Anwendungen von Lagrange-Polynomen

Anwendungen von Lagrange-Polynomen

Anwendungen von Lagrange-Polynomen
Wiederholung

Anwendungen von Lagrange-Polynomen
Wiederholung Sei f eine Funktion auf [a, b]

Anwendungen von Lagrange-Polynomen
Wiederholung Sei f eine Funktion auf [a, b] und
x0, ...,xn ∈ [a, b] Punkte.

Anwendungen von Lagrange-Polynomen
Wiederholung Sei f eine Funktion auf [a, b] und
x0, ...,xn ∈ [a, b] Punkte. Das zugehörige Lagrange-Polynom ist
ein Polynom P

Anwendungen von Lagrange-Polynomen
Wiederholung Sei f eine Funktion auf [a, b] und
x0, ...,xn ∈ [a, b] Punkte. Das zugehörige Lagrange-Polynom ist
ein Polynom P des Grades n,

Anwendungen von Lagrange-Polynomen
Wiederholung Sei f eine Funktion auf [a, b] und
x0, ...,xn ∈ [a, b] Punkte. Das zugehörige Lagrange-Polynom ist
ein Polynom P des Grades n, s.d. P(xi) = f (xi).

Anwendungen von Lagrange-Polynomen
Wiederholung Sei f eine Funktion auf [a, b] und
x0, ...,xn ∈ [a, b] Punkte. Das zugehörige Lagrange-Polynom ist
ein Polynom P des Grades n, s.d. P(xi) = f (xi). Falls die
Funktion nicht ” wild“ ist,

Anwendungen von Lagrange-Polynomen
Wiederholung Sei f eine Funktion auf [a, b] und
x0, ...,xn ∈ [a, b] Punkte. Das zugehörige Lagrange-Polynom ist
ein Polynom P des Grades n, s.d. P(xi) = f (xi). Falls die
Funktion nicht ” wild“ ist, approxiemiert das Lagrange-Polynom
die Funktion ziemlich gut

Anwendungen von Lagrange-Polynomen
Wiederholung Sei f eine Funktion auf [a, b] und
x0, ...,xn ∈ [a, b] Punkte. Das zugehörige Lagrange-Polynom ist
ein Polynom P des Grades n, s.d. P(xi) = f (xi). Falls die
Funktion nicht ” wild“ ist, approxiemiert das Lagrange-Polynom
die Funktion ziemlich gut
◮ Anwendung in Visualisierung

Anwendungen von Lagrange-Polynomen
Wiederholung Sei f eine Funktion auf [a, b] und
x0, ...,xn ∈ [a, b] Punkte. Das zugehörige Lagrange-Polynom ist
ein Polynom P des Grades n, s.d. P(xi) = f (xi). Falls die
Funktion nicht ” wild“ ist, approxiemiert das Lagrange-Polynom
die Funktion ziemlich gut
◮ Anwendung in Visualisierung
Bei Visualisierung von komplexen Objekten

Anwendungen von Lagrange-Polynomen
Wiederholung Sei f eine Funktion auf [a, b] und
x0, ...,xn ∈ [a, b] Punkte. Das zugehörige Lagrange-Polynom ist
ein Polynom P des Grades n, s.d. P(xi) = f (xi). Falls die
Funktion nicht ” wild“ ist, approxiemiert das Lagrange-Polynom
die Funktion ziemlich gut
◮ Anwendung in Visualisierung
Bei Visualisierung von komplexen Objekten (z.B. bei erstellen
eines Trickfilms)

Anwendungen von Lagrange-Polynomen
Wiederholung Sei f eine Funktion auf [a, b] und
x0, ...,xn ∈ [a, b] Punkte. Das zugehörige Lagrange-Polynom ist
ein Polynom P des Grades n, s.d. P(xi) = f (xi). Falls die
Funktion nicht ” wild“ ist, approxiemiert das Lagrange-Polynom
die Funktion ziemlich gut
◮ Anwendung in Visualisierung
Bei Visualisierung von komplexen Objekten (z.B. bei erstellen
eines Trickfilms) berechnet man nur die Lage von endlich
vielen Punkten

Anwendungen von Lagrange-Polynomen
Wiederholung Sei f eine Funktion auf [a, b] und
x0, ...,xn ∈ [a, b] Punkte. Das zugehörige Lagrange-Polynom ist
ein Polynom P des Grades n, s.d. P(xi) = f (xi). Falls die
Funktion nicht ” wild“ ist, approxiemiert das Lagrange-Polynom
die Funktion ziemlich gut
◮ Anwendung in Visualisierung
Bei Visualisierung von komplexen Objekten (z.B. bei erstellen
eines Trickfilms) berechnet man nur die Lage von endlich
vielen Punkten (so gen. Noden).

Anwendungen von Lagrange-Polynomen
Wiederholung Sei f eine Funktion auf [a, b] und
x0, ...,xn ∈ [a, b] Punkte. Das zugehörige Lagrange-Polynom ist
ein Polynom P des Grades n, s.d. P(xi) = f (xi). Falls die
Funktion nicht ” wild“ ist, approxiemiert das Lagrange-Polynom
die Funktion ziemlich gut
◮ Anwendung in Visualisierung
Bei Visualisierung von komplexen Objekten (z.B. bei erstellen
eines Trickfilms) berechnet man nur die Lage von endlich
vielen Punkten (so gen. Noden). Das Objekt zeichnet man
dann u.a. mit Hilfe des Lagrange-Polynoms,

Anwendungen von Lagrange-Polynomen
Wiederholung Sei f eine Funktion auf [a, b] und
x0, ...,xn ∈ [a, b] Punkte. Das zugehörige Lagrange-Polynom ist
ein Polynom P des Grades n, s.d. P(xi) = f (xi). Falls die
Funktion nicht ” wild“ ist, approxiemiert das Lagrange-Polynom
die Funktion ziemlich gut
◮ Anwendung in Visualisierung
Bei Visualisierung von komplexen Objekten (z.B. bei erstellen
eines Trickfilms) berechnet man nur die Lage von endlich
vielen Punkten (so gen. Noden). Das Objekt zeichnet man
dann u.a. mit Hilfe des Lagrange-Polynoms, oder dessen
Modifikationen.

Anwendungen von Lagrange-Polynomen
Wiederholung Sei f eine Funktion auf [a, b] und
x0, ...,xn ∈ [a, b] Punkte. Das zugehörige Lagrange-Polynom ist
ein Polynom P des Grades n, s.d. P(xi) = f (xi). Falls die
Funktion nicht ” wild“ ist, approxiemiert das Lagrange-Polynom
die Funktion ziemlich gut
◮ Anwendung in Visualisierung
Bei Visualisierung von komplexen Objekten (z.B. bei erstellen
eines Trickfilms) berechnet man nur die Lage von endlich
vielen Punkten (so gen. Noden). Das Objekt zeichnet man
dann u.a. mit Hilfe des Lagrange-Polynoms, oder dessen
Modifikationen.

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.
Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.
Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten eines
ε−Gitters

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.
Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten eines
ε−Gitters (d.h. in Punkten x, x ± ε,x ± 2ε, wobei ε klein ist),
f(x)
E
x -
x
0
x
+
x

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.
Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten eines
ε−Gitters (d.h. in Punkten x, x ± ε,x ± 2ε, wobei ε klein ist), mit Hilfe
eines numerischen oder technischen Verfahrens berechnet.
f(x)
E
x -
x
0
x
+
x

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.
Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten eines
ε−Gitters (d.h. in Punkten x, x ± ε,x ± 2ε, wobei ε klein ist), mit Hilfe
eines numerischen oder technischen Verfahrens berechnet. Wie kann man
deren k−Ableitung berechnen?
f(x)
E
x -
x
0
x
+
x

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.
Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten eines
ε−Gitters (d.h. in Punkten x, x ± ε,x ± 2ε, wobei ε klein ist), mit Hilfe
eines numerischen oder technischen Verfahrens berechnet. Wie kann man
deren k−Ableitung berechnen? Ein Vorschlag: Nehme 2n + 1 > k
nebeneinander liegenden Punkten des Gitters,
f(x)
E
x -
x
0
x
+
x

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.
Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten eines
ε−Gitters (d.h. in Punkten x, x ± ε,x ± 2ε, wobei ε klein ist), mit Hilfe
eines numerischen oder technischen Verfahrens berechnet. Wie kann man
deren k−Ableitung berechnen? Ein Vorschlag: Nehme 2n + 1 > k
nebeneinander liegenden Punkten des Gitters, z.B.
x0, x±1 = x0 ± ε,...,x±n = x0 ± nε,
f(x)
E
x -
x
0
x
+
x

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.
Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten eines
ε−Gitters (d.h. in Punkten x, x ± ε,x ± 2ε, wobei ε klein ist), mit Hilfe
eines numerischen oder technischen Verfahrens berechnet. Wie kann man
deren k−Ableitung berechnen? Ein Vorschlag: Nehme 2n + 1 > k
nebeneinander liegenden Punkten des Gitters, z.B.
x0, x±1 = x0 ± ε,...,x±n = x0 ± nε, konstruiere das Lagrange-Polynom
s.d. P(x±i) = f (x±i), und berechne deren k−te Ableitung im x0.
f(x)
E
x -
x
0
x
+
x

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.
Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten eines
ε−Gitters (d.h. in Punkten x, x ± ε,x ± 2ε, wobei ε klein ist), mit Hilfe
eines numerischen oder technischen Verfahrens berechnet. Wie kann man
deren k−Ableitung berechnen? Ein Vorschlag: Nehme 2n + 1 > k
nebeneinander liegenden Punkten des Gitters, z.B.
x0, x±1 = x0 ± ε,...,x±n = x0 ± nε, konstruiere das Lagrange-Polynom
s.d. P(x±i) = f (x±i), und berechne deren k−te Ableitung im x0.
(Mann kann nur k + 1 Punkte aus {x±n,...,x0} nehmen)
f(x)
E
x -
x
0
x
+
x

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.
Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten eines
ε−Gitters (d.h. in Punkten x, x ± ε,x ± 2ε, wobei ε klein ist), mit Hilfe
eines numerischen oder technischen Verfahrens berechnet. Wie kann man
deren k−Ableitung berechnen? Ein Vorschlag: Nehme 2n + 1 > k
nebeneinander liegenden Punkten des Gitters, z.B.
x0, x±1 = x0 ± ε,...,x±n = x0 ± nε, konstruiere das Lagrange-Polynom
s.d. P(x±i) = f (x±i), und berechne deren k−te Ableitung im x0.
(Mann kann nur k + 1 Punkte aus {x±n,...,x0} nehmen)
Z.B. Gegeben sind f (x0 − ε), f (x0 + ε).
f(x)
E
x -
x
0
x
+
x

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.
Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten eines
ε−Gitters (d.h. in Punkten x, x ± ε,x ± 2ε, wobei ε klein ist), mit Hilfe
eines numerischen oder technischen Verfahrens berechnet. Wie kann man
deren k−Ableitung berechnen? Ein Vorschlag: Nehme 2n + 1 > k
nebeneinander liegenden Punkten des Gitters, z.B.
x0, x±1 = x0 ± ε,...,x±n = x0 ± nε, konstruiere das Lagrange-Polynom
s.d. P(x±i) = f (x±i), und berechne deren k−te Ableitung im x0.
(Mann kann nur k + 1 Punkte aus {x±n,...,x0} nehmen)
Z.B. Gegeben sind f (x0 − ε), f (x0 + ε). Zu berechnen (approximativ):
f ′ (x0).
f(x)
E
x -
x
0
x
+
x

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.
Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten eines
ε−Gitters (d.h. in Punkten x, x ± ε,x ± 2ε, wobei ε klein ist), mit Hilfe
eines numerischen oder technischen Verfahrens berechnet. Wie kann man
deren k−Ableitung berechnen? Ein Vorschlag: Nehme 2n + 1 > k
nebeneinander liegenden Punkten des Gitters, z.B.
x0, x±1 = x0 ± ε,...,x±n = x0 ± nε, konstruiere das Lagrange-Polynom
s.d. P(x±i) = f (x±i), und berechne deren k−te Ableitung im x0.
(Mann kann nur k + 1 Punkte aus {x±n,...,x0} nehmen)
Z.B. Gegeben sind f (x0 − ε), f (x0 + ε). Zu berechnen (approximativ):
f ′ (x0).
Lagrange-Polynom P mit P(x0 ± ε) = f (x0 ± ε) ist
f(x)
E
x -
x
0
x
+
x

