Lagrange Formalismus - Berlin

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Lagrange Formalismus - Berlin

Abbildung 1: Fadenpendel

Durch die eine generalisierte Kordinate reduziert sich die Anzahl der Variabeln

von zwei ( −→ ( )

x(t)

r (t) = ) auf eine ϕ(t). Nun muss die Lagrange Gleichung

y(t)

bestimmt werden. Dies ist hier ganz einfach:

T = 1

2 mv2

V = −mgh

L = T − V = 1

2 m ˙−→ r (t) · ˙←− r (t) − mgy(t)

= 1

2 m[ ˙x(t) 2 + ˙y(t) 2] −mgy(t)

= 1

2 mS2 ˙ϕ(t) 2[ sin(ϕ(t)) 2 + cos(ϕ(t)) 2] +mgS cos(ϕ(t))

L = 1

2 mS2 ˙ϕ(t) 2 − mgS cos(ϕ(t)).

Nun bilden wir die Euler Lagrange Gleichung für die generalisierte Kordinate

ϕ(t):

0 = d [ ∂

dt ∂ ˙ϕ L] − ∂

∂ϕ L

0 = d

[

∂ [1

dt ∂ ˙ϕ 2 mS2 ˙ϕ(t) 2 − mgS cos(ϕ(t)) ]]

− ∂ [1

∂ϕ 2 mS2 ˙ϕ(t) 2 + mgS cos(ϕ(t)) ]

0 = d [ ] 2

mS ˙ϕ(t) +mgS sin(ϕ(t))

dt

0 = S ¨ϕ(t) + g sin(ϕ(t)).

Für kleine Auslenkungen ist sin(ϕ(t)) ≈ ϕ(t) und so ergibt sich:

0 = ¨ϕ(t) + g

S ϕ(t)).

Die Lösung sieht man sofort:

√ √

g

g

ϕ(t) = A cos( t) + B sin(

S S t).

Die Anpassung an Randbedingungen, die die Konstanten festlegen bleibt

dem Leser überlassen.

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