Skript

Wellen und Dipolstrahlung
Inhaltsverzeichnis
Florian Hrubesch
21. März 2010
1 Wellen 1
1.1 Wellen im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Lösung der Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Energietransport / Impuls - der Poynting Vektor . . . . . 3
1.2 Wellen in Nichtleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Superpositionsprinzip und Fourieranalyse . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Frequenzabhängigkeit der Materialkonstanten . . . . . . . . . . 6
1 Wellen
Die allgemeinen Maxwellgleichungen lauten:
∇ · D = ρ ∇ · B = 0 (1)
∇ × E = − ∂ B
∂t
1.1 Wellen im Vakuum
1.1.1 Lösung der Wellengleichung
∇ × H = ∂ D
∂t
+ j (2)
Im Vakuum ist ρ = 0 und j = 0, und außerdem gibt es keine induzierten
Dipolmomente also wird:
D = ɛ0 E + P = ɛ0 E
1
H = 1
µ0
B − M = 1
µ0
B (3)

WELLEN UND DIPOLSTRAHLUNG
Die Maxwellgleichungen reduzieren sich also zu:
∇ · E = 0 ∇ · B = 0 (4)
∇ × E = − ∂ B
∂t
∇ × ∂
B = µ0ɛ0
E
∂t
Wendet man auf die Gleichungen 5 die Rotation an, so erhält man durch
geschickte Verwendung der übrigen Maxwellgleichungen die Wellengleichung
fürs Vakuum:
∇ 2 E ∂
− µ0ɛ0
2E ∂t2 = 0 ∇ 2
B ∂
− µ0ɛ0
2B = 0 (6)
∂t2 wobei die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum (Phasengeschwindigkeit der Welle)
c0 = 1
√ ist. Lösungen davon sind u.a. Kugelwellen oder ebene Wellen.
µ0ɛ0
Wir beschränken uns auf ebene Wellen. Die Lösung ist dann
E(z, t) = E0e i(kz−ωt) B(z, t) = B0e i(kz−ωt)
für eine Ebene Welle mit dem Wellenvektor k = k · ez (Ausbreitungsrichtung)
und der Amplitude E0. Setzt man die Lösung der Ebenen Wellen in die Wellengleichung
ein, so erhält man noch die folgende Dispersionsrelation:
k 2 = ω2
c 2 0
Der physikalisch sinnvolle Wert ist der Realteil der komplexen Felder. Die
Behandlung als komplexe Zahl ist aber vom Rechnen her schöner. Man darf
bloß am Ende nicht vergessen, wieder den Realteil zu nehmen. Aufgrund
von ∇ · E = 0 muss die z-Komponente der Amplitude verschwinden (analog
für B0). Es gibt also keine longitudinalen Elektromagnetischen Wellen. Die
Amplituden E0 und B0 sind ebenfalls über die Maxwellgleichungen verknüpft
und es gilt:
B0 = k
w (ez × E0) = 1
c0
(5)
(7)
(8)
(ez × E0) (9)
D.h. das elektrische und das magnetische Feld stehen in Wellen im Vakuum
senkrecht aufeinander. Abgesehen davon kann man in der Ebene senkrecht
zum Wellenvektor die Richtung des E oder B Feldes noch beliebig wählen. Wir
legen das E-Feld fest, B ist damit automatisch festgelegt. Man unterscheidet
drei verschiedene Arten der Polarisation:
1. Lineare Polarisation:
E0x
E0y
= e iα ·
ηx
ηy
ηx, ηy ∈ R (10)
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2. Zirkulare Polarisation:
WELLEN UND DIPOLSTRAHLUNG
E0x
E0y
= E0e iα ·
1
±i
(11)
Je nachdem ob der Vektor in Ausbreitungsrichtung rechts oder links
herum Kreist ist die Welle rechts-, bzw links-Zirkular Polarisiert.
3. Elliptische Polarisation: Allgemeinster Fall. E0x und E0y sind komplexe
Zahlen, haben keinen gemeinsamen imaginären Faktor, den man ausklammern
könnte und sind vom Betrag her nicht gleich 1.
1.1.2 Energietransport / Impuls - der Poynting Vektor
Elektromagnetische Wellen transportieren Energie von A nach B. Die Energieflussdichte
(Energie pro Zeit pro Fläche) ist durch den Poynting Vektor
gegeben:
S = 1
( E × B) (12)
µ0
= c0ɛ0E 2 0 cos 2 (kz − ωt)ez
Achtung: Hier muss der Realteil der Wellen eingesetzt werden!
Die Impulsdichte lässt sich ebenfalls über den Poynting Vektor darstellen:
(13)
P = 1
c2 S = ɛ0(
0
E × B) (14)
= ɛ0
E
c0
2 0 cos 2 (kz − ωt)ez
In der Regel ist man nur an dem zeitlichen Mittel der Energieflussdichte oder
des Impulses interessiert. Man integriert also über mindestens eine Periode
T = 2π
ω . Dabei wird der cos2 zu 1 und die gemittelte Energieflussdichte und
2
Impulsdichte ergeben:
S
(16)
= 1
2 c0ɛ0E 2 0 ez
P = 1
ɛ0E
2c0
2 0 ez
Die Intensität einer Welle ist Definiert als der Betrag des zeitlich gemittelten
Poynting Vektors:
I = S 1
= (18)
2 c0ɛ0E 2 0
Der Strahlungsdruck einer Elektromagnetischen Welle auf eine Fläche berechnet
sich wie folgt:
∆p = P Ac0∆t (19)
P = 1 ∆p
·
A ∆t
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= I
c0
(15)
(17)
(20)

