"Kopf und Zahl", Ausgabe 11, 2009 - Mathematisches Institut zur ...

11
Irene von Schwerin,
Irene Mathematisches von Schwerin, Institut
Mathematisches
zur Behandlung
Institut
der Rechenschwäche, München
zur Behandlung der Rechenschwäch, München
Fortsetzung unserer Artikelreihe zum Thema Bruchrechnen und Dezimalbrüche
In der Vierten fängt das Elend an:
„Immer wieder Ärger mit dem
Bruchrechnen“
LehrerInnen und Fachdidaktiker wissen seit langem,
dass ein beträchtlicher Teil der Schülerlnnen (bei
weitem nicht nur die „rechenschwachen"!) beim
Bruchrechnen in der Sekundarstufe ohne jedes
Verständnis vorgeht: „Sie entwickeln keine Größen-
vorstellungen von Brüchen, haben nicht die geringste Ahnung, was
Brüche mit Dezimalzahlen zu tun haben, sie praktizieren das
Rechnen mit Brüchen als Herumfuhrwerken mit unverstandenen
Regeln, bringen diese Regeln entsprechend häufig durcheinander
etc. (vgl. Friedhelm Padberg, 2002).“
Unsere nunmehr 20-jährigen Arbeit mit rechen-
schwachen Kindern der Sekundarstufe bestätigt die
zitierte Feststellung, dass die mangelhaften bzw.
falschen Kenntnisse über Bruchzahlen ein Massen-
phänomen darstellen. Wenn wir auf Lehrerfort-
bildungen zum Thema Bruchrechnen die Fehler
analysieren, auf die wir so häufig stoßen und auf die
ihnen zugrunde liegenden Missverständnisse über
Bruchzahlen hinweisen, ist nicht selten der Kommentar
der LehrerInnen, sie müssten uns ihre halbe
Klasse zur Behandlung schicken.
Mit welchen Phänomenen hat man es zu tun?
1 1
>
3 2
Die von den Schülern mitgelieferte Begründung heißt:
„drei ist doch die größere Zahl“.
7
> 1 ,
8
JOURNAL
des Vereins für Lerntherapie und Dyskalkulie e.V.
in Zusammenarbeit mit den Mathematischen Instituten
zur Behandlung der Rechenschwäche
11. AUSGABE, 2009
www.dyskalkulie.de
Es kommt aber auch nicht selten die richtige
7
Antwort, dass kleiner ist, und auf die Frage, um
8
wie viel, sagen diese Schüler entweder um 1, weil
sie die Differenz zwischen 7 und 8 im Auge haben,
oder um 2 oder 3, weil sie den Zähler , bzw. den
Nenner auf 10 ergänzen.
Bei der Aufgabe,
1 1
„ nenne mir Bruchzahlen zwischen und
2 3
ist ihre Antwort: „ da gibt es keine Zahl
dazwischen, weil oben sind die Zahlen gleich und
unten gibt es nichts zwischen 2 und 3. “
1
Schüler denken bei wenn dieses, wie in der 6.
3
Klasse üblich, mit der Torte oder der Pizza
veranschaulicht wird, sehr schnell an das Stück, an
ein festes Ding, mit einer bestimmten Form (ein
Kreissegment), das sie mühelos zeichnen können.
Sie denken aber nicht an das Verhältnis zur ganzen
INHALT
In derVierten fängt das Elend an:
„Immer wieder Ärger mit dem Bruchrechnen“
Fortsetzung zum Thema Bruchrechnen und Dezimalbrüche
Übungs- und Fördermaterial: Cuisinairestäbe
„Zehner ist orange,Achter ist braun, Zweier ist rot.“
Timo, Ende 1. Klasse
Rubrik Aus fehlern lernen ...
Klassifikation der Fehler bei der Durchführung
der Grundrechenarten mit Bruchzahlen
Klassische Kinderspiele ... NEU ENTDECKT !
Mikado “Ein alter Hut?”
©Kopf und Zahl, 11. Ausgabe Seite 1

Pizza. Jeder Zusammenhang zu „1 Ganzes wird in 3
gleiche Teile geteilt“ kommt in der Vorstellung nicht
vor.
Dies wird auch deutlich, wenn sie am Zahlenstrahl
1 1
, , usw. eintragen sollen:
2 4
Häufig sehen wir auch Fehler ähnlichen Typs beim
Umrechnen von Bruchzahlen in Dezimalbrüche:
1
= 0,
4
4
„weil es muss kleiner als 1 sein und was unten steht kommt
nach dem Komma“
Umgekehrt genauso:
0 , 6 =
„es steht doch jeweils eine sechs da, wenn ich mir das, was vor
dem Komma und über dem Bruchstrich steht, wegdenke“
1
1 , 5 =
5
2
2 , 8 =
8
„weil Bruchstrich und Komma bedeuten das gleiche“
6
Oder: = 0,
68
8
Die Liste ließe sich beliebig verlängern. Wir entnehmen
diesen Phänomenen, dass viele Schüler, und wahrlich
nicht nur die rechenschwachen unter ihnen, Bruchzahlen
wie Natürliche Zahlen betrachten, nur eben „mit einem
Strich oder einem Komma dazwischen“ .
Die didaktische Hauptverantwortung dafür trägt zum
einen wohl der Mathematikunterricht der Sekundarstufe:
1
6
Verein für Lerntherapie und Dyskalkulie. eV.
Internet:
www.dyskalkulie.de
E-Mail:
verein@dyskalkulie.de
„Die systematische Behandlung der Bruchrechnung konzentriert
sich gegenwärtig in Deutschland auf das sechste
Schuljahr in allen Schulformen. ( vgl. Padberg, Didaktik der
Bruchrechnung, 1995 S. 10)
Zum andern aber auch der Mathematikunterricht der 4. Klasse,
weil die Grundlegung gemäß Lehrplan bereits im vierten
Grundschuljahr passiert. Im Bayerischen Lehrplan für Mathematik
Jahrgangsstufe 4 wird unter 4.4 Sachbezogene
Mathematik folgendes Lernziel zum Thema Bruchrechnen
formuliert:
„Die Schüler gewinnen realitätsnahe Vorstellungen zur Hohlmaßeinheit
Liter und einiger wichtiger Bruchteile davon. Sie
lernen Hohlmaße durch Messen zu bestimmen und das
Meßergebnis mit ganzen Zahlen sowie einfachen Brüchen als
Maßzahlen zu notieren“.
