Lagrange-Formalismus für Elektrodynamik und Gravitation

δS = 1
d
c V4
4 x √ −g δL(q(x), Dq(x), x)
= 1
c
= 1
c
V4
V4
d 4 x √ −g
N
i=1
d 4 x √ −g Dµ
Der erste Term hat die Form
∂L
∂qi(x) δqi(x) +
N
i=1
∂L
∂[Dµqi(x)] δDµqi(x)
∂L
∂[Dµqi(x)] δqi(x)
+ 1
d
c V4
4 x √ −g
V4
N
i=1
∂L
∂qi(x)
− Dµ
∂L
δqi(x) .
∂[Dµqi(x)]
7
(4.5)
d 4 x √ −g DµV µ , (4.6)
wobei V µ ein kontravarianter Vektor ist. Die kovariante Divergenz dieses Vektors läßt sich mit den Christoffelsymbolen
darstellen und folgendermaßen umformen:
DµV µ = ∂µV µ + Γ µ
λµ V λ = 1 √ µ √ ∂µ −g V
−g . (4.7)
Der erste Term läßt sich dann mit dem Satz von Gauß in ein Integral über den Rand ∂V4 umformen:
d 4 x √ −g DµV µ
= d 4 √ µ
x ∂µ −g V
= dσµV µ . (4.8)
Somit bekommen wir für die Variation der Wirkung
δS = 1
dσµ
c ∂V4
V4
N
i=1
V4
∂L
∂[Dµqi(x)] δqi(x) + 1
d
c V4
4 x √ −g
N
i=1
∂V4
∂L
∂qi(x)
− Dµ
∂L
δqi(x) . (4.9)
∂[Dµqi(x)]
Im ersten Term sind die Variationen δqi(x) mit x ∈ ∂V4 gleich null. Daher fällt der erste Term weg, und die Variation
der Wirkung vereinfacht sich auf
δS = 1
d
c V4
4 x √ −g
N
i=1
Die Variationen der Felder δqi(x) sind beliebig für x ∈
V4 \ ∂V4. Daher folgen aus der notwendigen Bedingung
δS = 0 die Feldgleichungen
∂L
∂qi(x)
− Dµ
∂L
= 0 . (4.11)
∂[Dµqi(x)]
C. Beispiel: Elektrodynamik
Die Lagrange-Dichte für die Elektrodynamik ist gegeben
durch
mit dem Feldstärketensor
L = − 1
16π FµνF µν − 1 µ
Aµj
c
(4.12)
Fµν = DµAν − DνAµ . (4.13)
∂L
∂qi(x)
− Dµ
∂L
δqi(x) . (4.10)
∂[Dµqi(x)]
Die Komponenten des Viererpotentials Aµ(x) sind hier
die verallgemeinerten Koordinaten. Die Viererstromdichte
j µ (x) ist ein externes Feld, das als gegeben angenommen
wird. Wir berechnen die Ableitungen der
Lagrange-Dichte und erhalten
∂L
= −1
∂Aν(x) c jν , (4.14)
∂L 1
= −
∂[DµAν(x)] 4π F µν . (4.15)
Wir erhalten daraus die Feldgleichungen
∂L
∂L
− Dµ
= −1
∂Aν(x) ∂[DµAν(x)] c jν + 1
4π DµF µν = 0 .
(4.16)
Diese Gleichungen sind genau die inhomogenen Maxwell-
Gleichungen, also
DµF νµ = − 4π
c jν . (4.17)