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Materialien zur Vorlesung ”Portfolio-Selektion” - Burkhard Erke

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Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />

<strong>Materialien</strong> <strong>zur</strong> <strong>Vorlesung</strong><br />

<strong>”Portfolio</strong>-<strong>Selektion”</strong><br />

<strong>Burkhard</strong> <strong>Erke</strong><br />

Quellen: Schmidt/Terberger, Kap. 8; Brealey/Myers, Kap. 7/8<br />

Juli 2002


Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />

Lernziele<br />

Diversifikation mindert das Risiko eines Portefeuilles<br />

Effiziente Aktienportefeuilles durch Ausnutzung der Risikoreduktion<br />

durch Diversifikation<br />

Wenn der Kapitalmarkt vollständig und vollkommen ist, und wenn<br />

es eine risikolose Anlagealternative gibt, dann ist die optimale<br />

Zusammensetzung des Aktienportefeuilles unabhängig von der<br />

Risikoneigung des Anlegers (Tobin-Separation)


Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />

1 Worum es geht<br />

• Theorie der Portfolio-Selektion: Wie sollen Anleger einzelne Wertpapiere in einem Portfolio<br />

zusammenstellen, um eine entsprechend ihren Präferenzen optimalen Kombination von Risiko<br />

und Rendite zu erreichen?<br />

• Grundidee: Diversifikation reduziert Risiken:<br />

— Lieferantenauswahl eines Unternehmens: Lieferungen von 2 Zulieferern werden nicht gleichzeitig<br />

ausfallen.<br />

— Versicherungen: Viele verschiedene unabhängige Risiken<br />

— Investition in Aktien: Renditen laufen nicht 100% gleich.<br />

• Stärke des Diversifikationseffektes hängt ab, inwieweit Risiken gleich- oder gegenläufig sind:<br />

— unabhängige Risiken: Versicherungen<br />

— gegenläufige Risiken: Regenschirme und Sonnenöl<br />

— gleichläufige Risiken: 5 Telekommunikations-Aktien<br />

Gegenläufigkeit verstärkt den Diversifikationseffekt, sie ist aber nicht nötig, um überhaupt<br />

einen Diversifikationseffekt zu erzielen.<br />

• Vermögensarten:<br />

Wertpapiere und Aktien<br />

Versicherungs- und Rentenansprüche<br />

Kunstgegenstände<br />

Grundvermögen<br />

Humankapital<br />

↓<br />

↓<br />

↓<br />

↓<br />

↓<br />

Marktgängigkeit<br />

• Wertpapiere: Ertragbringendes Vermögensgut; auf organisiertem Markt gehandelt (Börse).<br />

• Aktie: Wertpapier mit unsicherem Ertrag


Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />

2 Annahmen<br />

• Beliebige Teilbarkeit<br />

• Planungszeit eine Periode<br />

Lernziel<br />

Diversifikation mindert das Risiko eines Portefeuilles<br />

• Ziel: Maximierung des Vermögensendwertes<br />

• Risikoscheu (=Risikoaversion)<br />

• Präferenzen durch Parameter Ertrag und Risiko abbildbar<br />

• Ertrag:<br />

— Erwartungswert des Endvermögens<br />

— oder Erwartungswert der Rendite: V0 [1 + E (r)] = E (V1)<br />

— Rendite im folgenden: r = BK1−Bk0+D1<br />

BK0<br />

• Risiko: Gemessen durch Varianz und Standardabweichung der Rendite.<br />

Häufigkeit<br />

550<br />

500<br />

450<br />

400<br />

350<br />

300<br />

250<br />

200<br />

150<br />

100<br />

50<br />

Aktie 1<br />

0<br />

0 5<br />

Rendite<br />

10<br />

Häufigkeit<br />

550<br />

500<br />

450<br />

400<br />

350<br />

300<br />

250<br />

200<br />

150<br />

100<br />

50<br />

Aktie 2<br />

0<br />

-2 0 2<br />

Rendite<br />

4 6 8<br />

Wieviel Ertrag und Risiko darf es sein?<br />

Häufigkeit<br />

550<br />

500<br />

450<br />

400<br />

350<br />

300<br />

250<br />

200<br />

150<br />

100<br />

50<br />

Aktie 3<br />

0<br />

-4 -2 0<br />

Rendite<br />

2 4 6


Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />

3 Statistische Grundlagen<br />

• Zufallsvariable:<br />

— Funktion, die bei bestimmten Umweltzuständen j mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten<br />

pj bestimmte Werte annimmt.<br />

— Unsicherheit wird durch die Unsicherheit darüber, welcher Umweltzustand eintreten wird,<br />

vollständig abgebildet<br />

• Erwartungswert:<br />

— ”Im Durchschnitt” erwartete Realisation der Zufallsvariablen:<br />

— E (eri) =µ i = P n<br />

j=1 pjri,j.<br />

• Varianz:<br />

— ”Im Durchschnitt” erwartete quadrierte Abweichung der möglichen Werte von ihrem<br />