Weiter heißt es unter 4.4.1 Größen:
Hohlmaße: l, ml
• Größenvorstellung durch Füllen, Umfüllen, Schätzen,
Vergleichen und Messen erarbeiten
• Die Einheiten l, ml kennen und anwenden
•
Brüche und Dezimalbrüche kennen und anwenden:
1 1 3
l,
l,
l , 0,2l, 0,33l, 1,5l
4 2 4
In der 4. Grundschulklasse sollen „anschauliche
Vorarbeiten fürs Bruchrechnen“ geleistet werden. (vgl.
Padberg ebenda S. 10)
Nach dem Prinzip „learning by doing“ will man die
Kinder an Bruchzahlen gewöhnen, die systematische
Erklärung ist explizit in diesem Schuljahr nicht
vorgesehen. Was liegt da auf Seiten der Kinder
näher, als Bruchzahlen mit dem Zahlverständnis der
Natürlichen Zahlen, an die sie schon gewöhnt sind,
zu betrachten.
Das heißt, viele Schüler rechnen in der 4. Klasse mit
Brüchen und Dezimalbrüchen, wie wenn der Zähler
und Nenner jeweils eine eigene Zahl wäre, die
durch einen Strich getrennt sind oder eben durch
die durch einen Strich getrennt sind oder eben
durch ein Komma. Dann ist die Gleichsetzung von
Komma und Bruchstrich - beides wird als Trennung
von zwei Zahlen aufgefasst – nicht verwunderlich.
Der Praxisbegleiter für Lehrer zum Schulbuch Welt
der Zahl 4 (Schrödel-Verlag 2003 S. 66) versucht
Impressum:
Herausgeber:Verein für Lern- und Dyskalkulietherapie,
München, Brienner Straße 48
Redaktion: Alexander v. Schwerin (verantwortlich),
Beate Lampke, München
Christian Bussebaum, Elke Focke, Düsseldorf;
Wolfgang Hoffmann, Dortmund; Rudolf Wieneke, Berlin
Layout und Satz: Illustration + Grafik, Tanja Gnatz, Gröbenzell
Seite 2 ©Kopf und Zahl, 11. Ausgabe

sich an einer konsequenten Umsetzung des skizzierten
Lernziels und bietet dafür folgende didaktische Unter-
richtshilfe an:
Da stellt sich schon die Frage, was soll ein Kind lernen,
wenn es in Aufgabe 2 überprüft, ob Julias Behauptung
stimmt? Selbst wenn ein Schüler den abgebildeten
Versuch life mit zwei entsprechenden Gefäßen und
Milch durchführt, weiß er zwar, dass Julias Behauptung
stimmt, er versteht aber kein bisschen, was die
1
250, die auf Benjamins Milchflasche steht, mit l zu
1
tun hat, und warum l = 0,
25l
. Durch die Gleich-
4
setzung dieser beiden Größenangaben wird dem
Schüler die jeweils andere nicht klarer, weil ihm ja
1
beides, die Bruchzahl und der Dezimalbruch 0,25
4
unbekannt ist, also versteht er davon auch nicht mehr,
wenn man die beiden durch ein Gleichheitszeichen
verbindet. Da bleibt nur, die Gleichung auswendig zu
lernen wie einen Satz aus einem Gedicht. Genauso
wenig verstehen die Kinder, warum 0,25l genauso viel
sind wie 250 ml. Manches Kind meint sogar, „dann ist
es ja egal, ob die Null vorne steht oder hinten.
Auch dem Messbecher daneben entnimmt man viel-
1
leicht, dass der Strich, wo steht, halb so hoch ist,
4
1
wie der, wo steht, aber viele Kinder verstehen dann
2
nicht, warum da die niedrigere Zahl 2 steht, wo es
doch mehr ist. Ganz abgesehen davon ist das Verhältnis
zum Ganzen – dem Liter – völlig unklar.
©Kopf und Zahl, 11. Ausgabe
4
Buch
Die Aufgabe 2c)
„Wie oft muss Julia Benjamins Flasche
füllen, um damit 1l zusammenzugießen „
für die Kinder ein Buch mit sieben
Siegeln. Die Proportionen der abgebildeten
Milchflasche und des Litergefäß
machen das schon nicht nachvollziehbar,
was als Ergebnis dieser
Rechnung rauskommt:
„ 1l : 250 = 4 (Auf der Milchflasche
steht ja nur die Zahl ohne Einheit)“
Und bei der Rechnung selbst verstehen
die meisten „nur noch
Bahnhof“.
Mit dem Ergebnis 4 haben sie dann
das Problem, dass der Quotient
dieser Divisionsaufgabe auf einmal
größer ist, als der Dividend, zugleich
der Divisor viel größer als die beiden
anderen Zahlen, dabei haben sie
vorher bei der Division mit „normalen
Zahlen“ gelernt, dass der
Quotient immer kleiner sein muss als
der Dividend.
Und Fragestellungen „wie viel ml sind
ein achtel Liter, bzw. wie viel ml sind
0,125l ?“ , die man in der Tabelle
beantworten muss, werden schon als
Frage gar nicht mehr verstanden.
Was bleibt, ist allenfalls, es von der Tafel
abzuschreiben und auswendig zu lernen wie eine
Formel.
Der Lehrplan verfolgt m. E. das Ziel, die Alltagserfahrung
der Kinder in der 4. Grundschulklasse
zu nutzen, schließlich gehen sie ja praktisch schon
mit Viertel und Halben Litern Milch um, um sie
auch an einen mathematischen Umgang mit
Bruchzahlen zu gewöhnen. Gleichzeitig hält man
deren systematische Erklärung in dieser Schulstufe
für eine Überforderung. Diese Vorstellung von
„entwicklungsgerechter Dosierung“ von Bruchzahlen
im Mathematikunterricht der 4. Klasse
kann zu den oben aufgezeigten Fehlvorstellungen
führen.
