Hypothesen und Stichprobentheorie

Repräsentativ ?
Statistiktutorat
Stichprobentheorie und
Hypothesenbildung

Ablauf
1. Beispiel einer hypergeometrischen Verteilung
2. Wiederholung: Standardfehler
3. Stichprobentheorie
4. Schätzungen (Bedingungen)
5. Hypothesenprüfung
6. Abschluss

Hypergeometrische Verteilung
= unterschiedliche Teilstichproben, ohne Zurücklegen
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 10 Zügen aus
einer Gruppe von 45 Kugeln (davon 20 rote) genau
vier rote Kugeln zu ziehen ?

Wiederholung: Standardfehler

Aufgabe 1
Was ist der Standardfehler des Mittelwerts?
(a) Definieren sie den Begriff und
(b) geben Sie die entsprechende Formel an.
Der Standardfehler des Mittelwerts ist die
Standardabweichung der
Stichprobenkennwerteverteilung
des Mittelwerts.

Aufgabe 2
Was ist ein Konfidenzintervall?
(a) Definieren sie den Begriff und
(b) geben Sie die entsprechende Formel für
das 95%-Konfidenzintervall des Mittelwerts
an.
Das Konfidenzintervall(hier: Mutungsintervall)
gibt an, in welchem Bereich um den
Stichprobenkennwert sich der
Populationskennwert mit einer festgelegten
Wahrscheinlichkeit befindet.
Das 95%ige
Konfidenzintervall des
Mittelwerts ist:

Berechnen Sie den
Standardfehler des Mittelwerts,
des Medians und der
Standardabweichung für die
in der Tabelle angegebene
Verteilung. Geben Sie für alle
Kennwerte auch das 95%-
Konfidenzintervall an.
Aufgabe 3
Versuchsperson Wert
1 2
2 3
3 5
4 4
5 3
6 2
7 2
8 3
9 2
10 3

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
4
8
21
29
18
9
5
3
0
Aufgabe 4
Wert Häufigkeit Berechnet für die
Zufriedenheit der
Freiburger Psychologie-
Bachelorstudenten den
Standardfehler des
Mittelwerts, des Medians
und der Standardabweichung.
Gebt für alle drei
Kennwerte das 99%-
Konfidenzintervall an.

Standardfehler für andere Kennwerte
Kennwert Standardfehler
Geschätzter
Standardfehler
Standardfehler für andere 1 25 ⋅σKennwerte 1 25 ⋅σˆ
99% Konfidenzintervall: 2,57 Abweichungs-Einheiten Median σ = Md laut z-Tabelle. Geschätzter σˆ = Md
Kennwert Standardfehler N N
x x
Standardfehler
2 2
Standardfehler Mittelwert: 0,172
1 25 σ ⋅σ σ
Geschätzter 1 25 σˆ
⋅σˆ σˆ
Arithmetisches Mittel x x
x
Kennwert Standardfehler
x
Median σ σ = = x x
x σˆ σˆ
= =
x
Md
Mittelwert: 5,01
N Md
N N Standardfehler N N
1 25
σ
⋅σ
σˆ
2 x 2
Standardfehler Median: 0,215
x 1 25 ⋅σˆ x
Standardabweichung σσ
x
Median σ σ= = σ σˆ
Md σˆ σˆ σ = = σˆ
Arithmetisches Mittel x x σ = = 2 Md
Median: 5
N
N x x
σˆ = = 2 N
x x
N N N N N
Standardabweichung (SD): 1,72
Standardabweichung Arithmetisches Mittel
Standardfehler SD: 0,12
2 σ σ x x x σ σσ = = = x
N 2 N N
2 σˆ σˆ σˆ x x
σˆ σˆ σ = =
x
N 2 N N
σ x
Standardabweichung σσ =
99% Konfidenzintervall des Mittelwerts: 4,57 < µ < 5,45 2 N
99% Konfidenzintervall des Medians: 4,45 < MDpop < 5,55
99% Konfidenzintervall der SD: 1,41 < SDpop < 2,01
σˆ σ
σˆ
x
=
2 N

Aufgabe 5
Die Schulleistung in der Oberstufe in Bayern ist insgesamt
normalverteilt. Eine Verordnung des Schulministeriums fordert
die Lehrer auf, ihre besten Schüler der Bayerischen
Landesbegabtenförderung zu melden. Im Kleingedruckten
heißt es, Schüler mit einem Prozentrang von 99% oder größer
in Bezug auf die Variable Schulleistung, also die besten 1%,
sollten vorgeschlagen werden. Der Mittelwert der Schulnoten
liegt bei 8.8, die Standardabweichung bei 2.6 (Notensystem
0-15). Welche Note muss ein Schüler mindestens erreichen,
damit er hier in Frage kommt?
xalt
x z
Nur mit 15 Punkten erreicht man
nach der z-Transformation einen
PR von 99.
2,
2
...
x
neu
x
x
alt
14,
52
2,
6
8,
8