Erwartungswert<br />

— Var(eri) =σ 2 i = P n<br />

j=1 pj (ri,j − µ i) 2<br />

— Var(xieri) =x 2 i σ 2 i ,xi = const.<br />

• Standardabweichung:<br />

σi = p σ 2 i = p Var(eri)


Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />

• Historische Renditen: Aktien schlagen Anleihen, ...<br />

• ...aber das Risiko ist deutlich höher!<br />

Quelle: Dimson, E. P, Marsh, M. Staunton (2002): Long-Run Global Capital Market Returns and Risk Premia, Unveröffentlichtes Manuskript, London<br />

Business School.


Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />

• Aktien schlagen langfristig alle anderen Anlagen?<br />

Angenommen, 1 US-Dollar wurde 1926 in 4 Wertpapier-Klassen investiert. Die Graphik<br />

zeigt, wie sich dieser Anlagebetrag bis 1991 entwickelte hätte. (Achtung: Logarithmische<br />

Skalierung)<br />

Quelle: Jagannathan/McGrattan (1995)


Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />

4 Erwartungswert der Renditen eines Portefeuilles<br />

Umweltzustan d Aktie eri Portfolio erP<br />

x1 =0, 5 x1 =0, 67 x1 =0, 75<br />

j pj er1 er2 x2 =0, 5 x2 =0, 33 x2 =0, 25<br />

1 0,25 -6% 0% -3% -4% -4,5%<br />

2 0,25 +2% -10% -4% -2% -1%<br />

3 0,25 +10% +14% +12% +11.33% +11%<br />

4 0,25 +14% +20% +17% +16% +15,5%<br />

µ 5% 6% 5,5% 5,33% 5,25%<br />

Table 1: Aktien- und Portfoliorenditen<br />

• Erwartungswerte der Renditen: E (er1) =µ 1 =5%; E (er2) =µ 2 =6%<br />

• Rendite des Portfolios in jedem Umweltzustand: rPj = x1r1j + x2r2j<br />

• Erwartungswert der Rendite eines Portfolios:<br />

— Wegen E (erP )= Pn j=1 pjrP,j gilt:<br />

— Erwartungswert der Rendite eines Portefeuilles:<br />

E (erP )=µ P = x1µ 1 + x2µ 2<br />

Mit den Portfolioanteilen gewichteter Durchschnitt der erwarteten Renditen der einzelnen<br />

Aktien<br />

— Also: Der Ertrag eines Portfolios ist der Durchschnittsertrag der Aktien im Portfolio.<br />

— Verallgemeinerung m Wertpapiere:<br />

E (erP )=<br />

mX<br />

xiµ i;<br />

i=1<br />

mX<br />

i=1<br />

xi =1


Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />

5 Varianz der Renditen eines Portfolios: Einfaches Beispiel<br />

• Vermögensgut 1: Haus im Wert von 100.000 Euro<br />

• Vermögensgut 2: Feuerversicherungspolice<br />

• 2 Umweltzustände:<br />

— Zustand 1: Haus brennt nieder, Wert Null, Feuerversicherung zahlt 100.000 Euro. Wahrscheinlichkeit<br />

p1= 10%<br />

— Zustand 2: Haus brennt nicht und behält seinen Wert. Versicherung zahlt nicht.<br />

— Auszahlungen:<br />

• Risikoanalyse<br />

Umweltzustand Wahrscheinlichkeit Versicherung Haus Insgesamt<br />

1 0,1 100.000 0 100.000<br />

2 0,9 0 100.000 100.000<br />

Table 2: Auszahlungen Beispiel<br />

Vermögensgut Haus Versicherung Insgesamt<br />

Erwartete Auszahlung<br />

Risiko<br />

s<br />

=<br />

90.000<br />

0, 1(0− 90.000)<br />

10.000 100.000<br />

2<br />

+0, 9(100.000 − 90.000) 2<br />

s<br />

=<br />

0, 1(100.000 − 10.000) 2<br />

+0, 9(0− 10.000) 2<br />

s<br />

=<br />

0, 1(100.000 − 100.000) 2<br />

+0, 9(100.000 − 100.000) 2<br />

=30.000 =30.000 =0<br />

Table 3: Auszahlungen Beispiel<br />

Das Risiko der Renditen ist nicht additiv!<br />

Völlig gegenläufige Entwicklung der Renditen führt<br />

zu einer perfekten Versicherung (null Risiko)


Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />

6 Varianz der Renditen eines Portfolios:Kovarianz und Korrelationskoeffizient<br />

• Tendenzieller Gleichlauf der Renditen:<br />

2 . 5<br />

2<br />

1 . 5<br />

1<br />

0 . 5<br />

0<br />

-0 .5<br />

-1<br />

-1 .5<br />

0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0<br />

—<br />

— r1> µ 1⇔ r2> µ 2 : Tendenzieller Gleichlauf<br />

— (r1−µ 1)(r2−µ 2) im Durchschnitt positiv<br />

— Kovarianz Cov (er1, er2) =σ12 = Pn j=1 pj (r1,j−µ 1)(r2,j−µ 2) ist positiv<br />

• Tendenzielle Gegenläufigkeit:<br />

2<br />

1 . 5<br />

1<br />

0 . 5<br />

0<br />

-0 .5<br />

-1<br />

-1 .5<br />

-2<br />

0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0<br />

—<br />

— r1> µ 1⇔ r2< µ 2 : Tendenzielle Gegenläugigkeit der Renditen<br />

— (r1−µ 1)(r2−µ 2) im Durchschnitt negativ<br />

— Kovarianz Cov (er1, er2) =σ12 = Pn j=1 pj (r1,j−µ 1)(r2,j−µ 2) ist negativ


Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />

• Kovarianz zweier Zufallsvariablen: Erwartungswert des Produkts der Abweichungen beider<br />

Zufallsvariablen von ihrem jeweiligen Erwartungswert.<br />

— Vorzeichen der Kovarianz:<br />

∗ Zufallsvariablen tendenziell gleichläufig: Cov > 0<br />

∗ Zufallsvariablen tendenziell gegenläufig: Cov < 0.<br />

— Betrag der Kovarianz:<br />

∗ Stärke des Zusammenhangs und<br />

∗ Werte, die die Zufallsvariablen annehmen können (Dimension)<br />

• Größtmöglichen Gleichlauf hat eine Variable mit sich selbst:<br />

• Normierung der Kovarianz:<br />

Cov (er1, er1) =σ11 =<br />

nX<br />

j=1<br />

pj (r1,j−µ 1)(r1,j−µ 1)=Var(er1)<br />

Cov (er1, er2)<br />

p<br />

Var(er1) p σ12<br />

=<br />

Var(er2) σ1σ2<br />

= ρ 1,2<br />

...ist der Korrelationskoeffizient zwischen den beiden Variablen.<br />

Der Korrelationskoeffizient hat keine Dimension<br />

— Generell: −1 ≤ ρ ≤ 1<br />

— ρ = −1 :perfekte gegenläufige Bewegung (vollständige negative Korrelation)<br />

— −1


Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />

7 Varianz der Renditen eines Portfolios: Anwendung auf ein<br />

Portfolio mit zwei Aktien<br />

• Varianz einer Summe<br />

• Varianz eines Portfolios:<br />

Var(er1 + er2)=Var(er1)+Var(er2)+2Cov (er1, er2)<br />

Var(x1er1 + x2 er2)=x 2 1Var(er1)+x 2 2Var(er2)+2x1x2Cov (er1, er2) ,<br />

denn Var(xieri) =x 2 i σ 2 i ,xi und Cov (x e1r 1,xf2r2) =x1x2Cov (er1, er2) .<br />

• Alternativ:<br />

• Portfoliorisiko hängt ab von:<br />

Var(x1er1 + x2 er2)=x 2 1σ 2 1+x 2 2σ 2 2+2x1x2σ1σ2ρ 1,2<br />

— der Varianz der Renditen der einzelnen Wertpapiere im Portfolio<br />

— der Kovarianz bzw. der Korrelation zwischen den Renditen<br />

• Wegen der Abhängigkeit von der Kovarianz kann der Beitrag einer Aktie zum Riskiko des<br />