Um so mehr wäre dann in der Sekundarstufe
gefordert, in der Unterrichtspraxis der 6. Klasse
mehr Wert auf das Verständnis des mathematischen
Gehalts der Rechengesetze der Bruchrechnung zu
legen.
Leider ist für viel zu viele Kinder dann das Bruch-
rechnen in der 6. Klasse bzw. der Sekundarstufe
ein Manipulieren mit Zahlen nach für sie undurchschaubaren
Handlungsvorschriften, die
allenfalls als Merksätze abgespeichert werden, die
entsprechend ihren Vorstellungen, die sie aus der
4. Klasse mitbringen, zum Teil kreativ modifiziert
werden.
Seite 3

Weil die Bezeichnung „Erweitern“ und „Kürzen“ in der
Alltagsvorstellung mit Vergrößern bzw. des
Vermindern verbunden ist, meinen viele Schüler
2
3
4
sei kleiner als , und begründen es damit, dass
6
„oben und unten“ beim rechten Bruch die höheren
Zahlen stehen. Weil sie den mathematischen Gehalt
des Erweiterns und Kürzens – ich multipliziere mit 1
2
(hier ausgedrückt als ) oder dividiere durch 1 -
2
nicht begriffen haben, ist ihnen auch nicht klar, dass
sich der Wert des Bruchs durch diese Operationen
nicht ändert, weil die 1 das neutrale Element der
Multiplikation und Division ist.
3 7
Manche Schüler erweitern auf weil sie die-
4 8
Georg Raming, Osnabrücker Zentrum für mathematisches Lernen
Übungs- und Fördermaterial: Cuisinairestäbe
„Zehner ist orange,Achter ist braun, Zweier ist rot.“ Timo, Ende 1. Klasse
Wenn orange auch braun und rot ist, dann geht es
nicht um Farbenlehre, sondern um Mathematikunterricht:
Rechnen mit Cuisinairestäben. Die Zahlen bis
zehn werden durch unterschiedliche Längen dargestellt,
um plus 1 cm metrisch genormt. Dies macht sie
quantitativ unterscheidbar. Zudem erschließt sich die
repräsentierte Zahl durch ein weiteres, qualitatives
Orientierungsmerkmal: die jeweilige Farbe des Stabes.
Cuisinairestäbe gehören wahrlich nicht mehr zu den
gängigen Arbeitsmitteln im Unterricht. Anders sieht
es aus, wenn es um die Förderung von rechenschwachen
Kindern geht. Die Mehrzahl dieser Kinder sind
„Zähl-Kinder“. Im Bemühen ein Material zu verwenden,
das das Zählen nicht unterstützt, werden auch
Cuisinairestäbe immer wieder eingesetzt - in der
Hoffnung eineVerfestigung von Zählstrategien zu vermeiden
und das Kind vom Zählen wegzuführen.
Im Beratungsgespräch sitze ich mit Timos Eltern und
seiner Lehrerin zusammen. In der Schule wie zu
Hause kann Timo mit Cuisinairestäben und der
Rechenlade seine Aufgaben lösen, aber wehe, man
entzieht ihm das Material. Dann geht in der Regel gar
nichts mehr. Timo sitzt hilflos über seinen Aufgaben,
fragt: „Was muss ich jetzt machen?“. Manchmal
blockt er sogar ganz ab.
Werfen wir einen Blick auf Timos Arbeitsmittel: Mit
Cuisinairestäben lässt sich der Zahlaufbau um plus
eins und damit verbunden der Beziehungsaspekt der
Zahlen zueinander darstellen, vorausgesetzt, sie sind
in einer hierarchischen Abfolge um eins geordnet.
selbe Zahl in Zähler und Nenner addieren statt zu
multiplizieren. Sie haben eh nicht verstanden,
„warum man mit dem Zähler und dem Nenner dasselbe tun
muss“, nur dass!
Und bei den Kindern, bei denen es mit dem Einsatz
der richtigen Regel (entsprechender Paukaufwand
vorausgesetzt) zunächst halbwegs klappt, jedenfalls
vom Standpunkt des richtigen Ergebnisses, sind auch
viele darunter, die von einer Einsicht in die
mathematische Begründung für z. B. die Operation
des Erweiterns bzw. Kürzens weit entfernt sind. In
diesen Fällen stürzt das mühsam gezimmerte Regelwerk
„Bruchrechnen“ spätestens in der 7. oder 8.
Jahrgangstufe ein, wenn die unbegriffenen Operationen
mit Bruchtermen durchgeführt werden
müssen. Mehr zum Thema Bruchrechenen auf Seite 6
Ohne die dazwischenliegenden Stäbe sind die
Unterschiede viel schwieriger zu bestimmen.
Beträgt die Differenz zwischen braun (8) und
gelb (5) zweimal einen Einer oder dreimal?
Roter oder hellgrüner Stab? Hier fordert das
Material zum Ausprobieren auf.
Ist die Aufgabe gelöst, können die Cuisinairestäbe auf
dieser Ebene nicht nur die Einsicht fördern, dass acht
größer ist als fünf (8 > 5) bzw. dass fünf kleiner ist als
acht, sondern auch das Erkennen der Differenz zwischen
beiden Anzahlen: drei (drei mehr/ drei weniger).
Übrigens, wem es lästig ist, die Zuordnung von
Zahlnamen und Farbe zu lernen, der beschriftet die
Stäbe entsprechend: Der orange Stab bekommt die
Zahl ‚10’ verpasst, etc. Für das Vergleichen von
Anzahlen und für das Rechnen ist allein das quantitative
Merkmal entscheidend, die Länge der Stäbe. Sie,
die Länge, repräsentiert bei diesem Material die unterschiedlichen
Vielfachen von eins.
Für manche Kinder ist jedoch nicht dieses Kriterium die
Veranschaulichung von bspw. zehn, sondern für sie ist es die
Farbe (orange): „Zehner ist orange.“ Um das Verständnis zu
überprüfen, sollte die Normierung der Cuisinairestäbe für eins
einmal verändert werden.Nicht mehr der beige Stab,sondern der
rote wird als eins festlegt.Welcher Stab repräsentiert jetzt die
Zahl zwei?Violett. Diese Übung lässt sich mit den vorhandenen
Längen bis fünf fortführen:Der orange Stab als Stellvertreter von
fünf, weil er fünf mal so lang ist wie der rote Stab (eins).