Aufgabe 6
Ein Lehrer aus einer kleinen und sehr alternativen
Privatschule möchte gerne einen seiner Schüler für die
Förderung vorschlagen. Der Notendurchschnitt in seiner
Klasse beträgt 14.3, die Standardabweichung liegt bei
0.5. Welches Problem taucht hier aus eurer Sicht auf?
Die Leistung in dieser Klasse ist nicht annähernd
normalverteilt und damit nicht mit der durchschnittlichen
Schulleistung vergleichbar. Würde man die hier z-
Transformieren, so könnte auch mit einer Leistung von
15 Punkten kein PR von 99 erreicht werden.

Vorgehen beim t-Test
o Grundfrage: Welcher Test ist geeignet?*
Synonym:
t-Test für
unabhängige
Stichproben

Weiteres Vorgehen
o Formulierung der Hypothesen (gerichtet oder
ungerichtet).
o Berechnung der Mittelwertsdifferenz und des
zugehörigen Standardfehlers.
→ empirischer t-Wert
o Vergleich von empirischem mit dem von den
Freiheitsgraden und Art der Hypothese
abhängigen kritischen t-Wert aus der t-Tabelle.
→ Entscheidung für H0 bzw. H1.
Erläuterung der Hypothesen folgt später!

Verteilungsfunktion der t-
Verteilungen (t-Tabelle).
t-Tabelle

Z-Werte - Aufgabe
Ein Persönlichkeitstest hat
einen Mittelwert von 50 und
eine Standardabweichung
von 10.
Tragen Sie jeweils den
zugehörigen z-Wert, die
Wahrscheinlichkeit einen
Wert kleiner oder gleich x
zu erreichen, sowie den
zugehörigen Prozentrang in
die Tabelle ein.

z Fläche z Fläche z Fläche z Fläche
-3.00 0.00 -1.50 0.07 0.00 0.50 1.50 0.93
-2.90 0.00 -1.40 0.08 0.10 0.54 1.60 0.95
-2.80 0.00 -1.30 0.10 0.20 0.58 1.70 0.96
-2.70 0.00 -1.20 0.12 0.30 0.62 1.80 0.96
-2.60 0.00 -1.10 0.14 0.40 0.66 1.90 0.97
-2.50 0.01 -1.00 0.16 0.50 0.69 2.00 0.98
-2.40 0.01 -0.90 0.18 0.60 0.73 2.10 0.98
-2.30 0.01 -0.80 0.21 0.70 0.76 2.20 0.99
-2.20 0.01 -0.70 0.24 0.80 0.79 2.30 0.99
-2.10 0.02 -0.60 0.27 0.90 0.82 2.40 0.99
-2.00 0.02 -0.50 0.31 1.00 0.84 2.50 0.99
-1.90 0.03 -0.40 0.34 1.10 0.86 2.60 1.00
-1.80 0.04 -0.30 0.38 1.20 0.88 2.70 1.00

x z p PR
25 -2.5 .01 1%
55 0.5 .69 69%
40 -1 .16 16%
60 1 .84 84%
50 0 .5 50%
70 2 .98 98%
82 3.2 1 100%
45 -0.5 0.31 31%
51 0.1 0.54 54%

Stichprobentheorie

Stichprobentheorie
Welche Wirkung/Bedeutung hat die Auswahl der
Probanden auf/für eine Studie ?
Kosten ?
Nutzen ?
Relevanz ?
Validität ?
Signifikanz ?
Inferenzen ?
etc.

Stichprobenauswahl
Welche zufallsgesteuerten Verfahren kennt ihr?
Uneingeschränkte Zufallsauswahl
Geschichtete Zufallsauswahl
→ Zufallsauswahl in Teilpopulation
Mehrstufige Zufallsauswahl
→ Hierachische Zufallsauswahl
Klumpenauswahl
→ Hierachische Zufallsauswahl mit vollständiger
Erhebung der ermittelten Teilpopulation

Stichprobenauswahl
Welche nicht-zufallsgesteuerten Verfahren kennt ihr?
Ad Hoc Auswahl
→ unsystematische Auswahl; z.B. Telefonvotings
(Vorteil: geringer Aufwand)
Quotenauswahl
→ unproblematisch, wenn Quoten repräsentativ und
Vpn innerhalb der Quoten zufällig ausgewählt
Theoriegeleitete Auswahl
→ auch unproblematisch, wenn die Vpn der
interessierenden Population wieder durch den Zufall
ausgewählt werden

Zufallsgesteuerte Auswahlverfahren
1. uneingeschränkte Zufallsauswahl:
→ Repräsentativität gewährleistet!
Gleich große Chance auf Auswahl, ABER
Zentralregister von Nöten
(Kenntnis der Gesamtpopulation)!