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.
Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten eines
ε−Gitters (d.h. in Punkten x, x ± ε,x ± 2ε, wobei ε klein ist), mit Hilfe
eines numerischen oder technischen Verfahrens berechnet. Wie kann man
deren k−Ableitung berechnen? Ein Vorschlag: Nehme 2n + 1 > k
nebeneinander liegenden Punkten des Gitters, z.B.
x0, x±1 = x0 ± ε,...,x±n = x0 ± nε, konstruiere das Lagrange-Polynom
s.d. P(x±i) = f (x±i), und berechne deren k−te Ableitung im x0.
(Mann kann nur k + 1 Punkte aus {x±n,...,x0} nehmen)
Z.B. Gegeben sind f (x0 − ε), f (x0 + ε). Zu berechnen (approximativ):
f ′ (x0).
Lagrange-Polynom P mit P(x0 ± ε) = f (x0 ± ε) ist
x−(x 0 +ε)
(x 0 −ε)−(x 0 +ε) f (x0 − ε) +
f(x)
E
x -
x
0
x
+
x

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.
Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten eines
ε−Gitters (d.h. in Punkten x, x ± ε,x ± 2ε, wobei ε klein ist), mit Hilfe
eines numerischen oder technischen Verfahrens berechnet. Wie kann man
deren k−Ableitung berechnen? Ein Vorschlag: Nehme 2n + 1 > k
nebeneinander liegenden Punkten des Gitters, z.B.
x0, x±1 = x0 ± ε,...,x±n = x0 ± nε, konstruiere das Lagrange-Polynom
s.d. P(x±i) = f (x±i), und berechne deren k−te Ableitung im x0.
(Mann kann nur k + 1 Punkte aus {x±n,...,x0} nehmen)
Z.B. Gegeben sind f (x0 − ε), f (x0 + ε). Zu berechnen (approximativ):
f ′ (x0).
Lagrange-Polynom P mit P(x0 ± ε) = f (x0 ± ε) ist
x−(x0 +ε)
(x0−ε)−(x0 +ε) f (x0
x−(x
− ε) + 0−ε) (x0 +ε)−(x0−ε) f (x0 + ε) =
f(x)
E
x -
x
0
x
+
x

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.
Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten eines
ε−Gitters (d.h. in Punkten x, x ± ε,x ± 2ε, wobei ε klein ist), mit Hilfe
eines numerischen oder technischen Verfahrens berechnet. Wie kann man
deren k−Ableitung berechnen? Ein Vorschlag: Nehme 2n + 1 > k
nebeneinander liegenden Punkten des Gitters, z.B.
x0, x±1 = x0 ± ε,...,x±n = x0 ± nε, konstruiere das Lagrange-Polynom
s.d. P(x±i) = f (x±i), und berechne deren k−te Ableitung im x0.
(Mann kann nur k + 1 Punkte aus {x±n,...,x0} nehmen)
Z.B. Gegeben sind f (x0 − ε), f (x0 + ε). Zu berechnen (approximativ):
f ′ (x0).
Lagrange-Polynom P mit P(x0 ± ε) = f (x0 ± ε) ist
x−(x 0 +ε)
(x 0 −ε)−(x 0 +ε) f (x0 − ε) +
f(x)
E
x−(x0 −ε)
(x0 +ε)−(x0−ε) f (x0 + ε) = f (x0 +ε)−f (x0−ε) x +
2ε
x -
x
0
x
+
x

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.
Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten eines
ε−Gitters (d.h. in Punkten x, x ± ε,x ± 2ε, wobei ε klein ist), mit Hilfe
eines numerischen oder technischen Verfahrens berechnet. Wie kann man
deren k−Ableitung berechnen? Ein Vorschlag: Nehme 2n + 1 > k
nebeneinander liegenden Punkten des Gitters, z.B.
x0, x±1 = x0 ± ε,...,x±n = x0 ± nε, konstruiere das Lagrange-Polynom
s.d. P(x±i) = f (x±i), und berechne deren k−te Ableitung im x0.
(Mann kann nur k + 1 Punkte aus {x±n,...,x0} nehmen)
Z.B. Gegeben sind f (x0 − ε), f (x0 + ε). Zu berechnen (approximativ):
f ′ (x0).
Lagrange-Polynom P mit P(x0 ± ε) = f (x0 ± ε) ist
x−(x0 +ε)
(x0−ε)−(x0 +ε) f (x0
x−(x
− ε) + 0−ε) (x0 +ε)−(x0−ε) f (x0 + ε) = f (x0 +ε)−f (x0−ε) x +
2ε
(x0−ε)f (x0 +ε)−(x0 +ε)f (x0−ε) .
2ε
f(x)
E
x -
x
0
x
+
x

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.
Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten eines
ε−Gitters (d.h. in Punkten x, x ± ε,x ± 2ε, wobei ε klein ist), mit Hilfe
eines numerischen oder technischen Verfahrens berechnet. Wie kann man
deren k−Ableitung berechnen? Ein Vorschlag: Nehme 2n + 1 > k
nebeneinander liegenden Punkten des Gitters, z.B.
x0, x±1 = x0 ± ε,...,x±n = x0 ± nε, konstruiere das Lagrange-Polynom
s.d. P(x±i) = f (x±i), und berechne deren k−te Ableitung im x0.
(Mann kann nur k + 1 Punkte aus {x±n,...,x0} nehmen)
Z.B. Gegeben sind f (x0 − ε), f (x0 + ε). Zu berechnen (approximativ):
f ′ (x0).
Lagrange-Polynom P mit P(x0 ± ε) = f (x0 ± ε) ist
x−(x0 +ε)
(x0−ε)−(x0 +ε) f (x0
x−(x
− ε) + 0−ε) (x0 +ε)−(x0−ε) f (x0 + ε) = f (x0 +ε)−f (x0−ε) x +
2ε
(x0−ε)f (x0 +ε)−(x0 +ε)f (x0−ε) .
2ε
f(x)
E
x -
x
0
x
+
x

Numerische Methoden, die Ableitung zu berechnen.
Angenommen, wir haben die Werte einer Funktion f in Punkten eines
ε−Gitters (d.h. in Punkten x, x ± ε,x ± 2ε, wobei ε klein ist), mit Hilfe
eines numerischen oder technischen Verfahrens berechnet. Wie kann man
deren k−Ableitung berechnen? Ein Vorschlag: Nehme 2n + 1 > k
nebeneinander liegenden Punkten des Gitters, z.B.
x0, x±1 = x0 ± ε,...,x±n = x0 ± nε, konstruiere das Lagrange-Polynom
s.d. P(x±i) = f (x±i), und berechne deren k−te Ableitung im x0.
(Mann kann nur k + 1 Punkte aus {x±n,...,x0} nehmen)
Z.B. Gegeben sind f (x0 − ε), f (x0 + ε). Zu berechnen (approximativ):
f ′ (x0).
Lagrange-Polynom P mit P(x0 ± ε) = f (x0 ± ε) ist
x−(x0 +ε)
(x0−ε)−(x0 +ε) f (x0
x−(x
− ε) + 0−ε) (x0 +ε)−(x0−ε) f (x0 + ε) = f (x0 +ε)−f (x0−ε) x +
2ε
(x0−ε)f (x0 +ε)−(x0 +ε)f (x0−ε) .
2ε
f (x+ε)−f (x−ε)
Dessen Ableitung ist 2ε ≈ f ′ (x0).
f(x)
E
x -
x
0
x
+
x

Dasselbe mit der zweiten Ableitung
f(x)
E
x -
x
0
x
+
x

Dasselbe mit der zweiten Ableitung
f(x)
E
x -
x
0
Bezeichne x+ := x0 + ε, x− := x0 − ε.
x
+
x

Dasselbe mit der zweiten Ableitung
f(x)
E
x -
x
0
x
+
x
Bezeichne x+ := x0 + ε, x− := x0 − ε. Dann ist das Polynom 2tes Grades
P

Dasselbe mit der zweiten Ableitung
f(x)
E
x -
x
0
x
+
x
Bezeichne x+ := x0 + ε, x− := x0 − ε. Dann ist das Polynom 2tes Grades
P mit P(x±) = f (x±), P(x0) = f (x0)

Dasselbe mit der zweiten Ableitung
f(x)
E
x -
x
0
x
+
x
Bezeichne x+ := x0 + ε, x− := x0 − ε. Dann ist das Polynom 2tes Grades
P mit P(x±) = f (x±), P(x0) = f (x0) gegeben durch

Dasselbe mit der zweiten Ableitung
f(x)
E
x -
x
0
x
+
x
Bezeichne x+ := x0 + ε, x− := x0 − ε. Dann ist das Polynom 2tes Grades
P mit P(x±) = f (x±), P(x0) = f (x0) gegeben durch
(x−x 0 )(x−x + )
(x − −x 0 )(x − −x + ) f (x −) +

Dasselbe mit der zweiten Ableitung
f(x)
E
x -
x
0
x
+
x
Bezeichne x+ := x0 + ε, x− := x0 − ε. Dann ist das Polynom 2tes Grades
P mit P(x±) = f (x±), P(x0) = f (x0) gegeben durch
(x−x 0 )(x−x + )
(x − −x 0 )(x − −x + ) f (x −) + (x−x − )(x−x + )
(x 0 −x − )(x 0 −x + ) f (x0) +

Dasselbe mit der zweiten Ableitung
f(x)
E
x -
x
0
x
+
x
Bezeichne x+ := x0 + ε, x− := x0 − ε. Dann ist das Polynom 2tes Grades
P mit P(x±) = f (x±), P(x0) = f (x0) gegeben durch
(x−x0 )(x−x + )
(x−−x0 )(x−−x + ) f (x−) + (x−x− )(x−x + )
(x0−x− )(x0−x + ) f (x0) + (x−x− )(x−x0 )
f (x+)
(x + −x− )(x + −x0 )

Dasselbe mit der zweiten Ableitung
f(x)
E
x -
x
0
x
+
x
Bezeichne x+ := x0 + ε, x− := x0 − ε. Dann ist das Polynom 2tes Grades
P mit P(x±) = f (x±), P(x0) = f (x0) gegeben durch
(x−x0 )(x−x + )
(x−−x0 )(x−−x + ) f (x−) + (x−x− )(x−x + )
(x0−x− )(x0−x + ) f (x0) + (x−x− )(x−x0 )
f (x+)
(x + −x− )(x + −x0 )
= x 2f(x − )
2ε 2 − f (x 0 )
ε 2 + f (x + )
2ε 2+

Dasselbe mit der zweiten Ableitung
f(x)
E
x -
x
0
x
+
x
Bezeichne x+ := x0 + ε, x− := x0 − ε. Dann ist das Polynom 2tes Grades
P mit P(x±) = f (x±), P(x0) = f (x0) gegeben durch
(x−x0 )(x−x + )
(x−−x0 )(x−−x + ) f (x−) + (x−x− )(x−x + )
(x0−x− )(x0−x + ) f (x0) + (x−x− )(x−x0 )
f (x+)
(x + −x− )(x + −x0 )
= x 2f(x − )
2ε 2 − f (x 0 )
ε 2 + f (x + )
2ε 2+ Terme der kleineren Ordnung in x

Dasselbe mit der zweiten Ableitung
f(x)
E
x -
x
0
x
+
x
Bezeichne x+ := x0 + ε, x− := x0 − ε. Dann ist das Polynom 2tes Grades
P mit P(x±) = f (x±), P(x0) = f (x0) gegeben durch
(x−x0 )(x−x + )
(x−−x0 )(x−−x + ) f (x−) + (x−x− )(x−x + )
(x0−x− )(x0−x + ) f (x0) + (x−x− )(x−x0 )
f (x+)
(x + −x− )(x + −x0 )
= x 2f(x − )
2ε2 − f (x0 )
ε2 + f (x + )
2ε2+ Terme der kleineren Ordnung in x Dessen 2te
f (x−)+f (x+)−2f (x0)
Ableitung ist ε2 .

Dasselbe mit der zweiten Ableitung
f(x)
E
x -
x
0
x
+
x
Bezeichne x+ := x0 + ε, x− := x0 − ε. Dann ist das Polynom 2tes Grades
P mit P(x±) = f (x±), P(x0) = f (x0) gegeben durch
(x−x0 )(x−x + )
(x−−x0 )(x−−x + ) f (x−) + (x−x− )(x−x + )
(x0−x− )(x0−x + ) f (x0) + (x−x− )(x−x0 )
f (x+)
(x + −x− )(x + −x0 )
= x 2f(x − )
2ε2 − f (x0 )
ε2 + f (x + )
2ε2+ Terme der kleineren Ordnung in x Dessen 2te
f (x−)+f (x+)−2f (x0)
Ableitung ist ε2 .
Also, f ′′ f (x−)+f (x+)−2f (x0)
(x0) ≈ ε2 .

