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Grundlagen der mathematischen Modellierung und numerischen ...

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Satz 2.31. Die

Satz 2.31. Die Basisdarstellung der Vektoren v ∈ V ist bzgl. einer beliebigen Basis eindeutig. Beweis: Beispiele 15. a) Kanonische Basis des R n : b) Basis des P n (Polynome vom Grad ≤ n): c) Basis von C 0 [0, 1]: e1 = {1, 0, . . . , 0} e2 = {0, 1, . . . , 0} . . . en = {0, 0, . . . , 1} Satz 2.32. Eine Menge von n Vektoren xi, i = 1, . . . n bildet eine Basis von R n genau dann wenn det [x1, x2, . . . , xn] = 0. Beweis: folgt aus Satz 2.12, (2). 2.2.3 Basistransformation Für einen Vektorraum V seien zwei Basen E = {e1, e2 . . . en} und ˜ E = {˜e1, ˜e2 . . . ˜en} gegeben. Dann existiert lt. Definition für jeden Vektor aus ˜ E eine eindeutige Basisdarstellung bzgl. E: Die Matrix ˜e1 = α11e1 + α21e2 + . . . αn1en ˜ej = akjek ˜e2 = α12e1 + α22e2 + . . . αn2en . . . ˜en = α1ne1 + α2ne2 + . . . αnnen A = ⎡ ⎢ ⎣ α11 α12 . . . α1n α21 α22 . . . α1n . . . αn1 αn2 . . . αnn stellt eine Basistransformation des Vektorraumes V dar. Trägt man die Basisvektoren jeweils als Spaltenvektoren in Matrizen E bzw. ˜ E ein, so gilt ˜E = EA . Aufgrund der linearen Unabhängigkeit der Basisvektoren ist die Matrix A invertierbar und E = ˜ EA −1 . Ist E = I die kanonische Basis, so gilt insbesondere A = ˜ E, d.h. die Matrix A besteht aus den spaltenweise eingetragenen Basisvektoren ˜ E. 22 ⎤ ⎥ ⎦

Beispiel 16. Gegeben sind: • E - kartesisches Koordinatensystem von R 3 • ˜ E - erzeugt durch Drehung von E mit Winkel ϕ um die z-Achse. Man gebe die Matrizen E und ˜ E im Koordinatensystem ˜ E an. Satz 2.33. Basistransformationen zwischen kartesischen Basen werden durch orthogonale Matrizen dargestellt. Beweis: Da kartesische Basen durch orthogonale Matrizen dargestellt werden, folgt aus ˜ E = EA die Gleichung E T ˜ E = A. Analog folgt für die inverse Transformation die Beziehung ˜E T E = A −1 . Also ist A −1 = A T . 2.2.4 Skalarprodukt und Norm Definition 2.34. Das Skalarprodukt · ist eine Abbildung V ×V → R mit den Eigenschaften: S.1 Kommutativität: ∀x, y ∈ V : x · y = y · x S.2 Bilinearität: α (x · y) = (αx) · y = x · (αy) x · (y + z) = x · y + x · z S.3 Definitheit: x · x ≥ 0 & x · x = 0 =⇒ x = 0 Beispiele 17. a) R n : (x, y) = x · y = xiyi. b) R n×n : (A, B) = A : B = aijbij. c) L 2 (0, 1): (f, g) = 1 0 f(x)g(x)dx. Bemerkung: Aus x · y = 0 folgt nicht x = 0 oder y = 0. Zwei Vektoren x, y mit x · y = 0 heißen bzgl. des Skalarproduktes · orthogonal (vgl. Def. 2.9). Definition 2.35. Die Norm ist eine Abbildung V → R mit den Eigenschaften: N.1 Definitheit: x ≥ 0; x = 0 =⇒ x = 0 N.1 Homogenität: αx = |α| x, ∀α ∈ R N.3 Dreiecks-Ungleichung: x + y ≤ x + y Bemerkung: Ist in V ein Skalarprodukt definiert dann bildet x = √ x · x eine Norm. Beispiele 18. a) R n : b) L 2 (0, 1) : f2 = 1 0 f(x)2 dx 1 2 : 23

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