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Grundlagen der mathematischen Modellierung und numerischen ...

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Beispiel 31. Man

Beispiel 31. Man berechne die Hauptwerte und -richtungen des Tensors ⎡ 0 2 0 ⎤ T = ⎣ 2 4 0 ⎦ 0 0 1 und gebe die Koordinatentransformation in das Hauptsystem an. Lösung (Matlab): ⎡ −0.9239 X = ⎣ 0 0.3827 0 ⎤ 0 1 ⎦ , ⎡ ˜ T T = X TX = Λ = ⎣ 0.3827 0.9239 0 3.2.8 Kugeltensoren und isotrope Tensoren Definition 3.20. Ein Tensor der Form αI, α ∈ R heißt Kugeltensor. −0.8284 0 0 0 1 0 0 0 4.8284 Für einen symmetrischen Tensor T ist folgende Zerlegung in den spherischen und deviatorischen Anteil definiert: 1 T = 3 trT I + devT (3.4) mit devT = T− 1 3 trT I. In der Mechanik wird diese Zerlegung z.B. auf den Dehnungstensor angewendet. Darin stellt der spherische Anteil die Volumenänderung (bei Formerhalt) und der deviatorische Anteil die Formänderung (bei konstantem Volumen) dar. Definition 3.21. Ein Tensor heißt isotrop wenn sich seine Komponenten bei Drehung des Koordinatensystems nicht ändern. Beispiele 32. a) Tensoren 0. Stufe (Skalare): alle Tensoren b) Tensoren 1. Stufe: 0. c) Tensoren 2. Stufe: Kugeltensoren αI, denn Q T (αI)Q = αQ T Q = αI. 3.2.9 Geometrische Interpretation von Tensoren 1. und 2. Stufe Jeder Tensor 1. Stufe kann als Pfeil mit den drei Eigenschaften Betrag, Richtung, Richtungssinn visualisiert werden. Diese Eigenschaften bleiben bei einer Drehung des Koordinatensystems erhalten. Jeder symmetrische Tensor 2. Stufe kann in seinem Hauptsystem als Dreibein orthogonaler Vektoren visualisiert werden. Die Vektoren des Dreibeins sind nicht invariant bezüglich einer Drehung des Koordinatensystems. 3.3 Tensoren höherer Stufe Tensoren 2. Stufe sind lineare Abbildungen zwischen Vektoren. Mit anderen Worten, ein Tensor 2.Stufe ist eine lineare Abbildung eines Vektors auf auf einen Tensor 1. Stufe. Entsprechend wird ein Tensor der Stufe n + 1 definiert als lineare Abbildung eines Vektors auf einen Tensor der Stufe n. 38 ⎤ ⎦

3.3.1 Tensoren 3. Stufe Definition 3.22. Ein Tensor 3. Stufe ist eine lineare Abbildung eines Vektors auf einen Tensor 2. Stufe. Au = T . aijkuk = tij Bei einer Basistransformation gilt AQ T ũ = Q T ˜ TQ. Daraus folgt QAQ T ũQ T = ˜ T bzw. in Komponentenschreibweise cliaijkcmjũncnk = ˜tij. Nach Umordnung ergibt sich die Transformationsregel ãlmn = aijkclicmjcnk . (3.5) Beispiele 33. 1. Permutationstensor ɛ. Es gilt ɛu = [ɛijkuk] 3×3 . Abbildung 8: Permutationstensor www.euclideanspace.com/maths/algebra/matrix/tensor/indices/permutation/index.htm 2. Das dreifache dyadische Produkt u ⊗ v ⊗ w ist definiert als lineare Abbildung (u ⊗ v ⊗ w) x = (u ⊗ v)(w · x) (vergleiche die Definition des dyadischen Produkts: (u⊗v)x = u(v·x)). Der Permutationstensor kann geschrieben werden als ɛ = ɛijkei ⊗ ej ⊗ ek = e1 ⊗ e2 ⊗ e3 + e2 ⊗ e3 ⊗ e1 + e3 ⊗ e1 ⊗ e2 − e1 ⊗ e3 ⊗ e2 − e2 ⊗ e1 ⊗ e3 − e3 ⊗ e2 ⊗ e1 Die Basisdarstellung eines Tensors 3. Ordnung ist mit 3 3 = 27 Koordinaten. 3.3.2 Tensoren 4. Stufe A = Aijkei ⊗ ej ⊗ ek Tensoren 4. Stufe haben die Koordinatendarstellung mit 3 4 = 81 Koordinaten. C = Cijklei ⊗ ej ⊗ ek ⊗ el Beispiel 34. (Elastisches Materialgesetz). In isotropem elastischem Material ist der Zusammenhang zwischen Spannungen und Dehnungen bei kleinen Verformungen gegeben durch ([2, p. 47]): σ = λ tr (ε) I + 2µ ε mit den Lamé’schen Materialkonstanten λ, µ. Diese Gleichung lautet in Tensor-Notation σ = C : ε; Cijkl = λ δijδkl + µ (δikδjl + δilδjk) . 39

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