Zufallsgesteuerte Auswahlverfahren
2. geschichtete Zufallsauswahl:
→ ohne Register(repräsentative
Teilpopulation)
Schichtung analog zur
Stichprobenverteilung
Bei homogenen Merkmalen: kleiner
Standardfehler → präzisere Schätzung!

Zufallsgesteuerte Auswahlverfahren
3. mehrstufige Zufallsauswahl:
→ „Teilpopulationen“ von Teilpopulationen
(≠ geschichtet: keine systematischen
Unterschiede zw. den Populationen)
+ reduziert Kosten und Organisation
- vernachlässigt mögliche Unterschiede
zwischen Teil-und Gesamtpopulation
(→ Standardfehlererhöhung möglich!)

Zufallsgesteuerte Auswahlverfahren
4. Klumpenauswahl:
→ Spezialfall der mehrstufigen Auswahl
(Klumpen als finale Teilpopulation)
Vollständige Erhebung der letzten
Teilpopulation
Mehrere Klumpen möglich

Nichtzufallsgesteuerte Auswahlverfahren
1. Quotenauswahl:
→ Stichprobe entspricht der
Populationskonstellation
+ relevante Merkmale(Alter, Status etc.)
- keine wissenschaftliche Grundlage!

Nichtzufallsgesteuerte Auswahlverfahren
2. Ad-hoc-Auswahl:
→ Gelegenheitsstichprobe
Die ersten, verfügbare Personen werden
als Stichprobe aufgenommen
(Bsp. Die Ersten im Hörsaal)

Nichtzufallsgesteuerte Auswahlverfahren
3. Theoriegeleitete Auswahl:
→ theoretische Vorüberlegungen gestalten
Stichprobenerhebung
Sehr typische/ untypische Fälle
→ stat. Signifikanz wird leichter erreicht!
Hilfreich bei Generierung neuer Ideen

FAZIT
Die nichtzufallsgesteuerten Auswahlverfahren
entbehren der Grundlagen für die
Berechnung des Standardfehlers.
Inferenzstatistische Aussagen sind daher für
diese Fälle kaum möglich!
Insgesamt verzerrt Probandenschwund die
Stichprobe, so dass eine Einschränkung der
Validität (Gültigkeit) unvermeidbar ist!

Stichprobenauswahl
Was ist der zentrale inhaltliche Unterschied
zwischen beiden Typen der
Stichprobengewinnung?
Zufallsgesteuerte Verfahren garantieren, dass
die Stichprobe eine repräsentative Auswahl
der interessierenden Population darstellt. Nur
unter dieser Voraussetzung ist ein Schluß von
der Stichprobe auf die zugrunde liegende
Population – der Zweck der Inferenzstatistik –
valide (gültig).

Schätzungen

Anforderungen an ein Schätzmaß
- Erwartungstreue
nicht-verzerrte Schätzung der Parameter (unbiased estimation)
- Konsistenz
Präzision der Schätzung steigt mit steigendem N
- Effizienz
Möglichst kleine/r Standardfehler/Streuung
- Exhaustivität
Die Daten aller Versuchspersonen müssen in die Berechnung
des Schätzers mit eingehen
Wie eignen sich die bekannten Kennwerte als Schätzer?

Intervallschätzung
Konfidenzintervalle geben ein Intervall von
Merkmalsausprägungen an, in dem ein Wert
mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt.
Alternative: Punktschätzung
Bsp. Geschätzte Populationsvarianz
So kann ich mit Hilfe der Normalverteilung
leicht sagen, in welchem Bereich eine beliebig
gezogene Person mit 95%iger WS liegt.
Oft werden Konfidenzintervalle nicht für
Einzelpersonen verwendet, sondern für
bestimmte Populationskennwerte, wie z.B. µ.

Konfidenzintervalle für den
wahren Populationsmittelwert
1 1 x x x x p
2 x 2 x x x p
,1 96x
,1 96x
x x p
x p
,2 57x
,2 57x
x
. 68
. 96
9.
9.