Es ergeben sich aus dem Vorteil der farbigen Stäbe -
Seite 4 ©Kopf und Zahl, 11. Ausgabe

Cuisinairestäbe sind explizit nicht abzählbar, da sie
keine innere Strukturierung haben - aber auch
Nachteile: Es gibt sie nur als ganze Stäbe, da sie nicht
unterteilbar sind.
Beim Vermitteln wie beim Verstehen von
Zahlzerlegungen treten daher einige Hindernisse auf.
Der braune Stab ist zwar genauso lang wie der gelbe
und der hellgrüne zusammen. Da sie aber nur parallel
zueinander einsetzbar sind, bleibt dem Schüler hier
leicht verschlossen, dass acht bereits die Inklusion von
fünf und drei ist.
Folgerungen aus
Anzahländerungen
innerhalb der beiden
Teile bei
Konstanz der Gesamtmenge lassen sich nicht direkt
darstellen: Von 5 (gelb) einen Einer wegnehmen (-1)
geht nicht und damit auch nicht +1 bei 3 (hellgrün).
Zwei neue Stäbe müssten her: beide in violett (4).
Eine Anschauung
die der Situation
entspricht: Jana hat
acht Bonbons. Sie
bekommt zwei Bonbons dazu, dann hat sie genauso viele
Bonbons wie Nico. Der braune und der rote Stab entsprechen
der Anzahl der Bonbons von Jana, der orange
Stab den zehn Bonbons von Nico.
Marie hat acht Bonbons. Sie bekommt zwei Bonbons dazu. Für
diese Rechengeschichte ist die Interpretation durch
den braunen, den roten und den orangenen Stab eine
sehr gewagte Angelegenheit. Denn das weiß auch
Timo bei all seinen Matheproblemen: Wenn er acht
Süßigkeiten hat und noch zwei weitere bekommt sind
es zehn und keine zwanzig!
Wird ein Lineal genutzt, taucht diese Ungereimtheit
bei Plus nicht auf: 8 + 2 = 10
Das Lineal macht deutlich, dass zehn der
Wertausdruck von 8 + 2 ist. Zehn ist die Gesamtheit
aller Kästchen bis einschließlich zehn, visuell unterstützt
durch die eingelegten Stäbe.
Bei Subtraktionen ist die Sache weitaus schwieriger.
Marie hat zehn Bonbons. Sie isst davon zwei auf. Die
Interpretation von 10 – 2 als ein Verhältnis von
Ganzes-Teil-Teil hieße, vom orangenen Stab einen
roten Stab wegzunehmen. Wie soll das gehen? Auch
der Einsatz der Rechenlade ist hier keine
Unterstützung. Diese Subtraktion funktioniert nur
©Kopf und Zahl, 11. Ausgabe
dann, wenn man zehn sofort als braun (8) und rot (2)
legt. Wer dies bereits weiß, für denjenigen sind
Cuisinairestäbe „just for fun“: weil man damit mal
anders rechnen kann. Aber hier ist bereits vorhandenes
Grundwissen der Ausgangspunkt!
Und darin besteht der gewichtige Unterschied zu
Timo. Wen der Entzug des Materials derart in
Verzweiflung bringt wie Timo, dessen Probleme liegen
meistens weiter zurück im Stoff und es stellen
sich zusätzliche Schwierigkeiten ein, wenn bis zwanzig
gerechnet werden soll, wie bei 8 + 6. Werden
beide farbigen Stäbe, braun und dunkelgrün, in die
Rechenlade, auf ein Lineal oder einen 1 cm-genormten
Zahlenstrahl gelegt, ist das Ergebnis unschwer
ablesbar:
Der Wert der Summe steht fest: 8 + 6 =14
Ein Verständnis vom Bündeln und Entbündeln zwischen
Einern und Zehner ist für die Bewältigung der
Aufgabe keine Voraussetzung. Wer die Ablesehilfe auf
100 erweitert, den betrifft die Logik des dezimalen
Positionssystems und damit verbunden der
Zehnerübergang im wahrsten Sinne des Wortes „über
weite Strecken“ nicht. Lediglich beim Schreiben und
beim Lesen zweistelliger Zahlen sind Normen zu
berücksichtigen. Davon, dass zehn Einer zu einer
neuen Einheit - einem Zehner - gebündelt werden,
bleibt dieser Rechner unberührt.
Heißt es: „Rechne erst bis zum Zehner“, was dann?
Braun und rot sind 10. Eventuell bedarf es jetzt einer
Nebenrechnung: Unter den dunkelgrünen Stab (6) den roten
Stab (2) und dann ist noch Platz für einen violetten Stab (4).
Dieser fehlt in der Rechnung: braun+rot=orange und dann
noch orange+violett. Ohne Ablesehilfe wird zum
Abschluss ggf. „zum Zehner der Vierer dazugezählt.“
Wer bekommt diese Schritte ohne Material hin? Doch
nur derjenige, der nicht mehr aufs Ausprobieren
angewiesen ist und den Übergang zum abstrakten
Rechnen bereits gemacht hat. Wer hierfür die notwendigen
Voraussetzungen mitbringt denkt quantitativ:
8+6=8+2+4=10+4=14.
Timo ist dies bisher nicht gelungen. Seine anhaltenden
Schwierigkeiten sind als Hinweis auf mögliche
Irrtümer im Zahl- und Operationsverständnis ernst zu
nehmen. Es ist sinnvoll, einmal abzuklären, welche
Vorstellungen vom Zahlaufbau, von Zahlzerlegungen
und deren Anwendungen bei plus und minus Timo
überhaupt entwickelt hat. Und genau das ist meine
Empfehlung im Beratungsgespräch an die Eltern und
die Lehrerin.
Seite 5

Irene von Schwerin,
Mathematisches Institut zur Behandlung der Rechenschwäche,
München
Rubrik Aus Fehlern lernen ...