Dasselbe mit der zweiten Ableitung
f(x)
E
x -
x
0
x
+
x
Bezeichne x+ := x0 + ε, x− := x0 − ε. Dann ist das Polynom 2tes Grades
P mit P(x±) = f (x±), P(x0) = f (x0) gegeben durch
(x−x0 )(x−x + )
(x−−x0 )(x−−x + ) f (x−) + (x−x− )(x−x + )
(x0−x− )(x0−x + ) f (x0) + (x−x− )(x−x0 )
f (x+)
(x + −x− )(x + −x0 )
= x 2f(x − )
2ε2 − f (x0 )
ε2 + f (x + )
2ε2+ Terme der kleineren Ordnung in x Dessen 2te
f (x−)+f (x+)−2f (x0)
Ableitung ist ε2 .
Also, f ′′ f (x−)+f (x+)−2f (x0)
(x0) ≈ ε2 . (Falls ε klein ist und die 3te Ableitung
der Funktion nicht zu groß ist)

Zukunft vorhersagen.

Zukunft vorhersagen.
Anzahl von
Schuler
(Anz(x))
02
03
04
05
06
2007
Jahr

Zukunft vorhersagen.
Anzahl von
Schuler
(Anz(x))
02
03
04
05
06
2007
Jahr
Was Passiert im Jahr 2007+1?

Zukunft vorhersagen.
Anzahl von
Schuler
(Anz(x))
02
03
04
05
06
2007
Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?
Jahr

Zukunft vorhersagen.
Anzahl von
Schuler
(Anz(x))
02
03
04
05
06
2007
Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?
Ein Vorschlag:
Jahr

Zukunft vorhersagen.
Anzahl von
Schuler
(Anz(x))
02
03
04
05
06
2007
Jahr
Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?
Ein Vorschlag: man nehme die Werte im Jahren x0 := 2007 − n, ...,
xn−1 := 2006, xn = 2007

Zukunft vorhersagen.
Anzahl von
Schuler
(Anz(x))
02
03
04
05
06
2007
Jahr
Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?
Ein Vorschlag: man nehme die Werte im Jahren x0 := 2007 − n, ...,
xn−1 := 2006, xn = 2007 und betrachte das zugehörige
Lagrange-Polynom P (mit P(xi) = Anz(xi)),

Zukunft vorhersagen.
Anzahl von
Schuler
(Anz(x))
02
03
04
05
06
2007
Jahr
Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?
Ein Vorschlag: man nehme die Werte im Jahren x0 := 2007 − n, ...,
xn−1 := 2006, xn = 2007 und betrachte das zugehörige
Lagrange-Polynom P (mit P(xi) = Anz(xi)), und dann vorhersage
Anz(2008) = P(2008).

Zukunft vorhersagen.
Anzahl von
Schuler
(Anz(x))
02
03
04
05
06
2007
Jahr
Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?
Ein Vorschlag: man nehme die Werte im Jahren x0 := 2007 − n, ...,
xn−1 := 2006, xn = 2007 und betrachte das zugehörige
Lagrange-Polynom P (mit P(xi) = Anz(xi)), und dann vorhersage
Anz(2008) = P(2008).
n = 1 lineare Interpolation

Zukunft vorhersagen.
Anzahl von
Schuler
(Anz(x))
02
03
04
05
06
2007
Jahr
Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?
Ein Vorschlag: man nehme die Werte im Jahren x0 := 2007 − n, ...,
xn−1 := 2006, xn = 2007 und betrachte das zugehörige
Lagrange-Polynom P (mit P(xi) = Anz(xi)), und dann vorhersage
Anz(2008) = P(2008).
n = 1 lineare Interpolation

Zukunft vorhersagen.
Anzahl von
Schuler
(Anz(x))
02
03
04
05
06
2007
Jahr
Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?
Ein Vorschlag: man nehme die Werte im Jahren x0 := 2007 − n, ...,
xn−1 := 2006, xn = 2007 und betrachte das zugehörige
Lagrange-Polynom P (mit P(xi) = Anz(xi)), und dann vorhersage
Anz(2008) = P(2008).
n = 1 lineare Interpolation
n = 2 Quadratische Interpolation

Zukunft vorhersagen.
Anzahl von
Schuler
(Anz(x))
02
03
04
05
06
2007
Jahr
Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?
Ein Vorschlag: man nehme die Werte im Jahren x0 := 2007 − n, ...,
xn−1 := 2006, xn = 2007 und betrachte das zugehörige
Lagrange-Polynom P (mit P(xi) = Anz(xi)), und dann vorhersage
Anz(2008) = P(2008).
n = 1 lineare Interpolation
n = 2 Quadratische Interpolation
n = 3 Kubische Interpolation.

Zukunft vorhersagen.
Anzahl von
Schuler
(Anz(x))
02
03
04
05
06
2007
Jahr
Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?
Ein Vorschlag: man nehme die Werte im Jahren x0 := 2007 − n, ...,
xn−1 := 2006, xn = 2007 und betrachte das zugehörige
Lagrange-Polynom P (mit P(xi) = Anz(xi)), und dann vorhersage
Anz(2008) = P(2008).
n = 1 lineare Interpolation
n = 2 Quadratische Interpolation
n = 3 Kubische Interpolation.
Welches n soll man nehmen?

Zukunft vorhersagen.
Anzahl von
Schuler
(Anz(x))
02
03
04
05
06
2007
Jahr
Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?
Ein Vorschlag: man nehme die Werte im Jahren x0 := 2007 − n, ...,
xn−1 := 2006, xn = 2007 und betrachte das zugehörige
Lagrange-Polynom P (mit P(xi) = Anz(xi)), und dann vorhersage
Anz(2008) = P(2008).
n = 1 lineare Interpolation
n = 2 Quadratische Interpolation
n = 3 Kubische Interpolation.
Welches n soll man nehmen? Das hängt von Aufgabe ab.

Zukunft vorhersagen.
Anzahl von
Schuler
(Anz(x))
02
03
04
05
06
2007
Jahr
Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?
Ein Vorschlag: man nehme die Werte im Jahren x0 := 2007 − n, ...,
xn−1 := 2006, xn = 2007 und betrachte das zugehörige
Lagrange-Polynom P (mit P(xi) = Anz(xi)), und dann vorhersage
Anz(2008) = P(2008).
n = 1 lineare Interpolation
n = 2 Quadratische Interpolation
n = 3 Kubische Interpolation.
Welches n soll man nehmen? Das hängt von Aufgabe ab. Man kann
verschiedene n nehmen,

Zukunft vorhersagen.
Anzahl von
Schuler
(Anz(x))
02
03
04
05
06
2007
Jahr
Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?
Ein Vorschlag: man nehme die Werte im Jahren x0 := 2007 − n, ...,
xn−1 := 2006, xn = 2007 und betrachte das zugehörige
Lagrange-Polynom P (mit P(xi) = Anz(xi)), und dann vorhersage
Anz(2008) = P(2008).
n = 1 lineare Interpolation
n = 2 Quadratische Interpolation
n = 3 Kubische Interpolation.
Welches n soll man nehmen? Das hängt von Aufgabe ab. Man kann
verschiedene n nehmen, in der Vergangenheit testen,

Zukunft vorhersagen.
Anzahl von
Schuler
(Anz(x))
02
03
04
05
06
2007
Jahr
Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?
Ein Vorschlag: man nehme die Werte im Jahren x0 := 2007 − n, ...,
xn−1 := 2006, xn = 2007 und betrachte das zugehörige
Lagrange-Polynom P (mit P(xi) = Anz(xi)), und dann vorhersage
Anz(2008) = P(2008).
n = 1 lineare Interpolation
n = 2 Quadratische Interpolation
n = 3 Kubische Interpolation.
Welches n soll man nehmen? Das hängt von Aufgabe ab. Man kann
verschiedene n nehmen, in der Vergangenheit testen, und das besseres
übernehmen.

Zukunft vorhersagen.
Anzahl von
Schuler
(Anz(x))
02
03
04
05
06
2007
Jahr
Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?
Ein Vorschlag: man nehme die Werte im Jahren x0 := 2007 − n, ...,
xn−1 := 2006, xn = 2007 und betrachte das zugehörige
Lagrange-Polynom P (mit P(xi) = Anz(xi)), und dann vorhersage
Anz(2008) = P(2008).
n = 1 lineare Interpolation
n = 2 Quadratische Interpolation
n = 3 Kubische Interpolation.
Welches n soll man nehmen? Das hängt von Aufgabe ab. Man kann
verschiedene n nehmen, in der Vergangenheit testen, und das besseres
übernehmen. Auch wenn der Grad des Lagrange-Polynoms groß ist,

Zukunft vorhersagen.
Anzahl von
Schuler
(Anz(x))
02
03
04
05
06
2007
Jahr
Was Passiert im Jahr 2007+1? 2007+2?
Ein Vorschlag: man nehme die Werte im Jahren x0 := 2007 − n, ...,
xn−1 := 2006, xn = 2007 und betrachte das zugehörige
Lagrange-Polynom P (mit P(xi) = Anz(xi)), und dann vorhersage
Anz(2008) = P(2008).
n = 1 lineare Interpolation
n = 2 Quadratische Interpolation
n = 3 Kubische Interpolation.
Welches n soll man nehmen? Das hängt von Aufgabe ab. Man kann
verschiedene n nehmen, in der Vergangenheit testen, und das besseres
übernehmen. Auch wenn der Grad des Lagrange-Polynoms groß ist,
haben die Werte Anz(xi) für die letzte xi höhere Einfluss auf P(2008) als
die andere.

Haupsatz der Algebra

Haupsatz der Algebra
Hauptsatz der Algebra (Analysis -Vorlesungen)

Haupsatz der Algebra
Hauptsatz der Algebra (Analysis -Vorlesungen) Jedes
P ∈ C[x] mit Grad(P) ≥ 1 hat mind. eine Nulstelle

Haupsatz der Algebra
Hauptsatz der Algebra (Analysis -Vorlesungen) Jedes
P ∈ C[x] mit Grad(P) ≥ 1 hat mind. eine Nulstelle
Bsp.

Haupsatz der Algebra
Hauptsatz der Algebra (Analysis -Vorlesungen) Jedes
P ∈ C[x] mit Grad(P) ≥ 1 hat mind. eine Nulstelle
Bsp. In R[x] ist die Aussage falsch: z.B.

Haupsatz der Algebra
Hauptsatz der Algebra (Analysis -Vorlesungen) Jedes
P ∈ C[x] mit Grad(P) ≥ 1 hat mind. eine Nulstelle
Bsp. In R[x] ist die Aussage falsch: z.B. x 2 + 1 hat keine Nulstell
in R.

Haupsatz der Algebra
Hauptsatz der Algebra (Analysis -Vorlesungen) Jedes
P ∈ C[x] mit Grad(P) ≥ 1 hat mind. eine Nulstelle
Bsp. In R[x] ist die Aussage falsch: z.B. x 2 + 1 hat keine Nulstell
in R. (wenn wir das Polynom als Polynom über Komplexe
koeffizienten auffassen,

Haupsatz der Algebra
Hauptsatz der Algebra (Analysis -Vorlesungen) Jedes
P ∈ C[x] mit Grad(P) ≥ 1 hat mind. eine Nulstelle
Bsp. In R[x] ist die Aussage falsch: z.B. x 2 + 1 hat keine Nulstell
in R. (wenn wir das Polynom als Polynom über Komplexe
koeffizienten auffassen, hat das Polynom die Nullstellen x1 = i ,
x2 = −i. )

Haupsatz der Algebra
Hauptsatz der Algebra (Analysis -Vorlesungen) Jedes
P ∈ C[x] mit Grad(P) ≥ 1 hat mind. eine Nulstelle
Bsp. In R[x] ist die Aussage falsch: z.B. x 2 + 1 hat keine Nulstell
in R. (wenn wir das Polynom als Polynom über Komplexe
koeffizienten auffassen, hat das Polynom die Nullstellen x1 = i ,
x2 = −i. )

Folgerung A

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0,

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind).

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz:

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1.

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1.

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g,

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g, wobei Grad(g) = Grad(P) − 1.

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g, wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so ist
g = a ∈ C,

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g, wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so ist
g = a ∈ C, und wir sind fertig.

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g, wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so ist
g = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2,

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g, wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so ist
g = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, und
deswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h,

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g, wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so ist
g = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, und
deswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobei
Grad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2,

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g, wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so ist
g = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, und
deswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobei
Grad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g, wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so ist
g = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, und
deswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobei
Grad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,
U.S.W.

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g, wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so ist
g = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, und
deswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobei
Grad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,
U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).
Eindeutigkeit

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g, wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so ist
g = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, und
deswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobei
Grad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,
U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).
Eindeutigkeit Induktion nach n.

