Lagrange-Formalismus für Elektrodynamik und Gravitation

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Setzen wir diese Formel ein in (4.30) ein, so folgt δF [σ] = 1 N dσµ c σ − 1 dσµ c σ i,j=1 p µ i N i=1 δIij + S ν ij,µ [Dνδx µ (x)] qj p µ i Dνqi − δ µ νL δx ν (x) mit den kanonisch konjugierten Feldern p µ ∂L i (x) = ∂Dµqi (4.37) . (4.38) Als Ergebnis erhalten wir also eine physikalische Größe ausgedrückt durch die infinitesimalen Parameter δx µ (x) und δIij der kontinuierlichen Transformation. Die einzelnen Terme in (4.37) lassen sich folgendermaßen interpretieren. Der erste Term stammt vom Spin und von sonstigen inneren Freiheitsgraden der Felder qi(x). Der zweite Term stammt von Energie und Impuls. Folglich identifizieren wir den kanonischen Energie-Impuls-Tensor mit t µ ν = N i=1 p µ i Dνqi − δ µ νL . (4.39) V. GRAVITATION A. Lagrange-Formalismus Um die Gravitation in den Lagrange-Formalismus einzubinden, spalten wir die Lagrange-Dichte auf in zwei Anteile L = LG + LM . (5.1) δSG = − c3 d 16πG V4 4 x √ −g − 1 = − c3 16πG V4 d 4 x √ −g 10 Der erste Anteil LG beschreibt das Gravitationsfeld, der zweite LM die Materie und somit alle anderen Felder. Einsteins allgemeine Relativitätstheorie geht davon aus, daß die Gravitation durch die Raumkrümmung beschrieben werden soll. Die Riemannsche Geometrie stellt für die Raumkrümmung den Krümmungstensor R κ λ,µν = ∂µΓ κ λν − ∂νΓ κ λµ + Γ κ αµΓ α λν − Γ κ ανΓ α λµ bereit, und daraus abgeleitet den Ricci-Tensor und den Krümmungskalar Rµν = R λ µ,λν (5.2) (5.3) R = R µ µ = g µν Rµν . (5.4) Die Lagrange-Dichte LG muß ein Skalar sein. Der einfachste Ansatz ist daher eine Lagrange-Dichte mit dem Krümmungsskalar LG = − c4 R . (5.5) 16πG Wir bilden nun die Variation des entsprechenden Anteils der Wirkung SG = 1 d c V4 4 x √ −g LG (5.6) und erhalten δSG = 1 c V4 d 4 x √ −g Wir benötigen hier die Formel Dann finden wir 2 gµνδg µν R + δ(g µν Rµν) Rµν − 1 2 gµνR 1 δg 2 g LG + δLG . (5.7) δg = g g µν δgµν = −g gµνδg µν . (5.8) δg µν + g µν δRµν) Den letzen Term formen wir um in g µν δRµν = g µν δ ∂λ Γ λ µν − ∂ν Γ λ µλ + Γ λ αλΓ α µν − Γ λ ανΓ α µλ = g µν ∂λ δΓ λ µν − ∂ν δΓ λ µλ + δΓ λ αλΓ α µν + Γ λ αλδΓ α µν − δΓ λ ανΓ α µλ − Γ λ ανδΓ α µλ = ∂λ(g µν δΓ λ µν) − ∂ν(g µν δΓ λ µλ) − (∂λg µν )δΓ λ µν + (∂νg µν )δΓ λ µλ + g µν δΓ λ αλΓ α µν + Γ λ αλδΓ α µν − δΓ λ ανΓ α µλ − Γ λ ανδΓ α µλ . Wir benötigen die Ableitungen des inversen metrischen Tensors ∂λg µν = −g µα (∂λgαβ)g βν = −g µα (Γβ,αλ + Γα,βλ)g βν = −g µα Γ ν αλ − Γ µ βλ gβν . (5.9) (5.10) (5.11)