Portfolios nicht isoliert erfaßt werden.<br />

• Bei m Wertpapieren:<br />

Var(erP )=<br />

mX<br />

i=1<br />

mX<br />

k=1<br />

xixkσi,k =<br />

mX<br />

i=1<br />

x 2 i σ 2 i +<br />

mX<br />

i=1<br />

mX<br />

k=1<br />

k6=i<br />

xixkσi,k


Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />

Umweltzustan d Aktie eri Portfolio erP<br />

x1 =0, 5 x1 =0, 67 x1 =0, 75<br />

j pj er1 er2 x2 =0, 5 x2 =0, 33 x2 =0, 25<br />

1 0,25 -6% 0% -3% -4% -4,5%<br />

2 0,25 +2% -10% -4% -2% -1%<br />

3 0,25 +10% +14% +12% +11.33% +11%<br />

4 0,25 +14% +20% +17% +16% +15,5%<br />

σ 2 59 138 84,25 72,67 68,06<br />

σ 7,68 11,75 9,18 8,52 8,25<br />

DR 9,72 9,04 8,70<br />

Table 4: Aktien- und Portfoliorenditen<br />

• Durchschnittsrisiko: DR 2 =(x1σ1+x2σ2) 2 = x 2 1σ 2 1+x 2 2σ 2 2+2x1x2σ1σ2 · 1<br />

• Portfoliorisiko: Var(x1er1 + x2 er2)=x 2 1σ 2 1+x 2 2σ 2 2+2x1x2σ1σ2ρ 1,2<br />

• Nur für den Fall ρ 1,2 =1ist die Varianz (Standardabweichung) der Portfoliorendite gleich dem<br />

Durchschnittsrisiko.<br />

In allen anderen Fällen ist die Varianz der Portfoliorendite geringer<br />

⇒Diversifizierungseffekt<br />

Diversifikation mindert das Risiko eines Portefeuilles<br />

• Für den Fall vollständiger negativer Korrelation gilt:<br />

Var(x1er1 + x2 er2)=x 2 1σ 2 1+x 2 2σ 2 2−2x1x2σ1σ2=(x1σ1−x2σ2) 2<br />

— Anteile xi können so gewählt werden, dass x1 σ2 = x2 σ1 .<br />

— Dann ergibt sich Var(x1er1 + x2 er2) =0.<br />

— Aus zwei riskanten Wertpapieren kann ein risikoloses Portfolio zusammengestellt werden.


Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />

8 ”Naive” Diversifikation<br />

• Es werden alle Wertpapiere mit gleichen Anteilen ins Portfolio aufgenommen<br />

• xi= 1/m<br />

Var(erP ) =<br />

mX<br />

x<br />

i=1<br />

2 i σ 2 mX mX<br />

σ<br />

i=1<br />

i + xixkσi,k =<br />

i=1 k=1<br />

k6=i<br />

2 σi,k<br />

i i=1 k=1<br />

k6=i<br />

+<br />

m2 m2 = mσ2 m (m − 1) σi,k<br />

+<br />

m2 m2 = σ2<br />

m<br />

mP<br />

mP<br />

+ (m − 1) σi,k<br />

m<br />

• Was passiert, wenn die Zahl der Wertpapiere ”groß” wird (m→ ∞)?<br />

lim ¡ σ 2 ¢<br />

P = σi,k<br />

• Wenn die Zahl der Wertpapiere groß wird, hängt das Portfoliorisiko nur noch von der durchschnittlichen<br />