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g, wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so ist
g = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, und
deswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobei
Grad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,
U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).
Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n,

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g, wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so ist
g = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, und
deswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobei
Grad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,
U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).
Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so ist
P = a = b,

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g, wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so ist
g = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, und
deswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobei
Grad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,
U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).
Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so ist
P = a = b, also a = b.

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g, wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so ist
g = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, und
deswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobei
Grad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,
U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).
Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so ist
P = a = b, also a = b. I.V.:

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g, wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so ist
g = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, und
deswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobei
Grad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,
U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).
Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so ist
P = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Grades
n − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)
darstellen.

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g, wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so ist
g = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, und
deswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobei
Grad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,
U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).
Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so ist
P = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Grades
n − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)
darstellen. I.S. Z.z.: die Eindeutigkeit gilt auch für Polynome des Grades
n.

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g, wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so ist
g = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, und
deswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobei
Grad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,
U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).
Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so ist
P = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Grades
n − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)
darstellen. I.S. Z.z.: die Eindeutigkeit gilt auch für Polynome des Grades
n. Sei P = a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn),

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g, wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so ist
g = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, und
deswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobei
Grad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,
U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).
Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so ist
P = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Grades
n − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)
darstellen. I.S. Z.z.: die Eindeutigkeit gilt auch für Polynome des Grades
n. Sei P = a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn), wobei a = 0 = b.

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g, wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so ist
g = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, und
deswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobei
Grad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,
U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).
Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so ist
P = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Grades
n − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)
darstellen. I.S. Z.z.: die Eindeutigkeit gilt auch für Polynome des Grades
n. Sei P = a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn), wobei a = 0 = b.
Da x1 eine Nulstelle des Polynoms a(x − x1)...(x − xn)

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g, wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so ist
g = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, und
deswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobei
Grad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,
U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).
Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so ist
P = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Grades
n − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)
darstellen. I.S. Z.z.: die Eindeutigkeit gilt auch für Polynome des Grades
n. Sei P = a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn), wobei a = 0 = b.
Da x1 eine Nulstelle des Polynoms a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn) ist,

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g, wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so ist
g = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, und
deswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobei
Grad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,
U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).
Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so ist
P = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Grades
n − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)
darstellen. I.S. Z.z.: die Eindeutigkeit gilt auch für Polynome des Grades
n. Sei P = a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn), wobei a = 0 = b.
Da x1 eine Nulstelle des Polynoms a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn) ist, ist
b(x1 − y1)(x1 − y2)...(x1 − yn) = 0,

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g, wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so ist
g = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, und
deswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobei
Grad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,
U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).
Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so ist
P = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Grades
n − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)
darstellen. I.S. Z.z.: die Eindeutigkeit gilt auch für Polynome des Grades
n. Sei P = a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn), wobei a = 0 = b.
Da x1 eine Nulstelle des Polynoms a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn) ist, ist
b(x1 − y1)(x1 − y2)...(x1 − yn) = 0, und deswegen ist ein von yi gleich x1.

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g, wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so ist
g = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, und
deswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobei
Grad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,
U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).
Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so ist
P = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Grades
n − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)
darstellen. I.S. Z.z.: die Eindeutigkeit gilt auch für Polynome des Grades
n. Sei P = a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn), wobei a = 0 = b.
Da x1 eine Nulstelle des Polynoms a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn) ist, ist
b(x1 − y1)(x1 − y2)...(x1 − yn) = 0, und deswegen ist ein von yi gleich x1. OBdA
ist y1 = x1.

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g, wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so ist
g = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, und
deswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobei
Grad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,
U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).
Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so ist
P = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Grades
n − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)
darstellen. I.S. Z.z.: die Eindeutigkeit gilt auch für Polynome des Grades
n. Sei P = a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn), wobei a = 0 = b.
Da x1 eine Nulstelle des Polynoms a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn) ist, ist
b(x1 − y1)(x1 − y2)...(x1 − yn) = 0, und deswegen ist ein von yi gleich x1. OBdA
ist y1 = x1. Dividieren des Polynoms durch (x − x1)

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g, wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so ist
g = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, und
deswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobei
Grad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,
U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).
Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so ist
P = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Grades
n − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)
darstellen. I.S. Z.z.: die Eindeutigkeit gilt auch für Polynome des Grades
n. Sei P = a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn), wobei a = 0 = b.
Da x1 eine Nulstelle des Polynoms a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn) ist, ist
b(x1 − y1)(x1 − y2)...(x1 − yn) = 0, und deswegen ist ein von yi gleich x1. OBdA
ist y1 = x1. Dividieren des Polynoms durch (x − x1) gibt
a(x − x2)...(x − xn) =

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g, wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so ist
g = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, und
deswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobei
Grad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,
U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).
Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so ist
P = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Grades
n − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)
darstellen. I.S. Z.z.: die Eindeutigkeit gilt auch für Polynome des Grades
n. Sei P = a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn), wobei a = 0 = b.
Da x1 eine Nulstelle des Polynoms a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn) ist, ist
b(x1 − y1)(x1 − y2)...(x1 − yn) = 0, und deswegen ist ein von yi gleich x1. OBdA
ist y1 = x1. Dividieren des Polynoms durch (x − x1) gibt
a(x − x2)...(x − xn) = b(x − y2)...(x − yn).

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g, wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so ist
g = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, und
deswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobei
Grad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,
U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).
Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so ist
P = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Grades
n − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)
darstellen. I.S. Z.z.: die Eindeutigkeit gilt auch für Polynome des Grades
n. Sei P = a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn), wobei a = 0 = b.
Da x1 eine Nulstelle des Polynoms a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn) ist, ist
b(x1 − y1)(x1 − y2)...(x1 − yn) = 0, und deswegen ist ein von yi gleich x1. OBdA
ist y1 = x1. Dividieren des Polynoms durch (x − x1) gibt
a(x − x2)...(x − xn) = b(x − y2)...(x − yn). Nach I.V. ist a = b und die
Faktoren (x − xi) sind die Faktoren (x − yi) (i ≥ 2),

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g, wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so ist
g = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, und
deswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobei
Grad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,
U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).
Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so ist
P = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Grades
n − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)
darstellen. I.S. Z.z.: die Eindeutigkeit gilt auch für Polynome des Grades
n. Sei P = a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn), wobei a = 0 = b.
Da x1 eine Nulstelle des Polynoms a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn) ist, ist
b(x1 − y1)(x1 − y2)...(x1 − yn) = 0, und deswegen ist ein von yi gleich x1. OBdA
ist y1 = x1. Dividieren des Polynoms durch (x − x1) gibt
a(x − x2)...(x − xn) = b(x − y2)...(x − yn). Nach I.V. ist a = b und die
Faktoren (x − xi) sind die Faktoren (x − yi) (i ≥ 2), möglicherweise in
andere Reihenfolge.

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g, wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so ist
g = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, und
deswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobei
Grad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,
U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).
Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so ist
P = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Grades
n − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)
darstellen. I.S. Z.z.: die Eindeutigkeit gilt auch für Polynome des Grades
n. Sei P = a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn), wobei a = 0 = b.
Da x1 eine Nulstelle des Polynoms a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn) ist, ist
b(x1 − y1)(x1 − y2)...(x1 − yn) = 0, und deswegen ist ein von yi gleich x1. OBdA
ist y1 = x1. Dividieren des Polynoms durch (x − x1) gibt
a(x − x2)...(x − xn) = b(x − y2)...(x − yn). Nach I.V. ist a = b und die
Faktoren (x − xi) sind die Faktoren (x − yi) (i ≥ 2), möglicherweise in
andere Reihenfolge.

Folgerung A Jedes P ∈ C[x], P = 0, kann man in lineare Faktoren
zehrlegen (d.h. in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn) schreiben,
wobei a,xi ∈ C sind). Diese Zerlegung ist eindeutig bis zum umstellen
von Faktoren.
Beweis Existenz: Sei P ein Polynom des Grades n ≥ 1. Nach
Hauptsatz der Algebra hat er eine Nulstelle x1. Nach Lemma 6 ist dann
P = (x − x1)g, wobei Grad(g) = Grad(P) − 1. Ist Grad(g) = 0, so ist
g = a ∈ C, und wir sind fertig. Sonst hat g eine Nulstelle x2, und
deswegen (Lemma 6) ist g = (x − x2)h, wobei
Grad(h) = Grad(g) − 1 = Grad(P) − 2, also P = (x − x1)(x − x2)h,
U.S.W. Nach n Schritte bekommen wir P = a(x − x1)...(x − xn).
Eindeutigkeit Induktion nach n. I.A. ist trivial: hat P Grad n, so ist
P = a = b, also a = b. I.V.: Angenommen, jedes Polynom des Grades
n − 1 kann man Eindeutig in der Form P = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)
darstellen. I.S. Z.z.: die Eindeutigkeit gilt auch für Polynome des Grades
n. Sei P = a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn), wobei a = 0 = b.
Da x1 eine Nulstelle des Polynoms a(x − x1)...(x − xn) = b(x − y1)...(x − yn) ist, ist
b(x1 − y1)(x1 − y2)...(x1 − yn) = 0, und deswegen ist ein von yi gleich x1. OBdA
ist y1 = x1. Dividieren des Polynoms durch (x − x1) gibt
a(x − x2)...(x − xn) = b(x − y2)...(x − yn). Nach I.V. ist a = b und die
Faktoren (x − xi) sind die Faktoren (x − yi) (i ≥ 2), möglicherweise in
andere Reihenfolge.

Ist P ∈ R[x],

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x],

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0,

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen:

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n
k=0 akx k ∈ R[x]

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n
k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x].

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C:

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung:

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 =

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 = z1 + z2,

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 =

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.
(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Körpers C)

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.
(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Körpers C)
Tatsächlich,

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.
(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Körpers C)
Tatsächlich,
a1 + ib1 + a2 + ib2 =

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.
(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Körpers C)
Tatsächlich,
a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2)

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.
(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Körpers C)
Tatsächlich,
a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.
(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Körpers C)
Tatsächlich,
a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.
(a1 + ib1)(a2 + ib2) =

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.
(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Körpers C)
Tatsächlich,
a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.
(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.
(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Körpers C)
Tatsächlich,
a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.
(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1)

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.
(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Körpers C)
Tatsächlich,
a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.
(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =
a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) =

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.
(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Körpers C)
Tatsächlich,
a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.
(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =
a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.
(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Körpers C)
Tatsächlich,
a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.
(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =
a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).
Deswegen ist zk = zk

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.
(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Körpers C)
Tatsächlich,
a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.
(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =
a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).
Deswegen ist zk = zk für alle k ∈ N.

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.
(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Körpers C)
Tatsächlich,
a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.
(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =
a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).
Deswegen ist zk = zk für alle k ∈ N. Damit erhalten wir wegen ak ∈ R

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.
(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Körpers C)
Tatsächlich,
a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.
(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =
a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).
Deswegen ist zk = zk für alle k ∈ N. Damit erhalten wir wegen ak ∈ R
Pn(z) = anzn

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.
(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Körpers C)
Tatsächlich,
a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.
(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =
a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).
Deswegen ist zk = zk für alle k ∈ N. Damit erhalten wir wegen ak ∈ R
Pn(z) = anzn + an−1zn−1

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.
(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Körpers C)
Tatsächlich,
a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.
(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =
a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).
Deswegen ist zk = zk für alle k ∈ N. Damit erhalten wir wegen ak ∈ R
Pn(z) = anzn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.
(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Körpers C)
Tatsächlich,
a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.
(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =
a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).
Deswegen ist zk = zk für alle k ∈ N. Damit erhalten wir wegen ak ∈ R
Pn(z) = anzn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 =
anzn

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.
(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Körpers C)
Tatsächlich,
a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.
(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =
a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).
Deswegen ist zk = zk für alle k ∈ N. Damit erhalten wir wegen ak ∈ R
Pn(z) = anzn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 =
anzn +an−1zn−1

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.
(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Körpers C)
Tatsächlich,
a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.
(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =
a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).
Deswegen ist zk = zk für alle k ∈ N. Damit erhalten wir wegen ak ∈ R
Pn(z) = anzn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 =
anzn +an−1zn−1 + · · ·+a1z

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.
(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Körpers C)
Tatsächlich,
a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.
(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =
a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).
Deswegen ist zk = zk für alle k ∈ N. Damit erhalten wir wegen ak ∈ R
Pn(z) = anzn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 =
anzn +an−1zn−1 + · · ·+a1z +a0

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.
(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Körpers C)
Tatsächlich,
a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.
(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =
a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).
Deswegen ist zk = zk für alle k ∈ N. Damit erhalten wir wegen ak ∈ R
Pn(z) = anzn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 =
anzn +an−1zn−1 + · · ·+a1z +a0 = anzn

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.
(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Körpers C)
Tatsächlich,
a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.
(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =
a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).
Deswegen ist zk = zk für alle k ∈ N. Damit erhalten wir wegen ak ∈ R
Pn(z) = anzn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 =
anzn +an−1zn−1 + · · ·+a1z +a0 = anzn +an−1zn−1

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.
(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Körpers C)
Tatsächlich,
a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.
(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =
a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).
Deswegen ist zk = zk für alle k ∈ N. Damit erhalten wir wegen ak ∈ R
Pn(z) = anzn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 =
anzn +an−1zn−1 + · · ·+a1z +a0 = anzn +an−1zn−1 + · · ·+a1z +a0.

