Funktionalanalysis I 2.¨Ubungsblatt - Institut für Mathematik - TU Berlin

Technische Universität Berlin SS 2004
Institut für Mathematik
Prof. Dr. A. Unterreiter, Dr. Frank Jochmann
Übungsblätter erhältlich unter: ftp://ftp.math.tu-berlin.de/pub/Lehre/FA I/SS04
Funktionalanalysis I
2. Übungsblatt
Aufgabe 1 T Seien X ein linearer Raum mit einer Halbnorm | · | : X → [0, ∞). Sei
N def
= {x ∈ X : |x| = 0}
i) Zeigen Sie , dass N ein linearer Teilraum von X ist.
Sei nun Y def
= X/N der Quotientenraum, und für x ∈ X sei T x def
= {y ∈ X : x − y ∈ N} ∈ Y die
von x erzeugte Äquivalenzklasse.
Für y = T x ∈ Y mit x ∈ X sei
y def
= |x|.
ii) Zeigen Sie, dass y wohldefiniert (d.h. unabhängig von der Wahl von x ∈ X) ist und dass ·
eine Norm auf Y ist.
Aufgabe 2 T Seien X ein linearer Raum , · 1 , · 2 zwei Halbnormen auf X, wobei · 2
feiner als · 1 ist, d.h.
f1 ≤ Cf2 für alle f ∈ X
mit einer Konstanten C ∈ (0, ∞) unabhängig von f. Sei nun U ⊂ X offen bezüglich der Halbnorm
· 1. Zeigen Sie, dass U dann auch offen bzgl. · 2 ist.
Sei (xn)n∈IN eine ·2 -konvergente Folge in X. Zeigen Sie, dass (xn)n∈IN dann auch ·1 -konvergent
ist.
Aufgabe 3 T Seien a, b, c ∈ IR mit a < b < c, X def
= C([a, c]) versehen mit der Norm
Seien nun
f L 2 (a,c)
M1
def
=
c
a
|f(x)| 2 1/2 dx .
def
def
= {f ∈ X : f(x) ∈ [0, ∞) für alle x ∈ [a, b]}, M2 = {f ∈ X : f(a) ∈ [0, ∞)}.
Untersuchen Sie M1, M2 auf Offenheit bzw. Abgeschlossenheit im Raum X bzgl. · L 2 (a,c). Was
ändert sich, wenn · L 2 (a,c) durch die Supremumsnorm ersetzt wird?

Aufgabe 4 H
7P Seien A ⊂ IR n nichtleer, C λ (A) der Raum hölderstetiger Funktionen. wie in Aufgabe 2T des
1.Übungsblattes.
Zeigen Sie, dass C λ (A) vollständig bzgl. der Norm · C λ ist.
Aufgabe 5 H Seien (λn)n∈IN eine Folge reeller Zahlen mit λn > 0 für alle n ∈ IN, und
und
l ∞ λ
def
= {(an)n∈IN : sup λn|an| < ∞}
n∈IN
(an)n∈INl ∞ λ
def
= sup λn|an| für (an)n∈IN ∈ l
n∈IN
∞ λ .
6P i) Zeigen Sie, dass l ∞ λ ein linearer Raum, ·l ∞ λ eine Norm auf l∞ λ sind, und dass l∞ λ vollständig
bzgl. der Norm · l ∞ λ ist.
7P ii) Sei Z ⊂ l∞ λ
Gliedern.
Bestimmen Sie den Abschluss Z von Z bezüglich der Norm · l∞ λ .
die Menge aller Folgen mit nur höchstens endlich vielen von Null verschiedenen
Abgabe der HA: Do, den 20.05 in der Übung.