Klassifikation der Fehler bei der Durchführung der
Grundrechenarten mit Bruchzahlen
Die häufigsten Fehler, die bei der Durchführung der
einzelnen Grundrechenarten mit Bruchzahlen
vorkommen, verdanken sich im wesentlichen einer
Verdrehung der mathematischen Gesetzmäßigkeiten
oder ihrer Nichtbeachtung. Häufig
werden Rechenregeln, die bei der einen Rechenart
gelten, auf die anderen übertragen und um-gekehrt.
In diesen Fällen wird allemal deutlich, dass die
Anwendung der Regeln schematisch passiert und
nicht aus mathematischer Einsicht.
Addition und Subtraktion:
Bei der Suche bzw. dem Umgang mit dem
Hauptnenner bei Addition und Subtraktion treten
folgende Fehlerbilder auf:
Die Regel des gleichnamig Machens wird nur
bruchstückhaft anwendet:
3 1 3 + 1 4
+ = =
5 2 10 10
Sie multiplizieren die Nenner zu einem gemeinsamen
Hauptnenner und addieren die Zähler.
Am häufigsten wird zu der „Regel, ich addiere Zähler
mit Zähler und Nenner mit Nenner, gegriffen.“ Hier wird,
was für die Multiplikation gilt, auf die Addition
übertragen.
1 1 2
+ =
3 6 9
Diese vermeintlichen „Regeln“ werden ebenso bei
der Subtraktion angewandt.
Multiplikation:
5 4 20
• =
8 8 8
was für die Addition in bezug auf den gemeinsamen
Nenner gilt, wird auf die Multiplikation
einfach übertragen. Viele Schüler sind aber auch
schöpferisch im Modifizieren dieser falschen Regel:
3 2 6
• =
4 4 8
in diesem Fall wird der Zähler multipliziert, der
Nenner wird addiert.
Besondere Probleme stellen die gemischten Brüche
bei allen Operationen dar, weil gar nicht klar ist,
welchen Bezug die ganze Zahl zum Bruch hat.
Seite 6
1
4 • 3 =
2
1
12
2
Hier werden die natürlichen Zahlen multipliziert
und der Bruch wird beibehalten. Dass es sich
dabei um eine Verletzung des Distributivgesetzes
handelt, erschließt sich vielen Schülern nicht,
weil sie nicht wissen, dass zwischen der Ganzen
Zahl und dem Bruch ein +/- Zeichen steht, das
nicht geschrieben wird.
1
Ebenso: 3 •
4
1
5 =
3
1
15
12
Hier liegt der Fehler darin, dass, die natürlichen
Zahlen und die Brüche getrennt multipliziert
werden, nach dem Motto verknüpfe Gleiches.
Division:
Bei der Division wird wieder das „Schema“ aus
Addition/Subtraktion angewandt:
12
20
6 2
- =
20 20
Es wird nur der Zähler dividiert, „weil, was im
Nenner steht, ist ja schon geteilt wegen dem Bruchstrich“,
so die „Begründung“
3 3
: 9 =
5 5
4
: 2 =
14
4
14 ÷ 2
= 4
:
7
Die betroffenen Schüler wissen zwar, dass man
bei der Division den Kehrbruch bilden muss,
wenden aber ein: „ bei einer ganzen Zahl kann man
doch keinen Kehrbruch bilden.“ Es kommt auch vor,
dass vom Dividend der Kehrbruch gebildet wird.
In der Regel haben vor allem rechenschwache
Schüler auch nicht die leiseste Größenvorstellung
vom zu erwartenden Ergebnis:
4
4 : =
6
4 : ÷ 4
6
1
=
6
Muss das Ergebnis größer oder kleiner werden als
der Dividend, wenn der Divisor > 1 ist? Diese
Frage wird von vielen schon gar nicht verstanden.
Die Tatsache, dass der Quotient größer werden
muss als der Dividend, wenn der Divisor < 1 ist,
wo doch bei der Division im Zahlenraum der
Natürlichen Zahlen der Quotient immer kleiner
wird, stiftet Verwirrung. Und bei der Multiplikation
umgekehrt: da wird das Produkt kleiner
wenn ein Faktor < 1, wo man doch bisher –
sprich: bei den natürlichen Zahlen – gelernt hat,
dass das Produkt immer größer sein muss, als
ihre einzelnen Faktoren. Spätestens hier ist die
Konfusion perfekt für Schüler, die versuchen,
Bruchrechnen mit einem Regelkanon zu
bewältigen!
©Kopf und Zahl, 11. Ausgabe

Wolfgang Hoffmann,
Mathematisch Lerntherapeutisches
Zentrum Dortmund/Bochum
Mikado
“Ein alter Hut?”
Von wegen! Wir bekommen es auf
unseren Lehrerfortbildungen immer
wieder berichtet: „Die Kinder kommen mit
immer schlechteren Voraussetzungen in die
Schule.“ Es mangelt anscheinend an allem: Ob Groboder
Feinmotorik, Zahlenverständnis oder Sprache –
die Liste ist lang und wird lang und länger.
Und was hat MIKADO hier zu suchen? Eine ganze
Menge, wie ich meine. Klassische Kinderspiele finden
kaum noch den Weg in’s Kinderzimmer oder an den
Küchentisch und inzwischen gibt’s selbst Eltern, die
diese Spiele nicht mehr kennen. Fatal? Warum?
Vielfach haben Computerspiele die klassischen
Kinderspiele verdrängt. Dort werden beispielsweise
erzielte Punkte nur in Ziffernform dargestellt und
nicht als strukturierte Mengenbilder. Kein Wunder,
dass die Kinder dann vom Aufbau der Zahlen keine
Ahnung haben. Statt „Gummi-Twist“ werden
virtuelle Aliens „abgeschossen“ - nicht gerade ein
angemessenes Training für die Entwicklung der
Grobmotorik, um es einmal vorsichtig auszudrücken,
eher das gerade Gegenteil. Den Gipfel dieser digitalen
Exzesse fand ich vor zwei Jahren im Internet:
„Flohhüpfen“, ein Spiel, das die Feinmotorik des
Kindes trainieren soll. Jetzt braucht man nur noch auf
den Curser-Tatsen herumzutrommeln. Feinmotoriktraining
virtuell gestaltet - ein wahrlicher Hammer an
Widerspruch, wie ich meine!