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.
(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Körpers C)
Tatsächlich,
a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.
(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =
a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).
Deswegen ist zk = zk für alle k ∈ N. Damit erhalten wir wegen ak ∈ R
Pn(z) = anzn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 =
anzn +an−1zn−1 + · · ·+a1z +a0 = anzn +an−1zn−1 + · · ·+a1z +a0.
Hilfsaussage ist bewiesen.

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.
(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Körpers C)
Tatsächlich,
a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.
(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =
a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).
Deswegen ist zk = zk für alle k ∈ N. Damit erhalten wir wegen ak ∈ R
Pn(z) = anzn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 =
anzn +an−1zn−1 + · · ·+a1z +a0 = anzn +an−1zn−1 + · · ·+a1z +a0.
Hilfsaussage ist bewiesen. Daraus folgt insbesondere, daß für ein
P ∈ R[x] ⊆ C[x] zusammen mit Pn(c) = 0 stets auch Pn(c) = 0 gilt.
Damit ist eine Nullstelle von Pn entweder reell

Ist P ∈ R[x], so ist P ∈ C[x], weil R ⊆ C.
Folgerung B Jedes P ∈ R[x], Grad(P) > 0, kann man in Produkt
von lineare und quadratrischen Faktoren zerlegen: P := g1g2...gm,
wobei Grad(gi) ∈ {1,2}.
Hilfsaussage Es sei P = n k=0 akx k ∈ R[x] ⊆ C[x]. Dann gilt für jedes
z ∈ C: P(z) = P(z) (wobei ¯z komplexe Konjugation ist)
Wiederholung: Für z = a + ib ist ¯z = a − ib.
Wir erinnern zunächst an folgende Eigenschaften komplexer Zahlen:
z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.
(Konjugieren ist ein Autoisomorphismus des Körpers C)
Tatsächlich,
a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 − i(b1 + b2) = a1 + ib1 + a2 + ib2.
(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(a1b2 + a2b1) =
a1a2 − b1b2 − i(a1b2 + a2b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2).
Deswegen ist zk = zk für alle k ∈ N. Damit erhalten wir wegen ak ∈ R
Pn(z) = anzn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 =
anzn +an−1zn−1 + · · ·+a1z +a0 = anzn +an−1zn−1 + · · ·+a1z +a0.
Hilfsaussage ist bewiesen. Daraus folgt insbesondere, daß für ein
P ∈ R[x] ⊆ C[x] zusammen mit Pn(c) = 0 stets auch Pn(c) = 0 gilt.
Damit ist eine Nullstelle von Pn entweder reell oder die zu ihr komplex
konjugierte Zahl ist ebenfalls eine Nullstelle.

Es sei nun c = α + iβ mit α, β ∈ R eine Nullstelle von Pn.

Es sei nun c = α + iβ mit α, β ∈ R eine Nullstelle von Pn. Dann
ist
(x − c)(x − c) =

Es sei nun c = α + iβ mit α, β ∈ R eine Nullstelle von Pn. Dann
ist
(x − c)(x − c) = (x − α − iβ)(x − α + iβ) =

Es sei nun c = α + iβ mit α, β ∈ R eine Nullstelle von Pn. Dann
ist
(x − c)(x − c) = (x − α − iβ)(x − α + iβ) = (x − α) 2 + β 2 = x 2 + Ax + B (∗)
mit A = −2α ∈ R, B = α 2 + β 2 ∈ R. Wir dividieren P durch
x − c und durch x − c,

Es sei nun c = α + iβ mit α, β ∈ R eine Nullstelle von Pn. Dann
ist
(x − c)(x − c) = (x − α − iβ)(x − α + iβ) = (x − α) 2 + β 2 = x 2 + Ax + B (∗)
mit A = −2α ∈ R, B = α 2 + β 2 ∈ R. Wir dividieren P durch
x − c und durch x − c, und erhalten wegen (∗) die Darstellung
Pn = (x − c)(x − c)Qn−2 = (x 2 + Az + B)Qn−2.

Es sei nun c = α + iβ mit α, β ∈ R eine Nullstelle von Pn. Dann
ist
(x − c)(x − c) = (x − α − iβ)(x − α + iβ) = (x − α) 2 + β 2 = x 2 + Ax + B (∗)
mit A = −2α ∈ R, B = α 2 + β 2 ∈ R. Wir dividieren P durch
x − c und durch x − c, und erhalten wegen (∗) die Darstellung
Pn = (x − c)(x − c)Qn−2 = (x 2 + Az + B)Qn−2.
Da sowohl Pn(z) als auch z 2 + Az + B

Es sei nun c = α + iβ mit α, β ∈ R eine Nullstelle von Pn. Dann
ist
(x − c)(x − c) = (x − α − iβ)(x − α + iβ) = (x − α) 2 + β 2 = x 2 + Ax + B (∗)
mit A = −2α ∈ R, B = α 2 + β 2 ∈ R. Wir dividieren P durch
x − c und durch x − c, und erhalten wegen (∗) die Darstellung
Pn = (x − c)(x − c)Qn−2 = (x 2 + Az + B)Qn−2.
Da sowohl Pn(z) als auch z 2 + Az + B ausschließlich reelle
Koeffizienten besitzen,

Es sei nun c = α + iβ mit α, β ∈ R eine Nullstelle von Pn. Dann
ist
(x − c)(x − c) = (x − α − iβ)(x − α + iβ) = (x − α) 2 + β 2 = x 2 + Ax + B (∗)
mit A = −2α ∈ R, B = α 2 + β 2 ∈ R. Wir dividieren P durch
x − c und durch x − c, und erhalten wegen (∗) die Darstellung
Pn = (x − c)(x − c)Qn−2 = (x 2 + Az + B)Qn−2.
Da sowohl Pn(z) als auch z 2 + Az + B ausschließlich reelle
Koeffizienten besitzen, hat auch Qn−2(z) nur reelle Koeffizienten.

Es sei nun c = α + iβ mit α, β ∈ R eine Nullstelle von Pn. Dann
ist
(x − c)(x − c) = (x − α − iβ)(x − α + iβ) = (x − α) 2 + β 2 = x 2 + Ax + B (∗)
mit A = −2α ∈ R, B = α 2 + β 2 ∈ R. Wir dividieren P durch
x − c und durch x − c, und erhalten wegen (∗) die Darstellung
Pn = (x − c)(x − c)Qn−2 = (x 2 + Az + B)Qn−2.
Da sowohl Pn(z) als auch z 2 + Az + B ausschließlich reelle
Koeffizienten besitzen, hat auch Qn−2(z) nur reelle Koeffizienten.
Also läßt sich die Prozedur wiederholen.

Es sei nun c = α + iβ mit α, β ∈ R eine Nullstelle von Pn. Dann
ist
(x − c)(x − c) = (x − α − iβ)(x − α + iβ) = (x − α) 2 + β 2 = x 2 + Ax + B (∗)
mit A = −2α ∈ R, B = α 2 + β 2 ∈ R. Wir dividieren P durch
x − c und durch x − c, und erhalten wegen (∗) die Darstellung
Pn = (x − c)(x − c)Qn−2 = (x 2 + Az + B)Qn−2.
Da sowohl Pn(z) als auch z 2 + Az + B ausschließlich reelle
Koeffizienten besitzen, hat auch Qn−2(z) nur reelle Koeffizienten.
Also läßt sich die Prozedur wiederholen. Nach endlich viel
Schritten bekommen wir

Es sei nun c = α + iβ mit α, β ∈ R eine Nullstelle von Pn. Dann
ist
(x − c)(x − c) = (x − α − iβ)(x − α + iβ) = (x − α) 2 + β 2 = x 2 + Ax + B (∗)
mit A = −2α ∈ R, B = α 2 + β 2 ∈ R. Wir dividieren P durch
x − c und durch x − c, und erhalten wegen (∗) die Darstellung
Pn = (x − c)(x − c)Qn−2 = (x 2 + Az + B)Qn−2.
Da sowohl Pn(z) als auch z 2 + Az + B ausschließlich reelle
Koeffizienten besitzen, hat auch Qn−2(z) nur reelle Koeffizienten.
Also läßt sich die Prozedur wiederholen. Nach endlich viel
Schritten bekommen wir P := g1g2...gm1 Qn−2m1 , wobei g1, ...,gm1
quadratische Polynome sind,

Es sei nun c = α + iβ mit α, β ∈ R eine Nullstelle von Pn. Dann
ist
(x − c)(x − c) = (x − α − iβ)(x − α + iβ) = (x − α) 2 + β 2 = x 2 + Ax + B (∗)
mit A = −2α ∈ R, B = α 2 + β 2 ∈ R. Wir dividieren P durch
x − c und durch x − c, und erhalten wegen (∗) die Darstellung
Pn = (x − c)(x − c)Qn−2 = (x 2 + Az + B)Qn−2.
Da sowohl Pn(z) als auch z 2 + Az + B ausschließlich reelle
Koeffizienten besitzen, hat auch Qn−2(z) nur reelle Koeffizienten.
Also läßt sich die Prozedur wiederholen. Nach endlich viel
Schritten bekommen wir P := g1g2...gm1 Qn−2m1 , wobei g1, ...,gm1
quadratische Polynome sind, und Q hat nur reelle Nullstelle.

Es sei nun c = α + iβ mit α, β ∈ R eine Nullstelle von Pn. Dann
ist
(x − c)(x − c) = (x − α − iβ)(x − α + iβ) = (x − α) 2 + β 2 = x 2 + Ax + B (∗)
mit A = −2α ∈ R, B = α2 + β2 ∈ R. Wir dividieren P durch
x − c und durch x − c, und erhalten wegen (∗) die Darstellung
Pn = (x − c)(x − c)Qn−2 = (x2 + Az + B)Qn−2.
Da sowohl Pn(z) als auch z2 + Az + B ausschließlich reelle
Koeffizienten besitzen, hat auch Qn−2(z) nur reelle Koeffizienten.
Also läßt sich die Prozedur wiederholen. Nach endlich viel
Schritten bekommen wir P := g1g2...gm1Qn−2m1 , wobei g1, ...,gm1
quadratische Polynome sind, und Q hat nur reelle Nullstelle.
Nach Folgerung A kann man Qn−2m1 in Form
a(x − x1)...(x − xn−2m1 ) schreiben,

Es sei nun c = α + iβ mit α, β ∈ R eine Nullstelle von Pn. Dann
ist
(x − c)(x − c) = (x − α − iβ)(x − α + iβ) = (x − α) 2 + β 2 = x 2 + Ax + B (∗)
mit A = −2α ∈ R, B = α2 + β2 ∈ R. Wir dividieren P durch
x − c und durch x − c, und erhalten wegen (∗) die Darstellung
Pn = (x − c)(x − c)Qn−2 = (x2 + Az + B)Qn−2.
Da sowohl Pn(z) als auch z2 + Az + B ausschließlich reelle
Koeffizienten besitzen, hat auch Qn−2(z) nur reelle Koeffizienten.
Also läßt sich die Prozedur wiederholen. Nach endlich viel
Schritten bekommen wir P := g1g2...gm1Qn−2m1 , wobei g1, ...,gm1
quadratische Polynome sind, und Q hat nur reelle Nullstelle.
Nach Folgerung A kann man Qn−2m1 in Form
a(x − x1)...(x − xn−2m1 ) schreiben, wobei a, xi ∈ R.

Es sei nun c = α + iβ mit α, β ∈ R eine Nullstelle von Pn. Dann
ist
(x − c)(x − c) = (x − α − iβ)(x − α + iβ) = (x − α) 2 + β 2 = x 2 + Ax + B (∗)
mit A = −2α ∈ R, B = α2 + β2 ∈ R. Wir dividieren P durch
x − c und durch x − c, und erhalten wegen (∗) die Darstellung
Pn = (x − c)(x − c)Qn−2 = (x2 + Az + B)Qn−2.
Da sowohl Pn(z) als auch z2 + Az + B ausschließlich reelle
Koeffizienten besitzen, hat auch Qn−2(z) nur reelle Koeffizienten.
Also läßt sich die Prozedur wiederholen. Nach endlich viel
Schritten bekommen wir P := g1g2...gm1Qn−2m1 , wobei g1, ...,gm1
quadratische Polynome sind, und Q hat nur reelle Nullstelle.
Nach Folgerung A kann man Qn−2m1 in Form
a(x − x1)...(x − xn−2m1 ) schreiben, wobei a, xi ∈ R.

