Mikroökonomik

Claus-Jochen Haake

SS 2008

Mikroökonomik ’SS08 – slide 1

Preis- und Einkommenseffekte

Mikroökonomik ’SS08 – slide 2

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Einkommenseffekte

Wir wollen untersuchen, wie sich die (Marshallsche) Nachfrage ändert, wenn

sich Einkommen oder Preis ändern.

Dazu wollen wir die Nachfrage des Konsumenten nach einem Gut in

Abhängigkeit des Einkommens (❀ Engel-Kurve) bzw. in Abhängigkeit des

Preises (❀ Nachfrage-Kurve) darstellen.

Definition Seien Präferenzen und Preis p gegeben. Der

Einkommensexpansionspfad ist die Menge aller Güterbündel x ∗ , zu denen

es ein Einkommen gibt, so dass x ∗ bei diesem Einkommen nachgefragt wird,

d.h. die Menge

x ∈ R l + | ∃m ≥ 0 : x = x M

(p, m) .

Daraus können wir einen funktionalen Zusammenhang zwischen Einkommen

und nachgefragter Menge eines Gutes konstruieren. Die so erhaltene

Abbildung heißt Engel-Kurve.

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Homothetische Präferenzen

Unter welchen Umständen bekommen wir eine lineare Engelkurve, d.h. das

Verhältnis zwischen Einkommen und nachgefragter Menge, also die

Ausgabenquote pi xM i (p, m)/m für dieses Gut, bleibt unverändert.

Definition

Eine (Nutzen-) Funktion u : R l + −→ R heißt homothetisch, wenn sie als

Komposition einer streng monoton steigenden Funktion f : R −→ R und einer

linear homogenen Funktion w : R l + −→ R geschrieben werden kann, also

u(x) = f(w(x)) für alle x ∈ R l + richtig ist.

Eine Präferenzrelation heißt homothetisch, wenn sie durch eine

homothetische Nutzenfunktion repräsentiert werden kann.

Insbesondere können also homothetische Präferenzen durch eine

Nutzenfunktion dargestellt werden, die homogen vom Grad 1 ist (etwa

Cobb-Douglas, lineare NF, Leontief, ...).

Wie sieht die Engel-Kurve dazu aus?

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Quasilineare Nutzenfunktionen

Definition

Eine (Nutzen-) Funktion u : Rl + −→ R heißt quasilinear, wenn es eine

Funktion w : R l−1

+ −→ R gibt, so dass

gilt.

u(x1, . . .,xl) = w(x1, . . .,xl−1) + xl

Eine Präferenzrelation heißt quasilinear, wenn sie durch eine quasilineare

Nutzenfunktion repräsentiert werden kann.

Mikroökonomik ’SS08 – slide 5

Einkommenselastizität

Wie misst man nun Einkommenseffekte?

Die partielle Ableitung ∂xMi (p, m) gibt an, mit welcher Rate die Nachfrage

∂m

nach Gut i mit dem Einkommen steigt, misst also den Einkommenseffekt.

Oft nimmt man die Einkommenselastizität (von Gut i). Sie sagt aus, um

wieviel Prozent die Nachfrage bei einer 1-prozentigen Erhöhung des

Einkommens steigt und ist durch

ηi = ηi(p, m) := ∂xM i

∂m

definiert. Also

ηi =

(p, m) ·

x M i

m

(p, m)

prozentuale Änderung der nachgefragten Menge von Gut i

prozentuale Änderung des Einkommens

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Normale u. inferiore Güter

Die Analyse des Einkommenseffektes (part. Ableitung der Marshallschen

Nachfrage nach dem einkommen) erlaubt uns, Güter zu unterscheiden.

Definition

Das Gut i heißt an einer Stelle (p, m) normal, falls ∂xM

∂m (p, m) ≥ 0 gilt, der

Einkommenseffekt also nicht negativ ist.

Das Gut i heißt an einer Stelle (p, m) inferior, falls ∂xM

∂m (p, m) < 0 gilt, der

Einkommenseffekt also negativ ist.

Gut i heißt normal (bzw. inferior), falls es an jeder Stelle (p, m) normal

(bzw. inferior) ist.

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Eigenschaften homoth. Präferenzen

Satz Folgende Aussagen sind äquivalent:

1. Die Präferenzen sind durch eine homogene Nutzenfunktion darstellbar.

2. Alle Engel-Kurven sind für jedes p linear.

3. Der Einkommensexpansionspfad ist für jedes p linear.

4. Die Einkommenselastizitäten ηi(p, m) sind für jedes Gut i an jeder Stelle

(p, m) gleich 1.