Kovarianz der Wertpapiere (σi,k) ab!<br />

Portfolio Standardabweichung<br />

0.025<br />

0.02<br />

0.015<br />

0.01<br />

0.005<br />

0<br />

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20<br />

Zahl der Wertpapiere<br />

”Naive” Diversifizierung reduziert das Portfolio-Risiko<br />

Diversifikation mindert das Risiko eines Portefeuilles<br />

mP


Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />

9 Systematische Diversifikation mit 2 Aktien<br />

• 2 Aktien mit folgenden Ertrags-und Risikomaßen:<br />

• Ertrag und Risiko eines Portfolios aus den beiden Aktien?<br />

— Die Anteile xi werden variiert<br />

Aktie A B<br />

E (eri) 10% 20%<br />

σi 17% 21%<br />

ρ A,B =0<br />

— Punkt A: Risiko-/Ertragskombination wenn xA= 1und xB= 0.<br />

— Punkt B: Risiko-/Ertragskombination wenn xA= 0und xB= 1<br />

— Linie: Risiko-/Ertragskombination zwischen den extremen Aktiengewichten.<br />

Erwartete Portfoliorendite<br />

0.22<br />

0.2<br />

0.18<br />

0.16<br />

0.14<br />

0.12<br />

0.1<br />

0.08<br />

Korrelationskoeffizient 0<br />

0.06<br />

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35<br />

Standardabweichung Portfolio<br />

B<br />

A<br />

← C: Portfolio min. Varianz<br />

Portfolios aus 2 Aktien mit Diversifizierungseffekt<br />

• Diversifikationseffekt wenn Korrelationskoeffizient = 0:<br />

— Ausgehend von xA= 0 und xB= 1(Punkt B) : Portfoliorisiko sinkt und gleichzeitig steigt<br />

erwarteter Ertrag. (Bis Punkt C).<br />

— Standardabweichung der Portfoliorendite 6= Durchschnittsrisiko.<br />

— Effiziente Portfolios zwischen C und A.


Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />

• 2 Aktien mit folgenden Ertrags-und Risikomaßen:<br />

• Ertrag und Risiko eines Portfolios aus den beiden Aktien?<br />

— Die Anteile xi werden variiert<br />

Aktie A B<br />

E (eri) 10% 20%<br />

σi 17% 21%<br />

ρ A,B =1<br />

— Punkt A: Risiko-/Ertragskombination wenn xA= 1und xB= 0.<br />

— Punkt B: Risiko-/Ertragskombination wenn xA= 0und xB= 1<br />

— Linie: Risiko-/Ertragskombination zwischen den extremen Aktiengewichten.<br />

Erwartete Portfoliorendite<br />

0.22<br />

0.2<br />

0.18<br />

0.16<br />

0.14<br />

0.12<br />

0.1<br />

0.08<br />

Korrelationskoeffizient 1<br />

B=C: Portfolio min. Varianz<br />

0.06<br />

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35<br />

Standardabweichung Portfolio<br />

Portfolio ohne Diversifizierungseffekt<br />

• Diversifikationseffekt wenn Korrelationskoeffizient = 1:<br />

— Ausgehend von xA= 0 und xB= 1(Punkt B) : Portfoliorisiko steigt und gleichzeitig steigt<br />

erwarteter Ertrag. (Bis Punkt C).<br />

— Standardabweichung der Portfoliorendite = Durchschnittsrisiko<br />

— Effiziente Portfolios zwischen B und A.<br />

A


Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />

• 2 Aktien mit folgenden Ertrags-und Risikomaßen:<br />

• Ertrag und Risiko eines Portfolios aus den beiden Aktien?<br />

— Die Anteile xi werden variiert<br />

Aktie A B<br />

E (eri) 10% 20%<br />

σi 17% 21%<br />

ρ A,B = −1<br />

— Punkt A: Risiko-/Ertragskombination wenn xA= 1und xB= 0.<br />

— Punkt B: Risiko-/Ertragskombination wenn xA= 0und xB= 1<br />

— Linie: Risiko-/Ertragskombination zwischen den extremen Aktiengewichten.<br />

Erwartete Portfoliorendite<br />

0.22<br />

0.2<br />

0.18<br />

0.16<br />

0.14<br />

0.12<br />

0.1<br />

0.08<br />

← C: Portfolio min. Varianz<br />

Korrelationskoeffizient -1<br />

0.06<br />

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35<br />

Standardabweichung Portfolio<br />

Portfolio 2 Aktien Diversifikationseffekt maximal<br />

• Diversifikationseffekt wenn Korrelationskoeffizient = -1:<br />

B<br />

— Ausgehend von xA= 0 und xB= 1(Punkt B) : Portfoliorisiko sinkt und gleichzeitig steigt<br />

erwarteter Ertrag. (Bis Punkt C).<br />

— Standardabweichung der Portfoliorendite 6= Durchschnittsrisiko<br />

— Effiziente Portfolios zwischen C und A.<br />

A


Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />

Lernziel<br />

Effiziente Aktienportefeuilles durch Ausnutzung der Risikoreduktion<br />

durch Diversifikation<br />

10 Effiziente Portfolios<br />

Erwartete Portfoliorendite<br />

0.22<br />

0.2<br />

0.18<br />

0.16<br />

0.14<br />

0.12<br />

0.1<br />

0.08<br />

Effiziente Portfolios<br />

0.06<br />

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35<br />

B<br />

A<br />

← C: Min. Varianz<br />

Standardabweichung Portfolio<br />

• Jeder Anleger wählt auf der Basis seiner Präferenzen (Indifferenzkurven) das für ihn optimale<br />

Portfolio auf der ”efficient frontier” (Linie CA).<br />

• Anleger mit unterschiedlichen Präferenzen halten unterschiedliche Portfolios riskanter Wertpapiere.<br />

• Man kann zeigen, dass auch für m Aktien die ”efficient frontier” konkav ist.


Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />

E(r)<br />

-0.5<br />

3<br />

2.5<br />

2<br />

1.5<br />

1<br />

0.5<br />

0<br />

Ertrag und Risiko bei Portfolios aus 5 Aktien<br />

-1<br />

0 5 10 15<br />

σ(r)<br />

Diversifikation mindert das Risiko eines Portefeuilles


Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />

11 Portfolioselektion mit risikoloser Geldanlage und Kreditaufnahme<br />

Lernziel<br />

Wenn der Kapitalmarkt vollständig und vollkommen ist, und wenn<br />

es eine risikolose Anlagealternative gibt, dann ist die optimale<br />

Zusammensetzung des Aktienportefeuilles unabhängig von der<br />

Risikoneigung des Anlegers (Tobin-Separation)<br />

• Geld kann zum Zinssatz if sicher angelegt oder ein Kredit kann zum Zinssatz if aufgenommen<br />

werden.<br />

• Ein Anteil a des Vermögens werde in riskante Wertpapiere investiert, der Anteil (1 − a) indie<br />

risikolose Anlage (a >1: Kreditaufnahme).<br />

• Erwartete Rendite:<br />

• Risiko:<br />

µ a = aµ P +(1− a) if = if + a (µ P − if) (1)<br />

σ 2 a = a 2 σ 2 P +(1− a) 2 σ 2 f +2a (1 − a) σP,f = a 2 σ 2 P<br />

• Kombination der Gleichungen (1) und (2) liefert:<br />

(µ P − if)<br />

µ a = if + σa<br />

σP<br />

— Rendite (µ a) ist eine lineare Funktion des Risikos (σa)<br />

— Rendite setzt sich zusammen aus ”Basisverzinsung” if und einem Risikozuschlag, der das<br />

Produkt aus ”Menge” des Risikos σa und der Risikoprämie (µ P −if)<br />

σP<br />

ist.<br />

(2)


Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />

• Mit welchem riskanten Portfolio sollte man die risikolose Anlage kombinieren?<br />

Erwartete Portfoliorendite<br />

0.22<br />

0.2<br />

0.18<br />

0.16<br />

0.14<br />

0.12<br />

0.1<br />

0.08<br />

if<br />

Effiziente Portfolios<br />

0.06<br />

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3<br />

Standardabweichung Portfolio<br />

• Es gibt jetzt ein eindeutiges optimales Portfolio (Punkt D).<br />

a1<br />

E<br />

B<br />

• Jeder Anleger wird unabhängig von seinen Präferenzen das gleiche Portfolio riskanter Wertpapiere<br />

wählen.<br />

• Risikoeinstellung: Hat nur noch Auswirkungen darauf, welcher Teil des Vermögens in das<br />

riskante Portfolio investiert (a) wird und welcher Teil risikolos angelegt wird (1 − a).<br />

• Das ist die Tobin-Separation:<br />

1. Zusammenstellung des optimalen Portfolios riskanter Wertpapiere unabhängig von der<br />

Risikoeinstellung des Anlegers.<br />

2. Auswahl des optimalen Portfolios, bestehend aus risikoloser Geldanlage (oder -aufnahme)<br />

und riskanten Portfolio gemäß dem Grad der Risikoeinstellung.<br />

A


Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />

12 Zusammenfassung<br />

• Risikoscheue Anleger halten bezüglich Ertrag und Risiko effiziente Portefeuilles<br />

• Das Risiko wird als Standardabweichung, der Ertrag als Erwartungswert der Rendite erfaßt<br />

• Die ”efficient frontier” ist für risikolose Investoren konkav und wird gemäß der anlegerspezifischen<br />

Erwartungen bezüglich Risiko und Ertrag ermittelt<br />

• Besteht eine risikolose Geldanlage und -aufnahmemöglichkeit, wird die ”efficient frontier” zu<br />

einer Geraden, und es gibt nur ein optimales riskantes Aktienportfolio<br />

• Die Anleger wählen ihre optimalen Mischportfolios gemäß ihrem Grad der Risikoscheu.

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