Wiederholung:

Wiederholung: (Hauptdefinition
der LAAG1:)

Wiederholung: (Hauptdefinition
der LAAG1:) Vektorraum ist
eine Menge V mit zwei Abbildungen

Wiederholung: (Hauptdefinition
der LAAG1:) Vektorraum ist
eine Menge V mit zwei Abbildungen
+ : V ×V → V, ◦ : R×V →
V

Wiederholung: (Hauptdefinition
der LAAG1:) Vektorraum ist
eine Menge V mit zwei Abbildungen
+ : V ×V → V, ◦ : R×V →
V s.d. die folgende Eigenschaften
erfüllt sind (für alle u,v,w ∈ V,
λ,µ ∈ R).

Wiederholung: (Hauptdefinition
der LAAG1:) Vektorraum ist
eine Menge V mit zwei Abbildungen
+ : V ×V → V, ◦ : R×V →
V s.d. die folgende Eigenschaften
erfüllt sind (für alle u,v,w ∈ V,
λ,µ ∈ R).

Wiederholung: (Hauptdefinition
der LAAG1:) Vektorraum ist
eine Menge V mit zwei Abbildungen
+ : V ×V → V, ◦ : R×V →
V s.d. die folgende Eigenschaften
erfüllt sind (für alle u,v,w ∈ V,
λ,µ ∈ R).
I (u + v) + w = u + (v + w)

Wiederholung: (Hauptdefinition
der LAAG1:) Vektorraum ist
eine Menge V mit zwei Abbildungen
+ : V ×V → V, ◦ : R×V →
V s.d. die folgende Eigenschaften
erfüllt sind (für alle u,v,w ∈ V,
λ,µ ∈ R).
I (u + v) + w = u + (v + w)
II u + v = v + u

Wiederholung: (Hauptdefinition
der LAAG1:) Vektorraum ist
eine Menge V mit zwei Abbildungen
+ : V ×V → V, ◦ : R×V →
V s.d. die folgende Eigenschaften
erfüllt sind (für alle u,v,w ∈ V,
λ,µ ∈ R).
I (u + v) + w = u + (v + w)
II u + v = v + u
III Es existiert ein 0 ∈ V, s. d.
0 + v = v

Wiederholung: (Hauptdefinition
der LAAG1:) Vektorraum ist
eine Menge V mit zwei Abbildungen
+ : V ×V → V, ◦ : R×V →
V s.d. die folgende Eigenschaften
erfüllt sind (für alle u,v,w ∈ V,
λ,µ ∈ R).
I (u + v) + w = u + (v + w)
II u + v = v + u
III Es existiert ein 0 ∈ V, s. d.
0 + v = v
IV Es existiert ein −v ∈ V, s.
d. −v + v = 0

Wiederholung: (Hauptdefinition
der LAAG1:) Vektorraum ist
eine Menge V mit zwei Abbildungen
+ : V ×V → V, ◦ : R×V →
V s.d. die folgende Eigenschaften
erfüllt sind (für alle u,v,w ∈ V,
λ,µ ∈ R).
I (u + v) + w = u + (v + w)
II u + v = v + u
III Es existiert ein 0 ∈ V, s. d.
0 + v = v
IV Es existiert ein −v ∈ V, s.
d. −v + v = 0
V (λµ)v = λ(µv)

Wiederholung: (Hauptdefinition
der LAAG1:) Vektorraum ist
eine Menge V mit zwei Abbildungen
+ : V ×V → V, ◦ : R×V →
V s.d. die folgende Eigenschaften
erfüllt sind (für alle u,v,w ∈ V,
λ,µ ∈ R).
I (u + v) + w = u + (v + w)
II u + v = v + u
III Es existiert ein 0 ∈ V, s. d.
0 + v = v
IV Es existiert ein −v ∈ V, s.
d. −v + v = 0
V (λµ)v = λ(µv)
VI (λ + µ)v = (λv + µv)

Wiederholung: (Hauptdefinition
der LAAG1:) Vektorraum ist
eine Menge V mit zwei Abbildungen
+ : V ×V → V, ◦ : R×V →
V s.d. die folgende Eigenschaften
erfüllt sind (für alle u,v,w ∈ V,
λ,µ ∈ R).
I (u + v) + w = u + (v + w)
II u + v = v + u
III Es existiert ein 0 ∈ V, s. d.
0 + v = v
IV Es existiert ein −v ∈ V, s.
d. −v + v = 0
V (λµ)v = λ(µv)
VI (λ + µ)v = (λv + µv)
VII λ(u + v) = λu + λv

Wiederholung: (Hauptdefinition
der LAAG1:) Vektorraum ist
eine Menge V mit zwei Abbildungen
+ : V ×V → V, ◦ : R×V →
V s.d. die folgende Eigenschaften
erfüllt sind (für alle u,v,w ∈ V,
λ,µ ∈ R).
I (u + v) + w = u + (v + w)
II u + v = v + u
III Es existiert ein 0 ∈ V, s. d.
0 + v = v
IV Es existiert ein −v ∈ V, s.
d. −v + v = 0
V (λµ)v = λ(µv)
VI (λ + µ)v = (λv + µv)
VII λ(u + v) = λu + λv
VIII 1v = v

Def. 17 Sei (K,+, ·) ein Körper. Eine
Wiederholung: (Hauptdefiniti-
Menge V mit Abbildungen
on der LAAG1:) Vektorraum ist
+ : V × V → V
eine Menge V mit zwei Abbildungen
+ : V ×V → V, ◦ : R×V →
V s.d. die folgende Eigenschaften
erfüllt sind (für alle u,v,w ∈ V,
λ,µ ∈ R).
I (u + v) + w = u + (v + w)
II u + v = v + u
III Es existiert ein 0 ∈ V, s. d.
0 + v = v
IV Es existiert ein −v ∈ V, s.
d. −v + v = 0
V (λµ)v = λ(µv)
VI (λ + µ)v = (λv + µv)
VII λ(u + v) = λu + λv
VIII 1v = v

Def. 17 Sei (K,+, ·) ein Körper. Eine
Wiederholung: (Hauptdefiniti-
Menge V mit Abbildungen
on der LAAG1:) Vektorraum ist
+ : V × V → V
eine Menge V mit zwei Abbildun-
◦ : K × V → V
gen + : V ×V → V, ◦ : R×V →
heißt ein Vektorraum über K,
V s.d. die folgende Eigenschaften
erfüllt sind (für alle u,v,w ∈ V,
λ,µ ∈ R).
I (u + v) + w = u + (v + w)
II u + v = v + u
III Es existiert ein 0 ∈ V, s. d.
0 + v = v
IV Es existiert ein −v ∈ V, s.
d. −v + v = 0
V (λµ)v = λ(µv)
VI (λ + µ)v = (λv + µv)
VII λ(u + v) = λu + λv
VIII 1v = v

Def. 17 Sei (K,+, ·) ein Körper. Eine
Wiederholung: (Hauptdefiniti-
Menge V mit Abbildungen
on der LAAG1:) Vektorraum ist
+ : V × V → V
eine Menge V mit zwei Abbildun-
◦ : K × V → V
gen + : V ×V → V, ◦ : R×V →
heißt ein Vektorraum über K, falls die
V s.d. die folgende Eigenschaften
folgende Eigenschaften erfüllt sind
erfüllt sind (für alle u,v,w ∈ V,
λ,µ ∈ R).
I (u + v) + w = u + (v + w)
II u + v = v + u
III Es existiert ein 0 ∈ V, s. d.
0 + v = v
IV Es existiert ein −v ∈ V, s.
d. −v + v = 0
V (λµ)v = λ(µv)
VI (λ + µ)v = (λv + µv)
VII λ(u + v) = λu + λv
VIII 1v = v

Def. 17 Sei (K,+, ·) ein Körper. Eine
Wiederholung: (Hauptdefiniti-
Menge V mit Abbildungen
on der LAAG1:) Vektorraum ist
+ : V × V → V
eine Menge V mit zwei Abbildun-
◦ : K × V → V
gen + : V ×V → V, ◦ : R×V →
heißt ein Vektorraum über K, falls die
V s.d. die folgende Eigenschaften
folgende Eigenschaften erfüllt sind (für
erfüllt sind (für alle u,v,w ∈ V,
alle u,v,w ∈ V, λ,µ ∈ K).
λ,µ ∈ R).
I (u + v) + w = u + (v + w)
II u + v = v + u
III Es existiert ein 0 ∈ V, s. d.
0 + v = v
IV Es existiert ein −v ∈ V, s.
d. −v + v = 0
V (λµ)v = λ(µv)
VI (λ + µ)v = (λv + µv)
VII λ(u + v) = λu + λv
VIII 1v = v

Def. 17 Sei (K,+, ·) ein Körper. Eine
Wiederholung: (Hauptdefiniti-
Menge V mit Abbildungen
on der LAAG1:) Vektorraum ist
+ : V × V → V
eine Menge V mit zwei Abbildun-
◦ : K × V → V
gen + : V ×V → V, ◦ : R×V →
heißt ein Vektorraum über K, falls die
V s.d. die folgende Eigenschaften
folgende Eigenschaften erfüllt sind (für
erfüllt sind (für alle u,v,w ∈ V,
alle u,v,w ∈ V, λ,µ ∈ K).
λ,µ ∈ R).
I (u + v) + w = u + (v + w)
I (u + v) + w = u + (v + w)
II u + v = v + u
III Es existiert ein 0 ∈ V, s. d.
0 + v = v
IV Es existiert ein −v ∈ V, s.
d. −v + v = 0
V (λµ)v = λ(µv)
VI (λ + µ)v = (λv + µv)
VII λ(u + v) = λu + λv
VIII 1v = v

Def. 17 Sei (K,+, ·) ein Körper. Eine
Wiederholung: (Hauptdefiniti-
Menge V mit Abbildungen
on der LAAG1:) Vektorraum ist
+ : V × V → V
eine Menge V mit zwei Abbildun-
◦ : K × V → V
gen + : V ×V → V, ◦ : R×V →
heißt ein Vektorraum über K, falls die
V s.d. die folgende Eigenschaften
folgende Eigenschaften erfüllt sind (für
erfüllt sind (für alle u,v,w ∈ V,
alle u,v,w ∈ V, λ,µ ∈ K).
λ,µ ∈ R).
I (u + v) + w = u + (v + w)
I (u + v) + w = u + (v + w)
II u + v = v + u
II u + v = v + u
III Es existiert ein 0 ∈ V, s. d.
0 + v = v
IV Es existiert ein −v ∈ V, s.
d. −v + v = 0
V (λµ)v = λ(µv)
VI (λ + µ)v = (λv + µv)
VII λ(u + v) = λu + λv
VIII 1v = v

Def. 17 Sei (K,+, ·) ein Körper. Eine
Wiederholung: (Hauptdefiniti-
Menge V mit Abbildungen
on der LAAG1:) Vektorraum ist
+ : V × V → V
eine Menge V mit zwei Abbildun-
◦ : K × V → V
gen + : V ×V → V, ◦ : R×V →
heißt ein Vektorraum über K, falls die
V s.d. die folgende Eigenschaften
folgende Eigenschaften erfüllt sind (für
erfüllt sind (für alle u,v,w ∈ V,
alle u,v,w ∈ V, λ,µ ∈ K).
λ,µ ∈ R).
I (u + v) + w = u + (v + w)
I (u + v) + w = u + (v + w)
II u + v = v + u
II u + v = v + u
III Es existiert ein 0 ∈ V, s. d.
0 + v = v
IV Es existiert ein −v ∈ V, s.
d. −v + v = 0
V (λµ)v = λ(µv)
VI (λ + µ)v = (λv + µv)
VII λ(u + v) = λu + λv
VIII 1v = v
III Es existiert ein 0 ∈ V, s. d.
0 + v = v

Def. 17 Sei (K,+, ·) ein Körper. Eine
Wiederholung: (Hauptdefiniti-
Menge V mit Abbildungen
on der LAAG1:) Vektorraum ist
+ : V × V → V
eine Menge V mit zwei Abbildun-
◦ : K × V → V
gen + : V ×V → V, ◦ : R×V →
heißt ein Vektorraum über K, falls die
V s.d. die folgende Eigenschaften
folgende Eigenschaften erfüllt sind (für
erfüllt sind (für alle u,v,w ∈ V,
alle u,v,w ∈ V, λ,µ ∈ K).
λ,µ ∈ R).
I (u + v) + w = u + (v + w)
I (u + v) + w = u + (v + w)
II u + v = v + u
II u + v = v + u
III Es existiert ein 0 ∈ V, s. d.
0 + v = v
IV Es existiert ein −v ∈ V, s.
d. −v + v = 0
V (λµ)v = λ(µv)
VI (λ + µ)v = (λv + µv)
VII λ(u + v) = λu + λv
VIII 1v = v
III Es existiert ein 0 ∈ V, s. d.
0 + v = v
IV Für jedes v ∈ V es existiert ein
−v ∈ V, s. d. −v + v = 0