Mutungs- und Vertrauensintervall
Bei der Schätzung eines Populationsparameters
von einem Stichprobenparameter aus wird von
einem Mutungsinvervall (Vermutungsintervall)
gesprochen (Beispiel: Schätzung des wahren
Mittelwertes anhand des Populationsmittelwerts)
Bei einer Schätzung von einem Populationsparameter
auf Stichprobenparameter wird ein
Vertrauensintervall geschätzt. (Beispiel:
Schätzung eines Einzelwertes, oder dem
Mittelwert einer Stichprobe von 10 Personen)
Manche Autoren unterscheiden auch nicht und
nennen beides Konfidenzintervalle.

Hypothesenprüfung

Grundlegende Idee
Anhand von Stichprobenkennwerten werden
Hypothesen für die Population getestet
Zwei Stichproben aus einer Population? Oder
aus zwei verschiedenen Populationen?
Bedeutsamkeit einer Mittelwertsdifferenz oder
Relevanz eines Zusammenhangs, einer
Korrelation soll getestet werden!
Wie groß muss mein gefundener
Mittelwertunterschied sein, damit keiner sagen
kann, er sei zufällig entstanden?
Ab wann ist er statistisch bedeutsam?

Vorgehen bei statistischen Tests:
1. Formulierung der Hypothesen (gerichtet oder
ungerichtet).
heute!
2. Berechnung eine empirischen Werts (z.B. t, r,…)
3. Vergleich von empirischem Wert mit kritischem
Wert (Tabelle)
• Der kritische Wert hängt ab von den Freiheitsgraden
und der Art der Hypothese
• Je nachdem ob der emprische über oder unter
dem kritischen Wert liegt wird die H0
aufrechterhalten oder verworfen (=H1
angenommen)

Nullhypothese & Alternativhypothese
Nullhypothese (H 0):
Diese “Negativhypothese” behauptet immer, dass es
keine Mittelwertsunterschiede, beziehungsweise keine
Zusammenhänge in der Population gibt.
Alternativhypothese (H 1):
Diese besagt, dass ein Unterschied oder ein
Zusammenhang in der Population existiert. Die
Alternativhypothese sollte immer aus einem
Theoriegebäude, aus Vorstudien und der Literatur
abgeleitet sein.

Statistische Formulierung von
Hypothesen
Es sei μ1 die mittlere (…) in der Population
der(...) und es sei μ2 die mittlere (...) in der
Population der (...).
Dann gilt:
H0 : μ1 = μ2 und
H1 : μ1 = μ2
bei einem alpha-Niveau von 5%.
(ODER bei α = 0,05)

Fehler beim Hypothesentesten
Aufgrund von Unsicherheiten bei der
Stichprobenziehung besteht die Gefahr eines
falschen Schlusses auf die Population.
Es wird zwischen zwei möglichen Fehlern bei
der Testung einer Hypothese unterschieden.

Zwei mögliche Fehler:
alpha-Fehler: Ablehnung der “richtigen”
Nullhypothese bei gültiger Nullhypothese
(Fehler erster Art).
beta-Fehler: Beibehaltung der “falschen”
Nullhypothese bei gültiger Alternativhypothese
(Fehler zweiter Art).

Beispiel: α-/β- Fehler
!Feueralarm!
Ein Hund jault, eine Frau schreit, die Sirene springt
mit ohrenbetäubendem Getöse an, von fern
klingen Martinshorn und quietschende Reifen.
Aber es ist nirgends ein Feuer zu finden.
Fehlalarm?
α - Fehler
Die Scheune brennt lichterloh. Das unbarmherzige
Feuer frisst sich unaufhaltsam durch die Stockwerke,
schlängelt sich die Treppen hinauf, bis vor die Haustür.
Die Anwohner schlafen seelenruhig, unwissend,
ungeweckt.
Fehlender Alarm? β - Fehler

Zur Übersicht:
?
?

Teststärke
Die Teststärke ist die Wahrscheinlichkeit, dass
ein in der Population vorhandener Unterschied
bei statistischer Testung entdeckt wird. Sie
berechnet sich mit 1 -
Die Teststärke ist für das experimentelle Design
wichtig und erlaubt Beurteilungen der Qualität
erhobener Daten bzw. durchgeführter
statistischer Untersuchungen.

Einfluss des β-Fehlers

Alpha-Fehler

α – Fehler (zwei Stichproben)

Einfluss des β-Fehlers (4:1)

Das war's für heute.
Bis nächste Woche!
Fragen an:
S.Tomczyk@gmx.net