Dabei dürfte doch langsam eines ‘mal aufgefallen
sein: Das Aussterben klassischer Kinderspiele verhält
sich direkt proportional zu den zunehmenden
Problemen der Kinder. Bestimmt ist dies nicht der
einzige Grund, keine Frage, aber eine Rolle spielt dies
sicherlich, besonders in der Vor- und Grundschulzeit
©Kopf und Zahl, 11. Ausgabe
des Kindes. Reagiert wird auf diese Entwicklung dann
meist mit der Schuldfrage: Der Psychologie-Professor
fragt sich in der Stochastik-Vorlesung, wie seine
Studenten überhaupt zum Abitur gekommen sind.
Die Kollegin in der Oberstufe beschleicht irgendwie
der Verdacht, dass das Thema Algebra in der
Mittelstufe nicht behandelt wurde. Die hierfür
zuständige Kollegin fragt sich zu Beginn der fünften
Klasse, was man den Kindern in der Grundschule
überhaupt beigebracht hat. Die GrundschullehrerInnen
geraten zunehmend in
Schwierigkeiten mit ihrem Curriculum, weil sie sich
mit Problemen aus der Vorschulzeit des Kindes
„herumschlagen“ müssen. Die ErzieherInnen stellen
fest, dass sie für erzieherische Defizite im Elternhaus
„dingfest“ gemacht werden. Und als ob das
„Spielchen“„Wer hat den Schwarzen Peter“ nicht
schon für sich so unproduktiv ist wie nur
was, thront über allem die Bildungs-
(=„Finanz-“?) und Schulpolitik, die
mittels PISA oder VERA nicht nur
gelbe und rote Karten an die
Schulen verteilt (das
Geld und die dafür
notwendige Zeit
kann man
wirklich
besser
anlegen!),
sondern als
Reaktion auf zunehmende
Probleme
„individuelle Förderung“
per Gesetz verordnet und
gleichzeitig die Klassen bis zum
Anschlag aufmunitioniert, um nur ein
Beispiel zu nennen. Schuldige suchen hat
noch nie zu etwas Positivem geführt.
„Computer-Spiele sind doch praktisch?“
Stimmt, wenn man keine Zeit, Lust, Geduld oder
Kraft mehr hat, sich mit den Kindern zu beschäftigen.
„Konsole an - und auf Wiedersehen“. Klar mögen es
kleine Kinder, wenn es kracht und knallt und alles so
schön bunt ist. Der Nachwuchs ist zufrieden und für
die nächsten Stunden „versorgt“. Und was lernt das
Kind dort? Bestenfalls schnelle Reaktion auf
Knopfdruck. Und wenn das Nachbarskind neidisch
auf den flackernden LCD-Bildschirm schaut, heißt es
dann in nicht wenigen Fällen: „Das hast du nicht? Bist
du blöd!“ Damit ist dann das „Spiel“ im nächsten
Haushalt verankert, weil das Kind keine Ruhe mehr
gibt, bevor es auch die bunte virtuelle Welt in den
Händen hält.
Seite 7

Im Gegensatz zu Computer-Spielen haben klassische
Kinderspiele häufig einen vermeintlich entscheidenden
„Nachteil“: Man muss sich als Erwachsener Zeit
nehmen, um mit dem Kind zu spielen, ihm die
Regeln zu erklären, es aufzumuntern, wenn es nicht
auf Anhieb klappt und je nach Kindesalter etwas
Kreativität bei der Modifikation des Regelwerks
zeigen.
MIKADO - Wie funktioniert’s noch ‘mal?
Das Spiel besteht aus 41 runden dünnen Holzstäben
mit unterschiedlichen Farbmarkierungen, die an
ihren Enden spitz zulaufen. Es gibt fünf verschiedene
Sorten von Stäben, die jeweils eine andere Wertigkeit
an Punkten repräsentieren:
Mikado lässt sich
auch mit Kindern
spielen, die noch
nicht in der Schule
sind oder noch
keine Zahlen kennen.
In diesem Fall
kann man die Wertigkeit
der einzelnen
Stäbe mit Strichen
darstellen.
Die Wertigkeit sollte dabei die Anzahl von fünf
Punkten nicht übersteigen:
Die Stäbchen werden
nun so in die Hand
genommen, dass die
Faust auf dem Tisch
aufliegt.
Bei den Wertigkeiten
dargestellt mit Strichen
sollte unbedingt
darauf geachtet
werden, dass die
Fünf mit einem
Querstrich gebündelt
dargestellt wird
(also keine fünf Striche
nebeneinander).
Durch plötzliches Öffnen der Hand fallen die Stäbe
kreisförmig auf den Tisch. Bei einem schlechten Wurf
ist eine Wiederholung gestattet. Nun versucht man,
die Stäbe mit den Fingern einzeln aufzunehmen,
ohne dass sich ein anderer dabei bewegen darf. Ein
Druck des Fingers auf die Spitze des Stabes
ermöglicht ein sicheres Aufnehmen.
Nimmt ein Spieler den Stab mit der blauen Spirale
auf, so darf er diesen beim Abheben weiterer Stäbe
benutzen.
Bewegt sich beim Abnehmen
eines Stabes ein
anderer Stab, ist er zurückzulegen.
Der nächste Spieler
ist nun an der Reihe.
Gewonnen hat der Spieler,
der die meisten Punkte erzielt hat. Ein ganz hervorragendes
Spiel zum Training der Feinmotorik.
Das Ausrechnen der Punkte
Für Vorschulkinder und Schulanfänger
Zunächst werden die eingesammelten Stäbe nach
ihrer Farbe sortiert. Auf dem Tisch liegt ein Zettel, der
die Wertigkeiten der einzelnen Stäbe angibt:
Es ist darauf zu achten, dass das
Kind die Wertigkeit der Stäbe
(also die Anzahl der Striche)
unbedingt simultan erfasst und
nicht zählend. Mama fängt an,
ihre Punkte zu notieren und
zeigt dem Kind, wie es ge -
macht wird. Dafür hat sie
einen Zettel vorbereitet. Sie hat
insgesamt 18 Stäbe gesammelt,
die sich wie nebenstehend
verteilen.