Def. 17 Sei (K,+, ·) ein Körper. Eine
Wiederholung: (Hauptdefiniti-
Menge V mit Abbildungen
on der LAAG1:) Vektorraum ist
+ : V × V → V
eine Menge V mit zwei Abbildun-
◦ : K × V → V
gen + : V ×V → V, ◦ : R×V →
heißt ein Vektorraum über K, falls die
V s.d. die folgende Eigenschaften
folgende Eigenschaften erfüllt sind (für
erfüllt sind (für alle u,v,w ∈ V,
alle u,v,w ∈ V, λ,µ ∈ K).
λ,µ ∈ R).
I (u + v) + w = u + (v + w)
I (u + v) + w = u + (v + w)
II u + v = v + u
II u + v = v + u
III Es existiert ein 0 ∈ V, s. d.
0 + v = v
IV Es existiert ein −v ∈ V, s.
d. −v + v = 0
V (λµ)v = λ(µv)
VI (λ + µ)v = (λv + µv)
VII λ(u + v) = λu + λv
VIII 1v = v
III Es existiert ein 0 ∈ V, s. d.
0 + v = v
IV Für jedes v ∈ V es existiert ein
−v ∈ V, s. d. −v + v = 0
V (λµ)v = λ(µv)
VI (λ + µ)v = (λv + µv)

Def. 17 Sei (K,+, ·) ein Körper. Eine
Wiederholung: (Hauptdefiniti-
Menge V mit Abbildungen
on der LAAG1:) Vektorraum ist
+ : V × V → V
eine Menge V mit zwei Abbildun-
◦ : K × V → V
gen + : V ×V → V, ◦ : R×V →
heißt ein Vektorraum über K, falls die
V s.d. die folgende Eigenschaften
folgende Eigenschaften erfüllt sind (für
erfüllt sind (für alle u,v,w ∈ V,
alle u,v,w ∈ V, λ,µ ∈ K).
λ,µ ∈ R).
I (u + v) + w = u + (v + w)
I (u + v) + w = u + (v + w)
II u + v = v + u
II u + v = v + u
III Es existiert ein 0 ∈ V, s. d.
0 + v = v
IV Es existiert ein −v ∈ V, s.
d. −v + v = 0
V (λµ)v = λ(µv)
VI (λ + µ)v = (λv + µv)
VII λ(u + v) = λu + λv
VIII 1v = v
III Es existiert ein 0 ∈ V, s. d.
0 + v = v
IV Für jedes v ∈ V es existiert ein
−v ∈ V, s. d. −v + v = 0
V (λµ)v = λ(µv)
VI (λ + µ)v = (λv + µv)
VII λ(u + v) = λu + λv

Def. 17 Sei (K,+, ·) ein Körper. Eine
Wiederholung: (Hauptdefiniti-
Menge V mit Abbildungen
on der LAAG1:) Vektorraum ist
+ : V × V → V
eine Menge V mit zwei Abbildun-
◦ : K × V → V
gen + : V ×V → V, ◦ : R×V →
heißt ein Vektorraum über K, falls die
V s.d. die folgende Eigenschaften
folgende Eigenschaften erfüllt sind (für
erfüllt sind (für alle u,v,w ∈ V,
alle u,v,w ∈ V, λ,µ ∈ K).
λ,µ ∈ R).
I (u + v) + w = u + (v + w)
I (u + v) + w = u + (v + w)
II u + v = v + u
II u + v = v + u
III Es existiert ein 0 ∈ V, s. d.
0 + v = v
IV Es existiert ein −v ∈ V, s.
d. −v + v = 0
V (λµ)v = λ(µv)
VI (λ + µ)v = (λv + µv)
VII λ(u + v) = λu + λv
VIII 1v = v
III Es existiert ein 0 ∈ V, s. d.
0 + v = v
IV Für jedes v ∈ V es existiert ein
−v ∈ V, s. d. −v + v = 0
V (λµ)v = λ(µv)
VI (λ + µ)v = (λv + µv)
VII λ(u + v) = λu + λv
VIII 1v = v

Def. 17 Sei (K,+, ·) ein Körper. Eine
Wiederholung: (Hauptdefiniti-
Menge V mit Abbildungen
on der LAAG1:) Vektorraum ist
+ : V × V → V
eine Menge V mit zwei Abbildun-
◦ : K × V → V
gen + : V ×V → V, ◦ : R×V →
heißt ein Vektorraum über K, falls die
V s.d. die folgende Eigenschaften
folgende Eigenschaften erfüllt sind (für
erfüllt sind (für alle u,v,w ∈ V,
alle u,v,w ∈ V, λ,µ ∈ K).
λ,µ ∈ R).
I (u + v) + w = u + (v + w)
I (u + v) + w = u + (v + w)
II u + v = v + u
II u + v = v + u
III Es existiert ein 0 ∈ V, s. d.
0 + v = v
IV Es existiert ein −v ∈ V, s.
d. −v + v = 0
V (λµ)v = λ(µv)
VI (λ + µ)v = (λv + µv)
VII λ(u + v) = λu + λv
VIII 1v = v
III Es existiert ein 0 ∈ V, s. d.
0 + v = v
IV Für jedes v ∈ V es existiert ein
−v ∈ V, s. d. −v + v = 0
V (λµ)v = λ(µv)
VI (λ + µ)v = (λv + µv)
VII λ(u + v) = λu + λv
VIII 1v = v (Wobei 1 das neutrale
Element in (K, ·) ist.)

Def. 17 Sei (K,+, ·) ein Körper. Eine
Wiederholung: (Hauptdefiniti-
Menge V mit Abbildungen
on der LAAG1:) Vektorraum ist
+ : V × V → V
eine Menge V mit zwei Abbildun-
◦ : K × V → V
gen + : V ×V → V, ◦ : R×V →
heißt ein Vektorraum über K, falls die
V s.d. die folgende Eigenschaften
folgende Eigenschaften erfüllt sind (für
erfüllt sind (für alle u,v,w ∈ V,
alle u,v,w ∈ V, λ,µ ∈ K).
λ,µ ∈ R).
I (u + v) + w = u + (v + w)
I (u + v) + w = u + (v + w)
II u + v = v + u
II u + v = v + u
III Es existiert ein 0 ∈ V, s. d.
0 + v = v
IV Es existiert ein −v ∈ V, s.
d. −v + v = 0
V (λµ)v = λ(µv)
VI (λ + µ)v = (λv + µv)
VII λ(u + v) = λu + λv
VIII 1v = v
III Es existiert ein 0 ∈ V, s. d.
0 + v = v
IV Für jedes v ∈ V es existiert ein
−v ∈ V, s. d. −v + v = 0
V (λµ)v = λ(µv)
VI (λ + µ)v = (λv + µv)
VII λ(u + v) = λu + λv
VIII 1v = v (Wobei 1 das neutrale
Element in (K, ·) ist.)

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten)

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisen
nur Eigenschaften I–VIII benutzt.

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisen
nur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wir
in diesen Vorlesungen bewiesen haben,

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisen
nur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wir
in diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch für Vektorräume
über beliebigen Körper gültig.

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisen
nur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wir
in diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch für Vektorräume
über beliebigen Körper gültig.
Das betrifft u.a.:

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisen
nur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wir
in diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch für Vektorräume
über beliebigen Körper gültig.
Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorräumen,

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisen
nur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wir
in diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch für Vektorräume
über beliebigen Körper gültig.
Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorräumen,
Untervektorräumen,

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisen
nur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wir
in diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch für Vektorräume
über beliebigen Körper gültig.
Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorräumen,
Untervektorräumen, Basis,

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisen
nur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wir
in diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch für Vektorräume
über beliebigen Körper gültig.
Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorräumen,
Untervektorräumen, Basis, Dimension,

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisen
nur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wir
in diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch für Vektorräume
über beliebigen Körper gültig.
Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorräumen,
Untervektorräumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisen
nur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wir
in diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch für Vektorräume
über beliebigen Körper gültig.
Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorräumen,
Untervektorräumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,
Matrizen,

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisen
nur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wir
in diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch für Vektorräume
über beliebigen Körper gültig.
Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorräumen,
Untervektorräumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,
Matrizen, Determinante,

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisen
nur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wir
in diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch für Vektorräume
über beliebigen Körper gültig.
Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorräumen,
Untervektorräumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,
Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisen
nur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wir
in diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch für Vektorräume
über beliebigen Körper gültig.
Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorräumen,
Untervektorräumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,
Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,
affine Geometrie.
Die einzige Ausanahme ist

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisen
nur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wir
in diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch für Vektorräume
über beliebigen Körper gültig.
Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorräumen,
Untervektorräumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,
Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,
affine Geometrie.
Die einzige Ausanahme ist Satz 28

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisen
nur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wir
in diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch für Vektorräume
über beliebigen Körper gültig.
Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorräumen,
Untervektorräumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,
Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,
affine Geometrie.
Die einzige Ausanahme ist Satz 28 Eine affin abgeschlossene
Teilmenge M des affinen Raums A ist ein Unterraum,

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisen
nur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wir
in diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch für Vektorräume
über beliebigen Körper gültig.
Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorräumen,
Untervektorräumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,
Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,
affine Geometrie.
Die einzige Ausanahme ist Satz 28 Eine affin abgeschlossene
Teilmenge M des affinen Raums A ist ein Unterraum,
weil wir im Beweis benutzt haben,

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisen
nur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wir
in diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch für Vektorräume
über beliebigen Körper gültig.
Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorräumen,
Untervektorräumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,
Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,
affine Geometrie.
Die einzige Ausanahme ist Satz 28 Eine affin abgeschlossene
Teilmenge M des affinen Raums A ist ein Unterraum,
weil wir im Beweis benutzt haben, dass Element 1 + 1

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisen
nur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wir
in diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch für Vektorräume
über beliebigen Körper gültig.
Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorräumen,
Untervektorräumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,
Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,
affine Geometrie.
Die einzige Ausanahme ist Satz 28 Eine affin abgeschlossene
Teilmenge M des affinen Raums A ist ein Unterraum,
weil wir im Beweis benutzt haben, dass Element 1 + 1 in K
invertierbar ist,

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisen
nur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wir
in diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch für Vektorräume
über beliebigen Körper gültig.
Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorräumen,
Untervektorräumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,
Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,
affine Geometrie.
Die einzige Ausanahme ist Satz 28 Eine affin abgeschlossene
Teilmenge M des affinen Raums A ist ein Unterraum,
weil wir im Beweis benutzt haben, dass Element 1 + 1 in K
invertierbar ist, was z.B. in Z2 nicht der Fall ist.

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisen
nur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wir
in diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch für Vektorräume
über beliebigen Körper gültig.
Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorräumen,
Untervektorräumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,
Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,
affine Geometrie.
Die einzige Ausanahme ist Satz 28 Eine affin abgeschlossene
Teilmenge M des affinen Raums A ist ein Unterraum,
weil wir im Beweis benutzt haben, dass Element 1 + 1 in K
invertierbar ist, was z.B. in Z2 nicht der Fall ist.
Auch aus der Theorie von Euklidischen Räumen

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisen
nur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wir
in diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch für Vektorräume
über beliebigen Körper gültig.
Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorräumen,
Untervektorräumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,
Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,
affine Geometrie.
Die einzige Ausanahme ist Satz 28 Eine affin abgeschlossene
Teilmenge M des affinen Raums A ist ein Unterraum,
weil wir im Beweis benutzt haben, dass Element 1 + 1 in K
invertierbar ist, was z.B. in Z2 nicht der Fall ist.
Auch aus der Theorie von Euklidischen Räumen kann man viel
verallgemeinern,

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisen
nur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wir
in diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch für Vektorräume
über beliebigen Körper gültig.
Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorräumen,
Untervektorräumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,
Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,
affine Geometrie.
Die einzige Ausanahme ist Satz 28 Eine affin abgeschlossene
Teilmenge M des affinen Raums A ist ein Unterraum,
weil wir im Beweis benutzt haben, dass Element 1 + 1 in K
invertierbar ist, was z.B. in Z2 nicht der Fall ist.
Auch aus der Theorie von Euklidischen Räumen kann man viel
verallgemeinern, z.B. Bilinearform und Sätze darüber.

