Materialien zur Vorlesung ”Portfolio-Selektion” - Burkhard Erke
Materialien zur Vorlesung ”Portfolio-Selektion” - Burkhard Erke
Materialien zur Vorlesung ”Portfolio-Selektion” - Burkhard Erke
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />
<strong>Materialien</strong> <strong>zur</strong> <strong>Vorlesung</strong><br />
<strong>”Portfolio</strong>-<strong>Selektion”</strong><br />
<strong>Burkhard</strong> <strong>Erke</strong><br />
Quellen: Schmidt/Terberger, Kap. 8; Brealey/Myers, Kap. 7/8<br />
Juli 2002
Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />
Lernziele<br />
Diversifikation mindert das Risiko eines Portefeuilles<br />
Effiziente Aktienportefeuilles durch Ausnutzung der Risikoreduktion<br />
durch Diversifikation<br />
Wenn der Kapitalmarkt vollständig und vollkommen ist, und wenn<br />
es eine risikolose Anlagealternative gibt, dann ist die optimale<br />
Zusammensetzung des Aktienportefeuilles unabhängig von der<br />
Risikoneigung des Anlegers (Tobin-Separation)
Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />
1 Worum es geht<br />
• Theorie der Portfolio-Selektion: Wie sollen Anleger einzelne Wertpapiere in einem Portfolio<br />
zusammenstellen, um eine entsprechend ihren Präferenzen optimalen Kombination von Risiko<br />
und Rendite zu erreichen?<br />
• Grundidee: Diversifikation reduziert Risiken:<br />
— Lieferantenauswahl eines Unternehmens: Lieferungen von 2 Zulieferern werden nicht gleichzeitig<br />
ausfallen.<br />
— Versicherungen: Viele verschiedene unabhängige Risiken<br />
— Investition in Aktien: Renditen laufen nicht 100% gleich.<br />
• Stärke des Diversifikationseffektes hängt ab, inwieweit Risiken gleich- oder gegenläufig sind:<br />
— unabhängige Risiken: Versicherungen<br />
— gegenläufige Risiken: Regenschirme und Sonnenöl<br />
— gleichläufige Risiken: 5 Telekommunikations-Aktien<br />
Gegenläufigkeit verstärkt den Diversifikationseffekt, sie ist aber nicht nötig, um überhaupt<br />
einen Diversifikationseffekt zu erzielen.<br />
• Vermögensarten:<br />
Wertpapiere und Aktien<br />
Versicherungs- und Rentenansprüche<br />
Kunstgegenstände<br />
Grundvermögen<br />
Humankapital<br />
↓<br />
↓<br />
↓<br />
↓<br />
↓<br />
Marktgängigkeit<br />
• Wertpapiere: Ertragbringendes Vermögensgut; auf organisiertem Markt gehandelt (Börse).<br />
• Aktie: Wertpapier mit unsicherem Ertrag
Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />
2 Annahmen<br />
• Beliebige Teilbarkeit<br />
• Planungszeit eine Periode<br />
Lernziel<br />
Diversifikation mindert das Risiko eines Portefeuilles<br />
• Ziel: Maximierung des Vermögensendwertes<br />
• Risikoscheu (=Risikoaversion)<br />
• Präferenzen durch Parameter Ertrag und Risiko abbildbar<br />
• Ertrag:<br />
— Erwartungswert des Endvermögens<br />
— oder Erwartungswert der Rendite: V0 [1 + E (r)] = E (V1)<br />
— Rendite im folgenden: r = BK1−Bk0+D1<br />
BK0<br />
• Risiko: Gemessen durch Varianz und Standardabweichung der Rendite.<br />
Häufigkeit<br />
550<br />
500<br />
450<br />
400<br />
350<br />
300<br />
250<br />
200<br />
150<br />
100<br />
50<br />
Aktie 1<br />
0<br />
0 5<br />
Rendite<br />
10<br />
Häufigkeit<br />
550<br />
500<br />
450<br />
400<br />
350<br />
300<br />
250<br />
200<br />
150<br />
100<br />
50<br />
Aktie 2<br />
0<br />
-2 0 2<br />
Rendite<br />
4 6 8<br />
Wieviel Ertrag und Risiko darf es sein?<br />
Häufigkeit<br />
550<br />
500<br />
450<br />
400<br />
350<br />
300<br />