Das nun folgende Verfahren funktioniert nach dem
Prinzip der Eins-zu-eins-Zuordnung: Mama nimmt
nun ihre Einerstäbe und malt sich für jeden Stab
einen Strich in das erste Kästchen:
Seite 8 ©Kopf und Zahl, 11. Ausgabe

Nun nimmt sie ihre drei Zweierstäbe und malt für
jeden einzelnen Stab zwei Striche auf. Dabei fasst sie
durch einen Querstrich jeweils fünf Punkte zu einem
Bündel zusammen. Das erste Kästchen ist nun voll.
©Kopf und Zahl, 11. Ausgabe
Lena verfährt jetzt genauso wie
ihre Mutter. Auch sie muss fünf
Punkte zu einem Bündel zusammenfassen.
Nun wird ein
Zwischenergebnis ermittelt.
Fragen Sie das Kind: „Wer hat
mehr Punkte?“ „Wer hat weniger
Punkte?“ „Haben wir gleich viele
Punkte?“ „Wer ist in Führung und
warum?“
Das Kind sollte diese Fragen nicht-zählend beantworten
können, da es per Eins-zu-eins-Zuordnung
analysieren kann, dass beide den ersten Fünfer „voll
haben“, Mama aber einen zweiten Fünfer hat. Es muss
auch lernen, dass es die Differenzmenge benennen
oder zeigen kann, indem es beispielsweise die Punkte
(Striche) einkreisen kann, die Mama mehr hat.
Mit den Dreierstäben verfährt man nun analog: Zuerst
macht Mama es vor, dann soll es Lena „ausrechnen“.
Auf dem Zettel ergibt sich nun folgende Bilanz:
Lena muss überhaupt nicht wissen, wie viele Punkte
Mama oder sie selbst insgesamt hat. Der Vergleich der
Quantitäten muss aber über das Bündelungsprinzip
erfolgen (Fünfer-Bündel und in einem Kästchen zwei
Fünfer-Bündel) und nicht durch einzelnes Abzählen.
Nun werden die restlichen Punkte notiert. Das
Endergebnis sieht in unserem Beispiel nun so aus:
Was soll gelernt werden?
1.Wie bereits erwähnt, trainiert das Spiel die
Feinmotorik des Kindes. Darüber hinaus werden
beim „Ausrechnen“ der Punkte aber auch entscheidende
mathematische Inhalte vermittelt:
2. Das Kind wird mit dem Gedanken der Wertigkeit
vertraut gemacht, also dass ein Stab beispielsweise
vier Punkte zählt. Es kann deshalb durchaus sein, dass
man zwar mehr Stäbe gesammelt hat, aber trotzdem
weniger Punkte hat. Dieses Wissen ist ausgesprochen
hilfreich, wenn das Kind im zweiten Schuljahr die
Zahlen bis 100 kennenlernt: 39 sind weniger als 51,
da kann man so viel Einer haben, wie man will. Die
Zehner sind mehr wert. Auch beim Erlernen der
Maßeinheiten spielt dieser Gedanke eine entscheidende
Rolle: 3 km > 300 m, obwohl für die Zahlen
selbst gilt: 3 < 300. Nicht zuletzt tauchen
Wertigkeitsfragen auch beim Umgang mit Geld auf:
Scan! Bild wird wie im Ausdruck
Die eine Münze auf der linken Seite ist gleich viel
wert, wie die zehn Münzen auf der rechten Seite und
das auch noch, obwohl auf der linken Münze nur
eine eins steht und auf den rechten Münzen jeweils
eine zehn - für ein Kind ein nicht gerade einfacher
Gedanke, wenn es bisher immer gelernt hat, dass
1

3. Das Kind lernt, wie man Mengenvergleiche herstellt,
wann etwas mehr oder weniger ist, wann
etwas gleich viel ist. Es lernt mit Begriffen wie
„mehr als“ „weniger als“ und „gleich viel wie“
umzugehen. Es soll Differenzmengen benennen
können („Die rot eingekreisten hast du mehr als
ich.“)
4. Das Kind erhält erste Einblicke in Mengenstrukturen.
Es soll begreifen, dass das Strukturieren von
Mengen in Fünfer-Bündeln und Zehner-Kästchen
einen Vergleich der Anzahlen wesentlich erleichtert.
Darüber hinaus macht es erste Bekanntschaft mit
Zehnern, ohne dass man diese gleich so benennen
muss.
Für Kinder ab Beginn der zweiten Klasse
Die Notierung der Punkte erfolgt in identischer Weise
wie oben beschrieben. Den Vergleich der Anzahlen
führt das Kind nun nicht mehr per Eins-zu-eins-
Zuordnung durch, sondern es werden die Zahlen zu
den entsprechenden
Mengen dazugeschrieben:
Die Mutter (oder
der erwachsene Mitspieler)
fragt nach. Im Idealfall läuft es dann so: „Wie
viele Punkte habe ich?“ Das Kind sollte spontan
(ohne zu zählen) mit „zehn“ antworten. „Und wie
viele Punkte hast du?“ Auch hier muss spontan die
Antwort „fünf“ kommen. Die Mutter fragt weiter:
„Wer ist jetzt in Führung?“ Das Kind antwortet:
„Du!“ „Und woher weißt du das?“ „Weil zehn mehr
sind als fünf.“ „Wie viele habe ich denn mehr als
du?“ „Das sind fünf, das sieht man doch sofort.“
Danach werden die Punkte für die Dreier- und
Viererstäbe notiert. Die Anzahl der jeweiligen Punkte
in den einzelnen Kästchen schreibt das Kind als Zahl
auf. Es ist unbedingt darauf zu achten, dass das Kind
die Anzahl der Punkte im dritten Kästchen der Mutter
spontan mit der Zahl acht verbindet (die acht als eine
fünf und eine drei), sonst könnte es sein, dass es
bereits Schwierigkeiten im Zahlaufbau der Zahlen im
Zahlenraum bis 10 gibt.
Nun soll das Kind die Gesamtanzahl der Punkte durch
eine Addition ermitteln:
Seite 10
Wie im vorherigen Beispiel auch, werden nun die
restlichen Punkte notiert. Das Kind soll wiederum die
Anzahl der Punkte im jeweiligen Kästchen notieren
und dann durch Addieren den Gesamtpunktestand
ermitteln und herausbekommen, wer gewonnen hat.
