Lösung der Dirac-Gleichung
Lösung der Dirac-Gleichung
Lösung der Dirac-Gleichung
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
N.BORGHINI Relativistische Quantenmechanik Elementarteilchenphysik<br />
teren sind zwei mögliche unabhängige Wahlen<br />
<br />
0<br />
v0 = ,<br />
wobei ξ+ und ξ− durch Gl. (IV.23) gegeben sind. Somit gilt schließlich für die <strong>Lösung</strong>en mit Impuls<br />
p und „negativer Energie“<br />
ξ∓<br />
v(p, σ) = N−(p) p − mc 0<br />
ξ−σ<br />
<br />
. (IV.27)<br />
In <strong>der</strong> Standard-Darstellung <strong>der</strong> <strong>Dirac</strong>-Matrizen lautet dies<br />
<br />
p · σ ξ−σ<br />
v(p, σ) = −N−(p) <br />
Ep/c + mc <br />
. (IV.28)<br />
ξ−σ<br />
IV.3.1 b <strong>Lösung</strong>en mit p = 0<br />
✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿<br />
Für die <strong>Lösung</strong>en mit p = 0 geben Gl. (IV.24) und (IV.27) unter Verwendung von p = γ0p0 und<br />
p0 = p0 = mc jeweils<br />
<br />
(p0 +mc)12 0<br />
u(0, σ) = N+(0)<br />
0 (−p0 <br />
<br />
ξσ<br />
ξσ<br />
= 2mcN+(0) ,<br />
+mc)12 0<br />
0<br />
und<br />
v(0, σ) = N−(0)<br />
(p 0 −mc)12<br />
0<br />
0 (−p 0 −mc)12<br />
0<br />
ξ−σ<br />
<br />
= −2mcN−(0)<br />
Diese Ergebnisse erklären im Nachhinein die Stelle von ξσ in den <strong>Dirac</strong>-Spinoren u(p, σ) (oben) und<br />
v(p, σ) (unten).<br />
IV.3.1 c Normierung <strong>der</strong> <strong>Lösung</strong>en<br />
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿<br />
Bisher wurden die Normierungskonstanten N+(p) und N−(p) in den <strong>Lösung</strong>en (IV.24), (IV.27)<br />
nicht spezifiziert. Eine im Folgende nützliche Wahl für diese Konstanten ist<br />
N+(p) =<br />
1<br />
Ep/c + mc , N−(p) =<br />
Dies führt zu den Lorentz-invarianten Normierungen<br />
und<br />
0<br />
ξ−σ<br />
−1<br />
. (IV.29)<br />
Ep/c + mc<br />
ū(p, σ)u(p, σ ′ ) = 2mc δσσ ′, (IV.30a)<br />
¯v(p, σ)v(p, σ ′ ) = −2mc δσσ ′ (IV.30b)<br />
ū(p, σ)v(p, σ ′ ) = ¯v(p, σ)u(p, σ ′ ) = 0 (IV.30c)<br />
mit ū, ¯v den <strong>Dirac</strong>-adjungierten Spinoren. Betrachtet man statt <strong>der</strong> Letzteren die hermiteschkonjugierten<br />
Spinoren, so lauten die Normierungen<br />
u(p, σ) † u(p, σ ′ ) = v(p, σ) † v(p, σ ′ ) = 2Ep<br />
c<br />
<br />
δσσ ′. (IV.30d)<br />
Beweis <strong>der</strong> Beziehungen (IV.30):<br />
Die Relation (IV.11) gibt<br />
ū(p, σ) = N+(p) ∗ ξ T σ 0 (γ µ ) † 0<br />
pµ + mc14 γ = N+(p) ∗ ξ T σ 0 γ 0 γ µ <br />
pµ + mc14<br />
= N+(p) ∗ ξ T σ 0 <br />
p + mc14 , (IV.31)<br />
IV. <strong>Dirac</strong>-<strong>Gleichung</strong> 36<br />
.