1.2 Wellen in Nichtleitern
WELLEN UND DIPOLSTRAHLUNG
Ausgehend von Bereichen, in denen keine freien Ladungen ρf = 0 und keine
freien Ströme jf = 0 existieren, erhalten wir die Maxwellgleichungen:
∇ · D = 0 ∇ · H = 0 (21)
∇ × E = − ∂ B
∂t
∇ × H = ∂ D
∂t
Für anisotrope Medien ist ɛ → ɛij ein Tensor, der einfacheren Betrachtung
wegen, beschränken wir uns auf isotrope lineare Medien, also gilt:
Und wir erhalten:
D = ɛ E
(22)
H = 1
µ B (23)
(24)
∇ · E = 0 ∇ · B = 0 (25)
∇ × E = − ∂ B
∂t
∇ × B = µɛ ∂ E
∂t
Gegenüber dem Vakuum muss also lediglich µ0, ɛ0 durch µ, ɛ ausgetauscht
werden. Hier können wir noch die Näherung µ ≈ µ0 anwenden, da die meisten
optischen Medien nichtmagnetisch sind. D.h. die Phasengeschwindigkeit im
Medium beträgt:
c = 1
√ =
ɛµ c0
n
ɛµ
mit: n = = √ ɛrµr
ɛ0µ0
µr≈1
≈ √ ɛr
Der Poynting Vektor und alle anderen Ergebnisse für Wellen im Vakuum
können dann dadurch übernommen werden, dass man überall ɛ0 = ɛ, µ0 = µ
setzt. Die Phasengeschwindigkeit c0 muss dann natürlich auch durch die
Phasengeschwindigkeit c im Medium ersetzt werden.
1.3 Superpositionsprinzip und Fourieranalyse
Wenn E1 und E2 die Wellengleichung löst, so löst auch Eges = E1 + E2 die
Wellengleichung. Das macht es möglich Wellenpakete aus vielen unterschiedlichen
Wellen mit unterschiedlichen Frequenzen ω zu konstruieren. Der zeitliche
Verlauf ist dabei durch die Fourier-Transformation der Amplituden in
Abhängigkeit der Kreisfrequenz gegeben:
E (t) = 1
√ 2π
∞
−∞
(26)
(27)
(28)
E (ω) e iωt dω (29)
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Und rückwärts:
WELLEN UND DIPOLSTRAHLUNG
E (ω) = 1
∞
√ E (t) e
2π −∞
−iωt dt (30)
um also die zeitliche Entwicklung einer Welle mit einer Amplitudenverteilung
E (ω) zu erhalten wendet man die Fouriertransformation an:
E (z, t) = 1
√ 2π
∞
−∞
dω E (ω) e i(k(ω)z−ωt)
Dabei verhält sich k (ω) entsprechend der Dispersionsrelation aus 8. Im Vakuum
ist das einfach eine lineare Abhängigkeit, in Material hängt die Dispersionsrelation
noch vom Brechungsindex ab:
k = ω
c
= ωn
c0
Der Brechungsindex selber kann dann auch wieder Frequenzabhängig sein.
(Siehe 1.4) Wir wollen ein Wellenpaket betrachten, dessen Frequenzspektrum
nur in direkter Umgebung einer Mittenfrequenz ω0 ungleich Null ist. Wir
können die Wellenzahl nun Taylor-entwickeln ω = ω0 + Ω mit Ω