Bemerkung

1. Es gilt für jeden Preisvektor p ∈ Rl ++ und m > 0 (mit Eulers Theorem):

l ∂x

pj

M l

j

x

(p, m) = pj

∂m M j (p, m)

= 1.

m

j=1

j=1

2. Im homoth. Fall gilt für jedes Gut i: Grenzausgaben=Ausgabenquote

∂x

ηi = 1 ⇐⇒ pi

M i

∂m

x

(p, m) = pi

M i

(p, m)

m

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Preiseffekte

Analog zum Einkommensexpansionspfad können wir auch verfolgen, welche

Änderungen der Nachfrage durch eine Änderung der Preise hervorgerufen

wird.

Definition Seien Präferenzen, Einkommen m und alle Preise pj (j = i) außer

pi fixiert. Der Preisexpansionspfad (auch offer-curve) ist die Menge aller

Güterbündel x∗ , zu denen es einen Preis pi gibt, so dass x∗ bei diesem Preis

pi und fixierten Preisen p−i und Einkommen m nachgefragt wird, d.h. die

Menge

x ∈ R l + | ∃pi > 0 : x = x M

(p, m) .

Daraus können wir einen funktionalen Zusammenhang zwischen Preis pi und

nachgefragter Menge eines Gutes konstruieren. Die so erhaltene Abbildung

heißt Nachfragekurve.

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Preiselastizitäten

Analog zu Änderungen des Einkommens misst

● ∂xM i

∂pi

(p.m) den direkten Preiseffekt, und

● εii = εii(p, m) := ∂xM i

∂pi

● ∂xM i

∂pj

pi

(p.m) ·

xM i (p, m)

die direkte Preiselastizität der Nachfrage (nach Gut i bei (p, m)), sowie

(p.m) den indirekten Kreuzpreiseffekt, und

● εij = εij(p, m) := ∂xM i

∂pj

(p.m) ·

x M i

pj

(p, m)

die Kreuzpreiselastizität der Nachfrage (nach Gut i bei Änderung von pj

an der Stelle (p, m)).

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Giffen-Güter

Definition

Ein Gut i, für das an der Stelle (p, m) gilt, dass der direkte Preiseffekt positiv

ist, also

∂x M i

∂pi

(p.m) > 0

gilt, heißt Giffen-Gut (an der Stelle (p, m)).

Also: Leitet man bei einem Giffen Gut die nachfragefunktion ab, so hat diese

an der Stelle entsprechenden Stelle eine positive Steigung.

Wir wollen später sehen, ob (dass) das Gesetz der fallenden Nachfrage

(Law of Demand) gültig ist:

“Steigt der Preis eines normalen Gutes, so fällt dessen Nachfrage.”

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Eigenschaften von x M (·, ·)

Satz (Euler Theorem)

Sei f : R n −→ R n diff’bar und homogen vom Grad k ≥ 0. Dann gilt für alle x:

n ∂f

(x)xi = k f(x).

∂xi

i=1

Satz Für die Marshallsche Nachfrage gilt:

1. x M i ist für jedes i = 1, . . .,l homogen vom Grad 0.

2. Engel-Aggregation:

l

i=1 pi x M i (p, m) = m =⇒ l

i=1

3. Cournot-Aggregation:

l

i=1 pi x M i (p, m) = m =⇒ l

i=1

4. l

j=1 εij = −ηi.

pi x M i (p,m)

m

pi x M i (p,m)

m

ηi = 1.

εij = − pj xM j (p,m)

m .

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Eigenschaften von x H (·, ·)

Satz Für die Hickssche Nachfrage gilt:

1. xH i ist für jedes i = 1, . . . , l in p homogen vom Grad 0,

d.h. xH i (λp, ū) = xHi (p, ū).

2. Ist die Ausgabenfunktion zweimal stetig differenzierbar, so gilt für alle

Güter i, j:

∂x H i (p,ū)

∂x H i

(p, ū)

∂pj

= ∂2 e(p, ū)

∂pi∂pj

= ∂2 e(p, ū)

∂pj∂pi

= ∂xH j (p, ū)

.

∂pi

misst den Substitutionseffekt bei Preisänderung von Gut j. Die

∂pj

Indifferenzkurve (zu ū) wird dabei festgehalten.

Mikroökonomik ’SS08 – slide 13

Zerlegung der Nachfrageänderung

Wir wollen folgende Situation untersuchen:

Nach einer Änderung des Preises für Gut i ändert sich die Nachfrage des

Konsumenten. Wir wollen diesen Gesamteffekt zerlegen.

