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Grundlagen der mathematischen Modellierung und numerischen ...

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Grundlagen der mathematischen Modellierung und numerischen

Grundlagen der mathematischen Modellierung und numerischen Berechnung im Ingenieurwesen Frank Ihlenburg 21. September 2012 Im modernen Ingenieurwesen werden neben den Formeln aus Industrienormen zunehmend computergestützte Methoden der Berechnung und Simulation verwendet. Diesen Methoden liegt in der Regel die mathematische Modellierung des entsprechenden technischen Problems zugrunde. In den folgenden Kapiteln werden die Grundlagen für die Modellierung und numerische Lösung von technischen Problemen des Maschinenbaus, insbesondere der Höheren Technischen Mechanik (Festkörperund Hydromechanik) sowie der Thermodynamik, vertieft. Bei der Auswahl der Themen und Methoden habe ich mich an Aufgabenstellungen aus meiner beruflichen Tätigkeit als Berechnungsingenieur im Schiffs- und Automobilbau orientiert. Der Schwerpunkt des Eingangskapitels “Mengen und Funktionen” liegt auf den Begriffen der kontinuierlichen und diskreten Mengen. Physikalische und technische Prozesse werden auf kontinuierlichen Mengen formuliert aber auf diskreten Untermengen numerisch simuliert. Nach der Diskussion der Grundbegriffe werden nicht-elementare Funktionen auf kontinuierlichen und diskreten Mengen definiert. Das Kapitel “Lineare Algebra” beginnt einem Abschnitt zu Matrizen. Insbesondere werden wesentliche Eigenschaften symmetrischer und orthogonaler Matrizen herausgearbeitet. Diese Matrizen sind von zentraler Bedeutung sowohl in der Höheren Mechanik als auch in numerischen Methoden, insbesondere der Finite-Elemente-Methode. Es folgt ein Abschnitt über lineare Räume und lineare Abbildungen. Beispiele linearer Räume sind in erster Linie die dem Ingenieur vertrauten Zahlenmengen R und R 3 , also die Zahlengerade bzw. der euklidische Raum. Der grundlegende Satz, daß lineare Abbildungen dieser Zahlenräumen immer als Matrix darstellbar sind (Darstellungssatz), bildet die inhaltliche Klammer für die einzelnen Abschnitte des Kapitels. Das Kapitel insgesamt soll einen Zugang zu den theoretischen Grundlagen der modernen numerischen Methoden vermitteln. Der Abschnitt über lineare Abbildungen dient insbesondere als Vorbereitung auf das nachfolgende Kapitel zur Tensoralgebra. Im dritten Kapitel “Tensoralgebra” wird die Formelsprache der Kontinuums- und Strukturmechanik erlutert. Es werden zunächst ausführlich die Tensoren 1. und 2. Stufe eingeführt. Die wesentlichen Definitionen und Operationen werden dann auf Tensoren höherer Stufe verallgemeinert. Von besonderem Interesse sind die Tensoren 2. und 4. Stufe als Grundlage für die Darstellung der Bewegungsund Materialgesetze. Das vierte Kapitel ist Funktionen mehrerer Veränderlicher gewidmet. Zentrales Thema ist die Berechnung von Tangentialflächen nichtlinearer Funktionen. Diese Flächen sind wesentlicher Bestandteil verschiedener numerischer Methoden wie den Gradientenverfahren oder dem Newton-Verfahren, die z.B. in der nichtlinearen Optimierung oder der Simulation nichtlinearer Probleme mit der Finite- Elemente-Methode Verwendung finden. Der Gegenstand des Kapitels 5 ist die Differentiation und Integration von Vektor- und Tensorfeldern. Im Abschnitt zur Differentiation werden die Differentialoperatoren “Gradient” und “Divergenz” eingeführt und Produktregeln für diese Operatoren angegeben. Kernstück des Abschnitts zur Integration ist der Gauß’sche Divergenzsatz. Das Kapitel schließt mit einem kurzen Abschnitt zur schwachen Formulierung und Fundamentallösungen partieller Differentialgleichungen. 1

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