und erhalten dann g µν δRµν = ∂λ(g µν δΓ λ µν) − ∂ν(g µν δΓ λ µλ) + (g µα Γ ν αλ + Γ µ βλgβν )δΓ λ µν − (g µα Γ ν αν + Γ µ + g µν δΓ λ αλΓ α µν + Γ λ αλδΓ α µν − δΓ λ ανΓ α µλ − Γ λ ανδΓ α µλ = ∂λ(g µν δΓ λ µν) − ∂ν(g µν δΓ λ µλ) + g µν δΓ λ µαΓ α νλ + δΓ λ ανΓ α µλ − δΓ λ µλΓ α να − δΓ λ αλΓ α µν + g µν δΓ λ αλΓ α µν + Γ λ αλδΓ α µν − δΓ λ ανΓ α µλ − Γ λ ανδΓ α µλ = ∂λ(g µν δΓ λ µν) − ∂ν(g µν δΓ λ µλ) + g µν Γ λ αλδΓ α µν − δΓ λ µλΓ α να = ∂λ(g µν δΓ λ µν − g µλ δΓ ν µν) + Γ λ αλ(g µν δΓ α µν − g µα δΓ ν µν) . Wir definieren den kontravarianten Vektor und finden dann w λ = g µν δΓ λ µν − g µλ δΓ ν µν βν gβν )δΓ λ µλ 11 (5.12) (5.13) g µν δRµν = ∂λw λ + Γ λ αλw α = Dλw λ . (5.14) Wir setzen dieses Ergebnis nun in die Wirkung (5.9) ein, formen mit dem Integralsatz von Gauß um, und erhalten δSG = − c3 d 16πG V4 4 x √ −g Rµν − 1 2 gµνR δg µν − c3 d 16πG V4 4 x √ −g Dλw λ = − c3 d 16πG V4 4 x √ −g Rµν − 1 2 gµνR δg µν − c3 d 16πG V4 4 √ λ x ∂λ −g w = − c3 d 16πG 4 x √ −g Rµν − 1 2 gµνR δg µν − c3 dσλ w 16πG λ (5.15) . V4 Der Vektor wλ enthält Felder δg µν . Wegen der üblichen Annahme für das Hamiltonsche Prinzip der kleinsten Wirkung gilt δg µν (x) = 0 und somit auch wλ (x) = 0 für x ∈ ∂V4. Folglich ist der letzte Term in (5.15) null. Wir erhalten also für die Variation der Wirkung der Gravitation das Ergebnis δSG = − c3 16πG Als Nächstes betrachten wir die Wirkung der Materie SM = d 4 x √ −g LM = V4 V4 ∂V4 d 4 x √ −g Rµν − 1 2 gµνR δg µν . (5.16) V4 d 4 x √ −g LM (q, Dq, g) . (5.17) Die zugehrige Lagrange-Dichte hängt explizit von den Materiefeldern qi(x), deren kovarianten Ableitungen Dµqi(x) und dem inversen metrischen Tensor g µν (x) ab. Nach (4.33) und (4.34) gehen in die kovarianten Ableitungen Dλqi(x) = ∂λqi(x) + S die Christoffelsymbole Γ λ µν(x) ein, welche definiert sind durch ν ij,µ Γ µ νλ (x) qj(x) . (5.18) Γ λ µν = 1 2 gλκ ∂µgνκ + ∂νgµκ − ∂κgµν . (5.19) Folglich hängt die Lagrange-Dichte LM implizit über (5.18) und (5.19) auch von den Ableitungen der Metrik ∂λgµν ab. Wir bilden nun die Variation der Wirkung der Materie bezüglich δg µν und erhalten δSM = δ 1 d c V4 4 x √ −g LM = 1 d c 4 x √ 1 δg −g 2 g LM + δLM = 1 c = 1 c V4 V4 V4 d 4 x √ −g d 4 x √ −g − 1 2 gµνδg µν ∂ LM LM + ∂g µν δgµν + − 1 2 gµνδg µν ∂ LM LM + ∂g µν δgµν + N i=1 ∂ LM ∂(Dλqi) δDλqi N p λ i S i,j=1 ν ij,µ qj δΓ µ νλ . (5.20)
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