Nach einem Anstieg von pi kann sich zum einen der Konsument

(möglicherweise) das ursprünglich nachgefragte Bündel nicht mehr leisten,

bzw. kann er nicht mehr die ursprüngliche Indifferenzkurve erreichen. In

diesem Sinne ändert sich sein Einkommen.

Zum anderen möchte der Konsument wegen Änderung der relativen Preise

(Grenzraten der Transformation) lieber ein anderes Bündel nachfragen (im

ursprünglichen Bündel gilt ja nicht mehr MRS = MRT).

Zusammengenommen zerlegen wir die Nachfrageänderung in einen

Substitutionseffekt und einen Einkommenseffekt.

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Slutsky-Gleichung (Version Hicks)

Aus der Dualität von NMP und AMP wissen wir, dass die Marshallsche

Nachfrage nach Gut i zu Preisen p und Minimalausgaben für ū gleich der

Hicksschen Nachfrage zu p und ū ist, also

x M i (p, e(p, ū)) = x H i (p, ū).

(ū = u(x M (p, m)) = v(p, m)).

Für x ∗ = x M (p, m) und ū = u(x ∗ ) heißt die Abbildung c H mit c H (p) := x H (p, ū)

auch Hicks kompensierte Nachfrage (zu x ∗ ).

Differenzierenbeider Seiten (oben) nach dem Preis von j liefert die

Slutsky-Gleichung

∂x M i

∂x M i

(p, m)

=

∂pj

∂xHi (p, ū)

− x

∂pj

M j (p, m) ∂xMi (p, m)

∂m .

(p, m)

∂pj

Gesamteffekt

=

∂x H i

(p, ū)

∂pj

Substitutionseffekt

−x M j (p, m) ∂xMi (p, m)

.

∂m

Einkommenseffekt

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Slutsky-Gleichung (Version Slutsky)

In dieser zweiten Version kompensieren wir den Konsumenten so, dass er sich

das ursprünglich nachgefragte Bündel (genau) leisten kann. Definiere dazu:

s(p, x ∗ ) := x M (p, px ∗ ).

Differenzieren beider Seiten nach dem Preis von j liefert:

∂x M i

(p, m)

∂pj

= ∂si(p, x ∗ )

∂pj

− x M j (p, m) ∂xMi (p, m)

∂m .

Im Folgenden arbeiten wir mit der Hicksschen Version der Slutsky Gleichung.

Mikroökonomik ’SS08 – slide 16

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Satz

∂x M i

Folgerungen aus der Slutsky-Gl.

(p, m)

=

∂pj

∂xHi (p, ū)

− x

∂pj

M j (p, m) ∂xMi (p, m)

∂m .

1. Für die Substitutionseffekte (im eigenen Preis) gilt ∂xH i (p,ū)

∂pi

(etwa: e(p, ū) ist konkav in p; benutze Shepards Lemma)

≤ 0.

2. Ist Gut i normal, so ist die Nachfrage nach Gut i im eigenen Preis pi

schwach monoton fallend.

3. Ist Gut i ein Giffen-Gut, so ist es auch inferior.

4. Ist Gut i “extrem inferior”, d.h. ∂xM i (p,m)

Giffen-Gut.

∂m xMi (p, m) < ∂xH (p,ū)

∂pi

, so ist i ein

Mikroökonomik ’SS08 – slide 17

Substitutionselastizität

Statt den Substitutionseffekte durch die partielle Ableitung ∂xH i (p,ū)

zu ∂pj

beschreiben, wollen wir ihn auch durch die Substitutionselastizität beziffern.

Definition

Bezeichne rij := pi/pj das Preisverhältnis von Gut i zu j, i = j und sei ū ein

fixiertes Nutzenniveau. Dann bezeichne

xH i (p,ū)

∂

x

ζij = ζij(p, ū) :=

H j (p,ū)

·

∂rij

Mikroökonomik ’SS08 – slide 18

rij

x H i (p,ū)

x H j (p,ū)

die Substitutionselastizität zwischen Gütern i und j.

Die Substitutionselastizität gibt also die prozentuale Änderung des

Verhältnisses der Nachfrage nach i und j relativ zu einer prozentualen

Änderung des Preisverhältnisses an.

Merke, dass x H nur von den relativen Preisen abhängt.

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Lemma Für i = j gilt:

ζij = − ∂xH i

Slutsky-Gleichung mit Elastizitäten

(p, ū)

∂pj

·

e(p, ū)

xH i (p, ū)xH j (p, ū).

Interpretation: ζij ist ein Maß dafür, wie “einfach” das relativ teurer

gewordene Gut gegen das relativ günstiger gewordene substituiert werden

kann. M.a.W.: Je größer |ζij|, desto engere Substitute sind i und j.