WELLEN UND DIPOLSTRAHLUNG
Und wir erhalten die Gruppengeschwindigkeit zu
dω
vgr =
dk
Beziehungsweise anders dargestellt (ω = vph · k):
dω
vgr = = vph ·
dk ω0
dk dvph c0 kc0
+ k = −
dk dk n n2 dn
dk
= c0 λc0
+
n n2
dn c0
= 1 +
dλ n
λ
dn
n dλ
Die vernachlässigten Terme von k, bewirken eine Änderung der Einhüllenden
mit der Zeit. (I.d.R. eine Verbreiterung)
Die Gruppengeschwindigkeit ist nicht die Signalgeschwindigkeit, sie kann
u.U. sogar die Lichtgeschwindigkeit überschreiten. Die Signalgeschwindigkeit
hängt von der Frontgeschwindigkeit ab:
ω (k)
vF R = lim
k→∞ k
ω0
ω
= lim =
ω→∞ k (ω)
= lim
k→∞, ω→∞ vP H
1.4 Frequenzabhängigkeit der Materialkonstanten
Ein einfaches Modell um die Frequenzabhängigkeit der Permittivität herzuleiten,
ist sich die Elektronen mit einer Feder an die Moleküle gebunden
vorzustellen. Man erhält dann einen gedämpften, getriebenen Oszillator, der
durch das einfallende Licht angeregt wird:
d2x dx
+ γ
dt2 dt + ω2 0x = q −iωt
E0e
m
Um auf die Permittivität zu kommen löst man diese Differentialgleichung im
eingeschwungenen Zustand und konstruiert sich mit der Lösung die induzierten
Dipolmomente:
p(t) = qx(t) =
q2 /m
ω2 0 − ω2 −iωt
E0e
− iγω
Dies erweitert man auf alle Elektronen in dem besagten Molekül und Teilchendichte
N der Moleküle im Volumen.
P = Nq2
fj
m ω2 j − ω2
E (46)
− iγjω
j
Dabei ist fj die Anzahl der Elektronen mit Eigenfrequenz ωj in einem Molekül.
Die komplexe Permittivität erhält man über die Annahme, dass P proportional
zu E ist.
(40)
(41)
(42)
(43)
(44)
(45)
P = ɛ0χe E (47)
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WELLEN UND DIPOLSTRAHLUNG
und daraus die komplexe Dielektrizitätskonstante:
ɛr = 1 + Nq2
mɛ0
j
fj
ω 2 j − ω2 − iγjω
Normalerweise ist der Imaginäre Anteil vernachlässigbar, aber wenn man
nahe genug an die Resonanzfrequenzen kommt wird er wichtig, denn er führt
zu einer komplexen Wellenzahl ˜ k = k + iκ und damit zu einer Dämpfung der
Elektromagnetischen Welle.
E (z, t) = E0e i(˜ kz−ωt) = E0e −κz e i(kz−ωt)
Der Absorptionskoeffizient ist definiert als α = 2κ. Die Phasengeschwindigkeit
und der Brechungsindex hängen dabei nur vom Realteil ab:
c = ω
k
n = ck
ω
In Gasen ist der zweite Term in Gleichung 48 sehr klein und man kann die
Wellenzahl genähert berechnen:
˜k = ω √
ɛr ≈
c0
ω
1 +
c0
Nq2 fj
2mɛ0 ω2 j − ω2
(51)
− iγjω
Und damit den Brechungsindex und die Eindringtiefe:
n = c0k
Nq2
2
fj ωj − ω
≈ 1 +
ω 2mɛ0 j
2
2 ωj − ω22 2 + γj ω2 α = 2κ ≈ Nq2ω 2
mɛ0c0
j
j
fjγj
ω 2 j − ω 2 2 + γ 2 j ω 2
ωj
n − 1
α
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(48)
(49)
(50)
(52)
(53)

WELLEN UND DIPOLSTRAHLUNG
Für ω1 < ω < ω2 mit den Extrema ω1, ω2 gilt:
dn
dω
< 0 (54)
Dieses Phänomen nennt man anomale Dispersion im Gegensatz zur normalen
Dispersion, die für alle transparenten Medien typisch ist.
Für Frequenzen die weit von den Resonanzfrequenzen entfernt liegen, kann
man den Term mit der Dämpfung vernachlässigen und die Formel für den
Brechungsindex wird zu:
n = 1 + Nq2
2mɛ0
j
ω 2 j
fj
− ω2
(55)
Dispersion in Metallen In Metallen kann man die Resonanzfrequenz ωj auf
Null setzen, da hier praktisch keine Rückstellkräfte existieren. Wir erhalten
also:
ɛr = 1 − Nq2
mɛ0
1
ω 2 + iγω
Mit der Plasmafrequenz ω2 p = Nq2
1
und der Näherung ω >> (Kaum Energie-
ɛ0m τ
verluste durch Streuung) erhält man:
Nun gilt:
• ω > ωp: n reell
ɛr = 1 − ω2 p
ω 2
• ω < ωp: n imaginär → Starke Absorption
Da für sichtbares Licht gilt ω