Lagrange Formalismus - Berlin

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Lagrange Formalismus - Berlin

1.2 Stabpendel

Dieses Pendel besteht aus einem steifen Stab der Länge S und der Masse m

(homogen verteilt). Auch er ist fest befestigt und in homogenen Schwerefeld

der Erde oder einem anderen homogenen Feld. Unsere Zwangsbedingung ist

diesmal, dass der Stab steif ist. So lässt sich −→ r (t) wieder nur mit einer Kordinate

ausdrücken:

−→ r (t) =

( S ′ sin(ϕ(t))

S ′ cos(ϕ(t))

)

.

Abbildung 2: Stabpendel

Nun muss wieder T und V bestimmt werden. Dazu erstmal ˙r ′ (t) 2 bestimmen.

r wurde deshalb gestrichen, da es vom Abstand S ′ zum Ursprung abhängt:

r ˙−→ ′

)

(t) =

.

( S ′ cos(ϕ(t)) ˙ϕ(t)

−S ′ sin(ϕ(t)) ˙ϕ(t)

˙r ′ (t) 2 = S ′2 [cos(ϕ(t)) 2 ˙ϕ(t) 2 + sin(ϕ(t)) 2 ˙ϕ(t) 2 ] = S ′2 ˙ϕ(t) 2

Damit wird T zu:

Und V ist:

T =

=

∫ S

dS

0

∫ S

dS

0

′ 1 m

2 S ˙r′ (t) 2

= 1

6 mS2 ˙ϕ(t) 2 .

′ 1 m

2 S S′2 ˙ϕ(t) 2

∫ S

′ m

V = − g dS

0 S S′ cos(ϕ(t))

= − 1

Sgm cos(ϕ(t)).

2

Wir bilden wieder L = T − V und bilden so wie im ersten Beispiel die

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