Anwendungen des Lagrange-Formalismus an ... - GSI - Theory

2 Anwendung auf ausgewählte Beispiele
Da es hierbei zwei unabhängige Koordinaten gibt, φ1 und φ2, müssen wir laut 1.10 nach
beiden differenziern.
Gleichung 1:
(m1 +m2) ¨ φ1l 2 1 +m2l1l2
d ∂L
dt∂
˙ −
φ1
∂L
∂φ1
d
(m1 +m2)
dt
˙ φ1l 2 1 +m2 ˙
φ2l1l2cos(φ1 −φ2)
= 0
+m2 ˙ φ1 ˙ φ2l1l2sinφ1 −(m1 +m2)gl1sinφ1 = 0
¨φ2cos(φ1 −φ2)− ˙ φ2sin(φ1 −φ2)·( ˙ φ1 − ˙
φ2)
+m2 ˙ φ1 ˙ φ2l1l2sinφ1 −(m1 +m2)gl1sinφ1 = 0
Nach einigen Umformungen erhalten wir diese Differentialgleichung:
¨φ1 + g
sinφ1 +
l1
m2
l2
cos(φ2 −φ1)
m1 +m2 l1
¨ φ1+sin(φ2 −φ1) ˙ φ 2
2 = 0 (2.22a)
Gleichung 2:
m2 ¨ φ2l 2 2 +m2l1l2
Dieser Ansatz führt schließlich auf:
¨φ2 + g
sinφ2 + l1
l2
d ∂L
dt∂
˙ −
φ2
∂L
∂φ2
d
m2
dt
˙ φ2l 2 2 +m2 ˙
φ1l1l2cos(φ1 −φ2)
= 0
−m2 ˙ φ1 ˙ φ2l1l2sinφ2 −m2gl2sinφ2 = 0
¨φ1cos(φ1 −φ2)− ˙ φ1sin(φ1 −φ2)·( ˙ φ1 − ˙
φ2)
l2
−m2 ˙ φ1 ˙ φ2l1l2sinφ2 −m2gl2sinφ2 = 0
cos(φ2 −φ1) ¨ φ1 +sin(φ2 −φ1) ˙ φ 2 1
= 0 (2.22b)
Um die beiden Differentialgleichungen zu vereinfachen setzen wir m1 = m2 = m, l1 =
l2 = l, cosφ ≈ 1, sinφ ≈ φ und ˙ φ 2 φ ≈ 0:
Gleichung 1: 2 ¨ φ1 + ¨ φ2 +2 g
l φ1 = 0 (2.23)
Gleichung 2: ¨ φ1 + ¨ φ2 + g
l φ2 = 0 (2.24)
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