250<br />
200<br />
150<br />
100<br />
50<br />
Aktie 3<br />
0<br />
-4 -2 0<br />
Rendite<br />
2 4 6
Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />
3 Statistische Grundlagen<br />
• Zufallsvariable:<br />
— Funktion, die bei bestimmten Umweltzuständen j mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten<br />
pj bestimmte Werte annimmt.<br />
— Unsicherheit wird durch die Unsicherheit darüber, welcher Umweltzustand eintreten wird,<br />
vollständig abgebildet<br />
• Erwartungswert:<br />
— ”Im Durchschnitt” erwartete Realisation der Zufallsvariablen:<br />
— E (eri) =µ i = P n<br />
j=1 pjri,j.<br />
• Varianz:<br />
— ”Im Durchschnitt” erwartete quadrierte Abweichung der möglichen Werte von ihrem<br />
Erwartungswert<br />
— Var(eri) =σ 2 i = P n<br />
j=1 pj (ri,j − µ i) 2<br />
— Var(xieri) =x 2 i σ 2 i ,xi = const.<br />
• Standardabweichung:<br />
σi = p σ 2 i = p Var(eri)
Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />
• Historische Renditen: Aktien schlagen Anleihen, ...<br />
• ...aber das Risiko ist deutlich höher!<br />
Quelle: Dimson, E. P, Marsh, M. Staunton (2002): Long-Run Global Capital Market Returns and Risk Premia, Unveröffentlichtes Manuskript, London<br />
Business School.
Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />
• Aktien schlagen langfristig alle anderen Anlagen?<br />
Angenommen, 1 US-Dollar wurde 1926 in 4 Wertpapier-Klassen investiert. Die Graphik<br />
zeigt, wie sich dieser Anlagebetrag bis 1991 entwickelte hätte. (Achtung: Logarithmische<br />
Skalierung)<br />
Quelle: Jagannathan/McGrattan (1995)
Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />
4 Erwartungswert der Renditen eines Portefeuilles<br />
Umweltzustan d Aktie eri Portfolio erP<br />
x1 =0, 5 x1 =0, 67 x1 =0, 75<br />
j pj er1 er2 x2 =0, 5 x2 =0, 33 x2 =0, 25<br />
1 0,25 -6% 0% -3% -4% -4,5%<br />
2 0,25 +2% -10% -4% -2% -1%<br />
3 0,25 +10% +14% +12% +11.33% +11%<br />
4 0,25 +14% +20% +17% +16% +15,5%<br />
µ 5% 6% 5,5% 5,33% 5,25%<br />
Table 1: Aktien- und Portfoliorenditen<br />
• Erwartungswerte der Renditen: E (er1) =µ 1 =5%; E (er2) =µ 2 =6%<br />
• Rendite des Portfolios in jedem Umweltzustand: rPj = x1r1j + x2r2j<br />
• Erwartungswert der Rendite eines Portfolios:<br />
— Wegen E (erP )= Pn j=1 pjrP,j gilt:<br />
— Erwartungswert der Rendite eines Portefeuilles:<br />
E (erP )=µ P = x1µ 1 + x2µ 2<br />
Mit den Portfolioanteilen gewichteter Durchschnitt der erwarteten Renditen der einzelnen<br />
Aktien<br />
— Also: Der Ertrag eines Portfolios ist der Durchschnittsertrag der Aktien im Portfolio.<br />
— Verallgemeinerung m Wertpapiere:<br />
E (erP )=<br />
mX<br />
xiµ i;<br />
i=1<br />
mX<br />
i=1<br />
xi =1
Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />
5 Varianz der Renditen eines Portfolios: Einfaches Beispiel<br />
• Vermögensgut 1: Haus im Wert von 100.000 Euro<br />
• Vermögensgut 2: Feuerversicherungspolice<br />
• 2 Umweltzustände:<br />
— Zustand 1: Haus brennt nieder, Wert Null, Feuerversicherung zahlt 100.000 Euro. Wahrscheinlichkeit<br />
p1= 10%<br />
— Zustand 2: Haus brennt nicht und behält seinen Wert. Versicherung zahlt nicht.<br />
— Auszahlungen:<br />
• Risikoanalyse<br />
Umweltzustand Wahrscheinlichkeit Versicherung Haus Insgesamt<br />
1 0,1 100.000 0 100.000<br />
2 0,9 0 100.000 100.000<br />
Table 2: Auszahlungen Beispiel<br />
Vermögensgut Haus Versicherung Insgesamt<br />
Erwartete Auszahlung<br />
Risiko<br />
s<br />
=<br />
90.000<br />
