildung 56: Verschiedene Lagen und Werte der Seitenlängen des Quadrats ....................... 77

Abbildung 57: Erweiterung mit (a+b)³ (vgl. Bina, 2011, S. 30) .................................................. 78

Abbildung 58: Visualisierung von (a+b)³ Schritt für Schritt (vgl. Bina, 2011, S. 30) ................... 80

Abbildung 59: Interaktive, dynamische Übung, Addition gleichnamiger Brüche (Meier, 2012b) 80

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Abbildung 60: Verschieben der blauen ikonischen Darstellung des rechten Bruchs (Meier,

2012b) ............................................................................................................... 81

Abbildung 61: Rückmeldung der Addition gleichnamiger Brüche (Meier, 2012b) ...................... 82

Abbildung 62: Dynamisches Arbeitsblatt, und .................................................... 83

Abbildung 63: und , Veränderung des Schiebereglers ......................................... 83

Abbildung 64: Graph-als Bild-Fehler „Bergunfall“ (Leuders & Naccarella, 2011, S. 20) ............. 84

Abbildung 65: Graph zum Flächeninhalt eines Teichs .............................................................. 85

Abbildung 66: Erstes dynamisches Arbeitsblatt zum Thema maximaler Flächeninhalt eines

Teiches .............................................................................................................. 86

Abbildung 67: Maximaler Flächeninhalt des Teiches mit a=2.5 ................................................ 86

Abbildung 68: Zweites dynamisches Arbeitsblatt zum Thema maximaler Flächeninhalt eines

Teiches .............................................................................................................. 87

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TABELLENVERZEICHNIS

Tabelle 1: Begriff, Gattungsbegriff und artbildendes Merkmal (vgl. Zech, 1996, S. 256) ........... 27

Tabelle 2: Eigenschaften eines Parallelogramms, Beziehungen zwischen Eigenschaften

und Beziehungen zu anderen Begriffen (vgl. Weigand, 2009, S. 109) ...................... 40

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ABKÜRZUNGSVERZEICHNIS

AHS Allgemeinbildende höhere Schule

BHS Berufsbildende höhere Schule

BIFIE Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung

des österreichischen Schulwesens

BMUKK Bundesministerium für Unterricht, Kunst und Kultur

E-Learning Elektronisch unterstütztes Lernen bzw. elektronisches Lernen

CAS Computeralgebra System

CW Computerwerkzeug

DGS Dynamische Geometriesoftware

DMS Dynamisches Mathematiksoftware

GDM Gesellschaft für Didaktik der Mathematik

TKP Tabellenkalkulationsprogramm

Barbara Kimeswenger 105


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