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisen
nur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wir
in diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch für Vektorräume
über beliebigen Körper gültig.
Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorräumen,
Untervektorräumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,
Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,
affine Geometrie.
Die einzige Ausanahme ist Satz 28 Eine affin abgeschlossene
Teilmenge M des affinen Raums A ist ein Unterraum,
weil wir im Beweis benutzt haben, dass Element 1 + 1 in K
invertierbar ist, was z.B. in Z2 nicht der Fall ist.
Auch aus der Theorie von Euklidischen Räumen kann man viel
verallgemeinern, z.B. Bilinearform und Sätze darüber.
Begriff ” Skalarprodukt“ kann man jedoch nicht verallgemeinern,

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisen
nur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wir
in diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch für Vektorräume
über beliebigen Körper gültig.
Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorräumen,
Untervektorräumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,
Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,
affine Geometrie.
Die einzige Ausanahme ist Satz 28 Eine affin abgeschlossene
Teilmenge M des affinen Raums A ist ein Unterraum,
weil wir im Beweis benutzt haben, dass Element 1 + 1 in K
invertierbar ist, was z.B. in Z2 nicht der Fall ist.
Auch aus der Theorie von Euklidischen Räumen kann man viel
verallgemeinern, z.B. Bilinearform und Sätze darüber.
Begriff ” Skalarprodukt“ kann man jedoch nicht verallgemeinern,
weil die Eigenschaft (Positivdefinitheit):

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisen
nur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wir
in diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch für Vektorräume
über beliebigen Körper gültig.
Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorräumen,
Untervektorräumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,
Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,
affine Geometrie.
Die einzige Ausanahme ist Satz 28 Eine affin abgeschlossene
Teilmenge M des affinen Raums A ist ein Unterraum,
weil wir im Beweis benutzt haben, dass Element 1 + 1 in K
invertierbar ist, was z.B. in Z2 nicht der Fall ist.
Auch aus der Theorie von Euklidischen Räumen kann man viel
verallgemeinern, z.B. Bilinearform und Sätze darüber.
Begriff ” Skalarprodukt“ kann man jedoch nicht verallgemeinern,
weil die Eigenschaft (Positivdefinitheit): σ(u, u) > 0 für u = 0, s.
Vorlesung 20

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisen
nur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wir
in diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch für Vektorräume
über beliebigen Körper gültig.
Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorräumen,
Untervektorräumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,
Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,
affine Geometrie.
Die einzige Ausanahme ist Satz 28 Eine affin abgeschlossene
Teilmenge M des affinen Raums A ist ein Unterraum,
weil wir im Beweis benutzt haben, dass Element 1 + 1 in K
invertierbar ist, was z.B. in Z2 nicht der Fall ist.
Auch aus der Theorie von Euklidischen Räumen kann man viel
verallgemeinern, z.B. Bilinearform und Sätze darüber.
Begriff ” Skalarprodukt“ kann man jedoch nicht verallgemeinern,
weil die Eigenschaft (Positivdefinitheit): σ(u, u) > 0 für u = 0, s.
Vorlesung 20
nicht für alle K sinnvoll ist:

In Vorlesungen 2–19 (vor Weihnachten) haben wir in Beweisen
nur Eigenschaften I–VIII benutzt. Deswegen alle Aussagen, die wir
in diesen Vorlesungen bewiesen haben, sind auch für Vektorräume
über beliebigen Körper gültig.
Das betrifft u.a.: Algemeine Theorie von Vektorräumen,
Untervektorräumen, Basis, Dimension, lineare Abbildungen,
Matrizen, Determinante, Behandlung linearen Gleichungssysteme,
affine Geometrie.
Die einzige Ausanahme ist Satz 28 Eine affin abgeschlossene
Teilmenge M des affinen Raums A ist ein Unterraum,
weil wir im Beweis benutzt haben, dass Element 1 + 1 in K
invertierbar ist, was z.B. in Z2 nicht der Fall ist.
Auch aus der Theorie von Euklidischen Räumen kann man viel
verallgemeinern, z.B. Bilinearform und Sätze darüber.
Begriff ” Skalarprodukt“ kann man jedoch nicht verallgemeinern,
weil die Eigenschaft (Positivdefinitheit): σ(u, u) > 0 für u = 0, s.
Vorlesung 20
nicht für alle K sinnvoll ist: z.B. für K = Z2 hat ” ≥ 0“ kein Sinn.

Beispiele

Beispiele
Bsp.

Beispiele
Bsp. Sei (K, ·,+) ein Körper.

Beispiele
Bsp. Sei (K, ·,+) ein Körper. Kn = K × ... × K ist die Menge von
n Stuck
n−Tupel

Beispiele
Bsp. Sei (K, ·,+) ein Körper. Kn = K × ... × K ist die Menge von
n Stuck
. n−Tupelx1
. den Operationen
.
xnmit

Beispiele
Bsp. Sei (K, ·,+) ein Körper. Kn xn
= K × ... × K ist die Menge von
n Stuck
.
.
n−Tupelx1
. den Operationenx1
.
.
.
xnmit

Beispiele
Bsp. Sei (K, ·,+) ein Körper. Kn = K × ... × K ist die Menge von
n Stuck
+ y1
.
. . .
n−Tupelx1
. den Operationenx1
. . .
.
. . .
xnmit xn+y1 yn=x1
xn + yn

Beispiele
Bsp. Sei (K, ·,+) ein Körper. Kn = K × ... × K ist die Menge von
n Stuck
+ y1
.
. . .
n−Tupelx1
. den Operationenx1
. . .
.
. . .
xnmit yn,
xn+y1 yn=x1 xn +

Beispiele
Bsp. Sei (K, ·,+) ein Körper. Kn xn
= K × ... × K ist die Menge von
n Stuck
+ y1
.
. . .
n−Tupelx1
. den Operationenx1
. . .
.
. . .
xnmit yn,
xn+y1 yn=x1 xn +
. λx1 .

Beispiele
Bsp. Sei (K, ·,+) ein Körper. Kn λxn
= K × ... × K ist die Menge von
n Stuck
+ y1
.
. . .
n−Tupelx1
. den Operationenx1
. . .
.
. . .
xnmit yn,
xn+y1 yn=x1 xn +
. .
λx1 . .
. . xn=λx1

Beispiele
Bsp. Sei (K, ·,+) ein Körper. Kn λxn
= K × ... × K ist die Menge von
n Stuck
+ y1
.
. . .
n−Tupelx1
. den Operationenx1
. . .
.
. . .
xnmit yn,
xn+y1 yn=x1 xn +
. .
λx1 . .
. . xn=λx1 Satz 7(Hauptssatz der linearen Algebra, Vorlesung 8 LAAG1) Zwei
endlichdimensionalen Vektorräume

Beispiele
λxn
xn=λx1
Bsp. Sei (K, ·,+) ein Körper. Kn = K × ... × K ist die Menge von
n Stuck
+ y1
.
. . .
n−Tupelx1
. den Operationenx1
. . .
.
. . .
xnmit yn,
xn+y1 yn=x1 xn +
. .
λx1 . .
. .
Satz 7(Hauptssatz der linearen Algebra, Vorlesung 8 LAAG1) Zwei
endlichdimensionalen Vektorräume über einem Körper sind genau dann
isomorph,

Beispiele
λxn
xn=λx1
Bsp. Sei (K, ·,+) ein Körper. Kn = K × ... × K ist die Menge von
n Stuck
+ y1
.
. . .
n−Tupelx1
. den Operationenx1
. . .
.
. . .
xnmit yn,
xn+y1 yn=x1 xn +
. .
λx1 . .
. .
Satz 7(Hauptssatz der linearen Algebra, Vorlesung 8 LAAG1) Zwei
endlichdimensionalen Vektorräume über einem Körper sind genau dann
isomorph, wenn sie gleiche Dimension haben.

Beispiele
λxn
xn=λx1
Bsp. Sei (K, ·,+) ein Körper. Kn = K × ... × K ist die Menge von
n Stuck
+ y1
.
. . .
n−Tupelx1
. den Operationenx1
. . .
.
. . .
xnmit yn,
xn+y1 yn=x1 xn +
. .
λx1 . .
. .
Satz 7(Hauptssatz der linearen Algebra, Vorlesung 8 LAAG1) Zwei
endlichdimensionalen Vektorräume über einem Körper sind genau dann
isomorph, wenn sie gleiche Dimension haben.
Frage.

Beispiele
λxn
xn=λx1
Bsp. Sei (K, ·,+) ein Körper. Kn = K × ... × K ist die Menge von
n Stuck
+ y1
.
. . .
n−Tupelx1
. den Operationenx1
. . .
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. . .
xnmit yn,
xn+y1 yn=x1 xn +
. .
λx1 . .
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Satz 7(Hauptssatz der linearen Algebra, Vorlesung 8 LAAG1) Zwei
endlichdimensionalen Vektorräume über einem Körper sind genau dann
isomorph, wenn sie gleiche Dimension haben.
Frage. Gibt es ein Vektorraum,

Beispiele
λxn
xn=λx1
Bsp. Sei (K, ·,+) ein Körper. Kn = K × ... × K ist die Menge von
n Stuck
+ y1
.
. . .
n−Tupelx1
. den Operationenx1
. . .
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xnmit yn,
xn+y1 yn=x1 xn +
. .
λx1 . .
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Satz 7(Hauptssatz der linearen Algebra, Vorlesung 8 LAAG1) Zwei
endlichdimensionalen Vektorräume über einem Körper sind genau dann
isomorph, wenn sie gleiche Dimension haben.
Frage. Gibt es ein Vektorraum, der aus 2 Punkten besteht?

Beispiele
λxn
xn=λx1
Bsp. Sei (K, ·,+) ein Körper. Kn = K × ... × K ist die Menge von
n Stuck
+ y1
.
. . .
n−Tupelx1
. den Operationenx1
. . .
.
. . .
xnmit yn,
xn+y1 yn=x1 xn +
. .
λx1 . .
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Satz 7(Hauptssatz der linearen Algebra, Vorlesung 8 LAAG1) Zwei
endlichdimensionalen Vektorräume über einem Körper sind genau dann
isomorph, wenn sie gleiche Dimension haben.
Frage. Gibt es ein Vektorraum, der aus 2 Punkten besteht? JA!

Beispiele
λxn
xn=λx1
Bsp. Sei (K, ·,+) ein Körper. Kn = K × ... × K ist die Menge von
n Stuck
+ y1
.
. . .
n−Tupelx1
. den Operationenx1
. . .
.
. . .
xnmit yn,
xn+y1 yn=x1 xn +
. .
λx1 . .
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Satz 7(Hauptssatz der linearen Algebra, Vorlesung 8 LAAG1) Zwei
endlichdimensionalen Vektorräume über einem Körper sind genau dann
isomorph, wenn sie gleiche Dimension haben.
Frage. Gibt es ein Vektorraum, der aus 2 Punkten besteht? JA! Für
K = Z2 ist K 1 ein Vektorraum.

Beispiele
λxn
xn=λx1
Bsp. Sei (K, ·,+) ein Körper. Kn = K × ... × K ist die Menge von
n Stuck
+ y1
.
. . .
n−Tupelx1
. den Operationenx1
. . .
.
. . .
xnmit yn,
xn+y1 yn=x1 xn +
. .
λx1 . .
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Satz 7(Hauptssatz der linearen Algebra, Vorlesung 8 LAAG1) Zwei
endlichdimensionalen Vektorräume über einem Körper sind genau dann
isomorph, wenn sie gleiche Dimension haben.
Frage. Gibt es ein Vektorraum, der aus 2 Punkten besteht? JA! Für
K = Z2 ist K 1 ein Vektorraum.
Bsp Sei K ein Unterkörper des Körpers (H, ·,+). p Dann ist (H,+, ·)
ein Vektorraum über K.

Beispiele
λxn
xn=λx1
Bsp. Sei (K, ·,+) ein Körper. Kn = K × ... × K ist die Menge von
n Stuck
+ y1
.
. . .
n−Tupelx1
. den Operationenx1
. . .
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. . .
xnmit yn,
xn+y1 yn=x1 xn +
. .
λx1 . .
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Satz 7(Hauptssatz der linearen Algebra, Vorlesung 8 LAAG1) Zwei
endlichdimensionalen Vektorräume über einem Körper sind genau dann
isomorph, wenn sie gleiche Dimension haben.
Frage. Gibt es ein Vektorraum, der aus 2 Punkten besteht? JA! Für
K = Z2 ist K 1 ein Vektorraum.
Bsp Sei K ein Unterkörper des Körpers (H, ·,+). p Dann ist (H,+, ·)
ein Vektorraum über K. (In Wörter: Jeder Körper ist ein
Untervektorraum über seinem Unterkörper)