Was soll gelernt werden?
Zu den bereits beschriebenen Lerninhalten kommt
hinzu:
1.Das Kind lernt Zehner„blöcke“ und Einer kennen.
Es soll lernen, dass die Zahl 64 aus sechs Zehner-
Kästchen und 4 Einer-Strichen besteht, dass die
Ziffern sechs und vier für eine Anzahl von
Wertigkeiten stehen.
2.Es soll ferner lernen, dass man zuerst die Zehner-
Stelle notieren sollte und dann die Einer-Stelle,
obwohl das Wort im Deutschen umgekehrt gesprochen
wird. Die Darstellungsform in den Strichgrafiken
macht es für das Kind anschaulich (zuerst die
Zehner-Kästchen, dann die restlichen einzelnen
Striche, wie man in Deutschland auch schreibt: Von
links nach rechts).
3.Das Kind erlernt die ersten „einfachen Additionen“
von einzelnen Zehnern und von vollen Zehnern und
Einern.
4.Es soll erkennen, warum ein „voller Zehner“
eigentlich „so furchtbar voll“ ist. Mit zwei Fünfer-
Bündeln ist ein Kästchen voll und das ergibt genau
zehn.
Für Kinder ab Ende der zweiten Klasse und alle
Mamas, Papas, Omas und Opas - halt ein Leben lang
Die Endform des Spiels und der Verrechnung der
Punkte sollte nun so erfolgen, wie es das Spiel auch
vorsieht. Die Wertigkeit der Stäbe wird dem Kind auf
einem Blatt vorgelegt:
©Kopf und Zahl, 11. Ausgabe

Wir nehmen den gleichen Ausgang des Spiels, wie in
den beiden vorhergehenden Beispielen. Weil Kinder
Ende der zweiten Klasse das 1x1 beherrschen sollten,
lässt sich mit folgender Notierung ein lehrreiches
Spiel zur Übung durchführen:
Natürlich können auch Zwischenstände ermittelt
werden. Das erhöht die Anzahl der zu lösenden
Aufgaben.
Es ist unbedingt darauf zu achten, dass das Kind die
Multiplikationen spontan lösen kann. Fällt dem Kind
einmal ein Ergebnis nicht sofort ein, sollte es sich die
Lösung über das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)
herleiten können: 6x3=5x3+1x3 15+3=18 oder
9x3=10x3-1x3 30-3=27. Völlig falsch ist es, wenn
das Kind die jeweilige 1x1-Reihe immer wieder von
vorne abzählen muss! Zwar nicht völlig falsch aber
Sehr problematisch ist es, wenn das Kind die Lösung
nur durch das x-fache Addieren des zweiten Faktors
ermitteln kann. Hier fehlt es nicht nur an Übung und
Automatisierung, sondern am Verständnis.
Dann werden die jeweiligen Punktzahlen addiert.
Ende der zweiten Klasse im Kopf und nicht-zählend!
Strikt verboten ist das Untereinanderschreiben; das
Kind lernt kein Kopfrechnen und kennt sich später in
den Zahlenräumen nicht aus!
©Kopf und Zahl, 11. Ausgabe
Was soll gelernt werden?
Zu den bereits beschriebenen Lerninhalten kommt
hinzu:
1.Das Kind lernt, dass man mit Multiplikationen viel
schneller zum Ergebnis gelangt, als wenn man alles
addieren muss.
2.Das Kind soll begreifen, dass man nur dann
Produkte bilden kann, wenn der jeweilige Wert identisch
ist (Zusammenhang zur Addition der immer
gleichen Zahl).
3.Es soll erkennen, dass der erste Faktor im Produkt
immer eine Anzahl angibt (in diesem Fall die Anzahl
der jeweiligen Stäbe), also einheitsfrei ist und der
zweite Faktor den Wert der Stäbe, also eine Einheit hat
(in diesem Fall Punkte). Unbedingt unterlassen werden
sollte die Anwendung des Kommutativgesetzes
oder wie es Eltern häufig formulieren: „Wenn du
nicht weißt, wie viel 9 mal 2 sind, dann rechne doch
einfach 2 mal 9 - das ist doch das gleiche!“ Das
stimmt nicht: 9 Stäbe mit dem jeweiligen Wert von 2
Punkten, das gibt es. Es gibt aber keine 2 Stäbe mit
jeweils 9 Punkten - das ist ein Unterschied! 0 Stäbe
mit 20 Punkten, das kann passieren, aber 20 Stäbe mit
jeweils 0 Punkten zu sammeln, das ist nun wirklich
vergebene Liebesmüh’. Wendet das Kind beim
Ausrechnen der Punktzahl von sich aus das
Kommutativgesetz an, muss man sich beim Kind versichern,
ob es den Unterschied kennt und erklären
oder demonstrieren kann. Fragen Sie nach: „Hast du
wirklich 2 Stäbe mit 9 Punkten gesammelt? Lege mir
die doch einmal hin!“ Wenn das Kind diesen
Unterschied nicht begreift, gibt das nicht nur in der
Algebra eine Katastrophe, sondern auch der spätere
Physiklehrer sieht sich mit einem Einheitensalat konfrontiert,
dass ihm die Haare zu Berge stehen.
Wichtig ist dieser Unterschied auch beim Teilen und
Verteilen - das ist nicht das gleiche!
4.Das Kind übt 1x1-Aufgaben und Additionen im
Zahlenraum bis 100.
Ein Fazit
Micado? Ein alter Hut? Von wegen! Bei diesem Spiel
kann man dem Kind eine Menge beibringen. Ein
wenig Kreativität ist da natürlich von erwachsener
Seite aus gefordert und natürlich auch ein entsprechendes
Maß an Zeit, um sich mit dem Kind hinzusetzen.
Beides braucht man nicht, wenn man das
Kind vor den PC oder sonstigen Geräten setzt. Fragt
sich nur: Was braucht das Kind eigentlich für seine
weitere Schullaufbahn und sein späteres Leben? Einen
Europa-Rekord im Abschießen von Aliens? Den kann
es dann in die Bewerbungsmappe für eine Ausbildungsstelle
legen. Mal seh’n, wie das dann ausgeht.
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