Satz (Slutsky-Gleichung in Elastizitätenform) Es sei i = j und sei ¯m = e(p, ū).

Dann gilt:

εij = − pj x M j

εij

(p, ¯m)

¯m

Kreuzpreiselastizität

· (ζij + ηi).

= − pj x M j

Mikroökonomik ’SS08 – slide 19

⎛

(p, ¯m) ⎜

· ⎝ ζij

¯m

Ausgabenquote Subst.elast.

Ergebnisse Elastizitäten

Satz Unter den getroffenen Annahmen an die Nutzenfunktion gilt:

+ ηi

Eink.elast.

1. Sind die Einkommenselastizitäten zweier Güter an einer Stelle (p, m)

gleich, so weisen Sie dort auch dieselben Kreuzpreiseffekte auf, d.h.

ηi(p, m) = ηj(p, m) =⇒ ∂xM i

∂pj

(p, m) = ∂xM j

∂pi

(p, m).

2. Sei i ein Gut, für das alle Kreuzpreiseffekte gleich 0 sind

( ∂xM i

∂pj

(a)

(b)

(p, m) = 0 (j = i)). Dann gilt:

Mikroökonomik ’SS08 – slide 20

⎞

⎟

⎠.

∂x M i

∂m (p, m) ≥ 0 ⇐⇒ εii(p, m) ≤ 0 (i normal g.d.w. Preisel.≥ 0)

∂x M i

∂m (p, m) < 0 ⇐⇒ ∂xM i

∂pi

3. Für alle i, j gilt ζij = ζji (s. voriges Lemma).

(p, m) > 0 (i inferior g.d.w. i Giffen-Gut)

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Ergebnisse homoth. Präferenzen

Für den Rest dieses Kapitels wollen wir annehmen, dass die Präferenzen des

Konsumenten durch eine linear homogene Nutzenfunktion dargestellt

werden können, er also homothethische Präferenzen besitzt. Zudem seien

Preise p >> 0 strikt positiv.

Was können wir (nun genauer) über die Nachfrage aussagen?

Satz Für homothetische Präferenzen gilt:

1. e(p, ū) = e(p, 1)ū (ū ∈ R).

2. v(p, m) = 1

e(p,1) m (m ∈ R+).

3. x M i (p, m) =

∂v (p, 1) ∂pi

e(p, 1)

m (i = 1, . . .,l).

Also, die Marshallsche Nachfragefunktionen sind linear im Einkommen (❀

EEP und Engelkurven sind linear)

(p, m)

=

m

pi ∂v

Preisen ab (nicht vom Einkommen).

4. Die Ausgabenquoten pi x M i

(p, 1) ∂pi

e(p, 1)

hängen nur von den

Mikroökonomik ’SS08 – slide 21

Ergebnisse homoth. Präferenzen

5. Die Einkommenselastizitäten in jedem Gut und an jeder Stelle (p, m) sind

gleich 1.

6. An jeder Stelle (p, m) und je zwei Güter i, j sind die Kreuzpreiseffekte

gleich, d.h. ∂xM i

∂pj (p, m) = ∂xM j

∂pi

(p, m).

Gilt zudem für ein Gut i, dass an einer Stelle (p, m) die

Substitutionselastizitäten ζij, für alle j = 1, . . .,l gleich −1 sind, so folgt:

7. εij(p, m) = 0 für j = i und εii(p, m) = −1.

8. Sei αi(p) := pi x M i (p,m)

von m). Es gilt

∂αi

(p) = 0.

∂pi

m

die Ausgabenquote für Gut i (nach 4. unabhängig

Sind also obige Substitutionselastizitäten überall gleich -1, so ist die

Ausgabenquote konstant (in (p, m)).

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... bei konstanten Ausgabenquoten

Satz Angenommen, die Marshallschen Nachfragefunktionen sind derart, dass

die Ausgabenquoten konstant sind (unabhängig von p, m). Dann gilt (an jeder

Stelle (p, m)):

1. εii = −1 (i = 1, . . .l).

2. εij = 0 (i, j = 1, . . .l, i = j).

3. ηi = 1 (i = 1, . . .l).

4. ζij = −1 (i, j = 1, . . .l, i = j).

Gute Übung: Nachrechnen der Ergebnisse über homothetische Präferenzen

für eine CES-Nutzenfunktion u(x1, x2) = (x ρ

1

+ xρ

2 )1/ρ mit −∞ < ρ ≤ 1, ρ = 0.

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● Theorie der Firma

Fürs nächste Mal...

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