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Grundlagen der mathematischen Modellierung und numerischen ...

Grundlagen der mathematischen Modellierung und numerischen ...

Es sei zunächst n = 2:

Es sei zunächst n = 2: zu lösen ist das Gleichungssystem f1(x, y) = 0 f2(x, y) = 0 . Für einen Startwert x0 = [x0, y0] werden die Gleichungen der Tangentenflächen an die Funktionen z1 = f1(x) und z2 = f2(x) berechnet. Der neue Wert x1 ergibt sich im Schnittpunkt dieser zwei Ebenen und der Ebene z3 = 0. Die Gleichungen der Tangentenebenen sind [∇f1 (x0) , −1] · ([x, f1(x)] − [x0, f1 (x0)]) = 0 [∇f2 (x0) , −1] · ([x, f2(x)] − [x0, f2 (x0)]) = 0 Setzt man darin nun f1(x) = f2(x) = 0 (Schnitt der Tangentialebenen mit z3 = 0) so erhält man nach einfacher Umstellung die Bestimmungsgleichungen des Newtonverfahrens 0 = f1(x0, y0) + f1,x (x0, y0) (x − x0) + f1,y (x0, y0) (y − y0) 0 = f2(x0, y0) + f2,x (x0, y0) (x − x0) + f2,y (x0, y0) (y − y0) . Dieses System ist linear bzgl. der Unbekannten x = [x, y] und hat somit eine eindeutige Lösung. Mittels Cramer’scher Regel erhält man den Algorithmus Newtonverfahren in R 2 : mit x = x0 − 1 D det y = y0 − 1 D det f1 f1,y f2 f2,y f1,x f1 f2,x f2 (x0,y0) (x0,y0) f1,x f1,y D = Jf (x0, y0) = det ∇f = det f2,x f2,y (x0,y0) f (xn) Man vergleiche mit der 1-D Vorschrift: xn+1 = xn − f ′ . Analog zur obigen Herleitung (xn) folgt die Iterationsvorschrift für beliebige Dimension n, indem in der Approximationsregel ∆f ≈ ∇f (x0) · ∆x der Vektor f (x) = 0 gesetzt und nach x umgestellt wird. Beispiel 43. Gesucht sind die Lösungen des Gleichungssystems x 2 4 + y2 − x + 2y − 1 = 0 y − 2x = 0 50 .

4.4.3 Gradientenverfahren Gesucht ist das Minimum (Maximum) einer Funktion z = f(x1, x2, . . . , xn). Hierzu ist die Methode des steilsten Abstiegs (Aufstiegs) geeignet. Dieser steilste Ab- bzw. Aufstieg ist gegeben durch den Gradienten an die Funktion. Die Iterationsvorschrift für die Maximumsuche ist in Abb. 14 gezeigt. Für die Suche nach einem Minimum gilt entsprechend xnew = x−h∇f. Abbildung 14: Iterationsschema für die Suche nach einem Maximum der Funtion f(x, y) mit dem Gradientenverfahren Beispiel 44. (Elliptisches Paraboloid): Minimum der Funktion z = x2 4 + y2 − x + 2y − 1. Abbildung 15: Iterationsverlauf für Anfangs-Schrittweiten: a) h = 5 b) h = 1 c) h = 0.1. Bemerkung: Für die praktische Anwendung sind effizientere Verfahren zu empfehlen, z.B. die Methode der konjugierten Gradienten (vgl. den Abschnitt “Numerische Lineare Algebra”). 51

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