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Lösung der Dirac-Gleichung

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N.BORGHINI Relativistische Quantenmechanik Elementarteilchenphysik<br />

teren sind zwei mögliche unabhängige Wahlen<br />

<br />

0<br />

v0 = ,<br />

wobei ξ+ und ξ− durch Gl. (IV.23) gegeben sind. Somit gilt schließlich für die <strong>Lösung</strong>en mit Impuls<br />

p und „negativer Energie“<br />

ξ∓<br />

v(p, σ) = N−(p) p − mc 0<br />

ξ−σ<br />

<br />

. (IV.27)<br />

In <strong>der</strong> Standard-Darstellung <strong>der</strong> <strong>Dirac</strong>-Matrizen lautet dies<br />

<br />

p · σ ξ−σ<br />

v(p, σ) = −N−(p) <br />

Ep/c + mc <br />

. (IV.28)<br />

ξ−σ<br />

IV.3.1 b <strong>Lösung</strong>en mit p = 0<br />

✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿<br />

Für die <strong>Lösung</strong>en mit p = 0 geben Gl. (IV.24) und (IV.27) unter Verwendung von p = γ0p0 und<br />

p0 = p0 = mc jeweils<br />

<br />

(p0 +mc)12 0<br />

u(0, σ) = N+(0)<br />

0 (−p0 <br />

<br />

ξσ<br />

ξσ<br />

= 2mcN+(0) ,<br />

+mc)12 0<br />

0<br />

und<br />

v(0, σ) = N−(0)<br />

(p 0 −mc)12<br />

0<br />

0 (−p 0 −mc)12<br />

0<br />

ξ−σ<br />

<br />

= −2mcN−(0)<br />

Diese Ergebnisse erklären im Nachhinein die Stelle von ξσ in den <strong>Dirac</strong>-Spinoren u(p, σ) (oben) und<br />

v(p, σ) (unten).<br />

IV.3.1 c Normierung <strong>der</strong> <strong>Lösung</strong>en<br />

✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿<br />

Bisher wurden die Normierungskonstanten N+(p) und N−(p) in den <strong>Lösung</strong>en (IV.24), (IV.27)<br />

nicht spezifiziert. Eine im Folgende nützliche Wahl für diese Konstanten ist<br />

N+(p) =<br />

1<br />

Ep/c + mc , N−(p) =<br />

Dies führt zu den Lorentz-invarianten Normierungen<br />

und<br />

0<br />

ξ−σ<br />

−1<br />

. (IV.29)<br />

Ep/c + mc<br />

ū(p, σ)u(p, σ ′ ) = 2mc δσσ ′, (IV.30a)<br />

¯v(p, σ)v(p, σ ′ ) = −2mc δσσ ′ (IV.30b)<br />

ū(p, σ)v(p, σ ′ ) = ¯v(p, σ)u(p, σ ′ ) = 0 (IV.30c)<br />

mit ū, ¯v den <strong>Dirac</strong>-adjungierten Spinoren. Betrachtet man statt <strong>der</strong> Letzteren die hermiteschkonjugierten<br />

Spinoren, so lauten die Normierungen<br />

u(p, σ) † u(p, σ ′ ) = v(p, σ) † v(p, σ ′ ) = 2Ep<br />

c<br />

<br />

δσσ ′. (IV.30d)<br />

Beweis <strong>der</strong> Beziehungen (IV.30):<br />

Die Relation (IV.11) gibt<br />

ū(p, σ) = N+(p) ∗ ξ T σ 0 (γ µ ) † 0<br />

pµ + mc14 γ = N+(p) ∗ ξ T σ 0 γ 0 γ µ <br />

pµ + mc14<br />

= N+(p) ∗ ξ T σ 0 <br />

p + mc14 , (IV.31)<br />

IV. <strong>Dirac</strong>-<strong>Gleichung</strong> 36<br />

.

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