0, 1(0− 90.000)<br />
10.000 100.000<br />
2<br />
+0, 9(100.000 − 90.000) 2<br />
s<br />
=<br />
0, 1(100.000 − 10.000) 2<br />
+0, 9(0− 10.000) 2<br />
s<br />
=<br />
0, 1(100.000 − 100.000) 2<br />
+0, 9(100.000 − 100.000) 2<br />
=30.000 =30.000 =0<br />
Table 3: Auszahlungen Beispiel<br />
Das Risiko der Renditen ist nicht additiv!<br />
Völlig gegenläufige Entwicklung der Renditen führt<br />
zu einer perfekten Versicherung (null Risiko)
Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />
6 Varianz der Renditen eines Portfolios:Kovarianz und Korrelationskoeffizient<br />
• Tendenzieller Gleichlauf der Renditen:<br />
2 . 5<br />
2<br />
1 . 5<br />
1<br />
0 . 5<br />
0<br />
-0 .5<br />
-1<br />
-1 .5<br />
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0<br />
—<br />
— r1> µ 1⇔ r2> µ 2 : Tendenzieller Gleichlauf<br />
— (r1−µ 1)(r2−µ 2) im Durchschnitt positiv<br />
— Kovarianz Cov (er1, er2) =σ12 = Pn j=1 pj (r1,j−µ 1)(r2,j−µ 2) ist positiv<br />
• Tendenzielle Gegenläufigkeit:<br />
2<br />
1 . 5<br />
1<br />
0 . 5<br />
0<br />
-0 .5<br />
-1<br />
-1 .5<br />
-2<br />
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0<br />
—<br />
— r1> µ 1⇔ r2< µ 2 : Tendenzielle Gegenläugigkeit der Renditen<br />
— (r1−µ 1)(r2−µ 2) im Durchschnitt negativ<br />
— Kovarianz Cov (er1, er2) =σ12 = Pn j=1 pj (r1,j−µ 1)(r2,j−µ 2) ist negativ
Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />
• Kovarianz zweier Zufallsvariablen: Erwartungswert des Produkts der Abweichungen beider<br />
Zufallsvariablen von ihrem jeweiligen Erwartungswert.<br />
— Vorzeichen der Kovarianz:<br />
∗ Zufallsvariablen tendenziell gleichläufig: Cov > 0<br />
∗ Zufallsvariablen tendenziell gegenläufig: Cov < 0.<br />
— Betrag der Kovarianz:<br />
∗ Stärke des Zusammenhangs und<br />
∗ Werte, die die Zufallsvariablen annehmen können (Dimension)<br />
• Größtmöglichen Gleichlauf hat eine Variable mit sich selbst:<br />
• Normierung der Kovarianz:<br />
Cov (er1, er1) =σ11 =<br />
nX<br />
j=1<br />
pj (r1,j−µ 1)(r1,j−µ 1)=Var(er1)<br />
Cov (er1, er2)<br />
p<br />
Var(er1) p σ12<br />
=<br />
Var(er2) σ1σ2<br />
= ρ 1,2<br />
...ist der Korrelationskoeffizient zwischen den beiden Variablen.<br />
Der Korrelationskoeffizient hat keine Dimension<br />
— Generell: −1 ≤ ρ ≤ 1<br />
— ρ = −1 :perfekte gegenläufige Bewegung (vollständige negative Korrelation)<br />
— −1
Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />
7 Varianz der Renditen eines Portfolios: Anwendung auf ein<br />
Portfolio mit zwei Aktien<br />
• Varianz einer Summe<br />
• Varianz eines Portfolios:<br />
Var(er1 + er2)=Var(er1)+Var(er2)+2Cov (er1, er2)<br />
Var(x1er1 + x2 er2)=x 2 1Var(er1)+x 2 2Var(er2)+2x1x2Cov (er1, er2) ,<br />
denn Var(xieri) =x 2 i σ 2 i ,xi und Cov (x e1r 1,xf2r2) =x1x2Cov (er1, er2) .<br />
• Alternativ:<br />
• Portfoliorisiko hängt ab von:<br />
Var(x1er1 + x2 er2)=x 2 1σ 2 1+x 2 2σ 2 2+2x1x2σ1σ2ρ 1,2<br />
— der Varianz der Renditen der einzelnen Wertpapiere im Portfolio<br />
— der Kovarianz bzw. der Korrelation zwischen den Renditen<br />
• Wegen der Abhängigkeit von der Kovarianz kann der Beitrag einer Aktie zum Riskiko des<br />
Portfolios nicht isoliert erfaßt werden.<br />
• Bei m Wertpapieren:<br />
Var(erP )=<br />
mX<br />
i=1<br />
mX<br />
k=1<br />
xixkσi,k =<br />
mX<br />
i=1<br />
x 2 i σ 2 i +<br />
mX<br />
i=1<br />
mX<br />
k=1<br />
k6=i<br />
xixkσi,k
Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />
Umweltzustan d Aktie eri Portfolio erP<br />
x1 =0, 5 x1 =0, 67 x1 =0, 75<br />
j pj er1 er2 x2 =0, 5 x2 =0, 33 x2 =0, 25<br />
1 0,25 -6% 0% -3% -4% -4,5%<br />
2 0,25 +2% -10% -4% -2% -1%<br />
3 0,25 +10% +14% +12% +11.33% +11%<br />
4 0,25 +14% +20% +17% +16% +15,5%<br />
σ 2 59 138 84,25 72,67 68,06<br />
σ 7,68 11,75 9,18 8,52 8,25<br />
DR 9,72 9,04 8,70<br />
Table 4: Aktien- und Portfoliorenditen<br />
• Durchschnittsrisiko: DR 2 =(x1σ1+x2σ2) 2 = x 2 1σ 2 1+x 2 2σ 2 2+2x1x2σ1σ2 · 1<br />
• Portfoliorisiko: Var(x1er1 + x2 er2)=x 2 1σ 2 1+x 2 2σ 2 2+2x1x2σ1σ2ρ 1,2<br />
• Nur für den Fall ρ 1,2 =1ist die Varianz (Standardabweichung) der Portfoliorendite gleich dem<br />
Durchschnittsrisiko.<br />
In allen anderen Fällen ist die Varianz der Portfoliorendite geringer<br />
⇒Diversifizierungseffekt<br />
Diversifikation mindert das Risiko eines Portefeuilles<br />
• Für den Fall vollständiger negativer Korrelation gilt:<br />
Var(x1er1 + x2 er2)=x 2 1σ 2 1+x 2 2σ 2 2−2x1x2σ1σ2=(x1σ1−x2σ2) 2<br />
— Anteile xi können so gewählt werden, dass x1 σ2 = x2 σ1 .<br />
— Dann ergibt sich Var(x1er1 + x2 er2) =0.<br />
— Aus zwei riskanten Wertpapieren kann ein risikoloses Portfolio zusammengestellt werden.
Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />
8 ”Naive” Diversifikation<br />
• Es werden alle Wertpapiere mit gleichen Anteilen ins Portfolio aufgenommen<br />
• xi= 1/m<br />
Var(erP ) =<br />
mX<br />
x<br />
i=1<br />
2 i σ 2 mX mX<br />
σ<br />
i=1<br />
i + xixkσi,k =<br />
i=1 k=1<br />
k6=i<br />
2 σi,k<br />
i i=1 k=1<br />
k6=i<br />
+<br />
m2 m2 = mσ2 m (m − 1) σi,k<br />
+<br />
m2 m2 = σ2<br />
m<br />
mP<br />
mP<br />
+ (m − 1) σi,k<br />
m<br />
• Was passiert, wenn die Zahl der Wertpapiere ”groß” wird (m→ ∞)?<br />
lim ¡ σ 2 ¢<br />
P = σi,k<br />
• Wenn die Zahl der Wertpapiere groß wird, hängt das Portfoliorisiko nur noch von der durchschnittlichen<br />
Kovarianz der Wertpapiere (σi,k) ab!<br />
Portfolio Standardabweichung<br />
0.025<br />
0.02<br />
0.015<br />
0.01<br />
0.005<br />
0<br />
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20<br />
Zahl der Wertpapiere<br />
”Naive” Diversifizierung reduziert das Portfolio-Risiko<br />
Diversifikation mindert das Risiko eines Portefeuilles<br />
mP
Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />
9 Systematische Diversifikation mit 2 Aktien<br />
• 2 Aktien mit folgenden Ertrags-und Risikomaßen:<br />
• Ertrag und Risiko eines Portfolios aus den beiden Aktien?<br />
— Die Anteile xi werden variiert<br />
Aktie A B<br />
E (eri) 10% 20%<br />
σi 17% 21%<br />
ρ A,B =0<br />
— Punkt A: Risiko-/Ertragskombination wenn xA= 1und xB= 0.<br />
— Punkt B: Risiko-/Ertragskombination wenn xA= 0und xB= 1<br />
— Linie: Risiko-/Ertragskombination zwischen den extremen Aktiengewichten.<br />
Erwartete Portfoliorendite<br />
0.22<br />
0.2<br />
0.18<br />
0.16<br />
0.14<br />
0.12<br />
0.1<br />
0.08<br />
Korrelationskoeffizient 0<br />
0.06<br />
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35<br />
Standardabweichung Portfolio<br />
B<br />
A<br />
← C: Portfolio min. Varianz<br />
Portfolios aus 2 Aktien mit Diversifizierungseffekt<br />
• Diversifikationseffekt wenn Korrelationskoeffizient = 0:<br />
— Ausgehend von xA= 0 und xB= 1(Punkt B) : Portfoliorisiko sinkt und gleichzeitig steigt<br />
erwarteter Ertrag. (Bis Punkt C).<br />
— Standardabweichung der Portfoliorendite 6= Durchschnittsrisiko.<br />
— Effiziente Portfolios zwischen C und A.
Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />
• 2 Aktien mit folgenden Ertrags-und Risikomaßen:<br />
• Ertrag und Risiko eines Portfolios aus den beiden Aktien?<br />
— Die Anteile xi werden variiert<br />
Aktie A B<br />
E (eri) 10% 20%<br />
σi 17% 21%<br />
ρ A,B =1<br />
— Punkt A: Risiko-/Ertragskombination wenn xA= 1und xB= 0.<br />
— Punkt B: Risiko-/Ertragskombination wenn xA= 0und xB= 1<br />
— Linie: Risiko-/Ertragskombination zwischen den extremen Aktiengewichten.<br />
Erwartete Portfoliorendite<br />
0.22<br />
0.2<br />
0.18<br />
0.16<br />
0.14<br />
0.12<br />
0.1<br />
0.08<br />
Korrelationskoeffizient 1<br />
B=C: Portfolio min. Varianz<br />
0.06<br />
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35<br />
Standardabweichung Portfolio<br />
Portfolio ohne Diversifizierungseffekt<br />
• Diversifikationseffekt wenn Korrelationskoeffizient = 1:<br />
— Ausgehend von xA= 0 und xB= 1(Punkt B) : Portfoliorisiko steigt und gleichzeitig steigt<br />
erwarteter Ertrag. (Bis Punkt C).<br />
— Standardabweichung der Portfoliorendite = Durchschnittsrisiko<br />
— Effiziente Portfolios zwischen B und A.<br />
A
Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />
• 2 Aktien mit folgenden Ertrags-und Risikomaßen:<br />
• Ertrag und Risiko eines Portfolios aus den beiden Aktien?<br />
— Die Anteile xi werden variiert<br />
Aktie A B<br />
E (eri) 10% 20%<br />
σi 17% 21%<br />
ρ A,B = −1<br />
— Punkt A: Risiko-/Ertragskombination wenn xA= 1und xB= 0.<br />
— Punkt B: Risiko-/Ertragskombination wenn xA= 0und xB= 1<br />
— Linie: Risiko-/Ertragskombination zwischen den extremen Aktiengewichten.<br />
Erwartete Portfoliorendite<br />
0.22<br />
0.2<br />
0.18<br />
0.16<br />
0.14<br />
0.12<br />
0.1<br />
0.08<br />
← C: Portfolio min. Varianz<br />
Korrelationskoeffizient -1<br />
0.06<br />
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35<br />
Standardabweichung Portfolio<br />
Portfolio 2 Aktien Diversifikationseffekt maximal<br />
• Diversifikationseffekt wenn Korrelationskoeffizient = -1:<br />
B<br />
— Ausgehend von xA= 0 und xB= 1(Punkt B) : Portfoliorisiko sinkt und gleichzeitig steigt<br />
erwarteter Ertrag. (Bis Punkt C).<br />
— Standardabweichung der Portfoliorendite 6= Durchschnittsrisiko<br />
— Effiziente Portfolios zwischen C und A.<br />
A
Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />
Lernziel<br />
Effiziente Aktienportefeuilles durch Ausnutzung der Risikoreduktion<br />
durch Diversifikation<br />
10 Effiziente Portfolios<br />
Erwartete Portfoliorendite<br />
0.22<br />
0.2<br />
0.18<br />
0.16<br />
0.14<br />
0.12<br />
0.1<br />
0.08<br />
Effiziente Portfolios<br />
0.06<br />
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35<br />
B<br />
A<br />
← C: Min. Varianz<br />
Standardabweichung Portfolio<br />
• Jeder Anleger wählt auf der Basis seiner Präferenzen (Indifferenzkurven) das für ihn optimale<br />
Portfolio auf der ”efficient frontier” (Linie CA).<br />
• Anleger mit unterschiedlichen Präferenzen halten unterschiedliche Portfolios riskanter Wertpapiere.<br />
• Man kann zeigen, dass auch für m Aktien die ”efficient frontier” konkav ist.
Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />
E(r)<br />
-0.5<br />
3<br />
2.5<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
Ertrag und Risiko bei Portfolios aus 5 Aktien<br />
-1<br />
0 5 10 15<br />
σ(r)<br />
Diversifikation mindert das Risiko eines Portefeuilles
Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />
11 Portfolioselektion mit risikoloser Geldanlage und Kreditaufnahme<br />
Lernziel<br />
Wenn der Kapitalmarkt vollständig und vollkommen ist, und wenn<br />
es eine risikolose Anlagealternative gibt, dann ist die optimale<br />
Zusammensetzung des Aktienportefeuilles unabhängig von der<br />
Risikoneigung des Anlegers (Tobin-Separation)<br />
• Geld kann zum Zinssatz if sicher angelegt oder ein Kredit kann zum Zinssatz if aufgenommen<br />
werden.<br />
• Ein Anteil a des Vermögens werde in riskante Wertpapiere investiert, der Anteil (1 − a) indie<br />
risikolose Anlage (a >1: Kreditaufnahme).<br />
• Erwartete Rendite:<br />
• Risiko:<br />
µ a = aµ P +(1− a) if = if + a (µ P − if) (1)<br />
σ 2 a = a 2 σ 2 P +(1− a) 2 σ 2 f +2a (1 − a) σP,f = a 2 σ 2 P<br />
• Kombination der Gleichungen (1) und (2) liefert:<br />
(µ P − if)<br />
µ a = if + σa<br />
σP<br />
— Rendite (µ a) ist eine lineare Funktion des Risikos (σa)<br />
— Rendite setzt sich zusammen aus ”Basisverzinsung” if und einem Risikozuschlag, der das<br />
Produkt aus ”Menge” des Risikos σa und der Risikoprämie (µ P −if)<br />
σP<br />
ist.<br />
(2)
Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />
• Mit welchem riskanten Portfolio sollte man die risikolose Anlage kombinieren?<br />
Erwartete Portfoliorendite<br />
0.22<br />
0.2<br />
0.18<br />
0.16<br />
0.14<br />
0.12<br />
0.1<br />
0.08<br />
if<br />
Effiziente Portfolios<br />
0.06<br />
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3<br />
Standardabweichung Portfolio<br />
• Es gibt jetzt ein eindeutiges optimales Portfolio (Punkt D).<br />
a1<br />
E<br />
B<br />
• Jeder Anleger wird unabhängig von seinen Präferenzen das gleiche Portfolio riskanter Wertpapiere<br />
wählen.<br />
• Risikoeinstellung: Hat nur noch Auswirkungen darauf, welcher Teil des Vermögens in das<br />
riskante Portfolio investiert (a) wird und welcher Teil risikolos angelegt wird (1 − a).<br />
• Das ist die Tobin-Separation:<br />
1. Zusammenstellung des optimalen Portfolios riskanter Wertpapiere unabhängig von der<br />
Risikoeinstellung des Anlegers.<br />
2. Auswahl des optimalen Portfolios, bestehend aus risikoloser Geldanlage (oder -aufnahme)<br />
und riskanten Portfolio gemäß dem Grad der Risikoeinstellung.<br />
A
Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong><br />
12 Zusammenfassung<br />
• Risikoscheue Anleger halten bezüglich Ertrag und Risiko effiziente Portefeuilles<br />
• Das Risiko wird als Standardabweichung, der Ertrag als Erwartungswert der Rendite erfaßt<br />
• Die ”efficient frontier” ist für risikolose Investoren konkav und wird gemäß der anlegerspezifischen<br />
Erwartungen bezüglich Risiko und Ertrag ermittelt<br />
• Besteht eine risikolose Geldanlage und -aufnahmemöglichkeit, wird die ”efficient frontier” zu<br />
einer Geraden, und es gibt nur ein optimales riskantes Aktienportfolio<br />
• Die Anleger wählen ihre optimalen Mischportfolios gemäß ihrem Grad der Risikoscheu.