Lagrange-Formalismus für Elektrodynamik und Gravitation

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Lagrange-Formalismus für Elektrodynamik und Gravitation

III. KLASSISCHE FELDTHEORIE

A. Wirkung und Lagrange-Funktion

In der Feldtheorie sind die verallgemeinerten Koordinaten

qi(x, t) Felder, d.h. sie hängen von der Ortskoordinate

x ab. Der Index i = 1, . . . , N zählt die Komponenten

des Feldes ab. Der Lagrange-Formalismus läßt sich

in Analogie zur klassischen Mechanik entwickeln, indem

man die Ortskoordinate x wie einen (kontinuierlichen)

Index behandelt. Im Allgemeinen ist die Lagrange-

Funktion L ein Funktional von den Feldern qi(x, t). Das

bedeutet, L hängt von den Feldern mit unterschiedlichen

Indizes i und Orten x ab, jedoch mit gleicher Zeit t.

Üblicherweise wird die Annahme gemacht, daß die

Lagrange-Funktion L lokal ist. Das bedeutet, sie läßt

sich als räumliches Integral einer Lagrange-Dichte L

darstellen,


L = d 3 x L(q(x, t), ∇q(x, t), x, t) . (3.1)

V3

Dieser Ansatz bewirkt, daß die Felder nur lokal an einem

Punkt x im Raum miteinander wechselwirken können.

Räumliche Korrelationen der Felder an unterschiedlichen

Orten werden allein durch die Gradienten ∇qi(x, t) be-

δS =

=

=

t2

t1

t2

t1

t2

t1


dt


dt


dt

t2

+

t1

V3

V3

V3


dt

d 3 x δL(q(x, t), ∇q(x, t), x, t)

d 3 x

d 3 x

V3

i=1

wirkt. Es folgt nun das Wirkungsintegral

S =

=

t2

t1

t2

t1

dt L


dt

V3

d 3 x L(q(x, t), ∇q(x, t), x, t) .

5

(3.2)

B. Prinzip kleinster Wirkung und Feldgleichungen

Die Bewegungsgleichungen sind hier die Feldgleichungen.

Man erhält diese wiederum aus dem Hamiltonschen

Prinzip der kleinsten Wirkung. Gesucht werden also die

Felder qi(x, t), welche das Wirkungsintegral (3.2) minimieren,

wobei auf den Rändern der Integrationsbereiche

die Felder festgehalten werden:

qi(x, t) = konstant für x ∈ V3 und t1 < t < t2 ,

qi(x, t1) = konstant für x ∈ V3 \ ∂V3 ,

qi(x, t2) = konstant für x ∈ V3 \ ∂V3 .

(3.3)

Die notwendige Bedingung ist wiederum δS = 0. Wir

bilden also die Variation der Wirkung δS bezüglich

δqi(x, t) und erhalten

N

∂L

∂qi(x, t) δqi(x,

∂L

t) +

∂[∇qi(x, t)] ∇δqi(x,

∂L

t) +

∂[∂tqi(x, t)] ∂tδqi(x,


t)

N

∂L


∂[∇qi(x, t)] δqi(x,


∂L

t) + ∂t

∂[∂tqi(x, t)] δqi(x,


t)

i=1

d 3 x

N

∂L

∂L

− ∇

∂qi(x, t) ∂[∇qi(x, t)]

i=1

− ∂t

∂L


δqi(x, t) .

∂[∂tqi(x, t)]

Der erste Term läßt sich mit dem Satz von Gauß in ein Oberflächenintegral umformen. Auf den zweiten Term wenden

wir den Hauptsatz der Integralrechnung bezüglich t an. Dann folgt

δS =

t2

t1


dt

t2

+

t1

∂V3


dt

V3

dS

N

i=1

d 3 x

∂L

∂[∇qi(x, t)] δqi(x,


t) +


V3

N

∂L

∂L

− ∇

∂qi(x, t) ∂[∇qi(x, t)]

i=1

d 3 x

− ∂t

N

i=1

∂L

∂[∂tqi(x, t)] δqi(x,

t=t2 t)

t=t1

∂L


δqi(x, t) .

∂[∂tqi(x, t)]

In den ersten beiden Termen sind die Variationen δqi(x, t) null wegen (3.3). Daher fallen diese beiden Terme weg,

und es bleibt

t2

δS = dt d 3 N

∂L

∂L

∂L


x

− ∇

− ∂t

δqi(x, t) . (3.6)

∂qi(x, t) ∂[∇qi(x, t)] ∂[∂tqi(x, t)]

t1

V3

i=1

Die Variationen der Felder δqi(x, t) sind beliebig für x ∈ V3 \ ∂V3 und t1 < t < t2. Daher folgen aus der notwendigen

Bedingung δS = 0 die Feldgleichungen

(3.4)

(3.5)

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