Lagrange-Formalismus für Elektrodynamik und Gravitation

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Lagrange-Formalismus für Elektrodynamik und Gravitation

Verwenden wir die Bewegungsgleichungen (2.7), so vereinfacht

sich die Differenz auf

S ′ − S =

t2

t1

dt d


L δt(t) +

dt

N

i=1

∂L


δqi(t) . (2.20)

∂ ˙qi

Wir definieren die infinitesimale physikalische Größe

und erhalten dann

δF (t) = L δt(t) +

N

i=1

∂L

δqi(t) (2.21)

∂ ˙qi

S ′ − S = δF (t2) − δF (t1) . (2.22)

Als Nächstes setzen wir die Formeln (2.16) und (2.17)

der infinitesimalen Transformation ein in (2.19). Wir erhalten

dann die Differenz

δqi(t) = q ′ i(t) − qi(t)

= [q ′ i(t) − q ′ i(t ′ )] + [q ′ i(t ′ ) − qi(t)]

= − ˙qi(t) δt(t) +

N

j=1

Setzen wir dies in (2.21) ein, so folgt

δF (t) =

N

i,j=1

δΛij qj(t)

(2.23)

∂L

N ∂L


δΛijqj − ˙qi − L δt(t) . (2.24)

∂ ˙qi

∂ ˙qi i=1

Als Ergebnis erhalten wir also eine physikalische Größe

ausgedrückt durch die infinitesimalen Parameter δΛij

und δt(t) der kontinuierlichen Transformation.

D. Noether-Theorem

Ist die kontinuierliche Transformation eine Symmetrie,

dann ist das physikalische System invariant unter dieser

Transformation, und es gilt

Aus der Beziehung (2.22) folgt dann

oder

S ′ = S . (2.25)

δF (t1) = δF (t2) (2.26)

δF (t) = konstant . (2.27)

Folglich ist die physikalische Größe δF (t), erzeugt durch

die infinitesimale Transformation und definiert in (2.24),

eine Erhaltungsgröße. Der Zusammenhang zwischen

Symmetrie und Erhaltungsgröße bildet das sogenannte

Noether-Theorem, bewiesen von Emmy Noether im Jahre

1918.

Wir betrachten speziell die Symmetrie bezüglich einer

Translation in der Zeit. Es gilt dann δt(t) = δt =

konstant. Aus (2.24) finden wir die Erhaltungsgröße

δF (t) = −E(t)δt mit der Energie

E(t) =

N

i=1

3

∂L

˙qi − L . (2.28)

∂ ˙qi

Aus dem Noether-Theorem folgt somit der Energieerhaltungssatz

E(t) = konstant.

Beschreiben andererseits die infinitesimalen Parameter

δΛij eine Drehung im Raum um einen infinitesimalen

Winkel, so erhält man aus dem ersten Term von (2.24)

den Drehimpuls als die zugehörige Erhaltungsgröße.

E. Hamilton-Formalismus und Poisson-Klammern

Im Hamilton-Formalismus werden die kanonischen Impulse

pi(t) definiert durch

pi(t) = ∂L

∂ ˙qi

. (2.29)

Die Hamilton-Funktion H = H(q(t), p(t), t) wird definiert

durch

H =

N

pi ˙qi − L . (2.30)

i=1

Die Euler-Lagrange-Bewegungsgleichungen (2.7) werden

ersetzt durch die Hamilton-Bewegungsgleichungen

dqi

dt

dpi

dt

= ∂H

∂pi

= −∂H

∂qi

, (2.31)

. (2.32)

Wir betrachten nun eine allgemeine physikalische Größe

von der Form

A(t) = A(q(t), p(t), t) . (2.33)

Es folgt dann die totale Ableitung nach der Zeit

dA

dt =

=

N ∂A

i=1

∂qi

dqi

dt +

N

∂A ∂H

i=1

∂qi ∂pi

N ∂A

i=1

− ∂A

∂pi

∂pi

∂H

∂qi

dpi

dt

+ ∂A

∂t


+ ∂A

∂t .

Wir definieren die Poisson-Klammern durch

{A, B} =

N

∂A ∂B

i=1

∂qi ∂pi

− ∂A

∂pi

(2.34)

∂B


. (2.35)

∂qi

Es folgt dann für die allgemeine physikalische Größe die

Hamiltonsche Bewegungsgleichung

dA

dt

= {A, H} + ∂A

∂t

. (2.36)